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高中数学人教A版（2019） 必修二 第六章 平面向量
一、单选题
1．（2022高一下·湖北期中）已知，，且 的夹角为60 ，如果，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022高一下·阜宁期中）已知向量，，则（ ）
A． B．2 C． D．
3．（2022高一下·广州期中）已知单位向量，满足，若向量，则〈，〉=（ ）
A． B． C． D．
4．（2022高一下·南阳期中）如图，在等腰梯形中，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022高一下·郑州期中）若的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.面积,则（ ）
A． B． C． D．
6．（2022高一下·郑州期中）已知向量，，则下列错误的是（ ）
A．
B．与向量共线且同向的单位向量是
C．
D．向量在向量上的投影向量是
7．（2022高一下·广州期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，则A=（ ）
A． B． C． D．
8．（2022高一下·河南期中）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则的周长为（ ）
A．9 B．10 C．12 D．14
二、多选题
9．（2022高一下·广州期中）若不共线向量、满足，则下列结论中正确的是（ ）
A．向量、的夹角恒为锐角 B．
C． D．
10．（2022高一下·广州期中）在中各角所对得边分别为a，b，c，下列结论正确的有（ ）
A．则为等边三角形；
B．已知，则；
C．已知，，，则最小内角的度数为；
D．在，，，解三角形有两解．
11．（2022高一下·广州期中）下列说法正确的是（ ）
A．在△ABC中，满足的三角形有两个
B．在△ABC中，若，则
C．在△ABC中，是的充要条件
D．在△ABC中，
12．（2022高一下·广州期中）如图，设的内角，，所对的边分别为，，，，且．若点D是外一点，，，下列说法中，正确的命题是（ ）
A．的内角
B．一定是钝角三角形
C．四边形ABCD面积的最大值为
D．四边形ABCD面积无最大值
三、填空题
13．（2022高三下·安徽期中）已知，，若，则 .
14．（2022高一下·湖北期中）已知，，，且，，三点共线，则实数 .
15．（2022高一下·郑州期中）已知的面积为，，，则 ．
16．（2022高一下·阜宁期中）在中，是的中点，若，，则的边长为 ．
四、解答题
17．（2022高一下·广州期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点，，.
（1）若，且，求角的值；
（2）若，求的值.
18．（2022高一下·广州期中）已知单位向量的夹角为，向量，向量.
（1）若∥，求x的值；
（2）若，求.
19．（2022高一下·广州期中）已知，，分别为内角A，B，C的对边，若同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③；④.
（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？
（2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应的面积.
（若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分）
20．（2022高一下·湖北期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求角C的值：
（2）若边，求面积的最大值.
21．（2022高一下·郑州期中）在中，角、、所对的边分别为、、，且满足.
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范围.
22．（2022高一下·南阳期中）如图所示，在中，D是边的中点，是线段的中点.过点E的直线与边，分别交于点，.设，，，.
（1）化简：；
（2）求证：为定值；
（3）设的面积为，的面积为，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【考点】平面向量数量积的含义与物理意义；平面向量数量积的运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由题意可得，
由 ，可得，
即，
即，即。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合数量积的定义和数量积为0两向量垂直的等价关系，可得，再结合数量积的运算法则得出实数m的值。
2．【答案】C
【考点】向量的模；平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：因为向量，，
所以，
所以，
故答案为：C
【分析】利用平面向量的坐标运算求得，进而求解.
3．【答案】C
【考点】平面向量数量积的含义与物理意义；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】由已知知，，
则。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合数量积求向量的模的公式，进而得出的值，再结合数量积求向量夹角公式，进而得出的值。
4．【答案】A
【考点】向量的线性运算性质及几何意义；平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】
又，
，
故答案为：A
【分析】 结合等腰梯形ABCD，利用平面向量的线性运算及基本定理化简即可得答案.
5．【答案】D
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】∵，
∴，，．
又由得∴，由正弦定理得，
，∴．
故答案为：D.
【分析】由利用余弦定理、三角形面积计算公式可得，再利用正弦定理化简即可求出答案.
6．【答案】D
【考点】向量的模；平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的投影
【解析】【解答】A选项，，，，，A选项正确；
B选项，设与向量共线且同向的单位向量，则，解得，或（舍去），故，B选项正确；
C选项，，，则，故，C选项正确；
D选项，向量在向量上的投影向量是，D选项错误；
故答案为：D.
【分析】根据向量垂直的充要条件、投影向量的计算公式、模的计算公式以及单位向量的求法逐项进行判断，即可得答案.
7．【答案】B
【考点】余弦定理
【解析】【解答】根据余弦定理可知，，
又因为，故有，
即，又因为，
解得。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合余弦定理得出角A的余弦值，再结合三角形中角A的取值范围，进而得出角A的值。
8．【答案】B
【考点】余弦定理
【解析】【解答】由余弦定理得，所以
所以的周长为.
故答案为：B
【分析】 由已知结合余弦定理先求出c，进而可求的周长.
9．【答案】A,C
【考点】平面向量数量积的含义与物理意义；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】对于A，因为不共线向量、满足，所以由向量组成的三角形是等腰三角形，且向量是底边，所以向量，的夹角恒为锐角，A符合题意；
对于B，，所以B不正确；
对于C，，
即，故，
又
C符合题意；
对于D，若，类似C中，平方后化简可得，
所以有，即，而不一定成立，例如，所以D不正确．
故答案为：AC
【分析】利用已知条件结合数量积求向量夹角公式和数量积求模公式，再结合数量积的定义和比较法，进而找出结论正确的选项。
10．【答案】A,B,C
【考点】同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】对于A：若，则，即，即，即是等边三角形，故A正确；
对于B：由，可得，余弦定理：．，，故B正确．
对于C：因为，，，所以，所以，所以，，，故C正确；
对于D：因为，，，所以，即解得，因为，所以，所以三角形只有1解。
故答案为：ABC
【分析】利用已知条件结合正弦定理和同角三角函数基本关系式，得出三角形三个角的关系，再结合等边三角形的定义，进而判断出三角形的形状；再利用已知条件结合余弦定理得出角C的值；再结合已知条件和大边对应大角的性质和余弦定理，从而结合三角形中角C的取值范围，进而得出角C的值；利用已知条件结合正弦定理和大边对应大角的性质，进而解三角形只有一解，进而找出结论正确的选项。
11．【答案】C,D
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；解三角形；正弦定理
【解析】【解答】A选项，由于，则所以三角形有一个，A选项错误.
B选项，，可能，所以B选项错误.
C选项，由正弦定理得，其中是三角形外接圆的半径，所以C选项正确.
D选项，由正弦定理可知D选项正确.
故答案为：CD
【分析】利用已知条件结合诱导公式、充分条件与必要条件判断方法、正弦定理的性质和解三角形判断三角形个数的方法，进而找出说法正确的选项。
12．【答案】A,C
【考点】三角函数的最值；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算；三角形的形状判断
【解析】【解答】，
，
，
，．A符合题意．
又．
，B不符合题意．
等边中，设，，
在中，由余弦定理可得：，
由于，，代入上式可得：
，
四边形ABCD面积的最大值为，此时，C符合题意D不符合题意．
故答案为：AC．
【分析】利用已知条件结合正弦定理和三角形内角和为180度的性质以及诱导公式，进而结合三角形中的角的取值范围，从而得出角B的值；再利用三角形中角的取值范围判断出三角形的形状；再结合四边形和三角形的面积公式的关系和求和法以及辅助角公式得出四边形ABCD的面积为，再利用正弦型函数的图像求最值的方法，进而得出四边形ABCD的最大值，从而找出正确的命题。
13．【答案】3
【考点】向量的模；平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：因为，，，
所以，
所以，
则.
故答案为：3.
【分析】把两边平方，展开后结合 ， ，求得的值，进而求出 的值 .
14．【答案】-1或3
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；三点共线
【解析】【解答】因为，，且点，，三点共线，
所以，，则，
解得或，
经验证或均满足题意。
故答案为：-1或3。
【分析】利用已知条件结合三点共线得出两向量共线，再结合向量共线的坐标表示得出实数k的值。
15．【答案】
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】，
，解得，
所以，，
．
故答案为：．
【分析】由已知利用三角形的面积公式可求BC的值，进而根据余弦定理可求AC的值，根据正弦定理即可求解 的值.
16．【答案】8
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】,,
,,
两式相减可得：，即，
所以，
故答案为：8
【分析】根据平面向量的数量积的相关知识即可求解.
17．【答案】（1）解：根据题意得，，，
，
，
又，
．
（2）解：，
，
，
，
，
原式．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积的坐标表达式；同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合向量共线的坐标表示和同角三角函数基本关系式以及 ，进而求出角的值。
（2）利用已知条件结合数量积的坐标表示和同角三角函数基本关系式，进而得出 的值。
18．【答案】（1）解：因为，所以存在实数，使得，
即，
则有，，
解得；
（2）解：由，有，
即，
解得，
故，
所以.
【考点】向量的模；向量的共线定理；平面向量数量积的运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合向量共线定理，进而得出x的值。
（2）利用已知条件结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的运算法则，进而得出x的值，进而得出 ， 再结合向量求模公式，进而得出 的值。
19．【答案】（1）解：由①得，，
所以，
由②得，，
解得或（舍），所以，
因为，且，所以，所以，矛盾.
所以不能同时满足①，②.
故满足①，③，④或②，③，④；
（2）解：若满足①，③，④，
因为，所以，即.
解得.
所以的面积.
若满足②，③，④由正弦定理，即，解得，
所以，所以的面积.
【考点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1） 由①结合余弦定理得出角B的余弦值，由②结合二倍角的余弦公式得出，再解一元二次方程得出角A的余弦值，进而结合三角形中角A的取值范围，进而得出角A的值，再利用且，进而得出角B的取值范围，从而得出，矛盾，所以不能同时满足①，②，故满足①，③，④或②，③，④。
（2） 若满足①，③，④，再利用余弦定理结合解一元二次方程的方法得出c的值，再结合三角形的面积公式得出三角形的面积，若满足②，③，④结合正弦定理得出角B的正弦值，进而得出c的值，再结合三角形的面积公式得出三角形 的面积。
20．【答案】（1）解：由条件和正弦定理可得
整理得，从而由余弦定理得.
又∵C是三角形的内角，.
（2）解：由余弦定理得，
，，，当且仅当时等号成立．
故，即最大值为．
【考点】基本不等式在最值问题中的应用；解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）由正弦定理化角为边，整理后由余弦定理可得角；
（2）由余弦定理得出关系，结合基本不等式得的最大值，从而得面积最大值．
21．【答案】（1）解：在中，，
∵，
∴，
即，
由正弦定理得：，
∴，∴，
又，∴，∴.
（2）解：由正弦定理得：，∴，，
∴
，
∵，∴，即，
∴，，
∴，
即.
【考点】正弦函数的定义域和值域；正弦定理
【解析】【分析】 (1)根据向量的数量积运算，以及正弦定理即求角B的大小；
(2)根据正弦定理分别求出a, b的值，利用三角函数的性质即可得到 的取值范围.
22．【答案】（1）解：由题意得：
是边的中点，是线段的中点
（2）证明：设
于是
又，，，
，
根据向量的运算法则可知
三点共线
整理可得：，即
故为定值，定值为2.
（3）解：设
【考点】向量的共线定理；向量的线性运算性质及几何意义；平面向量数量积的运算
【解析】【分析】(1)结合图象可得 ，从而化简即可；
(2)由平面向量线性运算化简，结合共线定理可证明 为定值；
(3)由题意化简 ， 代入化简，结合二次函数求出 的取值范围.
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高中数学人教A版（2019） 必修二 第六章 平面向量
一、单选题
1．（2022高一下·湖北期中）已知，，且 的夹角为60 ，如果，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】平面向量数量积的含义与物理意义；平面向量数量积的运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由题意可得，
由 ，可得，
即，
即，即。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合数量积的定义和数量积为0两向量垂直的等价关系，可得，再结合数量积的运算法则得出实数m的值。
2．（2022高一下·阜宁期中）已知向量，，则（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【考点】向量的模；平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：因为向量，，
所以，
所以，
故答案为：C
【分析】利用平面向量的坐标运算求得，进而求解.
3．（2022高一下·广州期中）已知单位向量，满足，若向量，则〈，〉=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】平面向量数量积的含义与物理意义；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】由已知知，，
则。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合数量积求向量的模的公式，进而得出的值，再结合数量积求向量夹角公式，进而得出的值。
4．（2022高一下·南阳期中）如图，在等腰梯形中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】向量的线性运算性质及几何意义；平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】
又，
，
故答案为：A
【分析】 结合等腰梯形ABCD，利用平面向量的线性运算及基本定理化简即可得答案.
5．（2022高一下·郑州期中）若的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.面积,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】∵，
∴，，．
又由得∴，由正弦定理得，
，∴．
故答案为：D.
【分析】由利用余弦定理、三角形面积计算公式可得，再利用正弦定理化简即可求出答案.
6．（2022高一下·郑州期中）已知向量，，则下列错误的是（ ）
A．
B．与向量共线且同向的单位向量是
C．
D．向量在向量上的投影向量是
【答案】D
【考点】向量的模；平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的投影
【解析】【解答】A选项，，，，，A选项正确；
B选项，设与向量共线且同向的单位向量，则，解得，或（舍去），故，B选项正确；
C选项，，，则，故，C选项正确；
D选项，向量在向量上的投影向量是，D选项错误；
故答案为：D.
【分析】根据向量垂直的充要条件、投影向量的计算公式、模的计算公式以及单位向量的求法逐项进行判断，即可得答案.
7．（2022高一下·广州期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，则A=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【考点】余弦定理
【解析】【解答】根据余弦定理可知，，
又因为，故有，
即，又因为，
解得。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合余弦定理得出角A的余弦值，再结合三角形中角A的取值范围，进而得出角A的值。
8．（2022高一下·河南期中）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则的周长为（ ）
A．9 B．10 C．12 D．14
【答案】B
【考点】余弦定理
【解析】【解答】由余弦定理得，所以
所以的周长为.
故答案为：B
【分析】 由已知结合余弦定理先求出c，进而可求的周长.
二、多选题
9．（2022高一下·广州期中）若不共线向量、满足，则下列结论中正确的是（ ）
A．向量、的夹角恒为锐角 B．
C． D．
【答案】A,C
【考点】平面向量数量积的含义与物理意义；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】对于A，因为不共线向量、满足，所以由向量组成的三角形是等腰三角形，且向量是底边，所以向量，的夹角恒为锐角，A符合题意；
对于B，，所以B不正确；
对于C，，
即，故，
又
C符合题意；
对于D，若，类似C中，平方后化简可得，
所以有，即，而不一定成立，例如，所以D不正确．
故答案为：AC
【分析】利用已知条件结合数量积求向量夹角公式和数量积求模公式，再结合数量积的定义和比较法，进而找出结论正确的选项。
10．（2022高一下·广州期中）在中各角所对得边分别为a，b，c，下列结论正确的有（ ）
A．则为等边三角形；
B．已知，则；
C．已知，，，则最小内角的度数为；
D．在，，，解三角形有两解．
【答案】A,B,C
【考点】同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】对于A：若，则，即，即，即是等边三角形，故A正确；
对于B：由，可得，余弦定理：．，，故B正确．
对于C：因为，，，所以，所以，所以，，，故C正确；
对于D：因为，，，所以，即解得，因为，所以，所以三角形只有1解。
故答案为：ABC
【分析】利用已知条件结合正弦定理和同角三角函数基本关系式，得出三角形三个角的关系，再结合等边三角形的定义，进而判断出三角形的形状；再利用已知条件结合余弦定理得出角C的值；再结合已知条件和大边对应大角的性质和余弦定理，从而结合三角形中角C的取值范围，进而得出角C的值；利用已知条件结合正弦定理和大边对应大角的性质，进而解三角形只有一解，进而找出结论正确的选项。
11．（2022高一下·广州期中）下列说法正确的是（ ）
A．在△ABC中，满足的三角形有两个
B．在△ABC中，若，则
C．在△ABC中，是的充要条件
D．在△ABC中，
【答案】C,D
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；解三角形；正弦定理
【解析】【解答】A选项，由于，则所以三角形有一个，A选项错误.
B选项，，可能，所以B选项错误.
C选项，由正弦定理得，其中是三角形外接圆的半径，所以C选项正确.
D选项，由正弦定理可知D选项正确.
故答案为：CD
【分析】利用已知条件结合诱导公式、充分条件与必要条件判断方法、正弦定理的性质和解三角形判断三角形个数的方法，进而找出说法正确的选项。
12．（2022高一下·广州期中）如图，设的内角，，所对的边分别为，，，，且．若点D是外一点，，，下列说法中，正确的命题是（ ）
A．的内角
B．一定是钝角三角形
C．四边形ABCD面积的最大值为
D．四边形ABCD面积无最大值
【答案】A,C
【考点】三角函数的最值；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算；三角形的形状判断
【解析】【解答】，
，
，
，．A符合题意．
又．
，B不符合题意．
等边中，设，，
在中，由余弦定理可得：，
由于，，代入上式可得：
，
四边形ABCD面积的最大值为，此时，C符合题意D不符合题意．
故答案为：AC．
【分析】利用已知条件结合正弦定理和三角形内角和为180度的性质以及诱导公式，进而结合三角形中的角的取值范围，从而得出角B的值；再利用三角形中角的取值范围判断出三角形的形状；再结合四边形和三角形的面积公式的关系和求和法以及辅助角公式得出四边形ABCD的面积为，再利用正弦型函数的图像求最值的方法，进而得出四边形ABCD的最大值，从而找出正确的命题。
三、填空题
13．（2022高三下·安徽期中）已知，，若，则 .
【答案】3
【考点】向量的模；平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：因为，，，
所以，
所以，
则.
故答案为：3.
【分析】把两边平方，展开后结合 ， ，求得的值，进而求出 的值 .
14．（2022高一下·湖北期中）已知，，，且，，三点共线，则实数 .
【答案】-1或3
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；三点共线
【解析】【解答】因为，，且点，，三点共线，
所以，，则，
解得或，
经验证或均满足题意。
故答案为：-1或3。
【分析】利用已知条件结合三点共线得出两向量共线，再结合向量共线的坐标表示得出实数k的值。
15．（2022高一下·郑州期中）已知的面积为，，，则 ．
【答案】
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】，
，解得，
所以，，
．
故答案为：．
【分析】由已知利用三角形的面积公式可求BC的值，进而根据余弦定理可求AC的值，根据正弦定理即可求解 的值.
16．（2022高一下·阜宁期中）在中，是的中点，若，，则的边长为 ．
【答案】8
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】,,
,,
两式相减可得：，即，
所以，
故答案为：8
【分析】根据平面向量的数量积的相关知识即可求解.
四、解答题
17．（2022高一下·广州期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点，，.
（1）若，且，求角的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）解：根据题意得，，，
，
，
又，
．
（2）解：，
，
，
，
，
原式．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积的坐标表达式；同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合向量共线的坐标表示和同角三角函数基本关系式以及 ，进而求出角的值。
（2）利用已知条件结合数量积的坐标表示和同角三角函数基本关系式，进而得出 的值。
18．（2022高一下·广州期中）已知单位向量的夹角为，向量，向量.
（1）若∥，求x的值；
（2）若，求.
【答案】（1）解：因为，所以存在实数，使得，
即，
则有，，
解得；
（2）解：由，有，
即，
解得，
故，
所以.
【考点】向量的模；向量的共线定理；平面向量数量积的运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合向量共线定理，进而得出x的值。
（2）利用已知条件结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的运算法则，进而得出x的值，进而得出 ， 再结合向量求模公式，进而得出 的值。
19．（2022高一下·广州期中）已知，，分别为内角A，B，C的对边，若同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③；④.
（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？
（2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应的面积.
（若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分）
【答案】（1）解：由①得，，
所以，
由②得，，
解得或（舍），所以，
因为，且，所以，所以，矛盾.
所以不能同时满足①，②.
故满足①，③，④或②，③，④；
（2）解：若满足①，③，④，
因为，所以，即.
解得.
所以的面积.
若满足②，③，④由正弦定理，即，解得，
所以，所以的面积.
【考点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1） 由①结合余弦定理得出角B的余弦值，由②结合二倍角的余弦公式得出，再解一元二次方程得出角A的余弦值，进而结合三角形中角A的取值范围，进而得出角A的值，再利用且，进而得出角B的取值范围，从而得出，矛盾，所以不能同时满足①，②，故满足①，③，④或②，③，④。
（2） 若满足①，③，④，再利用余弦定理结合解一元二次方程的方法得出c的值，再结合三角形的面积公式得出三角形的面积，若满足②，③，④结合正弦定理得出角B的正弦值，进而得出c的值，再结合三角形的面积公式得出三角形 的面积。
20．（2022高一下·湖北期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求角C的值：
（2）若边，求面积的最大值.
【答案】（1）解：由条件和正弦定理可得
整理得，从而由余弦定理得.
又∵C是三角形的内角，.
（2）解：由余弦定理得，
，，，当且仅当时等号成立．
故，即最大值为．
【考点】基本不等式在最值问题中的应用；解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）由正弦定理化角为边，整理后由余弦定理可得角；
（2）由余弦定理得出关系，结合基本不等式得的最大值，从而得面积最大值．
21．（2022高一下·郑州期中）在中，角、、所对的边分别为、、，且满足.
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）解：在中，，
∵，
∴，
即，
由正弦定理得：，
∴，∴，
又，∴，∴.
（2）解：由正弦定理得：，∴，，
∴
，
∵，∴，即，
∴，，
∴，
即.
【考点】正弦函数的定义域和值域；正弦定理
【解析】【分析】 (1)根据向量的数量积运算，以及正弦定理即求角B的大小；
(2)根据正弦定理分别求出a, b的值，利用三角函数的性质即可得到 的取值范围.
22．（2022高一下·南阳期中）如图所示，在中，D是边的中点，是线段的中点.过点E的直线与边，分别交于点，.设，，，.
（1）化简：；
（2）求证：为定值；
（3）设的面积为，的面积为，求的取值范围.
【答案】（1）解：由题意得：
是边的中点，是线段的中点
（2）证明：设
于是
又，，，
，
根据向量的运算法则可知
三点共线
整理可得：，即
故为定值，定值为2.
（3）解：设
【考点】向量的共线定理；向量的线性运算性质及几何意义；平面向量数量积的运算
【解析】【分析】(1)结合图象可得 ，从而化简即可；
(2)由平面向量线性运算化简，结合共线定理可证明 为定值；
(3)由题意化简 ， 代入化简，结合二次函数求出 的取值范围.
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