河南省南阳市南召县2021-2022学年八年级下学期开学抽考数学试卷
一、单选题
1．（2022八下·南召开学考）下列语句正确的是（ ）
A．的立方根是2 B．-3是27的负的立方根
C．4是16的算术平方根，即 D．的立方根是-1
【答案】A
【知识点】算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：A. =8，的立方根是2；
B. 3是27的的立方根；
C. 4是16的算术平方根，即；
D. 的立方根是1；
故答案为：A.
【分析】=8，(-1)2=1，然后根据立方根的概念可判断A、B、D；根据算术平方根的概念可判断C.
2．（2022八下·南召开学考）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、，此选项计算错误，故不符合题意；
B、，此选项计算错误，故不符合题意；
C、，此选项计算错误，故不符合题意；
D、，此选项计算正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据单项式与单项式的乘法法则可判断A；同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此判断B；积的乘方：先将每一项进行乘方，然后将结果相乘，据此判断C；幂的乘方：底数不变，指数相减，据此判断D.
3．（2022八下·南召开学考）下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．若a2=b2，则a=b B．等角对等边
C．若a＜0，b＜0，则ab＜0 D．全等三角形的对应边相等
【答案】C
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：A、若a2＝b2，则a＝b的逆命题是若a＝b，则a2＝b2，正确；
B、等角对等边的逆命题是等边对等角，正确；
C、若a＜0，b＜0，则ab＜0的逆命题是若ab＜0，则a＜0，b＜0，错误；
D、全等三角形的对应边相等的逆命题是对应边相等的两个三角形全等，正确；
故答案为：C.
【分析】若a2＝b2，则a＝b的逆命题是：若a＝b，则a2＝b2，据此判断A；等角对等边的逆命题是等边对等角，根据等腰三角形的性质可判断B；若a＜0，b＜0，则ab＜0的逆命题是：若ab＜0，则a＜0，b＜0，结合有理数的乘法法则可判断C；全等三角形的对应边相等的逆命题是对应边相等的两个三角形全等，根据全等三角形的判定定理判断即可.
4．（2017·河北模拟）下列各式中，与（﹣a+1）2相等的是（ ）
A．a2﹣1 B．a2+1 C．a2﹣2a+1 D．a2+2a+1
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】（﹣a+1）2=a2﹣2a+1．
故答案为：C．
【分析】先依据完全平方公式进行展开，然后依据展开结合进行判断即可.
5．（2019·益阳）已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】如图所示，
AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
故答案为：B．
【分析】如图所示，根据作图可得AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，从而求出AB的长，根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形.
6．（2022八下·南召开学考）若是一个完全平方式，则a值为（ ）
A．-9 B．-9或11 C．9或-11 D．11
【答案】B
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：x2+（a﹣1）x+25=x2+（a﹣1）x+52是完全平方式，
则（a﹣1）x=±2 x 5，
解得：a=﹣9或11.
故答案为：B.
【分析】代数式可变形为x2+(a-1)x+52，结合其为完全平方式可得a-1=±2×5，据此可得a的值.
7．（2022八下·南召开学考）已知a+b=2，求代数式a2﹣b2+4b的值为（ ）
A．8 B．4 C．﹣4 D．﹣8
【答案】B
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】待求式可变形为(a+b)(a-b)+4b，然后将已知条件代入计算即可.
8．（2022八下·南召开学考）中，有一点在上移动.若，，的最小值为（ ）
A．10 B．9.8 C．8.8 D．4.8
【答案】A
【知识点】垂线段最短；勾股定理
【解析】【解答】解：因为不论点P在BC上的那一点，BP+CP都等于BC.从A向BC作垂线段AP，交BC于P，此时PA+PB+PC的值最小.
∵AB=AC=5，AP⊥BC，
∴BP=PC=3，
∴AP=，
∴AP+BP+CP的最小值为=BC+AP=6+4=10.
故答案为：A.
【分析】过点A作AP⊥BC于点P，此时PA+PB+PC的值最小，根据等腰三角形的性质可得BP=PC=3，利用勾股定理求出AP，据此计算.
9．（2021八上·黔西南期末）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（ ）
A．1 B．1.8 C．2 D．2.5
【答案】C
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过P作 的平行线交 于F，
，
是等边三角形，
， ，
是等边三角形，
，
∵CQ＝PA，
∴
在 中和 中，
，
≌ ，
，
于 ， 是等边三角形，
，
，
，
，
.
故答案为：C.
【分析】过P作BC的平行线交AC于F，由平行线的性质可得∠Q=∠FPD，结合等边三角形的性质可得∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，推出△APF是等边三角形，得到AP=PF，结合CQ＝PA可得PF=CQ，证△PFD≌△QCD，得FD=CD，由等边三角形的性质得AE=EF，则AE+DC=EF+FD=ED，推出DE=AC，据此计算.
10．（2022八下·南召开学考）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边CD上，且CE=1，连结AE，点F在边AD上，连结BF，把沿BF翻折，点A恰好落在AE上的点G处，下列结论：①AE=BF；②AD=3DF；③；④GE=0.2，其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．①③
【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD＝CD＝4，∠BAD＝∠D＝90°，
∵CE＝1，
∴DE＝3，
由折叠的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，
∴BF⊥AE，AH＝GH，
∴∠BAH+∠ABH＝90°，
∵∠FAH+∠BAH＝90°，
∴∠ABH＝∠FAH，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（ASA），
∴AF＝DE＝3，BF＝AE，故①正确；
∵DF＝AD﹣AF＝4﹣3＝1，
∴AD＝4DF，故②错误；
在Rt△ABF中，
∵BF＝＝＝5，
∴S△ABF＝ AB AF＝×4×3＝6，故③正确；
∵S△ABF＝AB AF＝BF AH，
∴4×3＝5AH，
∴AH＝，
∴AG＝2AH＝，
∵AE＝BF＝5，
∴GE＝AE﹣AG＝5﹣＝0.2，故④正确；
综上所述：正确的是①③④.
故答案为：B.
【分析】根据正方形的性质可得AB＝AD＝CD＝4，∠BAD＝∠D＝90°，则DE=CD-CE=3，由折叠的性质可知：△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，则BF⊥AE，AH＝GH，根据同角的余角相等可得∠ABH＝∠FAH，证明△ABF≌△DAE，据此判断①；易得DF＝AD-AF＝1，据此判断②；根据勾股定理求出BF，然后根据三角形的面积公式可判断③；根据△ABF的面积公式可得AH，然后求出AG，根据
GE＝AE-AG求出GE，据此判断④.
二、填空题
11．（2022八下·南召开学考）已知：，则 .
【答案】7
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，
，
.
故答案为：7.
【分析】给已知条件两边同时平方可得x2++2=9，据此可得x2+的值.
12．（2021八下·新民期中）如图、∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的外角∠ACG的平分线CF相交于点F.过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝8，DE＝3，则CE的长度为 ；
【答案】5
【知识点】角平分线的性质；线段的计算
【解析】【解答】解：
BF平分∠ABC，CF平分∠ACG.
故答案为：5.
【分析】由角平分线的性质和平行线的性质得出
，得出
，即可求解。
13．（2022八下·南召开学考）如图，图形的各个顶点都在33正方形网格的格点上.则 .
【答案】45°
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图所示，
由题意得，在Rt△ABC和Rt△EFC中，
∵
∴Rt△ABC≌Rt△EFC（SAS）
∴∠3=∠1
∵∠2+∠3=45°
∴∠1+∠2=∠3+∠2=45°
故答案为：45°.
【分析】对图形进行点标注，角标注，易证Rt△ABC≌Rt△EFC，得到∠3=∠1，然后根据∠2+∠3=45°就可得到∠1+∠2的度数.
14．（2018八上·镇平期末）如图∠AOP=∠BOP=22.5°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，若PD=1，则PC等于 ．
【答案】
【知识点】角平分线的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过P作PE⊥OB于E，
∵∠AOP=∠BOP=22.5°，PD⊥OA，PD=1，
∴PE=PD=1，
∵PC∥OA，
∴∠ECP=∠AOB=∠AOP+∠BOP=45°，
∵∠PEO=90°，
∴CP= = ，
故答案为： ．
【分析】过P作PE⊥OB于E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出PE=PD=1，根据二直线平行，同位角相等得出∠ECP=45°，然后根据等腰直角三角形的性质即可算出CP的长。
15．（2020八上·无锡月考）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数是 .
【答案】120°
【知识点】三角形内角和定理；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：延长AB，使得AB=BE，延长AD，使得AD=DF，连接EF，与BC，DC相较于M，N
如图所示，此时△AMN的周长最小
∵∠ABM=90°
∴∠EBM=90°
在△AMB和△EMB中
∴△AMB≌△EMB
∴∠BEM=∠BAM
∴∠AMN=2∠BAM
同理可得：△AND≌△FDN
∴∠NAD=∠NFD
∴∠ANM=2∠NAD
设∠BAM=x，∠MAN=z，∠NAD=y
∵∠BAD=120°
∴
解得：
即∠AMN+∠ANM=2×60°=120°.
故答案为：120°.
【分析】延长AB，使得AB=BE，延长AD，使得AD=DF，连接EF，与BC，DC相较于M，N，要使得△AMN的周长最小，则三角形的三边要共线，根据∠BAD=120°和△AMN的内角和是180°即可列出方程求解.
三、解答题
16．（2022八下·南召开学考）计算：
（1）；
（2）.
【答案】（1）解：原式
=0
（2）解：原式
.
【知识点】实数的运算；整式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据有理数的乘方、算术平方根以及立方根的概念、平方差公式分别计算，然后去括号，最后根据有理数的加减法法则计算即可；
（2）根据多项式与单项式的除法法则以及积的乘方法则分别计算，然后合并同类项即可.
17．（2022八下·南召开学考）因式分解：
（1）；
（2）.
【答案】（1）解：
=
=
=
（2）解：
=
=
=
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）原式可变形为(m+n)2-(2n)2，然后利用平方差公式分解即可；
（2）原式可变形为(x2+y2)2-(2xy)2，然后利用平方差公式、完全平方公式分解即可.
18．（2022八下·南召开学考）先化简，再求值：，其中.
【答案】解：原式，
.
，
当.时，原式2025.
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】根据完全平方公式、平方差公式、单项式与多项式的乘法法则分别去括号，再合并同类项对原式进行化简，然后将x的值代入计算即可.
19．（2020七下·澄迈期末）有一学校为了解九年级学生某次体育测试成绩，现对这次体育测试成绩进行随机抽样调查，结果统计如下，其中扇形统计图中C等级所在扇形的圆心角为36°.
被抽取的体育测试成绩频数分布表
等级 成绩（分） 频数（人数）
A 36＜x≤40 19
B 32＜x≤36 b
C 28＜x≤32 5
D 24＜x≤28 4
E 20＜x≤24 2
合计 a
请你根据以上图表提供的信息，解答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）A等级的频率是 ；
（3）在扇形统计图中，B等级所对应的圆心角是 度.
【答案】（1）50；20
（2）38%
（3）144
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图
【解析】【解答】（1）a＝5÷ ＝50，
b＝50﹣（19+5+4+2）＝20；
故答案为50、20；
（2）A等级的频率是 ＝0.38（或38%）；
故答案为38%；
（3）B等级所对应的圆心角是 ×360°＝144°.
故答案为144.
【分析】（1）根据C等级的频数除以所占的比例可求出a，据此可求出b；
（2）利用A等级的频数除以a可得对应的频率；
（3）利用B等级的频数除以a，然后乘以360°即可.
20．（2022八下·南召开学考）证明命题“全等三角形的面积相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程.下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证.
已知：如图， ▲ .
求证： ▲ .
请你补全已知和求证，并写出证明过程.
【答案】解：已知△ABC≌△A'B'C'；
求证：=；
证明：如图，作A BC，作，垂足分别为D，，
∵△ABC≌△A'B'C'(已知)，
∴AB =A'B' ，BC=B'C'（ 全等三角形的对应边相等)，
∠B =∠（全等三角形的对应角相等)
在△ABD 和△A'B'D’中，
∵ ∠ADB = ∠A'D'B'= 90°(已知)，
∠B = ∠B'(已证)，
AB = A'B'(已证)，
∴ABD≌△A'B'D'(A.A.S.)，
∴AD = A'D’（全等三角形的对应边相等)，
∴=.
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】作AD⊥BC，作A′D′⊥B′C′，垂足分别为D、D′，由全等三角形的对应边相等、对应角相等得AB =A'B' ，BC=B'C'，∠B =∠B′，然后证明△ABD≌△A'B'D'，得到AD=A'D′，然后根据三角形的面积公式进行证明.
21．（2019七下·泰兴期中）阅读材料：若 ，求m、n的值.
解：∵ ，
∴
∴ ，而 ， ，
∴ 且 ，
∴n=4，m=4.
根据你的观察，探究下面的问题：
（1） ，则a= ；b= .
（2）已知△ABC的三边a，b，c满足 =0，
关于此三角形的形状的以下命题：①它是等边三角形；②它属于等腰三角形：③它属于锐角三角形；④它不是直角三角形.其中所有正确命题的序号为 .
（3）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且 ，求△ABC的周长.
【答案】（1）2；0
（2）①②③④
（3）解：∵
∴
∴
则a-1=0，b-3=0，解得：a=1，b=3，
由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3，
则△ABC的周长为1+3+3=7
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的判定；非负数之和为0
【解析】【解答】(1)已知等式整理得：
解得：a=2，b=0；
故答案为：2；0；
( 2 )∵
①它是等边三角形；②它属于等腰三角形：③它属于锐角三角形；④它不是直角三角形.都正确.
故答案为：①②③④
【分析】（1）由材料中的信息可先将已知的等式按照完全平方公式转化为两数的平方和的形式： 再根据非负数为0可得关于a、b的方程，解方程可求解；
（2）方法同（1），将a、b、c满足的等式按照完全平方公式转化为两数的平方和的形式：（a-b）2+（b-c）2=0，再根据非负数为0可得关于a、b、c的等式，整理可得a=b=c，于是可得①它是等边三角形；②它属于等腰三角形：③它属于锐角三角形；④它不是直角三角形；
（3）方法同（1），将a、b满足的等式按照完全平方公式转化为两数的平方和的形式（a-1） +（b-3） =0，再根据非负数为0可得关于a、b的方程，解方程可求出a、b的值，由三角形三边关系定理即可求得c的值，则三角形ABC的周长可求解。
22．（2020八上·景县期末）如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动(D不与B、C重合)，连接AD，作∠ADE=40°，DE与AC交于E。
（1）当∠BDA=115°时，∠BAD= °，∠DEC= °，当点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 (填“大”或“小”)；
（2）当DC等于多少时，△ABD与△DCE全等 请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗 若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由。
【答案】（1）25°；115°；小
（2）解：当DC=2时，△ABD≌△DCE，
理由：∵∠C=40°，
∴∠DEC+∠EDC=140°，
又∵∠ADE=40°
∴∠ADB+∠EDC=140°，
∴∠ADB=∠DEC，
又∵AB=DC=2，
在△ABD和△DCE中，
∴△ABD≌△DCE(AAS)
（3）解：当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形
【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据邻补角的性质以及三角形的内角和定理即可得到答案；
（2）根据角度关系证明得到∠ADB=∠DEC，根据AB=CD=2，即可证明三角形全等。
23．（2022八下·南召开学考）【概念学习】若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条公共底边互为顶针点，这条公共底边叫做这两个互为顶针点的顶针线段，如图（1），四边形ABCD ，BC是一条对角线，AB=AC，DB=DC，则点A与点D关于顶针线段BC互为顶针点.
（1）【实践操作】如图（2），在长方形ABCD中，AB
（2）【思维探究】在上述的条件下，若AB=8，AD=10.请利用备用图求AE的长度.
【答案】（1）解：如图（3），点 E、点 F 即为所求，
（2）解：连接EF，如图（4）所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝10，CD＝AB＝8，∠A＝∠D＝90°，
由作图可知，CF＝CB＝10，
∴DF＝，
∴AF＝AD﹣DF＝4，
设AE＝x，则BE＝8﹣x，
∵CE是BF的垂直平分线，
∴EF＝BE＝8﹣x，
在Rt△AEF中，由勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
即AE的长为3.
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）以点C为圆心，BC为半径画弧，与AD交于点F，然后作出线段BF的垂直平分线，与AB的交点即为点E；
（2）连接EF，根据矩形的性质可得BC＝AD＝10，CD＝AB＝8，∠A＝∠D＝90°，利用勾股定理求出DF，则AF＝AD-DF＝4，设AE＝x，则BE＝8-x，根据垂直平分线的性质可得EF＝BE＝8-x，然后在Rt△AEF中，由勾股定理求解即可.
1 / 1河南省南阳市南召县2021-2022学年八年级下学期开学抽考数学试卷
一、单选题
1．（2022八下·南召开学考）下列语句正确的是（ ）
A．的立方根是2 B．-3是27的负的立方根
C．4是16的算术平方根，即 D．的立方根是-1
2．（2022八下·南召开学考）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022八下·南召开学考）下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．若a2=b2，则a=b B．等角对等边
C．若a＜0，b＜0，则ab＜0 D．全等三角形的对应边相等
4．（2017·河北模拟）下列各式中，与（﹣a+1）2相等的是（ ）
A．a2﹣1 B．a2+1 C．a2﹣2a+1 D．a2+2a+1
5．（2019·益阳）已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
6．（2022八下·南召开学考）若是一个完全平方式，则a值为（ ）
A．-9 B．-9或11 C．9或-11 D．11
7．（2022八下·南召开学考）已知a+b=2，求代数式a2﹣b2+4b的值为（ ）
A．8 B．4 C．﹣4 D．﹣8
8．（2022八下·南召开学考）中，有一点在上移动.若，，的最小值为（ ）
A．10 B．9.8 C．8.8 D．4.8
9．（2021八上·黔西南期末）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（ ）
A．1 B．1.8 C．2 D．2.5
10．（2022八下·南召开学考）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边CD上，且CE=1，连结AE，点F在边AD上，连结BF，把沿BF翻折，点A恰好落在AE上的点G处，下列结论：①AE=BF；②AD=3DF；③；④GE=0.2，其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．①③
二、填空题
11．（2022八下·南召开学考）已知：，则 .
12．（2021八下·新民期中）如图、∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的外角∠ACG的平分线CF相交于点F.过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝8，DE＝3，则CE的长度为 ；
13．（2022八下·南召开学考）如图，图形的各个顶点都在33正方形网格的格点上.则 .
14．（2018八上·镇平期末）如图∠AOP=∠BOP=22.5°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，若PD=1，则PC等于 ．
15．（2020八上·无锡月考）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数是 .
三、解答题
16．（2022八下·南召开学考）计算：
（1）；
（2）.
17．（2022八下·南召开学考）因式分解：
（1）；
（2）.
18．（2022八下·南召开学考）先化简，再求值：，其中.
19．（2020七下·澄迈期末）有一学校为了解九年级学生某次体育测试成绩，现对这次体育测试成绩进行随机抽样调查，结果统计如下，其中扇形统计图中C等级所在扇形的圆心角为36°.
被抽取的体育测试成绩频数分布表
等级 成绩（分） 频数（人数）
A 36＜x≤40 19
B 32＜x≤36 b
C 28＜x≤32 5
D 24＜x≤28 4
E 20＜x≤24 2
合计 a
请你根据以上图表提供的信息，解答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）A等级的频率是 ；
（3）在扇形统计图中，B等级所对应的圆心角是 度.
20．（2022八下·南召开学考）证明命题“全等三角形的面积相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程.下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证.
已知：如图， ▲ .
求证： ▲ .
请你补全已知和求证，并写出证明过程.
21．（2019七下·泰兴期中）阅读材料：若 ，求m、n的值.
解：∵ ，
∴
∴ ，而 ， ，
∴ 且 ，
∴n=4，m=4.
根据你的观察，探究下面的问题：
（1） ，则a= ；b= .
（2）已知△ABC的三边a，b，c满足 =0，
关于此三角形的形状的以下命题：①它是等边三角形；②它属于等腰三角形：③它属于锐角三角形；④它不是直角三角形.其中所有正确命题的序号为 .
（3）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且 ，求△ABC的周长.
22．（2020八上·景县期末）如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动(D不与B、C重合)，连接AD，作∠ADE=40°，DE与AC交于E。
（1）当∠BDA=115°时，∠BAD= °，∠DEC= °，当点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 (填“大”或“小”)；
（2）当DC等于多少时，△ABD与△DCE全等 请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗 若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由。
23．（2022八下·南召开学考）【概念学习】若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条公共底边互为顶针点，这条公共底边叫做这两个互为顶针点的顶针线段，如图（1），四边形ABCD ，BC是一条对角线，AB=AC，DB=DC，则点A与点D关于顶针线段BC互为顶针点.
（1）【实践操作】如图（2），在长方形ABCD中，AB（2）【思维探究】在上述的条件下，若AB=8，AD=10.请利用备用图求AE的长度.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：A. =8，的立方根是2；
B. 3是27的的立方根；
C. 4是16的算术平方根，即；
D. 的立方根是1；
故答案为：A.
【分析】=8，(-1)2=1，然后根据立方根的概念可判断A、B、D；根据算术平方根的概念可判断C.
2．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、，此选项计算错误，故不符合题意；
B、，此选项计算错误，故不符合题意；
C、，此选项计算错误，故不符合题意；
D、，此选项计算正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据单项式与单项式的乘法法则可判断A；同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此判断B；积的乘方：先将每一项进行乘方，然后将结果相乘，据此判断C；幂的乘方：底数不变，指数相减，据此判断D.
3．【答案】C
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：A、若a2＝b2，则a＝b的逆命题是若a＝b，则a2＝b2，正确；
B、等角对等边的逆命题是等边对等角，正确；
C、若a＜0，b＜0，则ab＜0的逆命题是若ab＜0，则a＜0，b＜0，错误；
D、全等三角形的对应边相等的逆命题是对应边相等的两个三角形全等，正确；
故答案为：C.
【分析】若a2＝b2，则a＝b的逆命题是：若a＝b，则a2＝b2，据此判断A；等角对等边的逆命题是等边对等角，根据等腰三角形的性质可判断B；若a＜0，b＜0，则ab＜0的逆命题是：若ab＜0，则a＜0，b＜0，结合有理数的乘法法则可判断C；全等三角形的对应边相等的逆命题是对应边相等的两个三角形全等，根据全等三角形的判定定理判断即可.
4．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】（﹣a+1）2=a2﹣2a+1．
故答案为：C．
【分析】先依据完全平方公式进行展开，然后依据展开结合进行判断即可.
5．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】如图所示，
AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
故答案为：B．
【分析】如图所示，根据作图可得AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，从而求出AB的长，根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形.
6．【答案】B
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：x2+（a﹣1）x+25=x2+（a﹣1）x+52是完全平方式，
则（a﹣1）x=±2 x 5，
解得：a=﹣9或11.
故答案为：B.
【分析】代数式可变形为x2+(a-1)x+52，结合其为完全平方式可得a-1=±2×5，据此可得a的值.
7．【答案】B
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】待求式可变形为(a+b)(a-b)+4b，然后将已知条件代入计算即可.
8．【答案】A
【知识点】垂线段最短；勾股定理
【解析】【解答】解：因为不论点P在BC上的那一点，BP+CP都等于BC.从A向BC作垂线段AP，交BC于P，此时PA+PB+PC的值最小.
∵AB=AC=5，AP⊥BC，
∴BP=PC=3，
∴AP=，
∴AP+BP+CP的最小值为=BC+AP=6+4=10.
故答案为：A.
【分析】过点A作AP⊥BC于点P，此时PA+PB+PC的值最小，根据等腰三角形的性质可得BP=PC=3，利用勾股定理求出AP，据此计算.
9．【答案】C
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过P作 的平行线交 于F，
，
是等边三角形，
， ，
是等边三角形，
，
∵CQ＝PA，
∴
在 中和 中，
，
≌ ，
，
于 ， 是等边三角形，
，
，
，
，
.
故答案为：C.
【分析】过P作BC的平行线交AC于F，由平行线的性质可得∠Q=∠FPD，结合等边三角形的性质可得∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，推出△APF是等边三角形，得到AP=PF，结合CQ＝PA可得PF=CQ，证△PFD≌△QCD，得FD=CD，由等边三角形的性质得AE=EF，则AE+DC=EF+FD=ED，推出DE=AC，据此计算.
10．【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD＝CD＝4，∠BAD＝∠D＝90°，
∵CE＝1，
∴DE＝3，
由折叠的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，
∴BF⊥AE，AH＝GH，
∴∠BAH+∠ABH＝90°，
∵∠FAH+∠BAH＝90°，
∴∠ABH＝∠FAH，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（ASA），
∴AF＝DE＝3，BF＝AE，故①正确；
∵DF＝AD﹣AF＝4﹣3＝1，
∴AD＝4DF，故②错误；
在Rt△ABF中，
∵BF＝＝＝5，
∴S△ABF＝ AB AF＝×4×3＝6，故③正确；
∵S△ABF＝AB AF＝BF AH，
∴4×3＝5AH，
∴AH＝，
∴AG＝2AH＝，
∵AE＝BF＝5，
∴GE＝AE﹣AG＝5﹣＝0.2，故④正确；
综上所述：正确的是①③④.
故答案为：B.
【分析】根据正方形的性质可得AB＝AD＝CD＝4，∠BAD＝∠D＝90°，则DE=CD-CE=3，由折叠的性质可知：△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，则BF⊥AE，AH＝GH，根据同角的余角相等可得∠ABH＝∠FAH，证明△ABF≌△DAE，据此判断①；易得DF＝AD-AF＝1，据此判断②；根据勾股定理求出BF，然后根据三角形的面积公式可判断③；根据△ABF的面积公式可得AH，然后求出AG，根据
GE＝AE-AG求出GE，据此判断④.
11．【答案】7
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，
，
.
故答案为：7.
【分析】给已知条件两边同时平方可得x2++2=9，据此可得x2+的值.
12．【答案】5
【知识点】角平分线的性质；线段的计算
【解析】【解答】解：
BF平分∠ABC，CF平分∠ACG.
故答案为：5.
【分析】由角平分线的性质和平行线的性质得出
，得出
，即可求解。
13．【答案】45°
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图所示，
由题意得，在Rt△ABC和Rt△EFC中，
∵
∴Rt△ABC≌Rt△EFC（SAS）
∴∠3=∠1
∵∠2+∠3=45°
∴∠1+∠2=∠3+∠2=45°
故答案为：45°.
【分析】对图形进行点标注，角标注，易证Rt△ABC≌Rt△EFC，得到∠3=∠1，然后根据∠2+∠3=45°就可得到∠1+∠2的度数.
14．【答案】
【知识点】角平分线的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过P作PE⊥OB于E，
∵∠AOP=∠BOP=22.5°，PD⊥OA，PD=1，
∴PE=PD=1，
∵PC∥OA，
∴∠ECP=∠AOB=∠AOP+∠BOP=45°，
∵∠PEO=90°，
∴CP= = ，
故答案为： ．
【分析】过P作PE⊥OB于E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出PE=PD=1，根据二直线平行，同位角相等得出∠ECP=45°，然后根据等腰直角三角形的性质即可算出CP的长。
15．【答案】120°
【知识点】三角形内角和定理；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：延长AB，使得AB=BE，延长AD，使得AD=DF，连接EF，与BC，DC相较于M，N
如图所示，此时△AMN的周长最小
∵∠ABM=90°
∴∠EBM=90°
在△AMB和△EMB中
∴△AMB≌△EMB
∴∠BEM=∠BAM
∴∠AMN=2∠BAM
同理可得：△AND≌△FDN
∴∠NAD=∠NFD
∴∠ANM=2∠NAD
设∠BAM=x，∠MAN=z，∠NAD=y
∵∠BAD=120°
∴
解得：
即∠AMN+∠ANM=2×60°=120°.
故答案为：120°.
【分析】延长AB，使得AB=BE，延长AD，使得AD=DF，连接EF，与BC，DC相较于M，N，要使得△AMN的周长最小，则三角形的三边要共线，根据∠BAD=120°和△AMN的内角和是180°即可列出方程求解.
16．【答案】（1）解：原式
=0
（2）解：原式
.
【知识点】实数的运算；整式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据有理数的乘方、算术平方根以及立方根的概念、平方差公式分别计算，然后去括号，最后根据有理数的加减法法则计算即可；
（2）根据多项式与单项式的除法法则以及积的乘方法则分别计算，然后合并同类项即可.
17．【答案】（1）解：
=
=
=
（2）解：
=
=
=
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）原式可变形为(m+n)2-(2n)2，然后利用平方差公式分解即可；
（2）原式可变形为(x2+y2)2-(2xy)2，然后利用平方差公式、完全平方公式分解即可.
18．【答案】解：原式，
.
，
当.时，原式2025.
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】根据完全平方公式、平方差公式、单项式与多项式的乘法法则分别去括号，再合并同类项对原式进行化简，然后将x的值代入计算即可.
19．【答案】（1）50；20
（2）38%
（3）144
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图
【解析】【解答】（1）a＝5÷ ＝50，
b＝50﹣（19+5+4+2）＝20；
故答案为50、20；
（2）A等级的频率是 ＝0.38（或38%）；
故答案为38%；
（3）B等级所对应的圆心角是 ×360°＝144°.
故答案为144.
【分析】（1）根据C等级的频数除以所占的比例可求出a，据此可求出b；
（2）利用A等级的频数除以a可得对应的频率；
（3）利用B等级的频数除以a，然后乘以360°即可.
20．【答案】解：已知△ABC≌△A'B'C'；
求证：=；
证明：如图，作A BC，作，垂足分别为D，，
∵△ABC≌△A'B'C'(已知)，
∴AB =A'B' ，BC=B'C'（ 全等三角形的对应边相等)，
∠B =∠（全等三角形的对应角相等)
在△ABD 和△A'B'D’中，
∵ ∠ADB = ∠A'D'B'= 90°(已知)，
∠B = ∠B'(已证)，
AB = A'B'(已证)，
∴ABD≌△A'B'D'(A.A.S.)，
∴AD = A'D’（全等三角形的对应边相等)，
∴=.
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】作AD⊥BC，作A′D′⊥B′C′，垂足分别为D、D′，由全等三角形的对应边相等、对应角相等得AB =A'B' ，BC=B'C'，∠B =∠B′，然后证明△ABD≌△A'B'D'，得到AD=A'D′，然后根据三角形的面积公式进行证明.
21．【答案】（1）2；0
（2）①②③④
（3）解：∵
∴
∴
则a-1=0，b-3=0，解得：a=1，b=3，
由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3，
则△ABC的周长为1+3+3=7
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的判定；非负数之和为0
【解析】【解答】(1)已知等式整理得：
解得：a=2，b=0；
故答案为：2；0；
( 2 )∵
①它是等边三角形；②它属于等腰三角形：③它属于锐角三角形；④它不是直角三角形.都正确.
故答案为：①②③④
【分析】（1）由材料中的信息可先将已知的等式按照完全平方公式转化为两数的平方和的形式： 再根据非负数为0可得关于a、b的方程，解方程可求解；
（2）方法同（1），将a、b、c满足的等式按照完全平方公式转化为两数的平方和的形式：（a-b）2+（b-c）2=0，再根据非负数为0可得关于a、b、c的等式，整理可得a=b=c，于是可得①它是等边三角形；②它属于等腰三角形：③它属于锐角三角形；④它不是直角三角形；
（3）方法同（1），将a、b满足的等式按照完全平方公式转化为两数的平方和的形式（a-1） +（b-3） =0，再根据非负数为0可得关于a、b的方程，解方程可求出a、b的值，由三角形三边关系定理即可求得c的值，则三角形ABC的周长可求解。
22．【答案】（1）25°；115°；小
（2）解：当DC=2时，△ABD≌△DCE，
理由：∵∠C=40°，
∴∠DEC+∠EDC=140°，
又∵∠ADE=40°
∴∠ADB+∠EDC=140°，
∴∠ADB=∠DEC，
又∵AB=DC=2，
在△ABD和△DCE中，
∴△ABD≌△DCE(AAS)
（3）解：当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形
【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据邻补角的性质以及三角形的内角和定理即可得到答案；
（2）根据角度关系证明得到∠ADB=∠DEC，根据AB=CD=2，即可证明三角形全等。
23．【答案】（1）解：如图（3），点 E、点 F 即为所求，
（2）解：连接EF，如图（4）所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝10，CD＝AB＝8，∠A＝∠D＝90°，
由作图可知，CF＝CB＝10，
∴DF＝，
∴AF＝AD﹣DF＝4，
设AE＝x，则BE＝8﹣x，
∵CE是BF的垂直平分线，
∴EF＝BE＝8﹣x，
在Rt△AEF中，由勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
即AE的长为3.
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）以点C为圆心，BC为半径画弧，与AD交于点F，然后作出线段BF的垂直平分线，与AB的交点即为点E；
（2）连接EF，根据矩形的性质可得BC＝AD＝10，CD＝AB＝8，∠A＝∠D＝90°，利用勾股定理求出DF，则AF＝AD-DF＝4，设AE＝x，则BE＝8-x，根据垂直平分线的性质可得EF＝BE＝8-x，然后在Rt△AEF中，由勾股定理求解即可.
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