黑龙江省哈尔滨市第六十九中学校2021-2022学年九年级下学期开学考试数学试卷
一、单选题
1．（2019七上·毕节期中） 的相反数是（ ）
A．-2 B．2 C． D．
2．（2022九下·哈尔滨开学考）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022九下·哈尔滨开学考）在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022九下·哈尔滨开学考）如图所示的几何体是由7个大小相同的小正方体组合而成的立体图形，则它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2019·香坊模拟）如图，圆O中，弦AB、CD互相垂直且相交于点P，∠A＝35°，则∠B的大小是（ ）
A．35° B．55° C．65° D．70°
6．（2022九下·哈尔滨开学考）反比例函数的图象经过点，则的值为（ ）
A．10 B．-10 C．4 D．-4
7．（2022九下·哈尔滨开学考）一个不透明的袋子中装有17个小球，其中6个红球、11个绿球，这些小球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2019·宁波模拟）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB=30°，则∠DAC的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022九下·哈尔滨开学考）如图，△ABC中，若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022九下·哈尔滨开学考）一艘轮船在航行中遇到暗礁，船身有一处出现进水现象，等到发现时，船内已有一定积水，船员立即开始自救，一边排水一边修船，假设轮船触礁后的时间为x分钟，船舱内积水量为y吨，修船过程中进水和排水速度不变，修船完工后排水速度加快，图中的折线表示y与x的函数关系．下列说法中正确的是（ ）
A．修船共用了38分钟时间；
B．修船过程中进水速度是排水速度的3倍；
C．修船完工后的排水速度是抢修过程中排水速度的3倍；
D．最初的仅进水速度和最后的仅排水速度相同．
二、填空题
11．（2022九下·哈尔滨开学考）用科学记数法表示为 ．
12．（2020·连云港模拟）函数 中，自变量 的取值范围是 ．
13．（2022九下·哈尔滨开学考）化简： ．
14．（2022九下·哈尔滨开学考）把多项式分解因式的结果为 ．
15．（2022九下·哈尔滨开学考）不等式组的解集是 ．
16．（2022九下·哈尔滨开学考）方程的解为x= ．
17．（2022九下·哈尔滨开学考）二次函数的最小值为 ．
18．（2019·南平模拟）已知扇形的弧长为4π，半径为8，则此扇形的面积为 ．
19．（2022九下·哈尔滨开学考）面积为的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为 ．
20．（2022九下·哈尔滨开学考）如图，矩形ABCD中，点E在BC边上，连接DE交对角线AC于点F，若，，，则线段AC的长为 ．
三、解答题
21．（2022九下·哈尔滨开学考）先化简，再求代数式的值，其中
22．（2021·永吉模拟）图1.2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段 的两个端点均在小正方形的顶点上；
（1）在图1中画出以 为底边的等腰直角 ，点 在小正方形顶点上；
（2）在图2中画出以 为腰的等腰 ，点 在小正方形的顶点上，且 的面积为8.
23．（2019·哈尔滨）建国七十周年到来之际，海庆中学决定举办以“祖国在我心中”为主题的读书活动．为了使活动更具有针对性，学校在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，要求学生在“教育、科技、国防、农业、工业”五类书籍中，选取自己最想读的一种（必选且只选一种）．学校将收集到的调查结果适当整理后，绘制成如图所示的不完整的统计图．请根据图中所给的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）如果海庆中学共有1500名学生，请你估计该校最想读科技类书籍的学生有多少名．
24．（2019·哈尔滨）
已知：在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F．
（1）如图1，求证：AE=CF；
（2）如图2，当∠ADB=30°时，连接AF、CE，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD面积的 ．
25．（2022九下·哈尔滨开学考）69中学计划购买A、B两种学习用品奖励学生，已知购买一个A比购买一个B多用20元，若用400元购买A的数量是用160元购买B数量的一半，
（1）求A、B两种学习用品每件多少钱？
（2）经商谈，商店给该校购买一个A奖品赠送一个B奖品的优惠，如果该校需要B奖品的个数是A奖品个数的2倍还多8个，且该学校购买A、B两种奖品的总费用不超过670元，那么该校最多可购买多少个A奖品？
26．（2022九下·哈尔滨开学考）已知AB为
直径，弦CD（不是直径）交AB于H，
．
（1）如图1，求证：
；
（2）如图2，E为AO上一点，连接CE并延长CE交
于点G，连接DG，
，垂足为N，求证：
；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F在CD延长线上，
，
，若
半径为5．
，求线段NG的长．
27．（2022九下·哈尔滨开学考）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线交x轴的负半轴于点A，交x轴的正半轴于点B，交y轴于点C，连接AC，且．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P在第三象限的抛物线上，连接BP交y轴于点D，设点P横坐标为t，线段CD的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图2，在（2）的条件下，点E在线段OB上，且，连接DE，F在y轴正半轴上，连接BF交抛物线于点G，，若，求点G的坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】因为 ，所以 的相反数是 .
故答案为D
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数可求解.
2．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘多项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】A、 ，故A符合题意；
B、 ，故B不符合题意；
C、 ，故C不符合题意；
D、 ，故D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方、单项式乘多项式的计算方法求解即可。
3．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故该选项符合题意；
B.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
C. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
D. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可。
4．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：该几何体的主视图是
故答案为：A
【分析】根据三视图的定义求解即可。
5．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：由题意可知：∠DPA＝90°，
∵∠A＝35°，
∴由三角形的内角和定理可知：∠D＝55°，
由圆周角定理可知：∠B＝∠D＝55°，
故答案为：B．
【分析】根据圆周角定理即可求出答案．
6．【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】∵反比例函数 的图象经过点（ 2，5），
∴2 3k＝ 2×5＝ 10，
∴ 3k＝ 12，
∴k＝4，
故答案为：C．
【分析】将点（ 2，5）代入 求出k的值即可。
7．【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵不透明的袋子中装有17个小球，其中6个红球、11个绿球，
∴摸出的小球是红球的概率为 ；
故答案为：A．
【分析】利用概率公式求解即可。
8．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】△ABC≌△DEC，
∴∠ACB=∠DCE=30°，AC=DC，
∴∠DAC=（180° ∠DCA）÷2=（180° 30°）÷2=75°.
故答案为：D.
【分析】根据全等三角形的对应角，对应边相等，可得∠ACB=∠DCE=30°，AC=DC，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠DAC的度数即可.
9．【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝ ，BD≠BC，
∴≠ ，选项A不符合题意；
∵DE∥BC，EF∥AB，
∴＝ ，EF=BD， ＝ ，
∵≠ ，
∴≠ ，选项B不符合题意；
∵EF∥AB，
∴＝ ，选项C符合题意；
∵DE∥BC，EF∥AB，
∴＝ ， = ，CE≠AE，
∴≠ ，选项D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用平行线分线段成比例的性质逐项判断即可。
10．【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：由图可得，
修船共用了26-10=16分钟时间，故A不符合题意；
修船过程中进水速度为： （吨/分钟），排水速度是 （吨/分钟），故修船过程中进水速度是排水速度的4倍，故B不符合题意；
修船完工后的排水速度是 （吨/分钟），故修船完工后的排水速度是抢修过程中排水速度的4倍，故C不符合题意；
由上可得，最初的仅进水速度和最后的仅排水速度相同，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各小题中的结论是否成立，从而解答本题。
11．【答案】3.8×104
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】将38000用科学记数法表示为3.8×104．
故答案为3.8×104．
【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
12．【答案】x≥0且x≠2
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得，x≥0且x 2≠0，
解得x≥0且x≠2．
故答案为：x≥0且x≠2．
【分析】根据二次根式被开方数大于等于0，分式分母不等于0列式计算即可得解．
13．【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：原式
故答案为： ．
【分析】先利用二次根式的性质化简，再计算二次根式的减法即可。
14．【答案】x（y+2）（y-2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式
故答案为：x（y+2）（y-2）．
【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式因式分解即可。
15．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式 得：
解不等式 得：
则不等式组的解集为：
故答案为：
【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求解即可。
16．【答案】5
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
去分母得：
去括号得：
移项合并得：
经检验， 是原分式方程的解
故答案为：5．
【分析】先去分母，再利用整式方程的解法求解，最后检验即可。
17．【答案】3
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：
∵，开口向上
对称轴为直线
∴当 时，y有最小值，最小值为3，
故答案为：3
【分析】利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式，即可得到答案。
18．【答案】16π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：S扇形＝ lR＝ ×4π×8＝16π．
故答案为：16π
【分析】直接利用扇形面积公式计算即可。
19．【答案】或20
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：①如下图所示：
当 ， 时，设
作 于点D
∵
∴
∴
∴
∴的腰长为边的正方形的面积为
②如下图所示
当 ， 时，设
作 交CA的延长线于点D
∵
∴
∴，
在 中， ，
∴
∴
∴
∴的腰长为边的正方形的面积为
综上所述： 的腰长为边的正方形的面积为 或
故答案为： 或20
【分析】当 ， 时，设 ，当 ， 时，设 ，分两种情况得出 的腰长为边的正方形的面积即可。
20．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接 ，如图，
设 ，
四边形 是矩形
， ， ，
，
，则
在 中，
故答案为： ．
【分析】连接BD，设 ，根据矩形的性质得出 ， ， ， ，利用勾股定理得出EC、BD的值，由此即可得解。
21．【答案】解：
将代入上式，得：
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再利用特殊角的三角函数值求出m的值，最后将m的值代入计算即可。
22．【答案】（1）解：作 的垂直平分线，作以 为直径的圆，垂直平分线与圆的交点即为点 ；
（2）解：以 为圆心， 为半径作圆，格点即为点 ；
【知识点】等腰直角三角形；尺规作图的定义
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）根据等腰三角形的性质和△ACD的面积为8作图即可。
23．【答案】（1）解： 18÷30％=60（名）
答： 在这次调查中，一共抽取了60名学-生.
（2）解： 最想读国防的人数为： 60-18-9-12=6=15
如图
（3）解：
答： 该校最想读科技类书籍的学生有225名 .
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【分析】（1）根据一共抽取的学生人数=教育类的人数÷教育类的人数所占的百分比，列式计算。
（2）先求出国防类的人数，再补全条形统计图。
（3）利用海庆中学的学生总人数× 最想读科技类书籍的人数所占的百分比，列式计算可求解。
24．【答案】（1）证明： ∵四边形ABCD是矩形
∴AB∥CD，AB=CD
∴∠ABE=∠CDF
∵AE⊥BD，CE⊥BD
∴∠AEB=∠CFD=90°
在△ABE和△CDF中
∴△ABE≌△CDF（AAS）
∴AE=CF
（2）解： ∵△ABE≌△CDF
∴BE=DF
∴S△AFD=S△ABE=S△FDC=S△BEC
∵ ∠ADB=30°
∴∠BAE=30°
在Rt△ABE中，∠BAE=30°
设BE=x，则AB=2x，AE=
在Rt△ABD中，∠BDA=30°，则∠ABD=60°
∴AD=ABtan60°=
∵S△ABE=
S矩形ABCD=
∴S△ABE：S矩形ABCD=
∴ 每个三角形的面积都等于矩形ABCD面积的 的三角形有： △AFD，△ABE，△FDC，△BEC
【知识点】全等三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；矩形的性质
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质易证AB∥CD，AB=CD，利用平行线的性质及垂直的定义，可证得∠ABE=∠CDF及∠AEB=∠CFD，然后利用AAS可得到△ABE≌△CDF，然后利用全等三角形的性质，可证得结论。
（2）利用全等三角形的性质，可证得BE=DF，再根据全等三角形的面积相等及等底等高的三角形的面积相等，就可证得S△AFD=S△ABE=S△FDC=S△BEC，在Rt△ABE中，由∠BAE=30°，设BE=x，利用解直角三角形分别表示出AE、AD、AB，然后分别求出△ABE和矩形ABCD的面积，就可得到△ABE和矩形ABCD的面积之比，继而可得出结果。
25．【答案】（1）解：设购买B奖品的每个单价是x元，则购买A奖品的每个单价是（x+20）元．
根据题意 得，
解得x=5，
经检验，x=5是原方程的解．
所以 x+20=25．
答：买A奖品的每个单价是25元，购买B奖品的每个单价是5元
（2）解：设学校购买a个A奖品，则需要购买（2a+8）个B奖品，
由题意得25a+5（2a+8-a）≤670，
解得a≤21．
故该学校最多可购买21个A奖品．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设购买B奖品的每个单价是x元，则购买A奖品的每个单价是（x+20）元，根据题意列出方程，再求解即可；
（2）设学校购买a个A奖品，则需要购买（2a+8）个B奖品，根据题意列出不等式25a+5（2a+8-a）≤670求解即可。
26．【答案】（1）证明：如图1，连接OC、OD
∵
∴
∵
∴
在 和 中，
∴
∴
∴
（2）证明：延长BN交 于点M，连接AM、CM、AG
∵AB为直径
∴，
∵
∴
∴
∵四边形MCGA是⊙O的内接四边形
∴
∴
∴
过点A作CG的垂线交CG于点P
∴
∵
∴四边形AMNP为矩形
∴，
在 和 中，
∴
∴
∵， ，
∴
∵，
∴，
∴
∴
∴
∵
∴
（3）解：作 的平分线交CF于点Q
∵，
∴
∵
∴
∵
∴
∴即
∵
∴
由射影定理可得：
设 ，
∵
∴， ， ，
∴，
在 中，由勾股定理可得：
∴化简得
∴
设 ，
则 ， ，
∵，
∴
∴
∵
∴
∵，
∴
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先利用“ＡＳＡ”证明
，再利用全等三角形的性质可得
，因此
；
（2）延长BN交于点M，连接AM、CM、AG，过点A作CG的垂线交CG于点P，证明四边形AMNP为矩形，可得ＭＮ＝ＡＰ，ＡＭ＝ＮＰ，再利用“ＳＡＳ”证明，可得ＣＮ＝GP，再利用
，，可得
，再证明
，即可得到
；
（3）先证明
，再利用相似三角形的性质可得
即 ，设， ，由勾股定理可得，化简可得
， 设， ，再证明
，可得
，结合AB=10可得
，再利用
计算即可。
27．【答案】（1）解：令，得：
∴，
在中，，即：
∴，
将代入，得：
∴
（2）解：令，即：
解得：，
∴
过点P作作于点N
设
则，，
在中，
在中，
即：
∴
∴
（3）解：在OE上取一点M，连接DM，使
则
∴
∵
∴
∵，，
∴
∴
设
则
在中，
设，则
在中，由勾股定理可得：
即：
解得：
即：
在中，
∵
∴
∴
∴
∴
设直线BF的函数关系式为：
则，解得：
∴
令
解得：，
当时，
∴
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）先求出点C的坐标，再结合
求出点A的坐标，最后将点A的坐标代入
求出a的值即可；
（2）过点P作作于点N，设，则，，，再利用
，
，可得
求出
，即可得到
；
（3）在OE上取一点M，连接DM，使，设，则，再结合
，设，则，由勾股定理可得
，求出
，再结合
，
可得
，求出a的值，即可得到点F的坐标，再利用待定系数法求出直线BF的解析式
，再利用
求出x的值，即可得到点G的坐标。
1 / 1黑龙江省哈尔滨市第六十九中学校2021-2022学年九年级下学期开学考试数学试卷
一、单选题
1．（2019七上·毕节期中） 的相反数是（ ）
A．-2 B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】因为 ，所以 的相反数是 .
故答案为D
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数可求解.
2．（2022九下·哈尔滨开学考）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘多项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】A、 ，故A符合题意；
B、 ，故B不符合题意；
C、 ，故C不符合题意；
D、 ，故D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方、单项式乘多项式的计算方法求解即可。
3．（2022九下·哈尔滨开学考）在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故该选项符合题意；
B.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
C. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
D. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可。
4．（2022九下·哈尔滨开学考）如图所示的几何体是由7个大小相同的小正方体组合而成的立体图形，则它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：该几何体的主视图是
故答案为：A
【分析】根据三视图的定义求解即可。
5．（2019·香坊模拟）如图，圆O中，弦AB、CD互相垂直且相交于点P，∠A＝35°，则∠B的大小是（ ）
A．35° B．55° C．65° D．70°
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：由题意可知：∠DPA＝90°，
∵∠A＝35°，
∴由三角形的内角和定理可知：∠D＝55°，
由圆周角定理可知：∠B＝∠D＝55°，
故答案为：B．
【分析】根据圆周角定理即可求出答案．
6．（2022九下·哈尔滨开学考）反比例函数的图象经过点，则的值为（ ）
A．10 B．-10 C．4 D．-4
【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】∵反比例函数 的图象经过点（ 2，5），
∴2 3k＝ 2×5＝ 10，
∴ 3k＝ 12，
∴k＝4，
故答案为：C．
【分析】将点（ 2，5）代入 求出k的值即可。
7．（2022九下·哈尔滨开学考）一个不透明的袋子中装有17个小球，其中6个红球、11个绿球，这些小球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵不透明的袋子中装有17个小球，其中6个红球、11个绿球，
∴摸出的小球是红球的概率为 ；
故答案为：A．
【分析】利用概率公式求解即可。
8．（2019·宁波模拟）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB=30°，则∠DAC的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】△ABC≌△DEC，
∴∠ACB=∠DCE=30°，AC=DC，
∴∠DAC=（180° ∠DCA）÷2=（180° 30°）÷2=75°.
故答案为：D.
【分析】根据全等三角形的对应角，对应边相等，可得∠ACB=∠DCE=30°，AC=DC，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠DAC的度数即可.
9．（2022九下·哈尔滨开学考）如图，△ABC中，若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝ ，BD≠BC，
∴≠ ，选项A不符合题意；
∵DE∥BC，EF∥AB，
∴＝ ，EF=BD， ＝ ，
∵≠ ，
∴≠ ，选项B不符合题意；
∵EF∥AB，
∴＝ ，选项C符合题意；
∵DE∥BC，EF∥AB，
∴＝ ， = ，CE≠AE，
∴≠ ，选项D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用平行线分线段成比例的性质逐项判断即可。
10．（2022九下·哈尔滨开学考）一艘轮船在航行中遇到暗礁，船身有一处出现进水现象，等到发现时，船内已有一定积水，船员立即开始自救，一边排水一边修船，假设轮船触礁后的时间为x分钟，船舱内积水量为y吨，修船过程中进水和排水速度不变，修船完工后排水速度加快，图中的折线表示y与x的函数关系．下列说法中正确的是（ ）
A．修船共用了38分钟时间；
B．修船过程中进水速度是排水速度的3倍；
C．修船完工后的排水速度是抢修过程中排水速度的3倍；
D．最初的仅进水速度和最后的仅排水速度相同．
【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：由图可得，
修船共用了26-10=16分钟时间，故A不符合题意；
修船过程中进水速度为： （吨/分钟），排水速度是 （吨/分钟），故修船过程中进水速度是排水速度的4倍，故B不符合题意；
修船完工后的排水速度是 （吨/分钟），故修船完工后的排水速度是抢修过程中排水速度的4倍，故C不符合题意；
由上可得，最初的仅进水速度和最后的仅排水速度相同，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各小题中的结论是否成立，从而解答本题。
二、填空题
11．（2022九下·哈尔滨开学考）用科学记数法表示为 ．
【答案】3.8×104
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】将38000用科学记数法表示为3.8×104．
故答案为3.8×104．
【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
12．（2020·连云港模拟）函数 中，自变量 的取值范围是 ．
【答案】x≥0且x≠2
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得，x≥0且x 2≠0，
解得x≥0且x≠2．
故答案为：x≥0且x≠2．
【分析】根据二次根式被开方数大于等于0，分式分母不等于0列式计算即可得解．
13．（2022九下·哈尔滨开学考）化简： ．
【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：原式
故答案为： ．
【分析】先利用二次根式的性质化简，再计算二次根式的减法即可。
14．（2022九下·哈尔滨开学考）把多项式分解因式的结果为 ．
【答案】x（y+2）（y-2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式
故答案为：x（y+2）（y-2）．
【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式因式分解即可。
15．（2022九下·哈尔滨开学考）不等式组的解集是 ．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式 得：
解不等式 得：
则不等式组的解集为：
故答案为：
【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求解即可。
16．（2022九下·哈尔滨开学考）方程的解为x= ．
【答案】5
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
去分母得：
去括号得：
移项合并得：
经检验， 是原分式方程的解
故答案为：5．
【分析】先去分母，再利用整式方程的解法求解，最后检验即可。
17．（2022九下·哈尔滨开学考）二次函数的最小值为 ．
【答案】3
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：
∵，开口向上
对称轴为直线
∴当 时，y有最小值，最小值为3，
故答案为：3
【分析】利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式，即可得到答案。
18．（2019·南平模拟）已知扇形的弧长为4π，半径为8，则此扇形的面积为 ．
【答案】16π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：S扇形＝ lR＝ ×4π×8＝16π．
故答案为：16π
【分析】直接利用扇形面积公式计算即可。
19．（2022九下·哈尔滨开学考）面积为的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为 ．
【答案】或20
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：①如下图所示：
当 ， 时，设
作 于点D
∵
∴
∴
∴
∴的腰长为边的正方形的面积为
②如下图所示
当 ， 时，设
作 交CA的延长线于点D
∵
∴
∴，
在 中， ，
∴
∴
∴
∴的腰长为边的正方形的面积为
综上所述： 的腰长为边的正方形的面积为 或
故答案为： 或20
【分析】当 ， 时，设 ，当 ， 时，设 ，分两种情况得出 的腰长为边的正方形的面积即可。
20．（2022九下·哈尔滨开学考）如图，矩形ABCD中，点E在BC边上，连接DE交对角线AC于点F，若，，，则线段AC的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接 ，如图，
设 ，
四边形 是矩形
， ， ，
，
，则
在 中，
故答案为： ．
【分析】连接BD，设 ，根据矩形的性质得出 ， ， ， ，利用勾股定理得出EC、BD的值，由此即可得解。
三、解答题
21．（2022九下·哈尔滨开学考）先化简，再求代数式的值，其中
【答案】解：
将代入上式，得：
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再利用特殊角的三角函数值求出m的值，最后将m的值代入计算即可。
22．（2021·永吉模拟）图1.2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段 的两个端点均在小正方形的顶点上；
（1）在图1中画出以 为底边的等腰直角 ，点 在小正方形顶点上；
（2）在图2中画出以 为腰的等腰 ，点 在小正方形的顶点上，且 的面积为8.
【答案】（1）解：作 的垂直平分线，作以 为直径的圆，垂直平分线与圆的交点即为点 ；
（2）解：以 为圆心， 为半径作圆，格点即为点 ；
【知识点】等腰直角三角形；尺规作图的定义
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）根据等腰三角形的性质和△ACD的面积为8作图即可。
23．（2019·哈尔滨）建国七十周年到来之际，海庆中学决定举办以“祖国在我心中”为主题的读书活动．为了使活动更具有针对性，学校在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，要求学生在“教育、科技、国防、农业、工业”五类书籍中，选取自己最想读的一种（必选且只选一种）．学校将收集到的调查结果适当整理后，绘制成如图所示的不完整的统计图．请根据图中所给的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）如果海庆中学共有1500名学生，请你估计该校最想读科技类书籍的学生有多少名．
【答案】（1）解： 18÷30％=60（名）
答： 在这次调查中，一共抽取了60名学-生.
（2）解： 最想读国防的人数为： 60-18-9-12=6=15
如图
（3）解：
答： 该校最想读科技类书籍的学生有225名 .
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【分析】（1）根据一共抽取的学生人数=教育类的人数÷教育类的人数所占的百分比，列式计算。
（2）先求出国防类的人数，再补全条形统计图。
（3）利用海庆中学的学生总人数× 最想读科技类书籍的人数所占的百分比，列式计算可求解。
24．（2019·哈尔滨）
已知：在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F．
（1）如图1，求证：AE=CF；
（2）如图2，当∠ADB=30°时，连接AF、CE，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD面积的 ．
【答案】（1）证明： ∵四边形ABCD是矩形
∴AB∥CD，AB=CD
∴∠ABE=∠CDF
∵AE⊥BD，CE⊥BD
∴∠AEB=∠CFD=90°
在△ABE和△CDF中
∴△ABE≌△CDF（AAS）
∴AE=CF
（2）解： ∵△ABE≌△CDF
∴BE=DF
∴S△AFD=S△ABE=S△FDC=S△BEC
∵ ∠ADB=30°
∴∠BAE=30°
在Rt△ABE中，∠BAE=30°
设BE=x，则AB=2x，AE=
在Rt△ABD中，∠BDA=30°，则∠ABD=60°
∴AD=ABtan60°=
∵S△ABE=
S矩形ABCD=
∴S△ABE：S矩形ABCD=
∴ 每个三角形的面积都等于矩形ABCD面积的 的三角形有： △AFD，△ABE，△FDC，△BEC
【知识点】全等三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；矩形的性质
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质易证AB∥CD，AB=CD，利用平行线的性质及垂直的定义，可证得∠ABE=∠CDF及∠AEB=∠CFD，然后利用AAS可得到△ABE≌△CDF，然后利用全等三角形的性质，可证得结论。
（2）利用全等三角形的性质，可证得BE=DF，再根据全等三角形的面积相等及等底等高的三角形的面积相等，就可证得S△AFD=S△ABE=S△FDC=S△BEC，在Rt△ABE中，由∠BAE=30°，设BE=x，利用解直角三角形分别表示出AE、AD、AB，然后分别求出△ABE和矩形ABCD的面积，就可得到△ABE和矩形ABCD的面积之比，继而可得出结果。
25．（2022九下·哈尔滨开学考）69中学计划购买A、B两种学习用品奖励学生，已知购买一个A比购买一个B多用20元，若用400元购买A的数量是用160元购买B数量的一半，
（1）求A、B两种学习用品每件多少钱？
（2）经商谈，商店给该校购买一个A奖品赠送一个B奖品的优惠，如果该校需要B奖品的个数是A奖品个数的2倍还多8个，且该学校购买A、B两种奖品的总费用不超过670元，那么该校最多可购买多少个A奖品？
【答案】（1）解：设购买B奖品的每个单价是x元，则购买A奖品的每个单价是（x+20）元．
根据题意 得，
解得x=5，
经检验，x=5是原方程的解．
所以 x+20=25．
答：买A奖品的每个单价是25元，购买B奖品的每个单价是5元
（2）解：设学校购买a个A奖品，则需要购买（2a+8）个B奖品，
由题意得25a+5（2a+8-a）≤670，
解得a≤21．
故该学校最多可购买21个A奖品．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设购买B奖品的每个单价是x元，则购买A奖品的每个单价是（x+20）元，根据题意列出方程，再求解即可；
（2）设学校购买a个A奖品，则需要购买（2a+8）个B奖品，根据题意列出不等式25a+5（2a+8-a）≤670求解即可。
26．（2022九下·哈尔滨开学考）已知AB为
直径，弦CD（不是直径）交AB于H，
．
（1）如图1，求证：
；
（2）如图2，E为AO上一点，连接CE并延长CE交
于点G，连接DG，
，垂足为N，求证：
；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F在CD延长线上，
，
，若
半径为5．
，求线段NG的长．
【答案】（1）证明：如图1，连接OC、OD
∵
∴
∵
∴
在 和 中，
∴
∴
∴
（2）证明：延长BN交 于点M，连接AM、CM、AG
∵AB为直径
∴，
∵
∴
∴
∵四边形MCGA是⊙O的内接四边形
∴
∴
∴
过点A作CG的垂线交CG于点P
∴
∵
∴四边形AMNP为矩形
∴，
在 和 中，
∴
∴
∵， ，
∴
∵，
∴，
∴
∴
∴
∵
∴
（3）解：作 的平分线交CF于点Q
∵，
∴
∵
∴
∵
∴
∴即
∵
∴
由射影定理可得：
设 ，
∵
∴， ， ，
∴，
在 中，由勾股定理可得：
∴化简得
∴
设 ，
则 ， ，
∵，
∴
∴
∵
∴
∵，
∴
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先利用“ＡＳＡ”证明
，再利用全等三角形的性质可得
，因此
；
（2）延长BN交于点M，连接AM、CM、AG，过点A作CG的垂线交CG于点P，证明四边形AMNP为矩形，可得ＭＮ＝ＡＰ，ＡＭ＝ＮＰ，再利用“ＳＡＳ”证明，可得ＣＮ＝GP，再利用
，，可得
，再证明
，即可得到
；
（3）先证明
，再利用相似三角形的性质可得
即 ，设， ，由勾股定理可得，化简可得
， 设， ，再证明
，可得
，结合AB=10可得
，再利用
计算即可。
27．（2022九下·哈尔滨开学考）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线交x轴的负半轴于点A，交x轴的正半轴于点B，交y轴于点C，连接AC，且．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P在第三象限的抛物线上，连接BP交y轴于点D，设点P横坐标为t，线段CD的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图2，在（2）的条件下，点E在线段OB上，且，连接DE，F在y轴正半轴上，连接BF交抛物线于点G，，若，求点G的坐标．
【答案】（1）解：令，得：
∴，
在中，，即：
∴，
将代入，得：
∴
（2）解：令，即：
解得：，
∴
过点P作作于点N
设
则，，
在中，
在中，
即：
∴
∴
（3）解：在OE上取一点M，连接DM，使
则
∴
∵
∴
∵，，
∴
∴
设
则
在中，
设，则
在中，由勾股定理可得：
即：
解得：
即：
在中，
∵
∴
∴
∴
∴
设直线BF的函数关系式为：
则，解得：
∴
令
解得：，
当时，
∴
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）先求出点C的坐标，再结合
求出点A的坐标，最后将点A的坐标代入
求出a的值即可；
（2）过点P作作于点N，设，则，，，再利用
，
，可得
求出
，即可得到
；
（3）在OE上取一点M，连接DM，使，设，则，再结合
，设，则，由勾股定理可得
，求出
，再结合
，
可得
，求出a的值，即可得到点F的坐标，再利用待定系数法求出直线BF的解析式
，再利用
求出x的值，即可得到点G的坐标。
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