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黑龙江省哈尔滨市第四十七中学2021-2022学年八年级下学期开学考试数学试卷
一、单选题
1．（2019八上·如皋期末）下列运算中，计算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2017八上·路北期末）下列平面图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022八下·哈尔滨开学考）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022八下·哈尔滨开学考）点关于X轴对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022八下·哈尔滨开学考）在代数式，，，，，中，分式的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2022八下·哈尔滨开学考）下列从左边到右边的变形是因式分解的（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022八下·哈尔滨开学考）某林场原计划在一定期限内固沙造林240公顷，实际每天固沙造林的面积比原计划多4公顷，结果提前5天完成任务．设原计划每天固沙造林公顷，根据题意列方程正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
8．（2021八上·哈尔滨月考）由图你能根据面积关系得到的数学公式是（ ）
A．a2－b2＝（a＋b）（a－b） B．（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
C．（a－b）2＝a2－2ab＋b2 D．a（a＋b）＝a2＋ab
9．（2022八下·哈尔滨开学考）如图，某小区规划在正方形ABCD场地中建一条矩形甬道EFGH及一条平行四边形甬道MNQP，其余部分为草坪，若，，则甬道所占的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·淮滨模拟）如图，等边△ABC中，AB=2，D为△ABC内一点，且DA=DB，E为△ABC外一点，BE=AB，且∠EBD=∠CBD，连接DE，CE，则下列结论：①∠DAC=∠DBC；②BE⊥AC；③∠DEB=30°；④若EC∥AD，则S△EBC=1，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．（2022八下·哈尔滨开学考）如果分式的值为零，那么则x的值是 ．
12．（2022八下·哈尔滨开学考）某种细胞的直径是0.00000087米，将0.00000087用科学记数法表示为 ．
13．已知等腰三角形的顶角为40°，则它一腰上的高与底边的夹角为 ．
14．（2022八下·哈尔滨开学考）把多项式3m2﹣3分解因式的结果为 ．
15．（2022八下·哈尔滨开学考）若，，则 ．
16．（2022八下·哈尔滨开学考）若 ．
17．（2017八上·云南月考）已知a+b=5，ab=3，则a2+b2= ．
18．（2022八下·哈尔滨开学考）如图，已知在中，，边AB的垂直平分线交AC于点E，和的周长分别是28cm和18cm，则AB的长为 cm．
19．（2022八下·哈尔滨开学考）如图，已知△ABC是等边三角形， ∠BCD ＝90°，BC＝CD，则∠BAD＝
20．（2022八下·哈尔滨开学考）如图，在四边形ABCD中，E为边AD上一点，，且，，，，则AB的长度为 ．
三、解答题
21．（2022八下·哈尔滨开学考）计算：
（1）
（2）
22．（2022八下·哈尔滨开学考）先化简，再求值：，其中
23．（2022八下·哈尔滨开学考）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）将向下平移4个单位长度，画出平移后的
（2）画出关于y轴对称的（点、、的对称点分别是点、、），并直接写出的面积 ▲ ．
24．（2022八下·哈尔滨开学考）已知，是等边三角形，点D、E分别是BC边、AB边上的点，且，连接AD、CE交于点F，过A作于H．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，过点B作于G．直接写出图中所有的全等三角形．
25．甲、乙两家园林公司承接了某项园林绿化工程，己知乙公司单独完成此项工程所需要的天数是甲公司单独完成所需要天数的1.5倍，如果甲公司先单独工作10天，再由乙公司单独工作l5天，这样恰好完成整个工程的 ；
（1）求甲、乙两公司单独完成这项工程各需多少天？
（2）园林部门要求完成该绿化工程的时间不得超过30天，甲、乙公司合作若干天后，甲公司另有项目离开，剩下的工程由乙公司单独完成，求甲、乙两公司至少合作多少天.
26．（2022八下·哈尔滨开学考）已知中，，，点G为线段BC上一点，连接AG，过点B作，交AG的延长线于点D，连接CD．
（1）如图1，求证：．
（2）如图2，当时，将沿AD翻折得到，点C与点E为对应点，DE与AB交于点F，求证：．
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CF交AD于H，过点H作于M，若求AF的长．
27．（2022八下·哈尔滨开学考）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，，，点E从A出发沿AC向点C运动，点F从O出发沿OC向C运动，两点同时出发，速度均为1个单位/秒，并且一个点到达终点时另一个点也停止运动，设运动时间为t秒．
（1）求点B坐标．
（2）连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转得到线段ED，连接CD，求CD的长．
（3）在（2）的条件下，作点D关于EF的对称点G，连接CG、BG，当t为何值时，为直角三角形．
答案解析部分
1．【答案】C
【考点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】 ，故答案为：A错误；
，故答案为：B错误；
，故答案为：C正确；
，故答案为：D错误.
故答案为：C.
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、合并同类项的法则、积的乘方运算法则逐一判断即可.
2．【答案】A
【考点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称图形的概念，可知只有A沿任意一条直线折叠直线两旁的部分都不能重合．
故选：A．
【分析】根据轴对称图形的定义作答．
如果把一个图形沿着一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
3．【答案】C
【考点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、
，不符合最简二次根式，故不符合题意；
B、
，不符合最简二次根式，故不符合题意；
C、
符合最简二次根式，故符合题意；
D、
，不符合最简二次根式，故不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可。
4．【答案】A
【考点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】点M(﹣3，4)关于x轴对称的点的坐标是(﹣3，﹣4)．
故答案为：A．
【分析】根据关于x轴对称的点坐标的特征：横坐标不变，纵坐标变为相反数可得答案。
5．【答案】B
【考点】分式的定义
【解析】【解答】解：
，
，
是分式，其他的都不是分式；
故答案为：B．
【分析】根据分式的定义逐项判断即可。
6．【答案】B
【考点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、
属于整式的乘法，故不符合题意；
B、
属于因式分解，故符合题意；
C、
属于等量变形，故不符合题意；
D、
不属于因式分解，故不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据因式分解的定义：将和差的形式变为积的形式，逐项判断即可。
7．【答案】B
【考点】列分式方程
【解析】【解答】原计划用的时间为：
实际用的时间为：
那么根据等量关系方程为
故答案为：B
【分析】先表示出原计划和实际用的时间，再根据“结果提前5天完成任务”可得方程
。
8．【答案】C
【考点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：从图中可知：阴影部分的面积是和，空白的两个矩形面积都是，
即大阴影部分的面积是，
，
故答案为：C．
【分析】阴影部分的面积=两个小正方形的面积和=大正方形的面积-两个全等的矩形的面积，据此即得结论.
9．【答案】C
【考点】几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：由题意可知：
甬道所占的面积为
；
故答案为：C．
【分析】利用割补法可得甬道所占的面积为
。
10．【答案】C
【考点】平行线的性质；三角形的面积；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：连接，DE，
是等边三角形，
，，
，，
在与中，
，
，
，∠DAC=∠DBC，
，
，
，，
在与中，
，
，
.
故①③正确.
，
，
，，
，
∴∠EBC=2∠ACE，
，
，
，
在中三角和为，即∠EBC+∠BCE+∠BEC=180°，
，
，这时是边上的中垂线，故结论②错误.
边上的高，
，故结论④是正确的.
故答案为：C.
【分析】连接DC、DE，根据等边三角形的性质可得AB=AC=BC，∠ACB=60°，证明△ACD≌△BCD，得到∠BCD=∠ACD=30°，∠DAC=∠DBC，证明△BED≌△BCD，得到∠BED=∠BCD=30°，据此判断①③；根据平行线的性质可得∠DAC=∠ECA，推出∠EBC=2∠ACE，根据BE=BA可得BE=BC，由等腰三角形的性质可得∠BCE=∠BEC=60°+∠ACE，结合内角和定理可得∠ACE的度数，进而求出∠CBE的度数，据此判断②；根据三角形的面积公式可判断④.
11．【答案】2
【考点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由分式
的值为零，可得：
且
，
解得：
，
故答案为2．
【分析】根据分式的值为零的条件可得
且
，再求出x的值即可。
12．【答案】
【考点】科学记数法—表示绝对值较小的数
【解析】【解答】解：将0.00000087用科学记数法表示为
；
故答案为：
．
【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
13．【答案】
【考点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】如图：△ABC中，AB=AC，BD是边AC上的高.
∵ 且AB=AC，
∴
在Rt△BDC中，
∴
故答案为：
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求出等腰三角形的底角的度数，然后在一腰上的高与底边所构成的直角三角形中，可得出所求角的度数．
14．【答案】3（m+1）（m﹣1）
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【解答】解：3m2﹣3
＝3（m2﹣1）
＝3（m+1）（m﹣1）．
故答案为：3（m+1）（m﹣1）．
【分析】先提取公因式3，再利用平方差公式因式分解即可。
15．【答案】
【考点】同底数幂的除法；幂的乘方
【解析】【解答】解：∵，
，
∴；
故答案为
．
【分析】利用幂的乘方和同底数幂的除法可将代数式变为
，再将
，
代入计算即可。
16．【答案】-2
【考点】积的乘方
【解析】【解答】解：原式=
；
故答案为：-2．
【分析】先利用积的乘方将原式变形为
，再计算即可。
17．【答案】19
【考点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】a2+b2=（a+b）2-2ab=25-6=19．
【分析】完全平方公式：.
18．【答案】10
【考点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：连接BE，
∵AB的垂直平分线交AC于点E，
∴AE=BE，
∵，
和
的周长分别是28cm和18cm，
∴，
∴；
故答案为10．
【分析】根据垂直平分线的性质可得AE=BE，再利用三角形的周长公式可得
，
，因此
。
19．【答案】135°
【考点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠BCA=60°，
∵∠BCD ＝90°
∴∠ACD=30°
∵AC＝BC＝CD，
∴∠CAD=
，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=135°.
故填：135°
【分析】先求出∠ACD=30°，再利用三角形的内角和及等腰三角形的性质可得∠CAD=75°，最后利用∠BAD=∠BAC+∠CAD计算即可。
20．【答案】4
【考点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：延长AB、DC，交于一点F，如图所示：
∵，
，
，
∴，
∴AD=AF，
∵，
∴，
∵，
∴（AAS），
∴，
∵，
，
∴，
，
∴，
∴；
故答案为4．
【分析】延长AB、DC，交于一点F，先利用“AAS”证明
，可得CD=BF，再结合
，
，所以
，可得
，因此AB=4。
21．【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式=
【考点】多项式乘多项式；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）利用多项式乘多项式的计算方法计算即可；
（2）先利用二次根式的性质化简，再利用二次根式的加减计算即可。
22．【答案】解：原式=
=
=，
把代入得：原式=
【考点】利用分式运算化简求值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将a的值代入计算即可。
23．【答案】（1）解：由题意可得如图所示：
（2）解：由题意可得如图所示：
；
【考点】作图﹣轴对称；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：(2)∴；
故答案为：
．
【分析】（1）根据平移的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）根据关于y轴对称的点坐标的特征找出点
、、的对称点，再连接并利用割补法求出三角形的面积即可。
24．【答案】（1）证明：是等边三角形，
，，
在与中，，
，
；
（2）解：图中全等三角形的有：，，，；
【考点】三角形全等的判定；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：(2)图中全等三角形的有：
，
，
，
；
由（1）可知
，
∴，
是等边三角形，
，
，
∵，
∴，
∴（ASA），
∵，
，
∴，
∴（AAS），
∵，
，
∴，
∴（HL）．
【分析】（1）利用“SAS”证明
，可得
；
（2）利用全等三角形的判定方法求解即可。
25．【答案】（1）解：设甲公司单独x天完成，则乙公司单独完成此工程的天数为1.5x，得
，
解得：x＝30．
经检验，x＝30是原方程的解．
则1.5x＝45．
答：甲、乙两公司单独完成这项工程各需30天、45天；
（2）解：设甲、乙两公司合作a天可完成整个工程，由（1）可知甲的工作效率为 ，乙的工作效率为 ，由题意得
，
解得a≥10．
答：甲、乙两公司合作至少10天．
【考点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）设甲公司单独x天完成，则乙公司单独完成此工程的天数为1.5x，得出两人的工作效率，进而根据甲单独先工作10天，再由乙公司单独工作l5天，这样恰好完成整个工程的 ，列式计算即可；（2）设甲、乙两公司至少合作a天可完成整个工程，再根据工程的时间不得超过30天列出不等式即可.
26．【答案】（1）证明：在AD上截取AE=BD，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴（SAS），
∴，，
∵，
∴，即，
∴△ECD是等腰直角三角形，
∴；
（2）证明：连接CE、BE，如图所示：
∵，
∴，
由折叠的性质可得，CD=DE，
∴△ACE是等边三角形，
∴，
∴，
∴，即，
∴；
（3）解：作ES⊥EF交AF于点S，HO⊥DF于点O，连接CE，如图所示：
在Rt△DMH中，，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴（ASA），
∴，
在Rt△HFO中，，即，
∴，
∴，
∴，
在Rt△SFE中，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【考点】等边三角形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）在AD上截取AE=BD，利用SAS证出，得出
，，从而证出△ECD是等腰直角三角形，由此得解；
（2）连接CE、BE，由折叠的性质可得，CD=DE，得出△ACE是等边三角形，再得出，由此得解；
（3）作ES⊥EF交AF于点S，HO⊥DF于点O，连接CE，由折叠的性质可得，利用三角形全等证出，得出，利用ASA证出，得出
，在Rt△HFO中，，即，得出，在Rt△SFE中，，得出，推出，，由此得解。
27．【答案】（1）解：∵，，
∴，
设，
∵，
∴，
在中，由勾股定理可得：，
解得：，
．
（2）解：如图，在上截取，使得，可得等边，连接DF，
，都是等边三角形，
，，，
∵为的公共角，
∴，
，
，
由题意得，则，，
，
．
（3）解：①如图2中，当时，连接FG，设交轴于．
由（1）可知：，，
∴，
∴，
∴，
，，，
，，
，
，
，
，
；
②当时，点与点重合，为的中点，可得，此时与重合，
综上所述，满足条件的的值为或．
【考点】三角形的综合；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）根据点A、C的坐标，得出
，设，在中，由勾股定理可得：，得出b的值即可；
（2）在上截取，使得，可得等边，连接DF，证出，得出，由题意得，则，，得出KE的值，由此得出CD的值；
（3）①如图2中，当时，连接FG，设交轴于．②当
时，点
与点
重合，
为
的中点，可得
，此时
与
重合，分两种情况讨论即可。
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黑龙江省哈尔滨市第四十七中学2021-2022学年八年级下学期开学考试数学试卷
一、单选题
1．（2019八上·如皋期末）下列运算中，计算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】 ，故答案为：A错误；
，故答案为：B错误；
，故答案为：C正确；
，故答案为：D错误.
故答案为：C.
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、合并同类项的法则、积的乘方运算法则逐一判断即可.
2．（2017八上·路北期末）下列平面图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称图形的概念，可知只有A沿任意一条直线折叠直线两旁的部分都不能重合．
故选：A．
【分析】根据轴对称图形的定义作答．
如果把一个图形沿着一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
3．（2022八下·哈尔滨开学考）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、
，不符合最简二次根式，故不符合题意；
B、
，不符合最简二次根式，故不符合题意；
C、
符合最简二次根式，故符合题意；
D、
，不符合最简二次根式，故不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可。
4．（2022八下·哈尔滨开学考）点关于X轴对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】点M(﹣3，4)关于x轴对称的点的坐标是(﹣3，﹣4)．
故答案为：A．
【分析】根据关于x轴对称的点坐标的特征：横坐标不变，纵坐标变为相反数可得答案。
5．（2022八下·哈尔滨开学考）在代数式，，，，，中，分式的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【考点】分式的定义
【解析】【解答】解：
，
，
是分式，其他的都不是分式；
故答案为：B．
【分析】根据分式的定义逐项判断即可。
6．（2022八下·哈尔滨开学考）下列从左边到右边的变形是因式分解的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【考点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、
属于整式的乘法，故不符合题意；
B、
属于因式分解，故符合题意；
C、
属于等量变形，故不符合题意；
D、
不属于因式分解，故不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据因式分解的定义：将和差的形式变为积的形式，逐项判断即可。
7．（2022八下·哈尔滨开学考）某林场原计划在一定期限内固沙造林240公顷，实际每天固沙造林的面积比原计划多4公顷，结果提前5天完成任务．设原计划每天固沙造林公顷，根据题意列方程正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【考点】列分式方程
【解析】【解答】原计划用的时间为：
实际用的时间为：
那么根据等量关系方程为
故答案为：B
【分析】先表示出原计划和实际用的时间，再根据“结果提前5天完成任务”可得方程
。
8．（2021八上·哈尔滨月考）由图你能根据面积关系得到的数学公式是（ ）
A．a2－b2＝（a＋b）（a－b） B．（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
C．（a－b）2＝a2－2ab＋b2 D．a（a＋b）＝a2＋ab
【答案】C
【考点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：从图中可知：阴影部分的面积是和，空白的两个矩形面积都是，
即大阴影部分的面积是，
，
故答案为：C．
【分析】阴影部分的面积=两个小正方形的面积和=大正方形的面积-两个全等的矩形的面积，据此即得结论.
9．（2022八下·哈尔滨开学考）如图，某小区规划在正方形ABCD场地中建一条矩形甬道EFGH及一条平行四边形甬道MNQP，其余部分为草坪，若，，则甬道所占的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：由题意可知：
甬道所占的面积为
；
故答案为：C．
【分析】利用割补法可得甬道所占的面积为
。
10．（2021·淮滨模拟）如图，等边△ABC中，AB=2，D为△ABC内一点，且DA=DB，E为△ABC外一点，BE=AB，且∠EBD=∠CBD，连接DE，CE，则下列结论：①∠DAC=∠DBC；②BE⊥AC；③∠DEB=30°；④若EC∥AD，则S△EBC=1，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【考点】平行线的性质；三角形的面积；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：连接，DE，
是等边三角形，
，，
，，
在与中，
，
，
，∠DAC=∠DBC，
，
，
，，
在与中，
，
，
.
故①③正确.
，
，
，，
，
∴∠EBC=2∠ACE，
，
，
，
在中三角和为，即∠EBC+∠BCE+∠BEC=180°，
，
，这时是边上的中垂线，故结论②错误.
边上的高，
，故结论④是正确的.
故答案为：C.
【分析】连接DC、DE，根据等边三角形的性质可得AB=AC=BC，∠ACB=60°，证明△ACD≌△BCD，得到∠BCD=∠ACD=30°，∠DAC=∠DBC，证明△BED≌△BCD，得到∠BED=∠BCD=30°，据此判断①③；根据平行线的性质可得∠DAC=∠ECA，推出∠EBC=2∠ACE，根据BE=BA可得BE=BC，由等腰三角形的性质可得∠BCE=∠BEC=60°+∠ACE，结合内角和定理可得∠ACE的度数，进而求出∠CBE的度数，据此判断②；根据三角形的面积公式可判断④.
二、填空题
11．（2022八下·哈尔滨开学考）如果分式的值为零，那么则x的值是 ．
【答案】2
【考点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由分式
的值为零，可得：
且
，
解得：
，
故答案为2．
【分析】根据分式的值为零的条件可得
且
，再求出x的值即可。
12．（2022八下·哈尔滨开学考）某种细胞的直径是0.00000087米，将0.00000087用科学记数法表示为 ．
【答案】
【考点】科学记数法—表示绝对值较小的数
【解析】【解答】解：将0.00000087用科学记数法表示为
；
故答案为：
．
【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
13．已知等腰三角形的顶角为40°，则它一腰上的高与底边的夹角为 ．
【答案】
【考点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】如图：△ABC中，AB=AC，BD是边AC上的高.
∵ 且AB=AC，
∴
在Rt△BDC中，
∴
故答案为：
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求出等腰三角形的底角的度数，然后在一腰上的高与底边所构成的直角三角形中，可得出所求角的度数．
14．（2022八下·哈尔滨开学考）把多项式3m2﹣3分解因式的结果为 ．
【答案】3（m+1）（m﹣1）
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【解答】解：3m2﹣3
＝3（m2﹣1）
＝3（m+1）（m﹣1）．
故答案为：3（m+1）（m﹣1）．
【分析】先提取公因式3，再利用平方差公式因式分解即可。
15．（2022八下·哈尔滨开学考）若，，则 ．
【答案】
【考点】同底数幂的除法；幂的乘方
【解析】【解答】解：∵，
，
∴；
故答案为
．
【分析】利用幂的乘方和同底数幂的除法可将代数式变为
，再将
，
代入计算即可。
16．（2022八下·哈尔滨开学考）若 ．
【答案】-2
【考点】积的乘方
【解析】【解答】解：原式=
；
故答案为：-2．
【分析】先利用积的乘方将原式变形为
，再计算即可。
17．（2017八上·云南月考）已知a+b=5，ab=3，则a2+b2= ．
【答案】19
【考点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】a2+b2=（a+b）2-2ab=25-6=19．
【分析】完全平方公式：.
18．（2022八下·哈尔滨开学考）如图，已知在中，，边AB的垂直平分线交AC于点E，和的周长分别是28cm和18cm，则AB的长为 cm．
【答案】10
【考点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：连接BE，
∵AB的垂直平分线交AC于点E，
∴AE=BE，
∵，
和
的周长分别是28cm和18cm，
∴，
∴；
故答案为10．
【分析】根据垂直平分线的性质可得AE=BE，再利用三角形的周长公式可得
，
，因此
。
19．（2022八下·哈尔滨开学考）如图，已知△ABC是等边三角形， ∠BCD ＝90°，BC＝CD，则∠BAD＝
【答案】135°
【考点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠BCA=60°，
∵∠BCD ＝90°
∴∠ACD=30°
∵AC＝BC＝CD，
∴∠CAD=
，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=135°.
故填：135°
【分析】先求出∠ACD=30°，再利用三角形的内角和及等腰三角形的性质可得∠CAD=75°，最后利用∠BAD=∠BAC+∠CAD计算即可。
20．（2022八下·哈尔滨开学考）如图，在四边形ABCD中，E为边AD上一点，，且，，，，则AB的长度为 ．
【答案】4
【考点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：延长AB、DC，交于一点F，如图所示：
∵，
，
，
∴，
∴AD=AF，
∵，
∴，
∵，
∴（AAS），
∴，
∵，
，
∴，
，
∴，
∴；
故答案为4．
【分析】延长AB、DC，交于一点F，先利用“AAS”证明
，可得CD=BF，再结合
，
，所以
，可得
，因此AB=4。
三、解答题
21．（2022八下·哈尔滨开学考）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式=
【考点】多项式乘多项式；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）利用多项式乘多项式的计算方法计算即可；
（2）先利用二次根式的性质化简，再利用二次根式的加减计算即可。
22．（2022八下·哈尔滨开学考）先化简，再求值：，其中
【答案】解：原式=
=
=，
把代入得：原式=
【考点】利用分式运算化简求值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将a的值代入计算即可。
23．（2022八下·哈尔滨开学考）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）将向下平移4个单位长度，画出平移后的
（2）画出关于y轴对称的（点、、的对称点分别是点、、），并直接写出的面积 ▲ ．
【答案】（1）解：由题意可得如图所示：
（2）解：由题意可得如图所示：
；
【考点】作图﹣轴对称；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：(2)∴；
故答案为：
．
【分析】（1）根据平移的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）根据关于y轴对称的点坐标的特征找出点
、、的对称点，再连接并利用割补法求出三角形的面积即可。
24．（2022八下·哈尔滨开学考）已知，是等边三角形，点D、E分别是BC边、AB边上的点，且，连接AD、CE交于点F，过A作于H．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，过点B作于G．直接写出图中所有的全等三角形．
【答案】（1）证明：是等边三角形，
，，
在与中，，
，
；
（2）解：图中全等三角形的有：，，，；
【考点】三角形全等的判定；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：(2)图中全等三角形的有：
，
，
，
；
由（1）可知
，
∴，
是等边三角形，
，
，
∵，
∴，
∴（ASA），
∵，
，
∴，
∴（AAS），
∵，
，
∴，
∴（HL）．
【分析】（1）利用“SAS”证明
，可得
；
（2）利用全等三角形的判定方法求解即可。
25．甲、乙两家园林公司承接了某项园林绿化工程，己知乙公司单独完成此项工程所需要的天数是甲公司单独完成所需要天数的1.5倍，如果甲公司先单独工作10天，再由乙公司单独工作l5天，这样恰好完成整个工程的 ；
（1）求甲、乙两公司单独完成这项工程各需多少天？
（2）园林部门要求完成该绿化工程的时间不得超过30天，甲、乙公司合作若干天后，甲公司另有项目离开，剩下的工程由乙公司单独完成，求甲、乙两公司至少合作多少天.
【答案】（1）解：设甲公司单独x天完成，则乙公司单独完成此工程的天数为1.5x，得
，
解得：x＝30．
经检验，x＝30是原方程的解．
则1.5x＝45．
答：甲、乙两公司单独完成这项工程各需30天、45天；
（2）解：设甲、乙两公司合作a天可完成整个工程，由（1）可知甲的工作效率为 ，乙的工作效率为 ，由题意得
，
解得a≥10．
答：甲、乙两公司合作至少10天．
【考点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）设甲公司单独x天完成，则乙公司单独完成此工程的天数为1.5x，得出两人的工作效率，进而根据甲单独先工作10天，再由乙公司单独工作l5天，这样恰好完成整个工程的 ，列式计算即可；（2）设甲、乙两公司至少合作a天可完成整个工程，再根据工程的时间不得超过30天列出不等式即可.
26．（2022八下·哈尔滨开学考）已知中，，，点G为线段BC上一点，连接AG，过点B作，交AG的延长线于点D，连接CD．
（1）如图1，求证：．
（2）如图2，当时，将沿AD翻折得到，点C与点E为对应点，DE与AB交于点F，求证：．
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CF交AD于H，过点H作于M，若求AF的长．
【答案】（1）证明：在AD上截取AE=BD，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴（SAS），
∴，，
∵，
∴，即，
∴△ECD是等腰直角三角形，
∴；
（2）证明：连接CE、BE，如图所示：
∵，
∴，
由折叠的性质可得，CD=DE，
∴△ACE是等边三角形，
∴，
∴，
∴，即，
∴；
（3）解：作ES⊥EF交AF于点S，HO⊥DF于点O，连接CE，如图所示：
在Rt△DMH中，，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴（ASA），
∴，
在Rt△HFO中，，即，
∴，
∴，
∴，
在Rt△SFE中，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【考点】等边三角形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）在AD上截取AE=BD，利用SAS证出，得出
，，从而证出△ECD是等腰直角三角形，由此得解；
（2）连接CE、BE，由折叠的性质可得，CD=DE，得出△ACE是等边三角形，再得出，由此得解；
（3）作ES⊥EF交AF于点S，HO⊥DF于点O，连接CE，由折叠的性质可得，利用三角形全等证出，得出，利用ASA证出，得出
，在Rt△HFO中，，即，得出，在Rt△SFE中，，得出，推出，，由此得解。
27．（2022八下·哈尔滨开学考）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，，，点E从A出发沿AC向点C运动，点F从O出发沿OC向C运动，两点同时出发，速度均为1个单位/秒，并且一个点到达终点时另一个点也停止运动，设运动时间为t秒．
（1）求点B坐标．
（2）连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转得到线段ED，连接CD，求CD的长．
（3）在（2）的条件下，作点D关于EF的对称点G，连接CG、BG，当t为何值时，为直角三角形．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
设，
∵，
∴，
在中，由勾股定理可得：，
解得：，
．
（2）解：如图，在上截取，使得，可得等边，连接DF，
，都是等边三角形，
，，，
∵为的公共角，
∴，
，
，
由题意得，则，，
，
．
（3）解：①如图2中，当时，连接FG，设交轴于．
由（1）可知：，，
∴，
∴，
∴，
，，，
，，
，
，
，
，
；
②当时，点与点重合，为的中点，可得，此时与重合，
综上所述，满足条件的的值为或．
【考点】三角形的综合；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）根据点A、C的坐标，得出
，设，在中，由勾股定理可得：，得出b的值即可；
（2）在上截取，使得，可得等边，连接DF，证出，得出，由题意得，则，，得出KE的值，由此得出CD的值；
（3）①如图2中，当时，连接FG，设交轴于．②当
时，点
与点
重合，
为
的中点，可得
，此时
与
重合，分两种情况讨论即可。
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