北京市第一七一中学2021-2022学年九年级下学期开学数学试题
一、单选题
1．（2021·延庆模拟）中国财政部2021年3月18日发布数据显示，前2个月，全国一般公共预算收入约为41800亿元，将41800用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·延庆模拟）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．正方体 B．圆锥 C．四棱柱 D．圆柱
3．（2020·北京）正五边形的外角和为（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
4．（2021·延庆模拟）下列给出的等边三角形、圆、平行四边形、矩形中是轴对称图形而不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022九下·北京市开学考）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠ABC＝60°，则∠D的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
6．（2022九下·北京市开学考）如图，阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB在地面上的影子长DE＝1.8m，窗户下沿到地面的距离BC＝1m，EC＝1.2m，那么窗户的高AB为（ ）
A．1.5m B．1.6m C．1.86m D．2.16m
7．（2021·通州模拟）若实数p，q，m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，且满足 ，则绝对值最小的数是（ ）
A．p B．q C．m D．n
8．（2022九下·北京市开学考）如图，⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于P点，O1O2＝8．若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O1与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现（ ）
A．3次 B．5次 C．6次 D．7次
二、填空题
9．（2012·阜新）函数 中自变量x的取值范围是 ．
10．（2013·钦州）请写出一个图形经过一、三象限的正比例函数的解析式 ．
11．（2020九上·丰县月考）分解因式：x2-y2 = .
12．（2022九下·北京市开学考）如果抛物线向下平移2个单位，所得到的抛物线是 ．
13．（2020·上海）如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是 ．
14．（2022九下·北京市开学考）在△ABC中，∠C＝90°，若AB＝3，BC＝1，则cosA的值为 ．
15．（2022九下·北京市开学考）第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬奥会，将于2022年2月4日至2月20日，在北京市和张家口市同时举行．为了调查同学们对冬奥知识的了解情况，小冬从初中三个年级各随机抽取10人，进行了相关测试，获得了他们的成绩（单位：分），序号为1～10的学生是七年级的，他们的成绩的方差记为s12；序号为11～20的学生是八年级的，他们的成绩的方差记为s22，序号为21～30的学生是九年级的，他们的成绩的方差记为s32，直接写出，s12，s22，s32的大小关系 ．
16．（2019七下·张店期末）高速公路某收费站出城方向有编号为 的五个小客车收费出口，假定各收费出口每20分钟通过小客车的数量分别都是不变的.同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口20分钟一共通过的小客车数量记录如下：
收费出口编号
通过小客车数量（辆） 260 330 300 360 240
在 五个收费出口中，每20分钟通过小客车数量最多的一个出口的编号是 .
三、解答题
17．（2022九下·北京市开学考）计算：23﹣+（﹣π）0﹣4cos45°．
18．（2022九下·北京市开学考）解不等式组
19．（2022九下·北京市开学考）已知，求代数式的值．
20．（2021·朝阳模拟）已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB>AC．
求作：BC边上的高AD．
作法：①以点A为圆心，AB长为半径画弧，交BC的延长线于点E；
②分别以点B，E为圆心，以AB长为半径画弧，两弧相交于点F(不与点A重合)；
③连接AF交BC于点D．
线段AD就是所求作的线段．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接AE，EF，BF．
∵AB=AE= EF =
BF，
∴四边形ABFE是 （ ）（填推理依据）．
∴AF⊥BE．
即AD是△ABC中BC边上的高．
21．（2022九下·北京市开学考）已知一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m＝0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两根均大于2，求m的取值范围．
22．（2022九下·北京市开学考）如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，，，，E为AD的中点，连接BE．
（1）求证：四边形BCDE为菱形；
（2）连接AC，若AC平分∠BAD，，求AC的长．
23．（2022九下·北京市开学考）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（8，0），C（0，4）．点D是矩形OABC对角线的交点．已知反比例函数（k≠0）在第一象限的图象经过点D，交BC于点M，交AB于点N．
（1）求点D的坐标和k的值；
（2）横纵坐标均为偶数的点称为偶点，比如E（2，4）．反比例函数图象在点M到点N之间的部分（包含M，N两点）与线段BM，BN围成的图形记为G．求图形G（包含边界）内偶点的个数，并写出偶点的坐标．
24．（2022九下·北京市开学考）为了实现伟大的强国复兴梦，全社会都在开展“扫黑除恶”专项斗争，某区为了解各学校老师对“扫黑除恶”应知应会知识的掌握情况，对甲、乙两个学校各180名老师进行了测试，从中各随机抽取30名教师的成绩（百分制），并对成绩（单位：分）进行整理、描述和分析，给出了部分成绩信息．
成绩（分） 频数 学校 90≤x＜92 92≤x＜94 94≤x＜96 96≤x＜98 98≤x≤100
甲校 2 3 5 10 10
甲校参与测试的老师成绩在96≤x＜98这一组的数据是：96，96.5，97，97.5，97，96.5，97.5，96，96.5，96.5
甲、乙两校参与测试的老师成绩的平均数平均数、中位数、众数如下表：
学校 平均数 中位数 众数
甲校 96.35 m分 99分
乙校
95.85 97.5份 99分
根据以上信息，回答下列问题：
（1）m＝ ；
（2）在此次随机抽样测试中，甲校的王老师和乙校的李老师成绩均为97分，则在各自学校参与测试老师中成绩的名次相比较更靠前的是 （填“王”或“李”）老师，请写出理由；
（3）在此次随机测试中，乙校96分以上（含96分）的总人数比甲校96分以上（含96分）的总人数的2倍少100人，试估计乙校96分以上（含96分）的总人数．
25．（2020·海门模拟）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD＝2∠BAC，连接CD，过点C作CE⊥DB，垂足为E，直径AB与CE的延长线相交于F点.
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）当BD＝ ，sinF＝ 时，求OF的长.
26．（2022九下·北京市开学考）在平面直角坐标系中，二次函数与图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．
（1）若点B的坐标为，
①求此时二次函数的解析式；
②当时，函数值y的取值范围是，求n的值；
（2）将该二次函数图象在x轴上方的部分沿x轴翻折，其他部分保持不变，得到一个新的函数图象，若当时，这个新函数的函数值y随x的增大而增大，结合函数图象，求m的取值范围．
27．（2022九下·北京市开学考）在正方形ABCD中，点P是边BC上一动点（不包含端点），线段AP的垂直平分线与AB、AP、BD、CD分别交于点M、E、F、N．
（1）过点B作BGMN交DC于G，求证：△BGC≌△APB；
（2）若AB＝9，BP＝3，求线段MN的长度；
（3）请你用等式表示线段ME，EF和FN的数量关系，并证明你的结论．
28．（2022九下·北京市开学考）对于⊙C和⊙C上的一点A，若平面内的点P满足：射线AP与⊙C交于点Q（点Q可以与点P重合），且1≤≤2，则点P称为点A关于⊙C的“生长点”．已知点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A（﹣1，0）．
（1）若点P是点A关于⊙O的“生长点”，且点P在x轴上，请写出一个符合条件的点P的坐标 ；
（2）若点B是点A关于⊙O的“生长点”，且满足∠BAO＝30°，求点B的纵坐标t的取值范围；
（3）直线y＝x+b与x轴交于点M，且与y轴交于点N，若线段MN上存在点A关于⊙O的“生长点”，直接写出b的取值范围是 ．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：41800=4.18×104．
故答案为：C．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
2．【答案】D
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：该几何体的主视图矩形，左视图为矩形，俯视图是为一个圆形，
则该几何体可能为圆柱．
故答案为：D．
【分析】通过俯视图为圆得到几何体为圆柱或球，然后通过主视图和左视图可判断几何体为圆柱．
3．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】任意多边形的外角和都为 ，与边数无关
故答案为：B．
【分析】根据多边形的外角和定理即可得．
4．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形；
圆既是轴对称图形而又是中心对称图形；
平行四边形是中心对称图形而不是轴对称图形；
矩形既是轴对称图形而又是中心对称图形；
故答案选A．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念判断即可；
5．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC＝30°，
∴∠D＝∠A＝30°，
故答案为：B．
【分析】先利用圆周角得到∠ACB＝90°，再求出∠A＝90°﹣∠ABC＝30°，最后利用圆周角的性质可得∠D＝∠A＝30°。
6．【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】∵BE∥AD，
∴△BCE∽△ACD，
∴，即 ，
∵BC=1，DE=1.8，EC=1.2
∴
∴1.2AB=1.8，
∴AB=1.5m．
故答案为：A．
【分析】先证明△BCE∽△ACD，再利用相似三角形的性质可得 ，即 ，再将数据代入计算可得 ，最后求出AB的长即可。
7．【答案】C
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：∵
结合数轴可得： ，
即原点在q和m之间，且离m点最近，
∴绝对值最小的数是m，
故答案为：C．
【分析】根据 ，并结合数轴可知原点在q和m之间，且离m点最近，即可求解．
8．【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于P点，
设O1O2交圆O1于M，
∴PM=8-3-1=4，
圆O1与以P为圆心，以4为半径的圆相外切，
∴根据图形得出有5次．
故答案为：B．
【分析】⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于P点，设O1O2交圆O1于M，圆O1与以P为圆心，以4为半径的圆相外切，即可得解。
9．【答案】x≥2
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：依题意，得x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．
10．【答案】y=x（答案不唯一）
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：设此正比例函数的解析式为y=kx（k≠0），
∵此正比例函数的图象经过一、三象限，
∴k＞0，
∴符合条件的正比例函数解析式可以为：y=x（答案不唯一）．
故答案为：y=x（答案不唯一）．
【分析】先设出此正比例函数的解析式，再根据正比例函数的图象经过一、三象限确定出k的符号，再写出符合条件的正比例函数即可．
11．【答案】(x+y)(x-y)
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）.
故答案为：（x+y）（x-y）.
【分析】观察此多项式有两项，两项都能写成平方形式，且符号相反，因此直接利用平方差公式分解即可.
12．【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线 向下平移2个单位，得到的抛物线是： ．
故答案是： ．
【分析】根据函数解析式平移的原则：上加下减，左加右减求解即可。
13．【答案】 ．
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，是5的倍数的有：5，10，∴取到的数恰好是5的倍数的概率是 = ．
故答案为： ．
【分析】从1到10这10个整数中任意选取一个数，找出是5的倍数的个数，再根据概率公式求解即可．
14．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝1，
∴AC＝ ，
∴cosA＝ ，
故答案为： ．
【分析】先求出AC的长，再利用余弦的定义求解即可。
15．【答案】s22＞s12＞s32
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵方差体现了某组数据的波动情况，波动越大，方差越大，
由图可知，八年级数据波动最大，九年级波动最小，
∴s22＞s12＞s32；
故答案为：s22＞s12＞s32．
【分析】根据方差的定义：方差越大，波动越大即可得到答案。
16．【答案】B
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】同时开放A、E两个安全出口，与同时开放D、E两个安全出口，20分钟的通过数量发现得到D疏散乘客比A快；
同理同时开放BC与 CD进行对比，可知B疏散乘客比D快;
同理同时开放BC与 AB进行对比，可知C疏散乘客比A快;
同理同时开放DE与 CD进行对比，可知E疏散乘客比C快;
同理同时开放AB与 AE进行对比，可知B疏散乘客比E快;
所以B口的速度最快
故答案为B．
【分析】利用同时开放其中的两个安全出口，20分钟所通过的小车的数量分析对比，能求出结果．
17．【答案】解：原式＝8﹣3+1﹣4×
＝8﹣3+1﹣2
＝6﹣2．
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】先计算有理数的乘方、0指数幂和特殊角的三角函数值，再计算加减即可。
18．【答案】解：
∵解不等式①得：x≤3，
解不等式②得：x＜1，
∴不等式组的解集是x＜1．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求解即可。
19．【答案】解：原式
∵，∴
原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用整式的混合运算化简，再将 代入计算即可。
20．【答案】（1）解：依作法补全图形，如下图．
（2）菱形；四条边相等的四边形是菱形．
【知识点】菱形的判定；作图-垂线
【解析】【分析】（1）根据作法作出BC的垂线交BC于点D，则AD即为所求；
（2） 根据四条边相等的四边形是菱形进行填空即可.
21．【答案】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4（m2﹣m）＝4m2﹣4m+1﹣4m2+4m＝1＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m＝0，
∴（x﹣m+1）（x﹣m）＝0，
∴x1＝m﹣1，x2＝m．
则由题意，得，
解得m＞3．
即m的取值范围是m＞3．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）先利用因式分解法求出一元二次方程的根，再根据题意列出不等式组 求解即可。
22．【答案】（1）证明：∵，E为AD的中点，
∴，
∵，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∵，，
∴，
∴四边形BCDE是菱形．
（2）解：连接AC，如下图．
∵，AC平分∠BAD，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在中，∵，
∴，．
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的判定；解直角三角形
【解析】【分析】（1）由 ，，推出四边形BCDE是平行四边形，再证明，即可得出结论；
（2）在中，证出，由此得出结论。
23．【答案】（1）解：∵点D是矩形OABC的对角线交点，
∴点D是矩形OABC的对角线AC的中点，
又∵A（8，0），C（0，4），
∴点D的坐标为（4，2）．
∵反比例函数的图象经过点D，
∴k＝2×4＝8；
（2）解：∵A（8，0），C（0，4），
∴B（8，4），
由题意可得：点M的纵坐标为4，点N的横坐标为8．
∵点M、点N在反比例函数的图象上，
∴点M的坐标为（2，4），N（8，1），
∵点D的坐标为（4，2），
∴在图形G（包含边界）内偶点有（2，4），（4，2），（4，4）（6，2），（6，4），（8，2），（8，4）共7个．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质
【解析】【分析】（1）先求得点D的坐标，再根据待定系数法即可得出答案；
（2）根据反比例函数的解析式求得M、N的坐标，结合图形，即可得出图形G内的偶点。
24．【答案】（1）96.5
（2）王
（3）解：甲校的96分以上人数为 人，
所以乙校的96分以上的人数为人．
【知识点】用样本估计总体；分析数据的集中趋势
【解析】【解答】解：（1）中位数 ，
故答案为96.5．
（2）根据中位数即可判断，甲校的王老师成绩在各自学校参与测试老师中成绩的名次相比较更靠前．
故答案为王．
【分析】（1）根据中位数的定义即可解决问题；
（2）利用中位数的性质即可判断；
（3）先确定甲校的96分以上的人数，再求出乙校的人数即可。
25．【答案】（1）解：连接OC.如图1所示：
∵OA＝OC，
∴∠1＝∠2.
又∵∠3＝∠1+∠2，
∴∠3＝2∠1.
又∵∠4＝2∠1，
∴∠4＝∠3，
∴OC∥DB.
∵CE⊥DB，
∴OC⊥CF.
又∵OC为⊙O的半径，
∴CF为⊙O的切线
（2）解：连接AD.如图2所示：
∵AB是直径，
∴∠D＝90°，
∴CF∥AD，
∴∠BAD＝∠F，
∴sin∠BAD＝sinF＝ ，
∴AB＝ BD＝6，
∴OB＝OC＝3，
∵OC⊥CF，
∴∠OCF＝90°，
∴sinF＝ ，
解得：OF＝5.
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）连接OC.先根据等边对等角及三角形外角的性质得出∠3＝2∠1，由已知∠4＝2∠1，得到∠4＝∠3，则OC∥DB，再由CE⊥DB，得到OC⊥CF，根据切线的判定即可证明CF为⊙O的切线；（2）连接AD.由圆周角定理得出∠D＝90°，证出∠BAD＝∠F，得出sin∠BAD＝sin∠F＝ ，求出AB＝ BD＝6，得出OB＝OC＝3，再由sinF＝ 即可求出OF.
26．【答案】（1）解：①二次函数为，对称轴为．
令有：，解得：或．
∵为该二次函数图象与x轴靠右侧的交点，
∴点B在对称轴右侧，
∴，故．
∴二次函数解析式为．
②由于二次函数开口向下，且对称轴为．
∴时，函数值y随x的增大而减小；
∴当时，函数取得最大值3；
当时，函数取得最小值，
∴在范围内解得．
（2）解：令，得，解得，，
将函数图象在x轴上方的部分向下翻折后，新的函数图象增减性情况为：
当时，y随x的增大而增大，
当时，y随x的增大而减小，
当时，y随ⅹ的增大而增大，
当时，y随x的增大而减小．
因此，若当时，y随x的增大而增大，结合图象有：
①，即时符合题意；
②且，即时符合题意．
综上，m的取值范围是或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）先根据二次函数为，得出对称轴为直线．把x=3代入解析式求出m的值，根据题意点B在对称轴右侧，即，故，即可求出抛物线的解析式；②根据开口方向和对称轴地点当x=2时，函数取得最大值3，当x=m时，函数取得最小值，在范围内接的n的值即可；
（2）令，得，解得，，根据题意得出①，②且，即可求出m的取值范围。
27．【答案】（1）证明：如图，过点B作BG∥MN交DC于G，
∴BG⊥AP，
∴∠CBG+∠BPA＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCG＝90°，
∴∠CBG+∠CGB＝90°，
∴∠CGB＝∠BPA，
在△BGC与△APB中，，
∴△BGC≌△APB（AAS），
（2）解：∵△BGC≌△APB，
∴BG＝AP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∵BG∥MN，
∴四边形BMNG是平行四边形，
∴MN＝BG＝AP，
在Rt△ABP中，AB＝9，BP＝3，
∴，
∴MN＝；
（3）解：ME+FN＝EF．理由如下
证明：如图，过P作PH∥AB交MN于H，过F作ST∥AB交BC于S，交AD与T，连接AF，PF，
∵MN垂直平分AP，
∴AE＝PE，AF＝PF，
∵PH∥AB，
∴∠MAE＝∠HPE，
在△AME与△PHE中，，
∴△AME≌△PHE（ASA），
∴ME＝HE，
∵∠TDF＝∠FBP＝45°，
∴TD＝TF，FS＝BS，
∵四边形ABST是矩形，
∴BS＝AT，
∴FS＝AT，t
在Rt△FPS与Rt△ATF中，，
∴Rt△FPS≌Rt△ATF（HL），
∴PS＝TF，
∴PS＝TD，
∵四边形TSCD是矩形，
∴TD＝SC，
∴PS＝SC，
∵PH∥TS∥CD，
∴HF＝FN，
∴ME+FN＝EF．
【知识点】正方形的性质；四边形的综合
【解析】【分析】（1）过点B作BG∥MN交DC于G，利用AAS即可得出△BGC≌△APB；
（2）由△BGC≌△APB，得出BG＝AP，证明四边形BMNG是平行四边形，由平行四边形的性质得出MN＝BG＝AP，由勾股定理得出AP的长度，即可得出结果；
（3）过P作PH∥AB交MN于H，过F作ST∥AB交BC于S，交AD与与T，连接AF，PF，通过△AME≌△PHE（ASA），得出ME＝HE，再由矩形的性质和三角形全等得出BS＝AT，FS＝AT，利用HL证出Rt△FPS≌Rt△ATF，得出PS＝TF，PS＝TD，再根据平行线分线段成比例定理即可证明结论。
28．【答案】（1）（2，0）（答案不唯一）
（2）解：如图，在x轴上方作射线AM，与⊙O交于M，使得∠OAM＝30°，并在射线AM上取点N，使AM＝MN，作M、N关于x轴的对称点，得M'N'，
∴，
∵点B是点A关于⊙O的“生长点”，
∴线段MN和M'N'上的点是满足条件的点B，
作MH⊥x轴于H，连接MC，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠AMC＝90°，即∠AMH+∠HMC＝90°．
∴∠OAM＝∠HMC＝30°．
∴tan30°＝＝＝，
设MH＝y，则AH＝y，CH＝y，
∴AC＝AH+CH＝y＝2，
解得：y＝，即点M的纵坐标为．
∵AN＝2AM，A为（﹣1，0），
∴点N的纵坐标为，
∴在线段MN上，点B的纵坐标t满足：≤t≤，
由对称性，在线段M'N'上，点B的纵坐标t满足： ≤t≤ ，
∴点B的纵坐标t的取值范围是：≤t≤或 ≤t≤ ．
（3）﹣4﹣≤b≤﹣1或1≤b≤4﹣
【知识点】圆的综合题；定义新运算
【解析】【解答】(1)设⊙O与x轴的另一个交点为Q，
∵⊙O的半径为1，点A（﹣1，0），
∴QA=2，
∵点P是点A关于⊙O的“生长点”，点P在x轴上，
∴1≤ ≤2，即 ，
∴，
∴，
∴符合条件的点P的坐标可以为（2，0），
故答案为：（2，0）（答案不唯一）
(3)如图，Q是⊙O上异于点A的任意一点，延长AQ到P，使得PA＝2AQ，
∵Q的轨迹是以O为圆心，1为半径的圆，
∴点P的运动轨迹是以K（1，0）为圆心，2为半径的圆，
对于直线y＝ x+b，
当x=0时，y=b，即 ，
当y=0时，x= ，即 ，
∴tan∠OMN= ，
∴直线y＝ x+b与x轴夹角为60°，
当直线MN与⊙K相切于点R时，连接KR，则∠KRM＝90°，
∴∠KMR＝60°，KR＝2，
∴KM＝ ＝ ，
∴OM＝1+ ，
∴ON＝OM·tan60°＝4+ ，
∴b＝﹣4﹣ ，
当直线MN经过G（0，﹣1）时，满足条件，此时b＝﹣1，
观察图象可知：当﹣4﹣ ≤b≤﹣1时，线段MN上存在点A关于⊙O的“生长点”，
根据对称性，同法可得当1≤b≤4﹣ 时，也满足条件．
故答案为：﹣4﹣ ≤b≤﹣1或1≤b≤4﹣ ．
【分析】根据“生长点”的定义即可解决问题；
（2）在x轴上方作射线AM，与⊙O交于M，使得∠OAM＝30°，并在射线AM上取点N，使AM＝MN，作M、N关于x轴的对称点，得M'N'，由题意，线段MN和M'N'上的点是满足条件的点B，即可得解；
（3）Q是⊙O上异于点A的任意一点，延长AQ到P，使得PA＝2AQ，得出点P的运动轨迹是以K（1，0）为圆心，2为半径的圆，求出直线MN与⊙K相切于点R时，连接KR，则∠KRM＝90°，当直线MN经过G（0，﹣1）时，满足条件，此时b＝﹣1，即可判断，再根据对称性得出b>0时的取值范围。
1 / 1北京市第一七一中学2021-2022学年九年级下学期开学数学试题
一、单选题
1．（2021·延庆模拟）中国财政部2021年3月18日发布数据显示，前2个月，全国一般公共预算收入约为41800亿元，将41800用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：41800=4.18×104．
故答案为：C．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
2．（2021·延庆模拟）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．正方体 B．圆锥 C．四棱柱 D．圆柱
【答案】D
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：该几何体的主视图矩形，左视图为矩形，俯视图是为一个圆形，
则该几何体可能为圆柱．
故答案为：D．
【分析】通过俯视图为圆得到几何体为圆柱或球，然后通过主视图和左视图可判断几何体为圆柱．
3．（2020·北京）正五边形的外角和为（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】任意多边形的外角和都为 ，与边数无关
故答案为：B．
【分析】根据多边形的外角和定理即可得．
4．（2021·延庆模拟）下列给出的等边三角形、圆、平行四边形、矩形中是轴对称图形而不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形；
圆既是轴对称图形而又是中心对称图形；
平行四边形是中心对称图形而不是轴对称图形；
矩形既是轴对称图形而又是中心对称图形；
故答案选A．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念判断即可；
5．（2022九下·北京市开学考）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠ABC＝60°，则∠D的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC＝30°，
∴∠D＝∠A＝30°，
故答案为：B．
【分析】先利用圆周角得到∠ACB＝90°，再求出∠A＝90°﹣∠ABC＝30°，最后利用圆周角的性质可得∠D＝∠A＝30°。
6．（2022九下·北京市开学考）如图，阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB在地面上的影子长DE＝1.8m，窗户下沿到地面的距离BC＝1m，EC＝1.2m，那么窗户的高AB为（ ）
A．1.5m B．1.6m C．1.86m D．2.16m
【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】∵BE∥AD，
∴△BCE∽△ACD，
∴，即 ，
∵BC=1，DE=1.8，EC=1.2
∴
∴1.2AB=1.8，
∴AB=1.5m．
故答案为：A．
【分析】先证明△BCE∽△ACD，再利用相似三角形的性质可得 ，即 ，再将数据代入计算可得 ，最后求出AB的长即可。
7．（2021·通州模拟）若实数p，q，m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，且满足 ，则绝对值最小的数是（ ）
A．p B．q C．m D．n
【答案】C
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：∵
结合数轴可得： ，
即原点在q和m之间，且离m点最近，
∴绝对值最小的数是m，
故答案为：C．
【分析】根据 ，并结合数轴可知原点在q和m之间，且离m点最近，即可求解．
8．（2022九下·北京市开学考）如图，⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于P点，O1O2＝8．若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O1与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现（ ）
A．3次 B．5次 C．6次 D．7次
【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于P点，
设O1O2交圆O1于M，
∴PM=8-3-1=4，
圆O1与以P为圆心，以4为半径的圆相外切，
∴根据图形得出有5次．
故答案为：B．
【分析】⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于P点，设O1O2交圆O1于M，圆O1与以P为圆心，以4为半径的圆相外切，即可得解。
二、填空题
9．（2012·阜新）函数 中自变量x的取值范围是 ．
【答案】x≥2
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：依题意，得x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．
10．（2013·钦州）请写出一个图形经过一、三象限的正比例函数的解析式 ．
【答案】y=x（答案不唯一）
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：设此正比例函数的解析式为y=kx（k≠0），
∵此正比例函数的图象经过一、三象限，
∴k＞0，
∴符合条件的正比例函数解析式可以为：y=x（答案不唯一）．
故答案为：y=x（答案不唯一）．
【分析】先设出此正比例函数的解析式，再根据正比例函数的图象经过一、三象限确定出k的符号，再写出符合条件的正比例函数即可．
11．（2020九上·丰县月考）分解因式：x2-y2 = .
【答案】(x+y)(x-y)
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）.
故答案为：（x+y）（x-y）.
【分析】观察此多项式有两项，两项都能写成平方形式，且符号相反，因此直接利用平方差公式分解即可.
12．（2022九下·北京市开学考）如果抛物线向下平移2个单位，所得到的抛物线是 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线 向下平移2个单位，得到的抛物线是： ．
故答案是： ．
【分析】根据函数解析式平移的原则：上加下减，左加右减求解即可。
13．（2020·上海）如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是 ．
【答案】 ．
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，是5的倍数的有：5，10，∴取到的数恰好是5的倍数的概率是 = ．
故答案为： ．
【分析】从1到10这10个整数中任意选取一个数，找出是5的倍数的个数，再根据概率公式求解即可．
14．（2022九下·北京市开学考）在△ABC中，∠C＝90°，若AB＝3，BC＝1，则cosA的值为 ．
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝1，
∴AC＝ ，
∴cosA＝ ，
故答案为： ．
【分析】先求出AC的长，再利用余弦的定义求解即可。
15．（2022九下·北京市开学考）第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬奥会，将于2022年2月4日至2月20日，在北京市和张家口市同时举行．为了调查同学们对冬奥知识的了解情况，小冬从初中三个年级各随机抽取10人，进行了相关测试，获得了他们的成绩（单位：分），序号为1～10的学生是七年级的，他们的成绩的方差记为s12；序号为11～20的学生是八年级的，他们的成绩的方差记为s22，序号为21～30的学生是九年级的，他们的成绩的方差记为s32，直接写出，s12，s22，s32的大小关系 ．
【答案】s22＞s12＞s32
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵方差体现了某组数据的波动情况，波动越大，方差越大，
由图可知，八年级数据波动最大，九年级波动最小，
∴s22＞s12＞s32；
故答案为：s22＞s12＞s32．
【分析】根据方差的定义：方差越大，波动越大即可得到答案。
16．（2019七下·张店期末）高速公路某收费站出城方向有编号为 的五个小客车收费出口，假定各收费出口每20分钟通过小客车的数量分别都是不变的.同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口20分钟一共通过的小客车数量记录如下：
收费出口编号
通过小客车数量（辆） 260 330 300 360 240
在 五个收费出口中，每20分钟通过小客车数量最多的一个出口的编号是 .
【答案】B
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】同时开放A、E两个安全出口，与同时开放D、E两个安全出口，20分钟的通过数量发现得到D疏散乘客比A快；
同理同时开放BC与 CD进行对比，可知B疏散乘客比D快;
同理同时开放BC与 AB进行对比，可知C疏散乘客比A快;
同理同时开放DE与 CD进行对比，可知E疏散乘客比C快;
同理同时开放AB与 AE进行对比，可知B疏散乘客比E快;
所以B口的速度最快
故答案为B．
【分析】利用同时开放其中的两个安全出口，20分钟所通过的小车的数量分析对比，能求出结果．
三、解答题
17．（2022九下·北京市开学考）计算：23﹣+（﹣π）0﹣4cos45°．
【答案】解：原式＝8﹣3+1﹣4×
＝8﹣3+1﹣2
＝6﹣2．
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】先计算有理数的乘方、0指数幂和特殊角的三角函数值，再计算加减即可。
18．（2022九下·北京市开学考）解不等式组
【答案】解：
∵解不等式①得：x≤3，
解不等式②得：x＜1，
∴不等式组的解集是x＜1．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求解即可。
19．（2022九下·北京市开学考）已知，求代数式的值．
【答案】解：原式
∵，∴
原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用整式的混合运算化简，再将 代入计算即可。
20．（2021·朝阳模拟）已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB>AC．
求作：BC边上的高AD．
作法：①以点A为圆心，AB长为半径画弧，交BC的延长线于点E；
②分别以点B，E为圆心，以AB长为半径画弧，两弧相交于点F(不与点A重合)；
③连接AF交BC于点D．
线段AD就是所求作的线段．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接AE，EF，BF．
∵AB=AE= EF =
BF，
∴四边形ABFE是 （ ）（填推理依据）．
∴AF⊥BE．
即AD是△ABC中BC边上的高．
【答案】（1）解：依作法补全图形，如下图．
（2）菱形；四条边相等的四边形是菱形．
【知识点】菱形的判定；作图-垂线
【解析】【分析】（1）根据作法作出BC的垂线交BC于点D，则AD即为所求；
（2） 根据四条边相等的四边形是菱形进行填空即可.
21．（2022九下·北京市开学考）已知一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m＝0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两根均大于2，求m的取值范围．
【答案】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4（m2﹣m）＝4m2﹣4m+1﹣4m2+4m＝1＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m＝0，
∴（x﹣m+1）（x﹣m）＝0，
∴x1＝m﹣1，x2＝m．
则由题意，得，
解得m＞3．
即m的取值范围是m＞3．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）先利用因式分解法求出一元二次方程的根，再根据题意列出不等式组 求解即可。
22．（2022九下·北京市开学考）如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，，，，E为AD的中点，连接BE．
（1）求证：四边形BCDE为菱形；
（2）连接AC，若AC平分∠BAD，，求AC的长．
【答案】（1）证明：∵，E为AD的中点，
∴，
∵，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∵，，
∴，
∴四边形BCDE是菱形．
（2）解：连接AC，如下图．
∵，AC平分∠BAD，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在中，∵，
∴，．
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的判定；解直角三角形
【解析】【分析】（1）由 ，，推出四边形BCDE是平行四边形，再证明，即可得出结论；
（2）在中，证出，由此得出结论。
23．（2022九下·北京市开学考）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（8，0），C（0，4）．点D是矩形OABC对角线的交点．已知反比例函数（k≠0）在第一象限的图象经过点D，交BC于点M，交AB于点N．
（1）求点D的坐标和k的值；
（2）横纵坐标均为偶数的点称为偶点，比如E（2，4）．反比例函数图象在点M到点N之间的部分（包含M，N两点）与线段BM，BN围成的图形记为G．求图形G（包含边界）内偶点的个数，并写出偶点的坐标．
【答案】（1）解：∵点D是矩形OABC的对角线交点，
∴点D是矩形OABC的对角线AC的中点，
又∵A（8，0），C（0，4），
∴点D的坐标为（4，2）．
∵反比例函数的图象经过点D，
∴k＝2×4＝8；
（2）解：∵A（8，0），C（0，4），
∴B（8，4），
由题意可得：点M的纵坐标为4，点N的横坐标为8．
∵点M、点N在反比例函数的图象上，
∴点M的坐标为（2，4），N（8，1），
∵点D的坐标为（4，2），
∴在图形G（包含边界）内偶点有（2，4），（4，2），（4，4）（6，2），（6，4），（8，2），（8，4）共7个．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质
【解析】【分析】（1）先求得点D的坐标，再根据待定系数法即可得出答案；
（2）根据反比例函数的解析式求得M、N的坐标，结合图形，即可得出图形G内的偶点。
24．（2022九下·北京市开学考）为了实现伟大的强国复兴梦，全社会都在开展“扫黑除恶”专项斗争，某区为了解各学校老师对“扫黑除恶”应知应会知识的掌握情况，对甲、乙两个学校各180名老师进行了测试，从中各随机抽取30名教师的成绩（百分制），并对成绩（单位：分）进行整理、描述和分析，给出了部分成绩信息．
成绩（分） 频数 学校 90≤x＜92 92≤x＜94 94≤x＜96 96≤x＜98 98≤x≤100
甲校 2 3 5 10 10
甲校参与测试的老师成绩在96≤x＜98这一组的数据是：96，96.5，97，97.5，97，96.5，97.5，96，96.5，96.5
甲、乙两校参与测试的老师成绩的平均数平均数、中位数、众数如下表：
学校 平均数 中位数 众数
甲校 96.35 m分 99分
乙校
95.85 97.5份 99分
根据以上信息，回答下列问题：
（1）m＝ ；
（2）在此次随机抽样测试中，甲校的王老师和乙校的李老师成绩均为97分，则在各自学校参与测试老师中成绩的名次相比较更靠前的是 （填“王”或“李”）老师，请写出理由；
（3）在此次随机测试中，乙校96分以上（含96分）的总人数比甲校96分以上（含96分）的总人数的2倍少100人，试估计乙校96分以上（含96分）的总人数．
【答案】（1）96.5
（2）王
（3）解：甲校的96分以上人数为 人，
所以乙校的96分以上的人数为人．
【知识点】用样本估计总体；分析数据的集中趋势
【解析】【解答】解：（1）中位数 ，
故答案为96.5．
（2）根据中位数即可判断，甲校的王老师成绩在各自学校参与测试老师中成绩的名次相比较更靠前．
故答案为王．
【分析】（1）根据中位数的定义即可解决问题；
（2）利用中位数的性质即可判断；
（3）先确定甲校的96分以上的人数，再求出乙校的人数即可。
25．（2020·海门模拟）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD＝2∠BAC，连接CD，过点C作CE⊥DB，垂足为E，直径AB与CE的延长线相交于F点.
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）当BD＝ ，sinF＝ 时，求OF的长.
【答案】（1）解：连接OC.如图1所示：
∵OA＝OC，
∴∠1＝∠2.
又∵∠3＝∠1+∠2，
∴∠3＝2∠1.
又∵∠4＝2∠1，
∴∠4＝∠3，
∴OC∥DB.
∵CE⊥DB，
∴OC⊥CF.
又∵OC为⊙O的半径，
∴CF为⊙O的切线
（2）解：连接AD.如图2所示：
∵AB是直径，
∴∠D＝90°，
∴CF∥AD，
∴∠BAD＝∠F，
∴sin∠BAD＝sinF＝ ，
∴AB＝ BD＝6，
∴OB＝OC＝3，
∵OC⊥CF，
∴∠OCF＝90°，
∴sinF＝ ，
解得：OF＝5.
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）连接OC.先根据等边对等角及三角形外角的性质得出∠3＝2∠1，由已知∠4＝2∠1，得到∠4＝∠3，则OC∥DB，再由CE⊥DB，得到OC⊥CF，根据切线的判定即可证明CF为⊙O的切线；（2）连接AD.由圆周角定理得出∠D＝90°，证出∠BAD＝∠F，得出sin∠BAD＝sin∠F＝ ，求出AB＝ BD＝6，得出OB＝OC＝3，再由sinF＝ 即可求出OF.
26．（2022九下·北京市开学考）在平面直角坐标系中，二次函数与图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．
（1）若点B的坐标为，
①求此时二次函数的解析式；
②当时，函数值y的取值范围是，求n的值；
（2）将该二次函数图象在x轴上方的部分沿x轴翻折，其他部分保持不变，得到一个新的函数图象，若当时，这个新函数的函数值y随x的增大而增大，结合函数图象，求m的取值范围．
【答案】（1）解：①二次函数为，对称轴为．
令有：，解得：或．
∵为该二次函数图象与x轴靠右侧的交点，
∴点B在对称轴右侧，
∴，故．
∴二次函数解析式为．
②由于二次函数开口向下，且对称轴为．
∴时，函数值y随x的增大而减小；
∴当时，函数取得最大值3；
当时，函数取得最小值，
∴在范围内解得．
（2）解：令，得，解得，，
将函数图象在x轴上方的部分向下翻折后，新的函数图象增减性情况为：
当时，y随x的增大而增大，
当时，y随x的增大而减小，
当时，y随ⅹ的增大而增大，
当时，y随x的增大而减小．
因此，若当时，y随x的增大而增大，结合图象有：
①，即时符合题意；
②且，即时符合题意．
综上，m的取值范围是或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）先根据二次函数为，得出对称轴为直线．把x=3代入解析式求出m的值，根据题意点B在对称轴右侧，即，故，即可求出抛物线的解析式；②根据开口方向和对称轴地点当x=2时，函数取得最大值3，当x=m时，函数取得最小值，在范围内接的n的值即可；
（2）令，得，解得，，根据题意得出①，②且，即可求出m的取值范围。
27．（2022九下·北京市开学考）在正方形ABCD中，点P是边BC上一动点（不包含端点），线段AP的垂直平分线与AB、AP、BD、CD分别交于点M、E、F、N．
（1）过点B作BGMN交DC于G，求证：△BGC≌△APB；
（2）若AB＝9，BP＝3，求线段MN的长度；
（3）请你用等式表示线段ME，EF和FN的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）证明：如图，过点B作BG∥MN交DC于G，
∴BG⊥AP，
∴∠CBG+∠BPA＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCG＝90°，
∴∠CBG+∠CGB＝90°，
∴∠CGB＝∠BPA，
在△BGC与△APB中，，
∴△BGC≌△APB（AAS），
（2）解：∵△BGC≌△APB，
∴BG＝AP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∵BG∥MN，
∴四边形BMNG是平行四边形，
∴MN＝BG＝AP，
在Rt△ABP中，AB＝9，BP＝3，
∴，
∴MN＝；
（3）解：ME+FN＝EF．理由如下
证明：如图，过P作PH∥AB交MN于H，过F作ST∥AB交BC于S，交AD与T，连接AF，PF，
∵MN垂直平分AP，
∴AE＝PE，AF＝PF，
∵PH∥AB，
∴∠MAE＝∠HPE，
在△AME与△PHE中，，
∴△AME≌△PHE（ASA），
∴ME＝HE，
∵∠TDF＝∠FBP＝45°，
∴TD＝TF，FS＝BS，
∵四边形ABST是矩形，
∴BS＝AT，
∴FS＝AT，t
在Rt△FPS与Rt△ATF中，，
∴Rt△FPS≌Rt△ATF（HL），
∴PS＝TF，
∴PS＝TD，
∵四边形TSCD是矩形，
∴TD＝SC，
∴PS＝SC，
∵PH∥TS∥CD，
∴HF＝FN，
∴ME+FN＝EF．
【知识点】正方形的性质；四边形的综合
【解析】【分析】（1）过点B作BG∥MN交DC于G，利用AAS即可得出△BGC≌△APB；
（2）由△BGC≌△APB，得出BG＝AP，证明四边形BMNG是平行四边形，由平行四边形的性质得出MN＝BG＝AP，由勾股定理得出AP的长度，即可得出结果；
（3）过P作PH∥AB交MN于H，过F作ST∥AB交BC于S，交AD与与T，连接AF，PF，通过△AME≌△PHE（ASA），得出ME＝HE，再由矩形的性质和三角形全等得出BS＝AT，FS＝AT，利用HL证出Rt△FPS≌Rt△ATF，得出PS＝TF，PS＝TD，再根据平行线分线段成比例定理即可证明结论。
28．（2022九下·北京市开学考）对于⊙C和⊙C上的一点A，若平面内的点P满足：射线AP与⊙C交于点Q（点Q可以与点P重合），且1≤≤2，则点P称为点A关于⊙C的“生长点”．已知点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A（﹣1，0）．
（1）若点P是点A关于⊙O的“生长点”，且点P在x轴上，请写出一个符合条件的点P的坐标 ；
（2）若点B是点A关于⊙O的“生长点”，且满足∠BAO＝30°，求点B的纵坐标t的取值范围；
（3）直线y＝x+b与x轴交于点M，且与y轴交于点N，若线段MN上存在点A关于⊙O的“生长点”，直接写出b的取值范围是 ．
【答案】（1）（2，0）（答案不唯一）
（2）解：如图，在x轴上方作射线AM，与⊙O交于M，使得∠OAM＝30°，并在射线AM上取点N，使AM＝MN，作M、N关于x轴的对称点，得M'N'，
∴，
∵点B是点A关于⊙O的“生长点”，
∴线段MN和M'N'上的点是满足条件的点B，
作MH⊥x轴于H，连接MC，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠AMC＝90°，即∠AMH+∠HMC＝90°．
∴∠OAM＝∠HMC＝30°．
∴tan30°＝＝＝，
设MH＝y，则AH＝y，CH＝y，
∴AC＝AH+CH＝y＝2，
解得：y＝，即点M的纵坐标为．
∵AN＝2AM，A为（﹣1，0），
∴点N的纵坐标为，
∴在线段MN上，点B的纵坐标t满足：≤t≤，
由对称性，在线段M'N'上，点B的纵坐标t满足： ≤t≤ ，
∴点B的纵坐标t的取值范围是：≤t≤或 ≤t≤ ．
（3）﹣4﹣≤b≤﹣1或1≤b≤4﹣
【知识点】圆的综合题；定义新运算
【解析】【解答】(1)设⊙O与x轴的另一个交点为Q，
∵⊙O的半径为1，点A（﹣1，0），
∴QA=2，
∵点P是点A关于⊙O的“生长点”，点P在x轴上，
∴1≤ ≤2，即 ，
∴，
∴，
∴符合条件的点P的坐标可以为（2，0），
故答案为：（2，0）（答案不唯一）
(3)如图，Q是⊙O上异于点A的任意一点，延长AQ到P，使得PA＝2AQ，
∵Q的轨迹是以O为圆心，1为半径的圆，
∴点P的运动轨迹是以K（1，0）为圆心，2为半径的圆，
对于直线y＝ x+b，
当x=0时，y=b，即 ，
当y=0时，x= ，即 ，
∴tan∠OMN= ，
∴直线y＝ x+b与x轴夹角为60°，
当直线MN与⊙K相切于点R时，连接KR，则∠KRM＝90°，
∴∠KMR＝60°，KR＝2，
∴KM＝ ＝ ，
∴OM＝1+ ，
∴ON＝OM·tan60°＝4+ ，
∴b＝﹣4﹣ ，
当直线MN经过G（0，﹣1）时，满足条件，此时b＝﹣1，
观察图象可知：当﹣4﹣ ≤b≤﹣1时，线段MN上存在点A关于⊙O的“生长点”，
根据对称性，同法可得当1≤b≤4﹣ 时，也满足条件．
故答案为：﹣4﹣ ≤b≤﹣1或1≤b≤4﹣ ．
【分析】根据“生长点”的定义即可解决问题；
（2）在x轴上方作射线AM，与⊙O交于M，使得∠OAM＝30°，并在射线AM上取点N，使AM＝MN，作M、N关于x轴的对称点，得M'N'，由题意，线段MN和M'N'上的点是满足条件的点B，即可得解；
（3）Q是⊙O上异于点A的任意一点，延长AQ到P，使得PA＝2AQ，得出点P的运动轨迹是以K（1，0）为圆心，2为半径的圆，求出直线MN与⊙K相切于点R时，连接KR，则∠KRM＝90°，当直线MN经过G（0，﹣1）时，满足条件，此时b＝﹣1，即可判断，再根据对称性得出b>0时的取值范围。
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