北京市第四中学2021-2022学年九年级下学期数学开学测试试题

北京市第四中学2021-2022学年九年级下学期数学开学测试试题
一、单选题
1．（2021·庐阳模拟）芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食物和药物，得到广泛的使用．经测算，一粒芝麻的质量约为 ，将0.00000201用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
2．（2016九下·赣县期中）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2020八上·喀喇沁旗期末）如果一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，则这个多边形是（　　）
A．三角形 B．四边形 C．六边形 D．八边形
4．（2021九上·大东期末）如图，下列选项中不能判定△ACD∽△ABC的是（　　）
A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB
C．AC2＝AD AB D．BC2＝BD AB
5．（2020九上·临邑期末）将函数 的图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位，可得到的抛物线是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2021·蒙阴模拟）如图，圆是大正方形的内切圆，同时又是小正方形的外接圆，小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小球，则小球停在小正方形内部阴影区域的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．（2020·西城模拟）设m是非零实数，给出下列四个命题：①若-11，则 < A．①③ B．①④ C．②③ D．③④
8．（2022九下·北京市开学考）在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分．“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”．对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大．收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为P，篮框中心点为Q，他可以选择让篮球在运行途中经过A，B，C，D四个点中的某一点并命中Q，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”P的可能性最大的线路是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2020八上·渝北月考）分解因式： =　 　.
10．（2019·东城模拟）能说明命题“若a＞b，则ac＞bc”是假命题的一个c值是　 　．
11．（2019七下·深圳期末）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均落在格点上，则∠BAC+∠ACD＝　 　°．
12．（2020·北京模拟）如图，A(1，1)，B(2，2)，双曲线y=
与线段AB有公共点，则k的取值范围是　 　。
13．（2022九下·北京市开学考）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　 　．
14．（2019·常州）如图，半径为 的⊙ 与边长为 的等边三角形 的两边 、 都相切，连接 ，则 　 　.
15．（2020·西城模拟）如图，△ABC的顶点A，B，C都在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则AC的长为　 　，BD的长为　 　．
16．（2022九下·北京市开学考）在平面直角坐标xOy中，已知点，⊙P的半径为1，直线，给出以下四个结论：①当时，直线l与⊙P相离；②若直线l是⊙P的一条对称轴，则；③若直线l是⊙P只有一个公共点A，则；④若直线l上存在点B，⊙P上存在点N，使得，则a的最小值为，其中所有正确的结论序号是　 　．
三、解答题
17．（2020·丰台模拟）计算： ．
18．（2022九下·北京市开学考）解不等式组：.
19．（2022九下·北京市开学考）下面是小东设计的“作圆的一个内接矩形，并使其对角线的夹角为60°”的尺规作图过程．
已知：⊙O
求作：矩形ABCD，使得矩形ABCD内接于⊙O，且其对角线AC，BD的夹角为60°．
作法：如图
①作⊙O的直径AC；
②以点A为圆心，AO长为半径画弧，交直线AC上方的圆弧于点B；
③连接BO并延长交⊙O于点D；
所以四边形ABCD就是所求作的矩形．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵点A，C都在⊙O上，
∴OA＝OC
同理OB＝OD
∴四边形ABCD是平行四边形
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°（　　）（填推理的依据）
∴四边形ABCD是矩形
∵AB＝ ▲ ＝BO，
∴四边形ABCD四所求作的矩形．
20．（2022九下·北京市开学考）若，求代数式的值．
21．（2022九下·北京市开学考）如图，在菱形ABCD中，BE⊥CD于点E．DF⊥BC于点F．
（1）求证：BF＝DE；
（2）分别延长BE和AD交于点G，若，求DG的值．
22．（2022九下·北京市开学考）今年通州区在老旧小区改造方面取得了巨大成就，人居环境得到了很大改善．如图，某小区规划在长16m，宽9m的矩形场地ABCD上，修建同样宽的小路，使其中的小路分别与AB和AD平行，其余部分种草．通过测量可知草坪的总面积为112m2，求小路的宽．
23．（2022九下·北京市开学考）在平面直角坐标系xOy中，函数y=（x＞0）的图象与直线y=mx交于点A（2，2）．
（1）求k，m的值；
（2）点P的横坐标为n（n＞0），且在直线y=mx上，过点P作平行于x轴的直线，交y轴于点M，交函数y=（x＞0）的图象于点N．
①n=1时，用等式表示线段PM与PN的数量关系，并说明理由；
②若PN≥3PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．
24．（2020九下·北京月考）如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∠A=2∠BDE，点C在AB的延长线上，∠C=∠ABD．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径长为5，BF=2，求EF的长．
25．（2020·顺义模拟）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药，12周后，记录了两组患者的生理指标 和 的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者；
同时记录了服药患者在4周、8周、12周后的指标z的改善情况，并绘制成条形统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标 的值大于1.7的概率；
（2）设这100名患者中服药者指标 数据的方差为 ，未服药者指标 数据的方差为 ，则 　 　 ；（填“>”、“=”或“<” ）
（3）对于指标z的改善情况，下列推断合理的是　 　．
①服药4周后，超过一半的患者指标z没有改善，说明此药对指标z没有太大作用；
②在服药的12周内，随着服药时间的增长，对指标z的改善效果越来越明显．
26．（2022九下·北京市开学考）已知，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的解析式为．
（1）对于任意的常数a，二次函数是否经过定点，若经过，请求出此定点？若不经过，请说明理由；
（2）当x≥a时，二次函数的图象记为图象G．
①当图象G与坐标轴有两个不同交点时，求a的取值范围；
②当图象G上恰有3个点到x轴的距离为1时，请直接写出a的取值范围．
27．（2021八上·海淀期末）在中，，D为BC延长线上一点，点E为线段AC，CD的垂直平分线的交点，连接EA，EC，ED．
（1）如图1，当时，则　 　°；
（2）当时，
①如图2，连接AD，判断的形状，并证明；
②如图3，直线CF与ED交于点F，满足．P为直线CF上一动点．当的值最大时，用等式表示PE，PD与AB之间的数量关系为 ▲ ，并证明．
28．（2022九下·北京市开学考）在平面直角坐标系xOy中，点A(a，b)和点B(c，d)．给出如下定义：以AB为边，作等边三角形ABC，按照逆时针方向排列A，B，C三个顶点，则称等边三角形ABC为点A，B的逆序等边三角形．例如，当时，点A，B的逆序等边三角形ABC如图①所示．
（1）已知点A(-1，0)，B(3，0)，则点C的坐标为　 　；请在图①中画出点C，B的逆序等边三角形CBD，点D的坐标为　 　．
（2）图②中，点B(3，0)，点A在以点M(-2，0)为圆心1为半径的圆上，求点A，B的逆序等边三角形ABC的顶点C的横坐标取值范围．
（3）图③中，点A在以点M(-2，0)为圆心1为半径的圆上，点B在以N(3，0)为圆心2为半径的圆上，且点B的纵坐标，点A，B的逆序等边三角形ABC如图③所示．若点C恰好落在直线上，直接写出t的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：∵0.00000201= ，
故答案为：C
【分析】将小数点点在左边起第一个非零数字的后面确定a，数出左边起第一个非零数字前面零的个数，取其相反数确定n，后写成 的形式
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
丁、是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意．
故选B．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
3．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设多边形的边数为n，依题意，得
，
解得 ，
故答案为：D．
【分析】根据多边形的内角和及外角和列出方程求解即可。
4．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A.∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，
∴△ACD∽△ABC，故本选项不符合题意；
B.∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，
∴△ACD∽△ABC，故本选项不符合题意；
C.∵AC2＝AD AB，
∴，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，故本选项不符合题意；
D.∵BC2＝BD AB，
∴，
添加∠A＝∠A，不能推出△ACD∽△ABC，故本选项符合题意．
故答案为：D
【分析】根据相似三角形的判定方法逐项求解即可。
5．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将函数 的图象向左平移1个单位得到的函数解析式为 ，由“上加下减”的原则可知，将函数 向上平移3个单位得到的函数解析式为 ．
故答案为：D．
【分析】根据平移的性质求解即可。
6．【答案】D
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：设小正方形的边长为1，则其面积为1．
圆的直径正好是大正方形边长，
根据勾股定理，其小正方形对角线为，即圆的直径为，
大正方形的边长为，
则大正方形的面积为，则小球停在小正方形内部阴影区域的概率为；
故答案为：D．
【分析】先求出阴影部分的面积，再利用几何概率公式求解即可。
7．【答案】B
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：①若-1＜m＜0，则 ②若m＞1，取m=2时，m2＝4， m＜m2，原命题不成立；
③若m< < ，取m=- 时， =-2，m＞ ，原命题不成立；
④ 成立的有①④，
故答案为：B．
【分析】根据不等式的性质逐项判定即可。
8．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：B、D两点，横坐标相同，而D点的纵坐标大于B点的纵坐标，显然，B点上升阶段的水平距离长；A、B两点，纵坐标相同，而A点的横坐标小于B点的横坐标，等经过.A点的篮球运行到与B点横坐标相同时，显然在B点上方，故B点上升阶段的水平距离长；同理可知C点路线优于A点路线，综上：P→B→Q是被“盖帽”的可能性最大的线路．
故答案为：B．
【分析】分类讨论投篮线路经过A、B、C、D四个点时篮球上升阶段的水平距离求解即可。
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式= = ，故答案为 .
【分析】观察多项式可知，每一项都含有公因式a，提公因式后用平方差公式“a2-b2=(a-b)(a+b)”即可求解.
10．【答案】0
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：若a＞b，当c＝0时ac＝bc＝0，
故答案为：0（答案不唯一）
【分析】举出一个能使得ac＝bc或ac＜bc的一个c的值即可．
11．【答案】90
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：在△DCE和△ABD中，
∵ ，
∴△DCE≌△ABD（SAS），
∴∠CDE＝∠DAB，
∵∠CDE+∠ADC＝∠ADC+∠DAB＝90°，
∴∠AFD＝90°，
∴∠BAC+∠ACD＝90°，
故答案为：90．
【分析】根据SAS可证△DCE≌△ABD，利用全等三角形的性质可得∠CDE＝∠DAB，根据三角形外角的性质可得∠AFD＝∠ADC+∠DAB=∠CDE+∠ADC=90°，利用三角形的内角和可得∠BAC+∠ACD＝90°.
12．【答案】1≤k≤4
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：当点A在双曲线上时，k=1
当点B在双曲线上时，k=4
∴双曲线与线段AB有公共点，则k的取值范围为1≤k≤4.
【分析】分别计算点A和点B在双曲线上时，k的值，根据k的范围即可得到答案。
13．【答案】且m≠-1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意知 ，且
解得： 且
故答案为： 且m≠-1．
【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式列出不等式组求解即可。
14．【答案】
【知识点】切线的性质；三角形的内切圆与内心；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接OB，设圆O与△ABC的BC边相切，切点为D，连接OD，
⊙ 与等边三角形 的两边 、 都相切，
∴∠ODB=∠ODC=90°
，
，
，
，
.
故答案为 .
【分析】连接OB，设圆O与△ABC的BC边相切，切点为D，连接OD，利用切线的性质，可证∠ODB=∠ODC=90°，利用等边三角形的性质及切线长定理，求出∠OBC的度数；在Rt△BOD中，利用解直角三角形求出BD的长，就可得到CD的长；然后在Rt△COD中，利用锐角三角函数的定义就可求出tan∠OCB的值。
15．【答案】5；3
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】如图所示：
由勾股定理得：AC＝ ＝5，
S△ABC＝ BC×AE＝ ×BD×AC，
∵AE＝3，BC＝5，
即 ×3×5＝ ×5BD，
解得：BD＝3．
故答案为：5；3．
【分析】利用勾股定理求出线段AC的长，再利用三角形的面积法求出BD的长即可。
16．【答案】①②③
【知识点】直线与圆的位置关系；圆的综合题
【解析】【解答】解：①将 代入直线 得，
直线 的图像在第一、三象限，
又 ，⊙P的半径为1，
∴⊙P的图像在第二象限，
∴当 时，直线l与⊙P相离，
故①符合题意．
②若直线l是⊙P的一条对称轴，
则直线l必过点⊙P的圆心 ，
∴
解得： ，
故②符合题意．
③若直线l与⊙P只有一个公共点A，
则直线l与⊙P相切，
∴，
又 ，
∴
解得： ，
故③符合题意．
④若直线l上存在点B，⊙P上存在点N，使得 ，
则点 、点 、点 在⊙P的一条直径上（直径所对的圆周角是直角），
如图，作 的两条切线，切点分别为 ，当a值最小时，则 与圆相切与点 ，则直线 的解析式即为所求，
取 的中点 ，则
是圆 的切线，
的半径为1
设
，
，
即
整理得：
解得
由图可知， 点的横坐标为
将 代入
解得
代入直线 ，则
故④不符合题意．
故答案为：①②③．
【分析】①根据点 ，当时，直线，根据直线和圆的关系进而判断；②若直线l是⊙P的一条对称轴，则直线l必过点⊙P的圆心 ，代入y=ax，即可判断；③若直线l与⊙P只有一个公共点A，则直线l与⊙P相切，再根据勾股定理进行计算即可判断；④若直线l上存在点B，⊙P上存在点N，使得 ，作 的两条切线，切点分别为 ，当a值最小时，则 与圆相切与点 ，则直线 的解析式即为所求，从而得解。
17．【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值，二次根式化简，零指数幂和绝对值化简即可求出答案.
18．【答案】解：原不等式组为
解不等式①，得
解不等式②，得
∴原不等式组的解集为.
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求解即可。
19．【答案】（1）解：如图所示，矩形ABCD即为所求；
（2）证明：∵点A，C都在⊙O上，
∴OA＝OC
同理OB＝OD
∴四边形ABCD是平行四边形
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°（直径所对圆周角是直角）
∴四边形ABCD是矩形
∵AB＝AO＝BO，
∴四边形ABCD即为所求作的矩形，
故答案为：直径所对圆周角是直角，AO．
【知识点】矩形的判定；圆内接四边形的性质；尺规作图的定义
【解析】【分析】（1）根据要求作图即可；
（2）根据圆周角定理推论以及圆的性质求解即可。
20．【答案】解：
，
∵，
∴，
∴原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将 代入计算即可。
21．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CB=CD，
∵BE⊥CD于点E，DF⊥BC于点F，
∴∠BEC=∠DFC=90°，
∵∠C=∠C，
∴△BEC≌△DFC（AAS），
∴EC=FC，
∴CD－CE＝CB－CF
∴BF=DE；
（2）解：∵∠A=45°，四边形ABCD是菱形，
∴∠C=∠A=45°，AG∥BC，
∵BE⊥CD
∴∠CBG=45°，
∴∠G=∠CBG=45°，
∴∠ABG=90°
∴△ABG为等腰直角三角形，
∴
∴
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】（1）由四边形ABCD是菱形，得出CB=CD，利用三角形全等的性质得出△BEC≌△DFC，得出EC=FC，由此得解；
（2）证出△ABG为等腰直角三角形，得出AG的值，即可得解。
22．【答案】解：设小路宽为x米．
由题意可知
（16－2x）（9－x）＝112，
解得，
∵16－2x＞0，
∴x<8，
∴x＝16舍去，
∴x＝1，
答：小路宽为1米．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】设小路宽为x米，根据题意列出方程（16－2x）（9－x）＝112，再求解即可。
23．【答案】（1）解：∵ y=（x＞0）的图象与直线y=mx交于点A（2，2），
∴ k=2×2=4，2=2m，
∴ m=1，
即 k=4，m=1；
（2）解：①由（1）知，k=4，m=1，
∴ 双曲线的解析式为y=，直线OA的解析式为y=x，
∵ n=1，
∴ P（1，1），
∵ PM//x轴，
∴ M（0，1），N（4，1），
∴ PM=1，PM=4﹣1=3，
∴ PN=3PM；
②0＜n≤1．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】（2）② 由①知，如图，双曲线的解析式为y= ，直线OA的解析式为y=x，
∵ 根据点P的横坐标为n，
∴ P（n，n），
∵ PM//x轴，
∴ M（0，n），N（ ，n），
∵ PN≥3PM，
∴ PM=n，PN= ﹣n，
∵ PN≥3PM，
∴﹣n≥3n，
∴ 0＜n≤1．
【分析】（1）利用待定系数法即可得解；
（2）①利用待定系数法即可得出直线OA的解析式为y=x，推出点P的坐标，再根据PM//x轴，得出M、N的坐标，推出PM=1，PM=4﹣1=3，从而得出答案；②由①知，如图，双曲线的解析式为y= ，直线OA的解析式为y=x，根据点P的横坐标为n，得出点P的坐标，再根据PM//x轴，得出M、N的坐标，由PN≥3PM，得出 PM=n，PN= ﹣n，由此得出n的范围。
24．【答案】（1）证明：连接OE，
∵AB是 的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠A+∠ABD=90°，
由图可知∠BOE=2∠BDE
又∵∠A=2∠BDE
∴∠A=∠BOE
∵∠C=∠ABD
∴∠BOE+∠C=90°
∴OE⊥EC
∴CE是⊙O的切线
（2）解：连接BE，
由图可知∠BED=∠A=∠BOE，
∴△BEF∽△BOE
∴
∵OB=OE=5，BF=2
∴BE=EF
∴EF2=OE·BF=10
∴EF=
故答案为：（1）证明见解析；（2） ．
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OE、BE，首先得到△ABD∽△OCE，进而推出∠OCE=90°，即可得到结论；（2）根据直径所对的圆周角是直角和圆的切线垂直于过切点的半径，同角的余角相等，可得结论；（3）连接BE，得出△OBE∽△EBF，再利用相似三角形的性质得出OB的长，即可。
25．【答案】（1）解：指标x的值大于1.7的概率= =6%；
（2）>
（3）②
【知识点】用样本估计总体；条形统计图；方差；概率的简单应用
【解析】【解答】解： (2)由图1可知，S12＞S22，
故答案为：＞；(3)由图2可知，推断合理的是②，
故答案为：②．
【分析】(1)根据图1，可以的打指标x的值大于1.7的概率；(2)根据图1，可以得到S12和S22的大小情况；(3)根据图2，可以判断哪个推断合理．
26．【答案】（1）解：∵＝－6a（x－1）＋x2，
∴当x=1时y=1，
∴函数图象经过定点（1，1）；
（2）解：①当a<0时，（x>a）与y轴交点坐标为（0，6a），对称轴为直线，过点（1，1），
∴x>a>3a，此时图象G与坐标轴有两个交点（与x轴一个交点，与y轴一个交点）；
当时，（x>a）与y轴无交点，顶点坐标为（3a，），
当x=a时，0，且<0时，此时图象G与x轴有两个交点，
解得，
综上，或a＜0；
②或．
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数的其他应用
【解析】【解答】(2)②当a<0时，此时图象G与坐标轴有两个交点，故不符合题意；
当 ，且 =-1时，图象G上恰有3个点到x轴的距离为1，
解得 ；
当a>1时， （x>a）顶点坐标为（3a， ），
∴当 时，图象G上恰有3个点到x轴的距离为1，
∴；
故答案为： 或 ．
【分析】（1）将函数解析式中含有a的项合并，从而得出定点的坐标；
（2）①当a<0时，当时，当x=a时，分三种情况讨论即可；②当a<0时，当 ，当a>1时，分三种情况讨论即可。
27．【答案】（1）80
（2）解：结论：是等边三角形．
证明：∵在中，，，
∴，
由（1）得：，，
∴是等边三角形．
②结论：PE-PD=2AB
证明：如解图1，取D点关于直线AF的对称点，连接、；
∴，
∵，等号仅P、E、三点在一条直线上成立，
如解图2，P、E、三点在一条直线上，
由（1）得：，
又∵，
∴，
又∵，，
∴，
∵点D、点是关于直线AF的对称点，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（SAS）
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）∵点E为线段AC，CD的垂直平 分线的交点，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
故答案为：80°．
【分析】（1）先求出，，再求出，最后计算求解即可；
（2）①先求出 ， 再判断即可；
②结合图形，先求出 ， 再利用全等三角形的判定与性质求解即可。
28．【答案】（1）；
（2）解：如图2，以为边作等边三角形，以为圆心1为半径作，
点B(3，0)，点A在以点M(-2，0)为圆心1为半径的圆上，
点A，B的逆序等边三角形ABC的顶点C在
的半径为1
即
（3）解：
【知识点】等边三角形的性质；圆的综合题；定义新运算
【解析】【解答】(1)过点 作 轴于点 ，作出点C，B的逆序等边三角形CBD，如图1，
， 是等边三角形
，
，
是等边三角形
，
故答案为： ，
(3)如图3，
设 与 轴交于点 ，以 为边向上作等边三角形 ，以点 为圆心1为半径，作 ，设直线 为 ， 为 ，过点 作 ，交 轴于点 ，交 于点 ，交 于点 ，过点 ，作 轴于点 ，设 与 轴的交点为 ，则
根据题意，当 点在第二象限时，能找到 的最小值，根据定义可知， 点与 点重合时， 点在 上运动，则 点在 上运动，当 与 相切时， 最小，
， ， 的半径为1， 的半径为2，
，
与 轴的夹角为45°， ， 轴，
是等腰直角三角形
是等腰直角三角形
即 的最小值为 ，
的纵坐标 ，
则
如图4，作 的逆序等边三角形 ，以 为圆心，1为半径作 ，则 ，连接
是等边三角形，
当 共线时候， 最大
以 为圆心，2为半径作半圆 ，当直线 与半圆 相切时，设切点为 ，当 点与 点重合时，即可取得 的最大值，最大值即为 的长，
过点 作 轴于点 ，如图，
即 的最大值为
综上所述，
【分析】（1）解等边三角形，求得点C的坐标，进而根据平移得出D的坐标；
（2）以为边作等边三角形，以为圆心1为半径作，由点B(3，0)，点A在以点M(-2，0)为圆心1为半径的圆上，得出点A，B的逆序等边三角形ABC的顶点C在由此得解；
（3）找出大圆上一点，绕着该点，将小圆的圆心旋转60度时圆心位置最低时，直线y=x+t与旋转后的圆切在下方时从而求得最小值；在小圆上找到一点，将大圆绕该点旋转60度，使新圆的圆心位置最高，y=x+t且在新圆的上方，求得t的最大值即可。
1 / 1北京市第四中学2021-2022学年九年级下学期数学开学测试试题
一、单选题
1．（2021·庐阳模拟）芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食物和药物，得到广泛的使用．经测算，一粒芝麻的质量约为 ，将0.00000201用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：∵0.00000201= ，
故答案为：C
【分析】将小数点点在左边起第一个非零数字的后面确定a，数出左边起第一个非零数字前面零的个数，取其相反数确定n，后写成 的形式
2．（2016九下·赣县期中）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
丁、是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意．
故选B．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
3．（2020八上·喀喇沁旗期末）如果一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，则这个多边形是（　　）
A．三角形 B．四边形 C．六边形 D．八边形
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设多边形的边数为n，依题意，得
，
解得 ，
故答案为：D．
【分析】根据多边形的内角和及外角和列出方程求解即可。
4．（2021九上·大东期末）如图，下列选项中不能判定△ACD∽△ABC的是（　　）
A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB
C．AC2＝AD AB D．BC2＝BD AB
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A.∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，
∴△ACD∽△ABC，故本选项不符合题意；
B.∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，
∴△ACD∽△ABC，故本选项不符合题意；
C.∵AC2＝AD AB，
∴，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，故本选项不符合题意；
D.∵BC2＝BD AB，
∴，
添加∠A＝∠A，不能推出△ACD∽△ABC，故本选项符合题意．
故答案为：D
【分析】根据相似三角形的判定方法逐项求解即可。
5．（2020九上·临邑期末）将函数 的图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位，可得到的抛物线是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将函数 的图象向左平移1个单位得到的函数解析式为 ，由“上加下减”的原则可知，将函数 向上平移3个单位得到的函数解析式为 ．
故答案为：D．
【分析】根据平移的性质求解即可。
6．（2021·蒙阴模拟）如图，圆是大正方形的内切圆，同时又是小正方形的外接圆，小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小球，则小球停在小正方形内部阴影区域的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：设小正方形的边长为1，则其面积为1．
圆的直径正好是大正方形边长，
根据勾股定理，其小正方形对角线为，即圆的直径为，
大正方形的边长为，
则大正方形的面积为，则小球停在小正方形内部阴影区域的概率为；
故答案为：D．
【分析】先求出阴影部分的面积，再利用几何概率公式求解即可。
7．（2020·西城模拟）设m是非零实数，给出下列四个命题：①若-11，则 < A．①③ B．①④ C．②③ D．③④
【答案】B
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：①若-1＜m＜0，则 ②若m＞1，取m=2时，m2＝4， m＜m2，原命题不成立；
③若m< < ，取m=- 时， =-2，m＞ ，原命题不成立；
④ 成立的有①④，
故答案为：B．
【分析】根据不等式的性质逐项判定即可。
8．（2022九下·北京市开学考）在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分．“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”．对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大．收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为P，篮框中心点为Q，他可以选择让篮球在运行途中经过A，B，C，D四个点中的某一点并命中Q，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”P的可能性最大的线路是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：B、D两点，横坐标相同，而D点的纵坐标大于B点的纵坐标，显然，B点上升阶段的水平距离长；A、B两点，纵坐标相同，而A点的横坐标小于B点的横坐标，等经过.A点的篮球运行到与B点横坐标相同时，显然在B点上方，故B点上升阶段的水平距离长；同理可知C点路线优于A点路线，综上：P→B→Q是被“盖帽”的可能性最大的线路．
故答案为：B．
【分析】分类讨论投篮线路经过A、B、C、D四个点时篮球上升阶段的水平距离求解即可。
二、填空题
9．（2020八上·渝北月考）分解因式： =　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式= = ，故答案为 .
【分析】观察多项式可知，每一项都含有公因式a，提公因式后用平方差公式“a2-b2=(a-b)(a+b)”即可求解.
10．（2019·东城模拟）能说明命题“若a＞b，则ac＞bc”是假命题的一个c值是　 　．
【答案】0
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：若a＞b，当c＝0时ac＝bc＝0，
故答案为：0（答案不唯一）
【分析】举出一个能使得ac＝bc或ac＜bc的一个c的值即可．
11．（2019七下·深圳期末）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均落在格点上，则∠BAC+∠ACD＝　 　°．
【答案】90
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：在△DCE和△ABD中，
∵ ，
∴△DCE≌△ABD（SAS），
∴∠CDE＝∠DAB，
∵∠CDE+∠ADC＝∠ADC+∠DAB＝90°，
∴∠AFD＝90°，
∴∠BAC+∠ACD＝90°，
故答案为：90．
【分析】根据SAS可证△DCE≌△ABD，利用全等三角形的性质可得∠CDE＝∠DAB，根据三角形外角的性质可得∠AFD＝∠ADC+∠DAB=∠CDE+∠ADC=90°，利用三角形的内角和可得∠BAC+∠ACD＝90°.
12．（2020·北京模拟）如图，A(1，1)，B(2，2)，双曲线y=
与线段AB有公共点，则k的取值范围是　 　。
【答案】1≤k≤4
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：当点A在双曲线上时，k=1
当点B在双曲线上时，k=4
∴双曲线与线段AB有公共点，则k的取值范围为1≤k≤4.
【分析】分别计算点A和点B在双曲线上时，k的值，根据k的范围即可得到答案。
13．（2022九下·北京市开学考）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　 　．
【答案】且m≠-1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意知 ，且
解得： 且
故答案为： 且m≠-1．
【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式列出不等式组求解即可。
14．（2019·常州）如图，半径为 的⊙ 与边长为 的等边三角形 的两边 、 都相切，连接 ，则 　 　.
【答案】
【知识点】切线的性质；三角形的内切圆与内心；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接OB，设圆O与△ABC的BC边相切，切点为D，连接OD，
⊙ 与等边三角形 的两边 、 都相切，
∴∠ODB=∠ODC=90°
，
，
，
，
.
故答案为 .
【分析】连接OB，设圆O与△ABC的BC边相切，切点为D，连接OD，利用切线的性质，可证∠ODB=∠ODC=90°，利用等边三角形的性质及切线长定理，求出∠OBC的度数；在Rt△BOD中，利用解直角三角形求出BD的长，就可得到CD的长；然后在Rt△COD中，利用锐角三角函数的定义就可求出tan∠OCB的值。
15．（2020·西城模拟）如图，△ABC的顶点A，B，C都在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则AC的长为　 　，BD的长为　 　．
【答案】5；3
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】如图所示：
由勾股定理得：AC＝ ＝5，
S△ABC＝ BC×AE＝ ×BD×AC，
∵AE＝3，BC＝5，
即 ×3×5＝ ×5BD，
解得：BD＝3．
故答案为：5；3．
【分析】利用勾股定理求出线段AC的长，再利用三角形的面积法求出BD的长即可。
16．（2022九下·北京市开学考）在平面直角坐标xOy中，已知点，⊙P的半径为1，直线，给出以下四个结论：①当时，直线l与⊙P相离；②若直线l是⊙P的一条对称轴，则；③若直线l是⊙P只有一个公共点A，则；④若直线l上存在点B，⊙P上存在点N，使得，则a的最小值为，其中所有正确的结论序号是　 　．
【答案】①②③
【知识点】直线与圆的位置关系；圆的综合题
【解析】【解答】解：①将 代入直线 得，
直线 的图像在第一、三象限，
又 ，⊙P的半径为1，
∴⊙P的图像在第二象限，
∴当 时，直线l与⊙P相离，
故①符合题意．
②若直线l是⊙P的一条对称轴，
则直线l必过点⊙P的圆心 ，
∴
解得： ，
故②符合题意．
③若直线l与⊙P只有一个公共点A，
则直线l与⊙P相切，
∴，
又 ，
∴
解得： ，
故③符合题意．
④若直线l上存在点B，⊙P上存在点N，使得 ，
则点 、点 、点 在⊙P的一条直径上（直径所对的圆周角是直角），
如图，作 的两条切线，切点分别为 ，当a值最小时，则 与圆相切与点 ，则直线 的解析式即为所求，
取 的中点 ，则
是圆 的切线，
的半径为1
设
，
，
即
整理得：
解得
由图可知， 点的横坐标为
将 代入
解得
代入直线 ，则
故④不符合题意．
故答案为：①②③．
【分析】①根据点 ，当时，直线，根据直线和圆的关系进而判断；②若直线l是⊙P的一条对称轴，则直线l必过点⊙P的圆心 ，代入y=ax，即可判断；③若直线l与⊙P只有一个公共点A，则直线l与⊙P相切，再根据勾股定理进行计算即可判断；④若直线l上存在点B，⊙P上存在点N，使得 ，作 的两条切线，切点分别为 ，当a值最小时，则 与圆相切与点 ，则直线 的解析式即为所求，从而得解。
三、解答题
17．（2020·丰台模拟）计算： ．
【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值，二次根式化简，零指数幂和绝对值化简即可求出答案.
18．（2022九下·北京市开学考）解不等式组：.
【答案】解：原不等式组为
解不等式①，得
解不等式②，得
∴原不等式组的解集为.
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求解即可。
19．（2022九下·北京市开学考）下面是小东设计的“作圆的一个内接矩形，并使其对角线的夹角为60°”的尺规作图过程．
已知：⊙O
求作：矩形ABCD，使得矩形ABCD内接于⊙O，且其对角线AC，BD的夹角为60°．
作法：如图
①作⊙O的直径AC；
②以点A为圆心，AO长为半径画弧，交直线AC上方的圆弧于点B；
③连接BO并延长交⊙O于点D；
所以四边形ABCD就是所求作的矩形．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵点A，C都在⊙O上，
∴OA＝OC
同理OB＝OD
∴四边形ABCD是平行四边形
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°（　　）（填推理的依据）
∴四边形ABCD是矩形
∵AB＝ ▲ ＝BO，
∴四边形ABCD四所求作的矩形．
【答案】（1）解：如图所示，矩形ABCD即为所求；
（2）证明：∵点A，C都在⊙O上，
∴OA＝OC
同理OB＝OD
∴四边形ABCD是平行四边形
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°（直径所对圆周角是直角）
∴四边形ABCD是矩形
∵AB＝AO＝BO，
∴四边形ABCD即为所求作的矩形，
故答案为：直径所对圆周角是直角，AO．
【知识点】矩形的判定；圆内接四边形的性质；尺规作图的定义
【解析】【分析】（1）根据要求作图即可；
（2）根据圆周角定理推论以及圆的性质求解即可。
20．（2022九下·北京市开学考）若，求代数式的值．
【答案】解：
，
∵，
∴，
∴原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将 代入计算即可。
21．（2022九下·北京市开学考）如图，在菱形ABCD中，BE⊥CD于点E．DF⊥BC于点F．
（1）求证：BF＝DE；
（2）分别延长BE和AD交于点G，若，求DG的值．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CB=CD，
∵BE⊥CD于点E，DF⊥BC于点F，
∴∠BEC=∠DFC=90°，
∵∠C=∠C，
∴△BEC≌△DFC（AAS），
∴EC=FC，
∴CD－CE＝CB－CF
∴BF=DE；
（2）解：∵∠A=45°，四边形ABCD是菱形，
∴∠C=∠A=45°，AG∥BC，
∵BE⊥CD
∴∠CBG=45°，
∴∠G=∠CBG=45°，
∴∠ABG=90°
∴△ABG为等腰直角三角形，
∴
∴
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】（1）由四边形ABCD是菱形，得出CB=CD，利用三角形全等的性质得出△BEC≌△DFC，得出EC=FC，由此得解；
（2）证出△ABG为等腰直角三角形，得出AG的值，即可得解。
22．（2022九下·北京市开学考）今年通州区在老旧小区改造方面取得了巨大成就，人居环境得到了很大改善．如图，某小区规划在长16m，宽9m的矩形场地ABCD上，修建同样宽的小路，使其中的小路分别与AB和AD平行，其余部分种草．通过测量可知草坪的总面积为112m2，求小路的宽．
【答案】解：设小路宽为x米．
由题意可知
（16－2x）（9－x）＝112，
解得，
∵16－2x＞0，
∴x<8，
∴x＝16舍去，
∴x＝1，
答：小路宽为1米．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】设小路宽为x米，根据题意列出方程（16－2x）（9－x）＝112，再求解即可。
23．（2022九下·北京市开学考）在平面直角坐标系xOy中，函数y=（x＞0）的图象与直线y=mx交于点A（2，2）．
（1）求k，m的值；
（2）点P的横坐标为n（n＞0），且在直线y=mx上，过点P作平行于x轴的直线，交y轴于点M，交函数y=（x＞0）的图象于点N．
①n=1时，用等式表示线段PM与PN的数量关系，并说明理由；
②若PN≥3PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．
【答案】（1）解：∵ y=（x＞0）的图象与直线y=mx交于点A（2，2），
∴ k=2×2=4，2=2m，
∴ m=1，
即 k=4，m=1；
（2）解：①由（1）知，k=4，m=1，
∴ 双曲线的解析式为y=，直线OA的解析式为y=x，
∵ n=1，
∴ P（1，1），
∵ PM//x轴，
∴ M（0，1），N（4，1），
∴ PM=1，PM=4﹣1=3，
∴ PN=3PM；
②0＜n≤1．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】（2）② 由①知，如图，双曲线的解析式为y= ，直线OA的解析式为y=x，
∵ 根据点P的横坐标为n，
∴ P（n，n），
∵ PM//x轴，
∴ M（0，n），N（ ，n），
∵ PN≥3PM，
∴ PM=n，PN= ﹣n，
∵ PN≥3PM，
∴﹣n≥3n，
∴ 0＜n≤1．
【分析】（1）利用待定系数法即可得解；
（2）①利用待定系数法即可得出直线OA的解析式为y=x，推出点P的坐标，再根据PM//x轴，得出M、N的坐标，推出PM=1，PM=4﹣1=3，从而得出答案；②由①知，如图，双曲线的解析式为y= ，直线OA的解析式为y=x，根据点P的横坐标为n，得出点P的坐标，再根据PM//x轴，得出M、N的坐标，由PN≥3PM，得出 PM=n，PN= ﹣n，由此得出n的范围。
24．（2020九下·北京月考）如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∠A=2∠BDE，点C在AB的延长线上，∠C=∠ABD．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径长为5，BF=2，求EF的长．
【答案】（1）证明：连接OE，
∵AB是 的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠A+∠ABD=90°，
由图可知∠BOE=2∠BDE
又∵∠A=2∠BDE
∴∠A=∠BOE
∵∠C=∠ABD
∴∠BOE+∠C=90°
∴OE⊥EC
∴CE是⊙O的切线
（2）解：连接BE，
由图可知∠BED=∠A=∠BOE，
∴△BEF∽△BOE
∴
∵OB=OE=5，BF=2
∴BE=EF
∴EF2=OE·BF=10
∴EF=
故答案为：（1）证明见解析；（2） ．
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OE、BE，首先得到△ABD∽△OCE，进而推出∠OCE=90°，即可得到结论；（2）根据直径所对的圆周角是直角和圆的切线垂直于过切点的半径，同角的余角相等，可得结论；（3）连接BE，得出△OBE∽△EBF，再利用相似三角形的性质得出OB的长，即可。
25．（2020·顺义模拟）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药，12周后，记录了两组患者的生理指标 和 的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者；
同时记录了服药患者在4周、8周、12周后的指标z的改善情况，并绘制成条形统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标 的值大于1.7的概率；
（2）设这100名患者中服药者指标 数据的方差为 ，未服药者指标 数据的方差为 ，则 　 　 ；（填“>”、“=”或“<” ）
（3）对于指标z的改善情况，下列推断合理的是　 　．
①服药4周后，超过一半的患者指标z没有改善，说明此药对指标z没有太大作用；
②在服药的12周内，随着服药时间的增长，对指标z的改善效果越来越明显．
【答案】（1）解：指标x的值大于1.7的概率= =6%；
（2）>
（3）②
【知识点】用样本估计总体；条形统计图；方差；概率的简单应用
【解析】【解答】解： (2)由图1可知，S12＞S22，
故答案为：＞；(3)由图2可知，推断合理的是②，
故答案为：②．
【分析】(1)根据图1，可以的打指标x的值大于1.7的概率；(2)根据图1，可以得到S12和S22的大小情况；(3)根据图2，可以判断哪个推断合理．
26．（2022九下·北京市开学考）已知，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的解析式为．
（1）对于任意的常数a，二次函数是否经过定点，若经过，请求出此定点？若不经过，请说明理由；
（2）当x≥a时，二次函数的图象记为图象G．
①当图象G与坐标轴有两个不同交点时，求a的取值范围；
②当图象G上恰有3个点到x轴的距离为1时，请直接写出a的取值范围．
【答案】（1）解：∵＝－6a（x－1）＋x2，
∴当x=1时y=1，
∴函数图象经过定点（1，1）；
（2）解：①当a<0时，（x>a）与y轴交点坐标为（0，6a），对称轴为直线，过点（1，1），
∴x>a>3a，此时图象G与坐标轴有两个交点（与x轴一个交点，与y轴一个交点）；
当时，（x>a）与y轴无交点，顶点坐标为（3a，），
当x=a时，0，且<0时，此时图象G与x轴有两个交点，
解得，
综上，或a＜0；
②或．
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数的其他应用
【解析】【解答】(2)②当a<0时，此时图象G与坐标轴有两个交点，故不符合题意；
当 ，且 =-1时，图象G上恰有3个点到x轴的距离为1，
解得 ；
当a>1时， （x>a）顶点坐标为（3a， ），
∴当 时，图象G上恰有3个点到x轴的距离为1，
∴；
故答案为： 或 ．
【分析】（1）将函数解析式中含有a的项合并，从而得出定点的坐标；
（2）①当a<0时，当时，当x=a时，分三种情况讨论即可；②当a<0时，当 ，当a>1时，分三种情况讨论即可。
27．（2021八上·海淀期末）在中，，D为BC延长线上一点，点E为线段AC，CD的垂直平分线的交点，连接EA，EC，ED．
（1）如图1，当时，则　 　°；
（2）当时，
①如图2，连接AD，判断的形状，并证明；
②如图3，直线CF与ED交于点F，满足．P为直线CF上一动点．当的值最大时，用等式表示PE，PD与AB之间的数量关系为 ▲ ，并证明．
【答案】（1）80
（2）解：结论：是等边三角形．
证明：∵在中，，，
∴，
由（1）得：，，
∴是等边三角形．
②结论：PE-PD=2AB
证明：如解图1，取D点关于直线AF的对称点，连接、；
∴，
∵，等号仅P、E、三点在一条直线上成立，
如解图2，P、E、三点在一条直线上，
由（1）得：，
又∵，
∴，
又∵，，
∴，
∵点D、点是关于直线AF的对称点，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（SAS）
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）∵点E为线段AC，CD的垂直平 分线的交点，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
故答案为：80°．
【分析】（1）先求出，，再求出，最后计算求解即可；
（2）①先求出 ， 再判断即可；
②结合图形，先求出 ， 再利用全等三角形的判定与性质求解即可。
28．（2022九下·北京市开学考）在平面直角坐标系xOy中，点A(a，b)和点B(c，d)．给出如下定义：以AB为边，作等边三角形ABC，按照逆时针方向排列A，B，C三个顶点，则称等边三角形ABC为点A，B的逆序等边三角形．例如，当时，点A，B的逆序等边三角形ABC如图①所示．
（1）已知点A(-1，0)，B(3，0)，则点C的坐标为　 　；请在图①中画出点C，B的逆序等边三角形CBD，点D的坐标为　 　．
（2）图②中，点B(3，0)，点A在以点M(-2，0)为圆心1为半径的圆上，求点A，B的逆序等边三角形ABC的顶点C的横坐标取值范围．
（3）图③中，点A在以点M(-2，0)为圆心1为半径的圆上，点B在以N(3，0)为圆心2为半径的圆上，且点B的纵坐标，点A，B的逆序等边三角形ABC如图③所示．若点C恰好落在直线上，直接写出t的取值范围．
【答案】（1）；
（2）解：如图2，以为边作等边三角形，以为圆心1为半径作，
点B(3，0)，点A在以点M(-2，0)为圆心1为半径的圆上，
点A，B的逆序等边三角形ABC的顶点C在
的半径为1
即
（3）解：
【知识点】等边三角形的性质；圆的综合题；定义新运算
【解析】【解答】(1)过点 作 轴于点 ，作出点C，B的逆序等边三角形CBD，如图1，
， 是等边三角形
，
，
是等边三角形
，
故答案为： ，
(3)如图3，
设 与 轴交于点 ，以 为边向上作等边三角形 ，以点 为圆心1为半径，作 ，设直线 为 ， 为 ，过点 作 ，交 轴于点 ，交 于点 ，交 于点 ，过点 ，作 轴于点 ，设 与 轴的交点为 ，则
根据题意，当 点在第二象限时，能找到 的最小值，根据定义可知， 点与 点重合时， 点在 上运动，则 点在 上运动，当 与 相切时， 最小，
， ， 的半径为1， 的半径为2，
，
与 轴的夹角为45°， ， 轴，
是等腰直角三角形
是等腰直角三角形
即 的最小值为 ，
的纵坐标 ，
则
如图4，作 的逆序等边三角形 ，以 为圆心，1为半径作 ，则 ，连接
是等边三角形，
当 共线时候， 最大
以 为圆心，2为半径作半圆 ，当直线 与半圆 相切时，设切点为 ，当 点与 点重合时，即可取得 的最大值，最大值即为 的长，
过点 作 轴于点 ，如图，
即 的最大值为
综上所述，
【分析】（1）解等边三角形，求得点C的坐标，进而根据平移得出D的坐标；
（2）以为边作等边三角形，以为圆心1为半径作，由点B(3，0)，点A在以点M(-2，0)为圆心1为半径的圆上，得出点A，B的逆序等边三角形ABC的顶点C在由此得解；
（3）找出大圆上一点，绕着该点，将小圆的圆心旋转60度时圆心位置最低时，直线y=x+t与旋转后的圆切在下方时从而求得最小值；在小圆上找到一点，将大圆绕该点旋转60度，使新圆的圆心位置最高，y=x+t且在新圆的上方，求得t的最大值即可。
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