湖南省长沙市青竹湖湘一外国语学校2021-2022学年九年级下学期入学考试数学试卷
一、单选题
1．（2022九下·长沙开学考）在-，，0，－2这四个数中，最小的数是（ ）
A． B． C．0 D．－2
2．（2017·宁波）2017年2月13日，宁波舟山港45万吨原油码头首次挂靠全球最大油轮——“泰欧”轮，其中45万吨用科学记数法表示为（ ）
A．吨 B．吨 C．吨 D．吨
3．（2021七上·毕节期末）下列采用的调查方式中，不合适的是
A．了解一批灯泡的使用寿命，采用普查
B．了解神舟十二号零部件的质量情况，采用普查
C．了解单县中学生睡眠时间，采用抽样调查
D．了解中央电视台《开学第一课》的收视率，采用抽样调查
4．（2022九下·长沙开学考）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022九下·长沙开学考）下列计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2019九上·贵阳期末）如图，AD∥BE∥CF，AB=3，BC=6，DE=2，则EF的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2022九下·长沙开学考）某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：
下列结论不正确的是（ ）
A．众数是8 B．中位数是8 C．平均数是8.2 D．方差是1.2
8．（2022九下·长沙开学考）一次函数y＝kx－m，y随x的增大而增大，且km＜0，则在坐标系中它的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2021九上·成都月考）已知 是满足 的整数使得反比例函数 的图象在每一个象限内 随着 的增大而减小的概率是（ ）
A． B． C． D．1
10．（2022九下·长沙开学考）我们定义一种新函数：形如（，）的函数叫做“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出下列结论：①图象与坐标轴的交点为（，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线；③当或时，函数值y随x值的增大而增大；④当或时，函数的最小值是0；⑤当时，函数的最大值是4，⑥若点P（a，b）在该图象上，则当b＝2时，可以找到4个不同的点P.其中正确结论的个数是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
二、填空题
11．（2022九下·长沙开学考）分解因式： .
12．（2022九下·长沙开学考）如图，A、B、C、D为⊙O上的点，且.若，则 度.
13．（2021八上·虎林期末）一个正多边形的内角和为540°，则它的一个外角等于 ．
14．（2022九下·长沙开学考）三角形两边的长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣9x+18＝0的根，则该三角形的周长为 .
15．（2022九下·长沙开学考）如图，在4×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，则tan∠ACB的值为 .
16．（2020九下·江阴期中）如图，已知点A是第一象限内的一个定点，若点P是以O为圆心，2个单位长为半径的圆上的一个动点，连接AP，以AP为边向AP右侧作等边三角形APB.当点P在⊙O上运动一周时，点B运动的路径长是 .
三、解答题
17．（2021·北京）计算： ．
18．（2021九上·长沙月考）先化简，再求值： ，其中 .
19．（2021九上·湖南月考）如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，以大于AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M和N，作直线MN ，交AC于点E，连接BE.
（1）请根据作图过程回答问题：直线 是线段 的（ ）
A．角平分线 B．垂直平分线 C．高 D．中线
（2）若 中， ， ， ，求 的长.
20．（2022九下·长沙开学考）中心广场开展“有奖大酬宾”活动，凡在“中心广场”消费的顾客，均可凭消费小票参与转转盘抽奖活动.如图，是一个材质均匀可自由转动的转盘，转盘被等分成A，B，C，D，E五个扇形区域，依次写有：洗衣液、欢迎惠顾、牛奶、优惠券和谢谢参与.转动转盘，转盘停止后如果指针所指区域为“洗衣液”、“牛奶”、“优惠券”，则可获得对应的奖品，其他区域则没有奖品.若转盘停止后，指针指向两区域的边界，顾客可以再转动转盘一次，直到指针不指向边界时停止.根据以上规则，回答下列问题：
（1）小王同学转动转盘一次获得奖品的概率是 ；
（2）小李同学有两次转转盘抽奖的机会，请你用列表或画树状图的方法，求小李同学至少有一次获得奖品的概率.
21．（2022九下·长沙开学考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90゜，D为AB的中点，AE//CD，CE//AB，连接DE交AC于点O.
（1）证明：四边形ADCE为菱形；
（2）若∠B=60゜，BC=6，求菱形ADCE的高.
22．（2022九下·长沙开学考）为加强校园阳光体育活动，某中学计划购进一批篮球和排球，经过调查得知每个篮球的价格比每个排球的价格贵40元，买5个篮球和10个排球共用1100元.
（1）求每个篮球和排球的价格分别是多少？
（2）某学校需购进篮球和排球共120个，总费用不超过9000元，但不低于8900元，问有几种购买方案？最低费用是多少？
23．（2022九下·长沙开学考）如图，在等腰中，，O和D为线段AC的三等分点，以O为圆心，线段OC的长为半径画圆.
（1）求证：AB是圆O的切线；
（2）若圆O的半径为1，求阴影部分面积是多少？
24．（2022九下·长沙开学考）面对新冠疫情，中国举全国之力采取了很多强有力的措施，将疫情及时控制，其中对感染者和接触者进行隔离治疗和观察有效地控制住病毒的传播，数学中为对两个图形进行隔离，在平面直角坐标系中，对“隔离直线”给出如下定义：点
是图形
上的任意一点，点
是图形
上的任意一点，若存在直线
满足
且
，则称直线l：
是图形
与
的“隔离直线”.例如：如图1，直线l：
是函数图象与正方形的一条“隔离直线”.
（1）在直线
，
，
中，是图1函数
的图象与正方形OABC的“隔离直线”的为 ；
（2）如图2，第一象限的等腰直角三角形EDF的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D的坐标是
，
与⊙O的“隔离直线”有且只有一条，求出此“隔离直线”的表达式；
（3）正方形A1B1C1D1的一边在y轴上，其它三边都在y轴的右侧，点
是此正方形的中心.若存在直线
是函数
的图象与正方形A1B1C1D1的“隔离直线”，求t的取值范围.
25．（2022九下·长沙开学考）如图1，⊙O的弦BC=6，A为BC所对优弧上一动点且，的外角平分线AP交⊙O于点P，直线AP与直线BC交于点E.
（1）求证：点P为的中点；
（2）如图2，求⊙O的半径和PC的长；
（3）若不是锐角三角形，求的最大值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】在﹣
，
，0，﹣2这四个数中，﹣2＜﹣
＜0＜
，
故最小的数为：﹣2.
故答案为：D.
【分析】正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数相比较，绝对值大的反而小.据此判断即可.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：45万吨=4.5×105吨.故答案为B.
【分析】科学记数法的定义：将一个数字表示成 a×10n的形式;其中1≤|a|<10,n为整数.由此可得出正确答案.
3．【答案】A
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、了解一批灯泡的使用寿命，采用抽样调查，本选项说法不合适，符合题意；
B、了解神舟十二号零部件的质量情况，采用普查，本选项说法合适，不符合题意；
C、了解单县中学生睡眠时间，采用抽样调查，本选项说法合适，不符合题意；
D、了解中央电视台《开学第一课》的收视率，采用抽样调查，本选项说法合适，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】调查方式的选择，需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析；普查结果准确，所以在要求结果精确、难度相对不大，实验没有破坏性的前提下选择普查方式；当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查所需经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查，结合各选项即可判断求解.
4．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此逐一判断即可.
5．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、 ，原计算正确，故这个选项不符合题意；
B、 ，原计算正确，故这个选项不符合题意；
C、 ，原计算错误，故这个选项符合题意；
D、 ，原计算正确，故这个选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据单项式乘以单项式，积的乘方，同底数幂的除法，合并同类项分别进行计算，再判断即可.
6．【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】∵AD∥BE∥CF，∴ ．
∵AB=3，BC=6，DE=2，∴ ，∴EF=4．
故答案为：C．
【分析】根据平行线分线段成比例定理，可得，代入数据计算即得.
7．【答案】D
【知识点】折线统计图；加权平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：根据图表可得10环的2次，9环的2次，8环的3次，7环的2次，6环的1次.所以可得众数是8，中位数是8，平均数是
方差是
故答案为：D.
【分析】根据统计图中的数据分别求出众数、中位数、平均数、方差，再判断即可.
8．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：一次函数y＝kx－m，y随x的增大而增大，可得 ，
，可得 ，-m>0
则一次函数y＝kx－m，经过一、二、三象限，
故答案为：D.
【分析】由一次函数y＝kx－m，y随x的增大而增大，可得 ，结合 ，可得 ，从而根据k、m的符号判断直线所经过的象限.
9．【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；反比例函数的图象；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解： ，
解得： ，
∵ 为整数
∴a的值为：-1，0，1，2，共4个整数，
∵ ，且满足 随着 的增大而减小，
∴a的值只能为：1，2，共2个整数，
∴满足题意的 的值且能使反比例函数 满足 随着 的增大而减小的概率为 ，
故答案为：B.
【分析】先求出不等式组的整数解，再根据中，当a＞0时，在每个象限内，y随x的增大而减小的a的个数，最后利用概率公式计算即可.
10．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：令|x2-2x-3|=0可得x2-2x-3=0，
∴（x+1）（x-3）=0，
∴x1=-1，x2=3，
∴（-1，0）和（3，0）是函数图象与x轴的交点坐标，
令x=0可得y=3，
∴与y轴的交点坐标为（0，3），故①正确；
观察图象可知，图象具有对称性，对称轴是直线x=1，故②正确；
又对称轴是直线x=1，
∴当
或
时，函数值y随x值的增大而增大，故③正确；
由图象可知（-1，0）和（3，0）是函数图象的最低点，则当x=-1或x=3时，函数最小值是0，故④正确；
由图象可知，函数图象向两边无限延伸，没有最大值，故⑤错误；
由图象可知，函数图象与直线y=2有四个交点，即当b＝2时，可以找到4个不同的点P.故⑥正确；
综上，正确的有5个.
故答案为：B.
【分析】 由函数 令y=0，x=0分别求出x、y值，即得与x轴的交点坐标（-1，0）和（3，0），与y轴的交点坐标为（0，3），观察图象知图象具有对称性，由（-1，0）和（3，0）可求出对称轴是直线x=1，据此判断①②；观察图象可知当 或 时，函数值y随x值的增大而增大，且当x=-1或x=3时，函数最小值是0，据此判断③④；由图象可知，函数图象向两边无限延伸，没有最大值，故⑤错误；由图象可知，函数图象与直线y=2有四个交点，即当b＝2时，可以找到4个不同的点P，据此判断⑥正确.
11．【答案】( a-5)(a+1)
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：
，
故答案为：( a-5)(a+1).
【分析】利用十字相乘法分解因式即可.
12．【答案】30
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵
∴，
∴
∴
∵
∴
故答案为：30.
【分析】根据弧、弦、圆心角的关系及等腰三角形的性质可得
，即得∠AOD=120°，利用三角形内角和求出∠ADO的度数即可.
13．【答案】72°
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵一个正多边形的内角和为540°，即
∴
由
故答案为：
【分析】先求出，再求出n=5，最后求解即可。
14．【答案】15
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵x2﹣9x+18＝0，
∴（x﹣3）（x﹣6）＝0，
∴x﹣3＝0或x﹣6＝0，
解得x1＝3，x2＝6，
当x＝3时，3+3＝6，不符合构成三角形条件，舍去；
当x＝6时，3、6、6符合构成三角形三边长度的条件，此时周长为3+6+6＝15，
故答案为：15.
【分析】先求出方程的解为x1＝3，x2＝6，分两种情况：第三边长为3或6，根据三角形的三边关系进行解答即可.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥AC于点D，如图，
由勾股定理得，
根据等积关系得，
∴
由勾股定理得，
∴
∴
故答案为：
.
【分析】过点B作BD⊥AC于点D，如图，根据勾股定理求出AC=2
，利用△ABC的面积求出BD的长，再利用勾股定理求出AD，从而求出CD=AC=AD的长，根据
即可求解.
16．【答案】4π
【知识点】等边三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】如图， 以点A为旋转中心，将AO逆时针旋转60°，得到线段 ，
，
∵△APB为等边三角形，
∴AP=AB，
∵点P是以O为圆心，2个单位长为半径的圆上的一个动点，
∴点B的运动轨迹为以点 为圆心，2个单位长度为半径的圆，
∴点B运动的路径长是 .
【分析】以点A为旋转中心，将AO逆时针旋转60°，得到线段 ， 则点B的运动轨迹为以点O’为圆心，2个单位长度为半径的圆，求出圆 的周长即可.
17．【答案】解：原式= ．
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】先利用特殊角的三角函数值、二次根式的性质、0指数幂的性质化简，再计算即可。
18．【答案】解：原式=
=
= ；
当 时，原式= = .
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先将括号里的分式通分计算，再将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，同时将分式除法转化为乘法运算，约分化简，然后将x的值代入进行计算.
19．【答案】（1）B
（2）解：由（1）可知直线MN是线段AB的垂直平分线，
∴ ，
∵ 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：（1）连接AM ， BM ，根据作图过程可得，AM=BM ，NB=NA，
∴点M与点N都在线段AB的垂直平分线上，
又∵经过两点有且只有一条直线，
∴可得直线MN是线段AB的垂直平分线；
故答案为：B；
【分析】（1）直接根据作图步骤进行判断即可；
（2） 由（1）可知直线MN是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，根据含30°角的直角三角形的性质可得BE=2CE=8，则EA=EB=8，据此计算.
20．【答案】（1）
（2）解：根据题意画图如下：
共有25种等情况数，其中小李同学获得“至少有一次获得奖品”的结果有21种，
则小李同学至少有一次获得奖品的概率：.
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：（1）∵转盘被等分成A、B、C、D、E五个扇形区域，转到区域为“洗衣液”、“牛奶”、“优惠券”，则可领到对应的奖品，
∴小王同学转动转盘一次获得奖品的概率是
；
故答案为：
；
【分析】（1）利用概率公式计算即可；
（2） 此题是抽取放回类型，利用树状图列举出共有25种等可能情况数，其中小李同学获得“至少有一次获得奖品”的结果有21种， 利用概率公式计算即可.
21．【答案】（1）证明：∵AE//CD，CE//AB，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=AB=AD，
∴四边形ADCE为菱形；
（2）解：过点D作DF⊥CE，垂足为点F，如图所示：
DF即为菱形ADCE的高，
∵∠B=60°，CD=BD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BDC=∠BCD=60°，CD=BC=6，
∵CE//AB，
∴∠DCE=∠BDC=60°，
∴∠CDF=30°，
又∵CD=BC=6，
∴CF=3，
∴在Rt△CDF中，DF==3.
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）利用两组对边分别平行可证四边形ADCE是平行四边形，根据直角三角形斜边中线的性质可得CD=AB=AD，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即证；
（2）过点D作DF⊥CE，垂足为点F，如图， 证明△BCD是等边三角形，可得∠BDC=∠BCD=60°，CD=BC=6，由平行线的性质及等腰三角形的性质可得∠CDF=30°， 从而求出CF=
CD=3，在Rt△CDF中 利用勾股定理求出DF即可.
22．【答案】（1）解：设每个排球的价格为x元，则每个篮球的价格为（x+40）元
根据题意有
解得
所以每个排球的价格为60元，则每个篮球的价格为100元.
（2）解：设购进篮球y个，则购进排球（120-y）个
根据题意有
解得
∵y为整数
当时，，则费用为（元）；
当时，，则费用为（元）；
当时，，则费用为（元）；
有3种购买方案：
方案一：学校购买篮球43个，排球77个；
方案二：学校购买篮球44个，排球76个；
方案三：学校购买篮球45个，排球75个；
其中方案一费用最低，最低费用为8920元.
【知识点】一元一次不等式组的应用；一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设每个排球的价格为x元，则每个篮球的价格为（x+40）元，根据单价×数量=总价结合买5个篮球和10个排球共用1100元列出关于x的方程，求解即可；
（2）设购进篮球y个，则购进排球（120-y）个，根据总费用不超过9000元，但不低于8900元列出关于y的不等式组，求出y的范围，结合y为整数可得y的值，进而可得购买方案.
23．【答案】（1）证明：连接OB，如图，
∵等腰△ABC中，∠A=30°，
∴∠C=30°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠C=30°，
∴∠AOB=∠C+∠OBC=60°，
∵∠OBA=180°-60°-30°=90°，
∴OB⊥AB，
∴AB是圆O的切线；
（2）解：在Rt△OBA中，AB=OB=，
∴阴影部分面积=S△AOB-S扇形OBD= 1 -.
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；切线的判定；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连接OB，根据等腰三角形的性质可得∠A=∠C=30°，∠OBC=∠C=30°，结合外角的性质可得∠AOB=∠C+∠OBC=60°，利用内角和定理可得∠OBA=90°，据此证明；
（2）在Rt△OBA中，AB=OB=，然后根据S阴影=S△AOB-S扇形OBD进行计算.
24．【答案】（1）
（2）解：如图1，连接 ，以 为圆心， 长为半径作 ，作 轴于点 ，过点 作 的切线，则 .
， ，
，
直线 是 与 的“隔离直线”.
，
，
，
，
，
设直线 的解析式为 ，则 ，解得 ，
与 的“隔离直线”是 ；
（3）解：由 ，得 ，
直线与抛物线有唯一公共点，
△ ，
，
解得 ，
此时的“隔离直线”为 .
当正方形A1B1C1D1在直线 下方，如图2，
由顶点 不能在直线 上方，得
解得 ；
当正方形A1B1C1D1在直线 上方，如图3.
对于抛物线 ，当 时， ；当 时， ，
直线 恰好经过点 和点 ；
对于直线 ，当 时， ，
由 不能在直线 下方，得 ，
解得 ，
综上所述， 或 .
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；待定系数法求一次函数解析式；锐角三角函数的定义；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）根据“隔离直线”定义可知，直线
是双曲线
与正方形
的“隔离直线”，
故答案为：
.
【分析】（1）直接根据“隔离直线”的概念进行判断；
（2）连接OD，以O为圆心，OD长为半径作○O，作DG⊥x轴于点G，过点D作○O的切线，则MD⊥OD，根据两点间距离公式可得OD，求出tan∠DOG的值，得到∠DOG的度数，则∠DMO=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得OM，求出点，的坐标，然后利用待定系数法求解即可；
（3）联立直线与抛物线解析式并结合△=0可得b的值，求出此时的“隔离直线”，当正方形A1B1C1D1在直线y=2x-7下方时，根据A（0，t-1）不能在直线上方可得t的范围；当正方形A1B1C1D1在直线y=2x-3上方时，易得直线过点（0，-3）、（4，5），根据C（2，t+1）不能在直线下方可得t的范围，据此解答.
25．【答案】（1）解：证明方法1：∵四边形PACB为圆内接四边形，
∴∠PBC=∠PAF
∵AP平分∠BAF，
∴∠PAB=∠PAF，
∴∠PAB=∠PBC，
∴，
∴点P为的中点.
证明方法2：如图1，连接
∴，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴点P为的中点.
（2）解：如图2，连接BO，CO，并延长交于，连接
由题意知垂直平分
∴，，
∴
解得
由勾股定理得
∴
由勾股定理得
∴⊙O的半径为5，PC的长为.
（3）解：由题意知，
又∵
∴
∴
∴
如图3，作于
∵
∴
∴
∴
∵非锐角三角形，且
∴当A运动到使时，面积最大，此时为直径
∴
由勾股定理得
∴
∴
∴不是锐角三角形，的最大值为80.
【知识点】线段垂直平分线的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）证明方法1：根据圆内接四边形的性质可得∠PBC=∠PAF，根据角平分线的概念可得∠PAB=∠PAF，推出
，据此证明；
证明方法2：连接OB、OC、OP，易得∠PAF=∠PBC，∠BOC=2∠BAC，结合等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠OBC=90°-∠BAC，则∠PBO=∠PAF+∠BAC-90°，∠POB=180°-∠BAC，根据周角的概念可得∠POC=180°-∠BAC，推出∠POB=∠POC，据此证明；
（2）连接BO，CO，PO并延长交BC于M，连接PC，由题意知PM垂直平分BC，则∠PMB=90°，∠BOM=∠COM=∠BAC，BM=CM=3，根据∠BOM的正弦函数可得OB，利用勾股定理求出OM、PC，据此解答；
（3）易证△ABP∽△AEC，根据相似三角形的性质可得PA·AE=AB·AC，作CQ⊥AB于Q，根据三角函数的概念表示出CQ，进而得到S△ABC，易知当A运动到使∠ACB=90°时，△ABC的面积最大，此时AB为直径，由勾股定理求出AC，然后求出PA·AE，据此解答.
1 / 1湖南省长沙市青竹湖湘一外国语学校2021-2022学年九年级下学期入学考试数学试卷
一、单选题
1．（2022九下·长沙开学考）在-，，0，－2这四个数中，最小的数是（ ）
A． B． C．0 D．－2
【答案】D
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】在﹣
，
，0，﹣2这四个数中，﹣2＜﹣
＜0＜
，
故最小的数为：﹣2.
故答案为：D.
【分析】正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数相比较，绝对值大的反而小.据此判断即可.
2．（2017·宁波）2017年2月13日，宁波舟山港45万吨原油码头首次挂靠全球最大油轮——“泰欧”轮，其中45万吨用科学记数法表示为（ ）
A．吨 B．吨 C．吨 D．吨
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：45万吨=4.5×105吨.故答案为B.
【分析】科学记数法的定义：将一个数字表示成 a×10n的形式;其中1≤|a|<10,n为整数.由此可得出正确答案.
3．（2021七上·毕节期末）下列采用的调查方式中，不合适的是
A．了解一批灯泡的使用寿命，采用普查
B．了解神舟十二号零部件的质量情况，采用普查
C．了解单县中学生睡眠时间，采用抽样调查
D．了解中央电视台《开学第一课》的收视率，采用抽样调查
【答案】A
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、了解一批灯泡的使用寿命，采用抽样调查，本选项说法不合适，符合题意；
B、了解神舟十二号零部件的质量情况，采用普查，本选项说法合适，不符合题意；
C、了解单县中学生睡眠时间，采用抽样调查，本选项说法合适，不符合题意；
D、了解中央电视台《开学第一课》的收视率，采用抽样调查，本选项说法合适，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】调查方式的选择，需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析；普查结果准确，所以在要求结果精确、难度相对不大，实验没有破坏性的前提下选择普查方式；当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查所需经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查，结合各选项即可判断求解.
4．（2022九下·长沙开学考）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此逐一判断即可.
5．（2022九下·长沙开学考）下列计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、 ，原计算正确，故这个选项不符合题意；
B、 ，原计算正确，故这个选项不符合题意；
C、 ，原计算错误，故这个选项符合题意；
D、 ，原计算正确，故这个选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据单项式乘以单项式，积的乘方，同底数幂的除法，合并同类项分别进行计算，再判断即可.
6．（2019九上·贵阳期末）如图，AD∥BE∥CF，AB=3，BC=6，DE=2，则EF的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】∵AD∥BE∥CF，∴ ．
∵AB=3，BC=6，DE=2，∴ ，∴EF=4．
故答案为：C．
【分析】根据平行线分线段成比例定理，可得，代入数据计算即得.
7．（2022九下·长沙开学考）某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：
下列结论不正确的是（ ）
A．众数是8 B．中位数是8 C．平均数是8.2 D．方差是1.2
【答案】D
【知识点】折线统计图；加权平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：根据图表可得10环的2次，9环的2次，8环的3次，7环的2次，6环的1次.所以可得众数是8，中位数是8，平均数是
方差是
故答案为：D.
【分析】根据统计图中的数据分别求出众数、中位数、平均数、方差，再判断即可.
8．（2022九下·长沙开学考）一次函数y＝kx－m，y随x的增大而增大，且km＜0，则在坐标系中它的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：一次函数y＝kx－m，y随x的增大而增大，可得 ，
，可得 ，-m>0
则一次函数y＝kx－m，经过一、二、三象限，
故答案为：D.
【分析】由一次函数y＝kx－m，y随x的增大而增大，可得 ，结合 ，可得 ，从而根据k、m的符号判断直线所经过的象限.
9．（2021九上·成都月考）已知 是满足 的整数使得反比例函数 的图象在每一个象限内 随着 的增大而减小的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；反比例函数的图象；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解： ，
解得： ，
∵ 为整数
∴a的值为：-1，0，1，2，共4个整数，
∵ ，且满足 随着 的增大而减小，
∴a的值只能为：1，2，共2个整数，
∴满足题意的 的值且能使反比例函数 满足 随着 的增大而减小的概率为 ，
故答案为：B.
【分析】先求出不等式组的整数解，再根据中，当a＞0时，在每个象限内，y随x的增大而减小的a的个数，最后利用概率公式计算即可.
10．（2022九下·长沙开学考）我们定义一种新函数：形如（，）的函数叫做“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出下列结论：①图象与坐标轴的交点为（，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线；③当或时，函数值y随x值的增大而增大；④当或时，函数的最小值是0；⑤当时，函数的最大值是4，⑥若点P（a，b）在该图象上，则当b＝2时，可以找到4个不同的点P.其中正确结论的个数是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：令|x2-2x-3|=0可得x2-2x-3=0，
∴（x+1）（x-3）=0，
∴x1=-1，x2=3，
∴（-1，0）和（3，0）是函数图象与x轴的交点坐标，
令x=0可得y=3，
∴与y轴的交点坐标为（0，3），故①正确；
观察图象可知，图象具有对称性，对称轴是直线x=1，故②正确；
又对称轴是直线x=1，
∴当
或
时，函数值y随x值的增大而增大，故③正确；
由图象可知（-1，0）和（3，0）是函数图象的最低点，则当x=-1或x=3时，函数最小值是0，故④正确；
由图象可知，函数图象向两边无限延伸，没有最大值，故⑤错误；
由图象可知，函数图象与直线y=2有四个交点，即当b＝2时，可以找到4个不同的点P.故⑥正确；
综上，正确的有5个.
故答案为：B.
【分析】 由函数 令y=0，x=0分别求出x、y值，即得与x轴的交点坐标（-1，0）和（3，0），与y轴的交点坐标为（0，3），观察图象知图象具有对称性，由（-1，0）和（3，0）可求出对称轴是直线x=1，据此判断①②；观察图象可知当 或 时，函数值y随x值的增大而增大，且当x=-1或x=3时，函数最小值是0，据此判断③④；由图象可知，函数图象向两边无限延伸，没有最大值，故⑤错误；由图象可知，函数图象与直线y=2有四个交点，即当b＝2时，可以找到4个不同的点P，据此判断⑥正确.
二、填空题
11．（2022九下·长沙开学考）分解因式： .
【答案】( a-5)(a+1)
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：
，
故答案为：( a-5)(a+1).
【分析】利用十字相乘法分解因式即可.
12．（2022九下·长沙开学考）如图，A、B、C、D为⊙O上的点，且.若，则 度.
【答案】30
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵
∴，
∴
∴
∵
∴
故答案为：30.
【分析】根据弧、弦、圆心角的关系及等腰三角形的性质可得
，即得∠AOD=120°，利用三角形内角和求出∠ADO的度数即可.
13．（2021八上·虎林期末）一个正多边形的内角和为540°，则它的一个外角等于 ．
【答案】72°
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵一个正多边形的内角和为540°，即
∴
由
故答案为：
【分析】先求出，再求出n=5，最后求解即可。
14．（2022九下·长沙开学考）三角形两边的长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣9x+18＝0的根，则该三角形的周长为 .
【答案】15
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵x2﹣9x+18＝0，
∴（x﹣3）（x﹣6）＝0，
∴x﹣3＝0或x﹣6＝0，
解得x1＝3，x2＝6，
当x＝3时，3+3＝6，不符合构成三角形条件，舍去；
当x＝6时，3、6、6符合构成三角形三边长度的条件，此时周长为3+6+6＝15，
故答案为：15.
【分析】先求出方程的解为x1＝3，x2＝6，分两种情况：第三边长为3或6，根据三角形的三边关系进行解答即可.
15．（2022九下·长沙开学考）如图，在4×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，则tan∠ACB的值为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥AC于点D，如图，
由勾股定理得，
根据等积关系得，
∴
由勾股定理得，
∴
∴
故答案为：
.
【分析】过点B作BD⊥AC于点D，如图，根据勾股定理求出AC=2
，利用△ABC的面积求出BD的长，再利用勾股定理求出AD，从而求出CD=AC=AD的长，根据
即可求解.
16．（2020九下·江阴期中）如图，已知点A是第一象限内的一个定点，若点P是以O为圆心，2个单位长为半径的圆上的一个动点，连接AP，以AP为边向AP右侧作等边三角形APB.当点P在⊙O上运动一周时，点B运动的路径长是 .
【答案】4π
【知识点】等边三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】如图， 以点A为旋转中心，将AO逆时针旋转60°，得到线段 ，
，
∵△APB为等边三角形，
∴AP=AB，
∵点P是以O为圆心，2个单位长为半径的圆上的一个动点，
∴点B的运动轨迹为以点 为圆心，2个单位长度为半径的圆，
∴点B运动的路径长是 .
【分析】以点A为旋转中心，将AO逆时针旋转60°，得到线段 ， 则点B的运动轨迹为以点O’为圆心，2个单位长度为半径的圆，求出圆 的周长即可.
三、解答题
17．（2021·北京）计算： ．
【答案】解：原式= ．
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】先利用特殊角的三角函数值、二次根式的性质、0指数幂的性质化简，再计算即可。
18．（2021九上·长沙月考）先化简，再求值： ，其中 .
【答案】解：原式=
=
= ；
当 时，原式= = .
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先将括号里的分式通分计算，再将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，同时将分式除法转化为乘法运算，约分化简，然后将x的值代入进行计算.
19．（2021九上·湖南月考）如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，以大于AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M和N，作直线MN ，交AC于点E，连接BE.
（1）请根据作图过程回答问题：直线 是线段 的（ ）
A．角平分线 B．垂直平分线 C．高 D．中线
（2）若 中， ， ， ，求 的长.
【答案】（1）B
（2）解：由（1）可知直线MN是线段AB的垂直平分线，
∴ ，
∵ 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：（1）连接AM ， BM ，根据作图过程可得，AM=BM ，NB=NA，
∴点M与点N都在线段AB的垂直平分线上，
又∵经过两点有且只有一条直线，
∴可得直线MN是线段AB的垂直平分线；
故答案为：B；
【分析】（1）直接根据作图步骤进行判断即可；
（2） 由（1）可知直线MN是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，根据含30°角的直角三角形的性质可得BE=2CE=8，则EA=EB=8，据此计算.
20．（2022九下·长沙开学考）中心广场开展“有奖大酬宾”活动，凡在“中心广场”消费的顾客，均可凭消费小票参与转转盘抽奖活动.如图，是一个材质均匀可自由转动的转盘，转盘被等分成A，B，C，D，E五个扇形区域，依次写有：洗衣液、欢迎惠顾、牛奶、优惠券和谢谢参与.转动转盘，转盘停止后如果指针所指区域为“洗衣液”、“牛奶”、“优惠券”，则可获得对应的奖品，其他区域则没有奖品.若转盘停止后，指针指向两区域的边界，顾客可以再转动转盘一次，直到指针不指向边界时停止.根据以上规则，回答下列问题：
（1）小王同学转动转盘一次获得奖品的概率是 ；
（2）小李同学有两次转转盘抽奖的机会，请你用列表或画树状图的方法，求小李同学至少有一次获得奖品的概率.
【答案】（1）
（2）解：根据题意画图如下：
共有25种等情况数，其中小李同学获得“至少有一次获得奖品”的结果有21种，
则小李同学至少有一次获得奖品的概率：.
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：（1）∵转盘被等分成A、B、C、D、E五个扇形区域，转到区域为“洗衣液”、“牛奶”、“优惠券”，则可领到对应的奖品，
∴小王同学转动转盘一次获得奖品的概率是
；
故答案为：
；
【分析】（1）利用概率公式计算即可；
（2） 此题是抽取放回类型，利用树状图列举出共有25种等可能情况数，其中小李同学获得“至少有一次获得奖品”的结果有21种， 利用概率公式计算即可.
21．（2022九下·长沙开学考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90゜，D为AB的中点，AE//CD，CE//AB，连接DE交AC于点O.
（1）证明：四边形ADCE为菱形；
（2）若∠B=60゜，BC=6，求菱形ADCE的高.
【答案】（1）证明：∵AE//CD，CE//AB，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=AB=AD，
∴四边形ADCE为菱形；
（2）解：过点D作DF⊥CE，垂足为点F，如图所示：
DF即为菱形ADCE的高，
∵∠B=60°，CD=BD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BDC=∠BCD=60°，CD=BC=6，
∵CE//AB，
∴∠DCE=∠BDC=60°，
∴∠CDF=30°，
又∵CD=BC=6，
∴CF=3，
∴在Rt△CDF中，DF==3.
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）利用两组对边分别平行可证四边形ADCE是平行四边形，根据直角三角形斜边中线的性质可得CD=AB=AD，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即证；
（2）过点D作DF⊥CE，垂足为点F，如图， 证明△BCD是等边三角形，可得∠BDC=∠BCD=60°，CD=BC=6，由平行线的性质及等腰三角形的性质可得∠CDF=30°， 从而求出CF=
CD=3，在Rt△CDF中 利用勾股定理求出DF即可.
22．（2022九下·长沙开学考）为加强校园阳光体育活动，某中学计划购进一批篮球和排球，经过调查得知每个篮球的价格比每个排球的价格贵40元，买5个篮球和10个排球共用1100元.
（1）求每个篮球和排球的价格分别是多少？
（2）某学校需购进篮球和排球共120个，总费用不超过9000元，但不低于8900元，问有几种购买方案？最低费用是多少？
【答案】（1）解：设每个排球的价格为x元，则每个篮球的价格为（x+40）元
根据题意有
解得
所以每个排球的价格为60元，则每个篮球的价格为100元.
（2）解：设购进篮球y个，则购进排球（120-y）个
根据题意有
解得
∵y为整数
当时，，则费用为（元）；
当时，，则费用为（元）；
当时，，则费用为（元）；
有3种购买方案：
方案一：学校购买篮球43个，排球77个；
方案二：学校购买篮球44个，排球76个；
方案三：学校购买篮球45个，排球75个；
其中方案一费用最低，最低费用为8920元.
【知识点】一元一次不等式组的应用；一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设每个排球的价格为x元，则每个篮球的价格为（x+40）元，根据单价×数量=总价结合买5个篮球和10个排球共用1100元列出关于x的方程，求解即可；
（2）设购进篮球y个，则购进排球（120-y）个，根据总费用不超过9000元，但不低于8900元列出关于y的不等式组，求出y的范围，结合y为整数可得y的值，进而可得购买方案.
23．（2022九下·长沙开学考）如图，在等腰中，，O和D为线段AC的三等分点，以O为圆心，线段OC的长为半径画圆.
（1）求证：AB是圆O的切线；
（2）若圆O的半径为1，求阴影部分面积是多少？
【答案】（1）证明：连接OB，如图，
∵等腰△ABC中，∠A=30°，
∴∠C=30°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠C=30°，
∴∠AOB=∠C+∠OBC=60°，
∵∠OBA=180°-60°-30°=90°，
∴OB⊥AB，
∴AB是圆O的切线；
（2）解：在Rt△OBA中，AB=OB=，
∴阴影部分面积=S△AOB-S扇形OBD= 1 -.
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；切线的判定；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连接OB，根据等腰三角形的性质可得∠A=∠C=30°，∠OBC=∠C=30°，结合外角的性质可得∠AOB=∠C+∠OBC=60°，利用内角和定理可得∠OBA=90°，据此证明；
（2）在Rt△OBA中，AB=OB=，然后根据S阴影=S△AOB-S扇形OBD进行计算.
24．（2022九下·长沙开学考）面对新冠疫情，中国举全国之力采取了很多强有力的措施，将疫情及时控制，其中对感染者和接触者进行隔离治疗和观察有效地控制住病毒的传播，数学中为对两个图形进行隔离，在平面直角坐标系中，对“隔离直线”给出如下定义：点
是图形
上的任意一点，点
是图形
上的任意一点，若存在直线
满足
且
，则称直线l：
是图形
与
的“隔离直线”.例如：如图1，直线l：
是函数图象与正方形的一条“隔离直线”.
（1）在直线
，
，
中，是图1函数
的图象与正方形OABC的“隔离直线”的为 ；
（2）如图2，第一象限的等腰直角三角形EDF的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D的坐标是
，
与⊙O的“隔离直线”有且只有一条，求出此“隔离直线”的表达式；
（3）正方形A1B1C1D1的一边在y轴上，其它三边都在y轴的右侧，点
是此正方形的中心.若存在直线
是函数
的图象与正方形A1B1C1D1的“隔离直线”，求t的取值范围.
【答案】（1）
（2）解：如图1，连接 ，以 为圆心， 长为半径作 ，作 轴于点 ，过点 作 的切线，则 .
， ，
，
直线 是 与 的“隔离直线”.
，
，
，
，
，
设直线 的解析式为 ，则 ，解得 ，
与 的“隔离直线”是 ；
（3）解：由 ，得 ，
直线与抛物线有唯一公共点，
△ ，
，
解得 ，
此时的“隔离直线”为 .
当正方形A1B1C1D1在直线 下方，如图2，
由顶点 不能在直线 上方，得
解得 ；
当正方形A1B1C1D1在直线 上方，如图3.
对于抛物线 ，当 时， ；当 时， ，
直线 恰好经过点 和点 ；
对于直线 ，当 时， ，
由 不能在直线 下方，得 ，
解得 ，
综上所述， 或 .
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；待定系数法求一次函数解析式；锐角三角函数的定义；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）根据“隔离直线”定义可知，直线
是双曲线
与正方形
的“隔离直线”，
故答案为：
.
【分析】（1）直接根据“隔离直线”的概念进行判断；
（2）连接OD，以O为圆心，OD长为半径作○O，作DG⊥x轴于点G，过点D作○O的切线，则MD⊥OD，根据两点间距离公式可得OD，求出tan∠DOG的值，得到∠DOG的度数，则∠DMO=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得OM，求出点，的坐标，然后利用待定系数法求解即可；
（3）联立直线与抛物线解析式并结合△=0可得b的值，求出此时的“隔离直线”，当正方形A1B1C1D1在直线y=2x-7下方时，根据A（0，t-1）不能在直线上方可得t的范围；当正方形A1B1C1D1在直线y=2x-3上方时，易得直线过点（0，-3）、（4，5），根据C（2，t+1）不能在直线下方可得t的范围，据此解答.
25．（2022九下·长沙开学考）如图1，⊙O的弦BC=6，A为BC所对优弧上一动点且，的外角平分线AP交⊙O于点P，直线AP与直线BC交于点E.
（1）求证：点P为的中点；
（2）如图2，求⊙O的半径和PC的长；
（3）若不是锐角三角形，求的最大值.
【答案】（1）解：证明方法1：∵四边形PACB为圆内接四边形，
∴∠PBC=∠PAF
∵AP平分∠BAF，
∴∠PAB=∠PAF，
∴∠PAB=∠PBC，
∴，
∴点P为的中点.
证明方法2：如图1，连接
∴，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴点P为的中点.
（2）解：如图2，连接BO，CO，并延长交于，连接
由题意知垂直平分
∴，，
∴
解得
由勾股定理得
∴
由勾股定理得
∴⊙O的半径为5，PC的长为.
（3）解：由题意知，
又∵
∴
∴
∴
如图3，作于
∵
∴
∴
∴
∵非锐角三角形，且
∴当A运动到使时，面积最大，此时为直径
∴
由勾股定理得
∴
∴
∴不是锐角三角形，的最大值为80.
【知识点】线段垂直平分线的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）证明方法1：根据圆内接四边形的性质可得∠PBC=∠PAF，根据角平分线的概念可得∠PAB=∠PAF，推出
，据此证明；
证明方法2：连接OB、OC、OP，易得∠PAF=∠PBC，∠BOC=2∠BAC，结合等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠OBC=90°-∠BAC，则∠PBO=∠PAF+∠BAC-90°，∠POB=180°-∠BAC，根据周角的概念可得∠POC=180°-∠BAC，推出∠POB=∠POC，据此证明；
（2）连接BO，CO，PO并延长交BC于M，连接PC，由题意知PM垂直平分BC，则∠PMB=90°，∠BOM=∠COM=∠BAC，BM=CM=3，根据∠BOM的正弦函数可得OB，利用勾股定理求出OM、PC，据此解答；
（3）易证△ABP∽△AEC，根据相似三角形的性质可得PA·AE=AB·AC，作CQ⊥AB于Q，根据三角函数的概念表示出CQ，进而得到S△ABC，易知当A运动到使∠ACB=90°时，△ABC的面积最大，此时AB为直径，由勾股定理求出AC，然后求出PA·AE，据此解答.
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