黑龙江省哈尔滨市第四十七中学2021-2022学年九年级下学期开学考试数学试卷
一、单选题
1．（2019·嘉善模拟）-2的倒数是（ ）
A．-2 B． C． D．2
【答案】B
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】-2的倒数是-
故答案为：B
【分析】求一个数的倒数就是用1除以这个数的商，即可求解。
2．（2022九下·哈尔滨开学考）下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、∵，故本选项不符合题意；
B、∵，故本选项不符合题意；
C、∵，故本选项符合题意；
D、
，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用合并同类项、去括号、幂的乘方和同底数幂的除法逐项判断即可。
3．（2022九下·哈尔滨开学考）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可。
4．（2020七上·福田期中）用6个完全相同的小正方体组合成如图所示的立方体图形，它的主视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】找到从正面看所得到的图形，从正面看共2层，易得上层两边各1个正方形，下层有3个正方形．
故答案为：A．
【分析】利用三视图求解即可。
5．（2019九上·遵义月考）二次函数 的最小值是 （ ）
A． 2 B．2 C． 1 D．1
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：二次函数y=（x-1）2+2的最小值为2.
故答案为：B
【分析】对于二次函数的顶点式y=a （x-h）+k，若此函数有最小值，则函数的最小值为k，可得到答案。
6．（2022九下·哈尔滨开学考）在反比例函数图像的每一个象限内，y都随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：
在反比例函数
的图象的每一个象限内，
都随
的增大而增大，
，即
．
故答案为：B．
【分析】根据反比例函数的性质和系数的关系可得
，再求出k的取值范围即可。
7．（2022九下·哈尔滨开学考）有一张矩形纸片，，，将纸片折叠使边落在边上，折痕为，再将以为折痕向右折叠，与交于点（如下图），则的长为（ ）
A．0.5 B．0.75 C．1 D．1.25
【答案】C
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵AB=2.5，AD=1.5
∴AD=DE=1.5，BD=AB-AD=1，A′B=0.5
∵BF∥DE
∴A′B：A′D=BF：DE
∴BF=0.5
∴CF=BC-BF=1．
故答案为：C．
【分析】先利用折叠的性质和线段的和差求出AD=DE=1.5，BD=AB-AD=1，A′B=0.5，再利用平行线分线段成比例的性质可得A′B：A′D=BF：DE，求出BF=0.5，最后利用CF=BC-BF计算即可。
8．（2021八下·槐荫期末）如图，在 中， ，在同一平面内，将 绕点A旋转到 的位置，使得 ，则 的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．50°
【答案】A
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵将 绕点A旋转到 的位置，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：A．
【分析】先求出 ，再求出 ，最后计算求解即可。
9．（2022九下·哈尔滨开学考）如图，点D是△ABC的边AB上的一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，连接BE，过点D作BE的平行线交AC于点F，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵DE//BC，∴，故A不符合题意；
∵DF//BE，∴△ADF∽△ABF， ∴，故B不符合题意；
∵DF//BE，∴，∵，∴，故C不符合题意；
∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵DF//BE，∴，∴，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用相似三角形的判定和性质求解或者利用平行线分线段成比例的性质求解即可。
二、多选题
10．（2022九下·哈尔滨开学考）在运动会径赛中，甲、乙同时起跑，刚跑出200m，甲不慎摔倒，他又迅速地爬起来继续投入比赛，若他们所跑的路程与比赛时间的关系如图，有下列说法不正确的是（ ）
A．乙全程的平均速度为6.4m/s
B．甲再次投入比赛后的平均速度为7.5m/s
C．当乙到达终点时，甲距离终点还有32米
D．甲再次投入比赛后在距离终点300米时追上了乙
【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：由图可得，甲、乙二人跑的路程为800米，
乙跑完全程用了125秒，
所以，乙全程的平均速度为800÷125=6.4m/s，A不符合题意；
甲再次投入比赛后用的时间为120-40=80秒，跑的路程为800-200=600米，
所以，甲再次投入比赛后的平均速度为600÷80=7.5m/s，B不符合题意；
甲比乙先到达终点，C符合题意；
设甲再次投入比赛后，追上乙时的时间为ts，
6.4t=200+（t-40）×7.5，
解得，t=
，
∴甲再次投入比赛后在距离终点：800-6.4×
=
≠300，D符合题意，
故答案为：CD．
【分析】通过图象中的数据分析求解即可。
三、填空题
11．（2022九下·哈尔滨开学考）按照“双减”要求，寒假减少作业量，同学们的假期拥有更多自由时间，据禹鑫小朋友统计，2021年寒假他练习书法一共书写40500个字，将40500用科学记数法表示为 ．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：40500用科学记数法表示为：4.05×104．
故答案为：4.05×104．
【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
12．（2022九下·哈尔滨开学考）在函数中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】x≠0
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：函数
中自变量x的取值范围是x≠0．
故答案为：x≠0．
【分析】利用分式有意义的条件可得x≠0。
13．（2020九上·哈尔滨月考） ．
【答案】
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：
= ．
故答案为： ．
【分析】根据题意，将二次根式化简，运算得到答案即可。
14．（2022九下·哈尔滨开学考）分解因式： ．
【答案】2a（a-2b）2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
=2a（a2-4ab+4b2）
=2a（a-2b）2．
故答案为：2a（a-2b）2．
【分析】先提取公因式2a，再利用完全平方公式因式分解即可。
15．（2022九下·哈尔滨开学考）不等式组的解集是 ．
【答案】-2＜x≤0
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①得，
，
解不等式②得，
，
则原不等式组的解集为：-2＜x≤0．
故答案为：-2＜x≤0．
【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求解即可。
16．（2022九下·哈尔滨开学考）天一和润泽两位小朋友做游戏，在一个不透明的袋子中有4个分别标有数字6，2，，的球，这些球除所标的数字不同外其他都相同，从袋子中随机摸出两个球，若这两个球上的两个数字之积为负数则天一赢，若这两个球上的两个数字之积为正数则润泽赢，问：天一赢的概率是 ．
【答案】
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：作出树状图如图所示：
由图可得共有12种可能性，且为负数（即两个数异号）的可能性有8种，
∴，
即天一赢的概率为
，
故答案为：
．
【分析】先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
17．（2020九上·福州月考）一个扇形的弧长是 ，它的面积为 ，则这个扇形的圆心角度数为 度．
【答案】120
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵S扇形= lR，
∴12π= ×4πR，
解得，R=6．
∵l= ，
∴4π= ，
解得，n=120°．
故答案为：120．
【分析】根据扇形面积公式S= lR求得半径R的长度；然后由弧长公式来求圆心角的度数．
18．（2022九下·哈尔滨开学考）如图，已知BD是的外接圆直径，且，，则 ．
【答案】5
【知识点】圆周角定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，连接
，
由图可知
（同弧所对的圆周角相等），
且
（直径所对的圆周角等于90°），
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：5．
【分析】连接CD，根据圆周角的性质可得
，再利用
可得
，再利用解直角三角形的方法可得
。
19．（2022九下·哈尔滨开学考）在中，，，以AC为一边作正方形ACDE，过点D作交直线BC于点F，则BF的长为 ．
【答案】2或10
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：分两种情况：①过点A作AM⊥BC于点M，如图1所示，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴
由勾股定理得，AM
4，
∵四边形ACDE是正方形
∴ ，
∴∠ACM+∠FCD=90°，
又AM⊥BC
∴∠MAC+∠ACM=90°，
∴∠MAC=∠FCD，
在△AMC和△CFD中，
，
∴△AMC≌△CFD（AAS），
∴CF=AM= 4，
∴BF=BC+CF=6+4=10，
②如图2所示，
同理可得，AM=4，MC=3，
又四边形ACDE是正方形
∴ ，
∵∠ACM+∠FCD=90°，∠MAC+∠ACM=90°，
∴∠MAC=∠FCD，
在△AMC和△CFD中，
，
∴△AMC≌△CFD（AAS），
∴FC=AM= 4，
∴BF=BC-CF=6-4=2．
综上所述，BF的长为2或10
故答案为：2或10
【分析】分两种情况：①过点A作AM⊥BC于点M，如图1所示，先利用勾股定理求出AM=4，再利用“AAS”证明△AMC≌△CFD，可得CF=AM= 4，再利用线段的和差可得BF=BC+CF=6+4=10；②如图2所示，先利用勾股定理求出AM=4，再利用“AAS”证明△AMC≌△CFD，可得CF=AM= 4，再利用线段的和差可得BF=BC-CF=6-4=2，即可得解。
20．（2022九下·哈尔滨开学考）在中，，点D、E分别在边AC、BC上，，且，若，则边BC的长为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠A＝90°，
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∵BD＝CD，
∴∠DBC＝∠C，
∴∠ADB＝∠DBC+∠C＝2∠C，
∵∠C+
∠CDE＝45°
∴2∠C+∠CDE＝90°，
∴∠ADB+∠CDE＝90°，
∴∠BDE＝90°，
作DF⊥BC于F，如图所示：
则BF＝CF，△DEF∽△BED∽△BDF，
∴，
设EF＝x，则DF＝2x，BF＝CF＝4x，
∴BC＝8x，DE＝
x，
∴CD＝BD＝2
x，AC＝6+2
x，
∵∠DFC＝∠A＝90°，∠C＝∠C，
∴△CDF∽△CBA，
∴，即
，
解得：x＝
，
∴BC＝8
；
故答案为：8
．
【分析】作DF⊥BC于F，根据△DEF∽△BED∽△BDF，可得
，设EF＝x，则DF＝2x，BF＝CF＝4x，则BC＝8x，DE＝
x，再证明△CDF∽△CBA，可得
，即
，求出x的值即可。
四、解答题
21．（2022九下·哈尔滨开学考）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
，代入得：
原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再利用特殊角的三角函数值求出x的值，最后将x的值代入计算即可。
22．（2022九下·哈尔滨开学考）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB和线段DE，点A、B、D、E均在小正方形的顶点上．
⑴在方格纸中画出以AB为一边的等腰直角三角形ABC，点C在小正方形的顶点上，且三角形ABC的面积为；
⑵在方格纸中画出以DE为一腰且一个内角为钝角的等腰三角形DEF，点F在小正方形的顶点上，且三角形DEF的面积为4．连接CF，请直接写出线段CF的长.
【答案】解：⑴如图所示：等腰直角三角形ABC为所求；
⑵如图所示：等腰三角形DEF为所求；
CF=
【知识点】勾股定理；作图-三角形
【解析】【解答】（2）根据勾股定理可得：CF=
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）利用勾股定理求解即可。
23．（2022九下·哈尔滨开学考）随着2021年“双减”的实施，哈市47中学校开展“每人推荐一本好书”活动，为了解学生的课外阅读情况，左老师随机抽查部分学生，并对其寒假期间的课外阅读量进行统计分析，绘制成如图所示但不完整的统计图．已知抽查的学生在寒假期间阅读量为2本的人数占抽查总人数的20%，根据所给出信息，解答下列问题：
（1）求被抽查学生人数并直接写出被抽查学生课外阅读量的中位数；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若规定：假期阅读3本及3本以上课外书者为完成假期作业，据此估计47中学校共3000名学生中，完成假期作业的有多少名学生？
【答案】（1）解：人
阅读1本和2本的人数共有4+10=14人
阅读1本、2本和3本的人数共有4+10+15=39人，
而50个数据按大小顺序排列最中间的两个数据是第25、26个，
所以，中位数是阅读量为3本；
（2）解：人
补全条形统计图如下：
（3）解：名
答：估计47中学校共3000名学生中，完成假期作业的有2160名学生
【知识点】用样本估计总体；条形统计图；中位数
【解析】【分析】（1）根据中位数的定义及计算方法求解即可；
（2）先求出阅读量在4本的人数，再作出条形统计图即可；
（3）先求出阅读量在3本及3本以上的百分比，再乘以3000即可得解。
24．（2022九下·哈尔滨开学考）已知BD是的角平分线，点E在AB边上，，过点E作，交BD于点F，连接CF．
（1）如图1，求证：四边形CDEF是菱形；
（2）如图2，当四边形CDEF是正方形，时，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中度数等于的角．
【答案】（1）证明： 平分，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
（2）解： ，，，
【知识点】菱形的判定；正方形的性质
【解析】【解答】解：(2)
，
，
，
证明：
四边形
是正方形，
，
，
，
平分
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故
．
【分析】（1）先利用“SAS”证明
可得
，，再证明四边形为平行四边形，即即可证明平行四边形是菱形；
（2）利用正方形的性质及角的运算求解即可。
25．（2022九下·哈尔滨开学考）2021年寒假，47中学4年5班开展“健康跳绳”活动，为了鼓励同学积极参与，体委尚谦同学准备自费为班级满勤的10名同学购买A、B两种型号的跳绳作为奖励，已知用90元购买A型号的跳绳数量与用75元购买B型号的跳绳数量相同，每根跳绳价格如下表所示：
跳绳 A型 B型
价格（元/根） m
（1）求m的值；
（2）由于压岁钱都买了游戏装备，剩余资金有限，尚谦同学决定用于购买跳绳的资金少于165元，问最多购买A型跳绳多少根？
【答案】（1）解：由题意可列
解得
经检验：是原分式方程的解；
答：m的值为18．
（2）解：设购买A型跳绳a根，则购买B型跳绳（10-a）根，
由题意得
解得
∵a为正整数 ；
∴a最大可取4；
答：最多购买4根A型号跳绳．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）根据题意列出方程
求解即可；
（2）设购买A型跳绳a根，则购买B型跳绳（10-a）根，根据题意列出不等式求解即可。
26．（2022九下·哈尔滨开学考）已知，AB是的直径，P为AB延长线上一点，点C在上，连接PC交于点D，
（1）如图1：求证：；
图1
（2）如图2：E为上一点，连接CE、AD交于点F，若，求证：；
图2
（3）如图3：在（2）的条件下，AB交CE于点G，GM⊥CP于M，若，，求线段AB的长．
图3
【答案】（1）证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，又∠ACP=3∠PAC，
∴∠PCO=2∠OAC，
又∵∠POC=∠OAC+∠OCA=2∠OAC，
∴∠POC=∠PCO，
∴OP=CP；
（2）证明：连接OA、OE、BC，
∵OA=OE，AC=CE，OC=OC，
∴△AOC≌△EOC（SSS），
∴∠OCA=∠OCE，
∵∠OAC=∠OCA，又∠ACP=3∠PAC，
∴∠PCE=∠OAC，
∵AB是的直径，
∴∠ACB=90°，即∠OAC+∠ABC=90°，
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠PCE+∠ADE=90°，
∴∠CFD=90°，
故AD⊥CE；
（3）解：连接OC、BC，过G作GH⊥OC于H，延长GH交AC于N，
则∠CHN=∠CHG=90°，
设∠OAC=α，由（2）知，∠OAC=∠OCA=∠OCE=∠PCE=α，
∵∠OCA=∠OCE，CH=CH，∠CHN=∠CHG，
∴△CHN≌△CHG（ASA），
∴HN=HG，CN=CG，
∵∠OCE=∠PCE，GH⊥OC，GM⊥CP，
∴HG=GM=，
∴GN=2HG=，过G作GK⊥AC于K，在AC上截取KQ=KC，
则GK垂直平分CQ，∴CG=GQ，
∴∠CQG=∠ACE=2α，
∵∠CQG=∠OAC+∠AGQ，
∴∠AGQ=α=∠OAC，
∴AQ=GQ=CG，又AC=CE，
∴CQ=GE=4，
∴KQ=KC=2，
设CG=x，则AQ=GQ=CN=x，∴NK=x－2，
∵在Rt△GQK和Rt△GNK中，KG2=GQ2－KQ2=GN2－NK2，
∴x2－22=（）2－（x－2）2，解得：x1=6，x2=－4(舍去)，
∴AK=8，AC=10，KG2=32，
∴在Rt△AKG中，AG=，
∵GK⊥AC，BC⊥AC，
∴GK∥BC，
∴，即，
∴AB=．
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）连接OC，根据∠OAC=∠OCA，∠ACP=3∠PAC，可得∠PCO=2∠OAC，再结合∠POC=∠OAC+∠OCA=2∠OAC，可得∠POC=∠PCO， 因此OP=CP；
（2）连接OA、OE、BC，先利用“SSS”证明△AOC≌△EOC可得∠OCA=∠OCE，再证明∠PCE=∠OAC，再结合∠ACB=90°，即∠OAC+∠ABC=90°，∠ABC=∠ADC， 可得∠PCE+∠ADE=90°，因此∠CFD=90°，故AD⊥CE；
（3）连接OC、BC，过G作GH⊥OC于H，延长GH交AC于N，过G作GK⊥AC于K，在AC上截取KQ=KC，求出KQ=KC=2，设CG=x，则AQ=GQ=CN=x，则NK=x－2，再利用勾股定理可得KG2=GQ2－KQ2=GN2－NK2，将数据代入计算求出x的值，再求出AG的长，再根据，即，求出AB的长即可。
27．（2022九下·哈尔滨开学考）已知，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，．
（1）如图1，求抛物线解析式；
图1
（2）如图2，点E为第一象限抛物线上的点，连接BE，过点E作于D，，求的面积；
图2
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BC交DE于点Q，点K是第四象限抛物线上的点，连接EK交BC于点M，交x轴于点N，，过点K作直线轴于点T，过点E作轴，交直线KT于L，点F为抛物线对称轴右侧第一象限抛物线上一点，连接ET、LF，LF的延长线交印于点P，连接DP并延长交EL于点S，，求点F坐标．
图3
【答案】（1）解：如图1，当x＝0时，，
∴C（0，3），∴OC＝3，
∵OB＝3OC，
∴OB＝9，∴B（9，0），
∵点B在抛物线 上，
∴ ， ，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图2，设，
∴，BD＝9﹣t，
在Rt△EDB中，，
∴，
解得t1＝3，t2＝9（舍去），
∴，
∴E（3，8），OD＝3，BD＝6，ED＝8，
∴；
（3）解：如图4，连接CD，
∵OC＝OD＝3，∠COD＝90°，
∴∠ODC＝∠OCD＝45°
∵∠EDO＝90°，
∴∠EDC＝45°，
∴∠EDC＝∠EMQ，
∵∠QCD＝180°﹣∠CDQ﹣∠CQD，∠QEM＝180°﹣∠QME﹣∠EQM，
∴∠DCQ＝∠DEM，
过点D作DG⊥BC于点G，，BD＝6，，
设CG＝a，则，
在Rt△CGD中，DG2＝CD2﹣CG2，
在Rt△BGD中，DG2＝BD2﹣BG2，
∴CD2﹣CG2＝BD2﹣BG2，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴DN＝4，
∴N（7，0），
过点K作KH⊥ED于点H，
设，
∴KH＝m﹣3，，
∵，
∴ ，
∴m1＝11，m2＝3（舍），
当m＝11时， ，
∴K（11，﹣8），
∴T（11，0），L（11，8），
∴EL＝ED＝8，
∵∠EDT＝∠DTL＝∠ELT＝90°，
∴四边形DELT是矩形，
∵EL＝ED，
∴四边形DELT是正方形
∴∠DET＝∠LET，
又∵EP＝EP，ED＝EL，
∴△EPD≌△EPL（SAS），
∴∠EDP＝∠ELP，
∵SE＝2SL，
∴ ，
在Rt△SED中，，
∴，
过点F作FR⊥EL于点R，设 ，
，RL＝11﹣n，
∴，
∴n2﹣6n﹣7＝0，
∴n1＝7，n2＝﹣1（舍），
∴．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）先利用解析式求出点C的坐标，再根据OB=3OC，求出点B的坐标，再将点B的坐标代入
求出b的值即可；
（2）设，则，BD＝9﹣t，再利用，可得
求出t的值，即可得到点Ｅ的坐标，从而得到OD＝3，BD＝6，ED＝8，最后利用三角形的面积公式求解即可；
（3）连接CD，过点D作DG⊥BC于点G，设CG＝a，则，利用勾股定理可得CD2﹣CG2＝BD2﹣BG2，求出a的值，再利用，求出点N的坐标，过点K作KH⊥ED于点H，设，则KH＝m﹣3，，利用可得
求出m的值，利用“SAS”证明△EPD≌△EPL，结合SE＝2SL，可得，从而得到
，过点F作FR⊥EL于点R，设 ，则
，RL＝11﹣n，可得，再求出n的值，即可得到点F的坐标。
1 / 1黑龙江省哈尔滨市第四十七中学2021-2022学年九年级下学期开学考试数学试卷
一、单选题
1．（2019·嘉善模拟）-2的倒数是（ ）
A．-2 B． C． D．2
2．（2022九下·哈尔滨开学考）下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022九下·哈尔滨开学考）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2020七上·福田期中）用6个完全相同的小正方体组合成如图所示的立方体图形，它的主视图为（ ）
A． B． C． D．
5．（2019九上·遵义月考）二次函数 的最小值是 （ ）
A． 2 B．2 C． 1 D．1
6．（2022九下·哈尔滨开学考）在反比例函数图像的每一个象限内，y都随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
7．（2022九下·哈尔滨开学考）有一张矩形纸片，，，将纸片折叠使边落在边上，折痕为，再将以为折痕向右折叠，与交于点（如下图），则的长为（ ）
A．0.5 B．0.75 C．1 D．1.25
8．（2021八下·槐荫期末）如图，在 中， ，在同一平面内，将 绕点A旋转到 的位置，使得 ，则 的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．50°
9．（2022九下·哈尔滨开学考）如图，点D是△ABC的边AB上的一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，连接BE，过点D作BE的平行线交AC于点F，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
10．（2022九下·哈尔滨开学考）在运动会径赛中，甲、乙同时起跑，刚跑出200m，甲不慎摔倒，他又迅速地爬起来继续投入比赛，若他们所跑的路程与比赛时间的关系如图，有下列说法不正确的是（ ）
A．乙全程的平均速度为6.4m/s
B．甲再次投入比赛后的平均速度为7.5m/s
C．当乙到达终点时，甲距离终点还有32米
D．甲再次投入比赛后在距离终点300米时追上了乙
三、填空题
11．（2022九下·哈尔滨开学考）按照“双减”要求，寒假减少作业量，同学们的假期拥有更多自由时间，据禹鑫小朋友统计，2021年寒假他练习书法一共书写40500个字，将40500用科学记数法表示为 ．
12．（2022九下·哈尔滨开学考）在函数中，自变量x的取值范围是 ．
13．（2020九上·哈尔滨月考） ．
14．（2022九下·哈尔滨开学考）分解因式： ．
15．（2022九下·哈尔滨开学考）不等式组的解集是 ．
16．（2022九下·哈尔滨开学考）天一和润泽两位小朋友做游戏，在一个不透明的袋子中有4个分别标有数字6，2，，的球，这些球除所标的数字不同外其他都相同，从袋子中随机摸出两个球，若这两个球上的两个数字之积为负数则天一赢，若这两个球上的两个数字之积为正数则润泽赢，问：天一赢的概率是 ．
17．（2020九上·福州月考）一个扇形的弧长是 ，它的面积为 ，则这个扇形的圆心角度数为 度．
18．（2022九下·哈尔滨开学考）如图，已知BD是的外接圆直径，且，，则 ．
19．（2022九下·哈尔滨开学考）在中，，，以AC为一边作正方形ACDE，过点D作交直线BC于点F，则BF的长为 ．
20．（2022九下·哈尔滨开学考）在中，，点D、E分别在边AC、BC上，，且，若，则边BC的长为 ．
四、解答题
21．（2022九下·哈尔滨开学考）先化简，再求值：，其中．
22．（2022九下·哈尔滨开学考）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB和线段DE，点A、B、D、E均在小正方形的顶点上．
⑴在方格纸中画出以AB为一边的等腰直角三角形ABC，点C在小正方形的顶点上，且三角形ABC的面积为；
⑵在方格纸中画出以DE为一腰且一个内角为钝角的等腰三角形DEF，点F在小正方形的顶点上，且三角形DEF的面积为4．连接CF，请直接写出线段CF的长.
23．（2022九下·哈尔滨开学考）随着2021年“双减”的实施，哈市47中学校开展“每人推荐一本好书”活动，为了解学生的课外阅读情况，左老师随机抽查部分学生，并对其寒假期间的课外阅读量进行统计分析，绘制成如图所示但不完整的统计图．已知抽查的学生在寒假期间阅读量为2本的人数占抽查总人数的20%，根据所给出信息，解答下列问题：
（1）求被抽查学生人数并直接写出被抽查学生课外阅读量的中位数；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若规定：假期阅读3本及3本以上课外书者为完成假期作业，据此估计47中学校共3000名学生中，完成假期作业的有多少名学生？
24．（2022九下·哈尔滨开学考）已知BD是的角平分线，点E在AB边上，，过点E作，交BD于点F，连接CF．
（1）如图1，求证：四边形CDEF是菱形；
（2）如图2，当四边形CDEF是正方形，时，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中度数等于的角．
25．（2022九下·哈尔滨开学考）2021年寒假，47中学4年5班开展“健康跳绳”活动，为了鼓励同学积极参与，体委尚谦同学准备自费为班级满勤的10名同学购买A、B两种型号的跳绳作为奖励，已知用90元购买A型号的跳绳数量与用75元购买B型号的跳绳数量相同，每根跳绳价格如下表所示：
跳绳 A型 B型
价格（元/根） m
（1）求m的值；
（2）由于压岁钱都买了游戏装备，剩余资金有限，尚谦同学决定用于购买跳绳的资金少于165元，问最多购买A型跳绳多少根？
26．（2022九下·哈尔滨开学考）已知，AB是的直径，P为AB延长线上一点，点C在上，连接PC交于点D，
（1）如图1：求证：；
图1
（2）如图2：E为上一点，连接CE、AD交于点F，若，求证：；
图2
（3）如图3：在（2）的条件下，AB交CE于点G，GM⊥CP于M，若，，求线段AB的长．
图3
27．（2022九下·哈尔滨开学考）已知，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，．
（1）如图1，求抛物线解析式；
图1
（2）如图2，点E为第一象限抛物线上的点，连接BE，过点E作于D，，求的面积；
图2
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BC交DE于点Q，点K是第四象限抛物线上的点，连接EK交BC于点M，交x轴于点N，，过点K作直线轴于点T，过点E作轴，交直线KT于L，点F为抛物线对称轴右侧第一象限抛物线上一点，连接ET、LF，LF的延长线交印于点P，连接DP并延长交EL于点S，，求点F坐标．
图3
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】-2的倒数是-
故答案为：B
【分析】求一个数的倒数就是用1除以这个数的商，即可求解。
2．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、∵，故本选项不符合题意；
B、∵，故本选项不符合题意；
C、∵，故本选项符合题意；
D、
，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用合并同类项、去括号、幂的乘方和同底数幂的除法逐项判断即可。
3．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可。
4．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】找到从正面看所得到的图形，从正面看共2层，易得上层两边各1个正方形，下层有3个正方形．
故答案为：A．
【分析】利用三视图求解即可。
5．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：二次函数y=（x-1）2+2的最小值为2.
故答案为：B
【分析】对于二次函数的顶点式y=a （x-h）+k，若此函数有最小值，则函数的最小值为k，可得到答案。
6．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：
在反比例函数
的图象的每一个象限内，
都随
的增大而增大，
，即
．
故答案为：B．
【分析】根据反比例函数的性质和系数的关系可得
，再求出k的取值范围即可。
7．【答案】C
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵AB=2.5，AD=1.5
∴AD=DE=1.5，BD=AB-AD=1，A′B=0.5
∵BF∥DE
∴A′B：A′D=BF：DE
∴BF=0.5
∴CF=BC-BF=1．
故答案为：C．
【分析】先利用折叠的性质和线段的和差求出AD=DE=1.5，BD=AB-AD=1，A′B=0.5，再利用平行线分线段成比例的性质可得A′B：A′D=BF：DE，求出BF=0.5，最后利用CF=BC-BF计算即可。
8．【答案】A
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵将 绕点A旋转到 的位置，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：A．
【分析】先求出 ，再求出 ，最后计算求解即可。
9．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵DE//BC，∴，故A不符合题意；
∵DF//BE，∴△ADF∽△ABF， ∴，故B不符合题意；
∵DF//BE，∴，∵，∴，故C不符合题意；
∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵DF//BE，∴，∴，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用相似三角形的判定和性质求解或者利用平行线分线段成比例的性质求解即可。
【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：由图可得，甲、乙二人跑的路程为800米，
乙跑完全程用了125秒，
所以，乙全程的平均速度为800÷125=6.4m/s，A不符合题意；
甲再次投入比赛后用的时间为120-40=80秒，跑的路程为800-200=600米，
所以，甲再次投入比赛后的平均速度为600÷80=7.5m/s，B不符合题意；
甲比乙先到达终点，C符合题意；
设甲再次投入比赛后，追上乙时的时间为ts，
6.4t=200+（t-40）×7.5，
解得，t=
，
∴甲再次投入比赛后在距离终点：800-6.4×
=
≠300，D符合题意，
故答案为：CD．
【分析】通过图象中的数据分析求解即可。
11．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：40500用科学记数法表示为：4.05×104．
故答案为：4.05×104．
【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
12．【答案】x≠0
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：函数
中自变量x的取值范围是x≠0．
故答案为：x≠0．
【分析】利用分式有意义的条件可得x≠0。
13．【答案】
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：
= ．
故答案为： ．
【分析】根据题意，将二次根式化简，运算得到答案即可。
14．【答案】2a（a-2b）2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
=2a（a2-4ab+4b2）
=2a（a-2b）2．
故答案为：2a（a-2b）2．
【分析】先提取公因式2a，再利用完全平方公式因式分解即可。
15．【答案】-2＜x≤0
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①得，
，
解不等式②得，
，
则原不等式组的解集为：-2＜x≤0．
故答案为：-2＜x≤0．
【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求解即可。
16．【答案】
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：作出树状图如图所示：
由图可得共有12种可能性，且为负数（即两个数异号）的可能性有8种，
∴，
即天一赢的概率为
，
故答案为：
．
【分析】先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
17．【答案】120
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵S扇形= lR，
∴12π= ×4πR，
解得，R=6．
∵l= ，
∴4π= ，
解得，n=120°．
故答案为：120．
【分析】根据扇形面积公式S= lR求得半径R的长度；然后由弧长公式来求圆心角的度数．
18．【答案】5
【知识点】圆周角定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，连接
，
由图可知
（同弧所对的圆周角相等），
且
（直径所对的圆周角等于90°），
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：5．
【分析】连接CD，根据圆周角的性质可得
，再利用
可得
，再利用解直角三角形的方法可得
。
19．【答案】2或10
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：分两种情况：①过点A作AM⊥BC于点M，如图1所示，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴
由勾股定理得，AM
4，
∵四边形ACDE是正方形
∴ ，
∴∠ACM+∠FCD=90°，
又AM⊥BC
∴∠MAC+∠ACM=90°，
∴∠MAC=∠FCD，
在△AMC和△CFD中，
，
∴△AMC≌△CFD（AAS），
∴CF=AM= 4，
∴BF=BC+CF=6+4=10，
②如图2所示，
同理可得，AM=4，MC=3，
又四边形ACDE是正方形
∴ ，
∵∠ACM+∠FCD=90°，∠MAC+∠ACM=90°，
∴∠MAC=∠FCD，
在△AMC和△CFD中，
，
∴△AMC≌△CFD（AAS），
∴FC=AM= 4，
∴BF=BC-CF=6-4=2．
综上所述，BF的长为2或10
故答案为：2或10
【分析】分两种情况：①过点A作AM⊥BC于点M，如图1所示，先利用勾股定理求出AM=4，再利用“AAS”证明△AMC≌△CFD，可得CF=AM= 4，再利用线段的和差可得BF=BC+CF=6+4=10；②如图2所示，先利用勾股定理求出AM=4，再利用“AAS”证明△AMC≌△CFD，可得CF=AM= 4，再利用线段的和差可得BF=BC-CF=6-4=2，即可得解。
20．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠A＝90°，
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∵BD＝CD，
∴∠DBC＝∠C，
∴∠ADB＝∠DBC+∠C＝2∠C，
∵∠C+
∠CDE＝45°
∴2∠C+∠CDE＝90°，
∴∠ADB+∠CDE＝90°，
∴∠BDE＝90°，
作DF⊥BC于F，如图所示：
则BF＝CF，△DEF∽△BED∽△BDF，
∴，
设EF＝x，则DF＝2x，BF＝CF＝4x，
∴BC＝8x，DE＝
x，
∴CD＝BD＝2
x，AC＝6+2
x，
∵∠DFC＝∠A＝90°，∠C＝∠C，
∴△CDF∽△CBA，
∴，即
，
解得：x＝
，
∴BC＝8
；
故答案为：8
．
【分析】作DF⊥BC于F，根据△DEF∽△BED∽△BDF，可得
，设EF＝x，则DF＝2x，BF＝CF＝4x，则BC＝8x，DE＝
x，再证明△CDF∽△CBA，可得
，即
，求出x的值即可。
21．【答案】解：原式
，代入得：
原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再利用特殊角的三角函数值求出x的值，最后将x的值代入计算即可。
22．【答案】解：⑴如图所示：等腰直角三角形ABC为所求；
⑵如图所示：等腰三角形DEF为所求；
CF=
【知识点】勾股定理；作图-三角形
【解析】【解答】（2）根据勾股定理可得：CF=
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）利用勾股定理求解即可。
23．【答案】（1）解：人
阅读1本和2本的人数共有4+10=14人
阅读1本、2本和3本的人数共有4+10+15=39人，
而50个数据按大小顺序排列最中间的两个数据是第25、26个，
所以，中位数是阅读量为3本；
（2）解：人
补全条形统计图如下：
（3）解：名
答：估计47中学校共3000名学生中，完成假期作业的有2160名学生
【知识点】用样本估计总体；条形统计图；中位数
【解析】【分析】（1）根据中位数的定义及计算方法求解即可；
（2）先求出阅读量在4本的人数，再作出条形统计图即可；
（3）先求出阅读量在3本及3本以上的百分比，再乘以3000即可得解。
24．【答案】（1）证明： 平分，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
（2）解： ，，，
【知识点】菱形的判定；正方形的性质
【解析】【解答】解：(2)
，
，
，
证明：
四边形
是正方形，
，
，
，
平分
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故
．
【分析】（1）先利用“SAS”证明
可得
，，再证明四边形为平行四边形，即即可证明平行四边形是菱形；
（2）利用正方形的性质及角的运算求解即可。
25．【答案】（1）解：由题意可列
解得
经检验：是原分式方程的解；
答：m的值为18．
（2）解：设购买A型跳绳a根，则购买B型跳绳（10-a）根，
由题意得
解得
∵a为正整数 ；
∴a最大可取4；
答：最多购买4根A型号跳绳．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）根据题意列出方程
求解即可；
（2）设购买A型跳绳a根，则购买B型跳绳（10-a）根，根据题意列出不等式求解即可。
26．【答案】（1）证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，又∠ACP=3∠PAC，
∴∠PCO=2∠OAC，
又∵∠POC=∠OAC+∠OCA=2∠OAC，
∴∠POC=∠PCO，
∴OP=CP；
（2）证明：连接OA、OE、BC，
∵OA=OE，AC=CE，OC=OC，
∴△AOC≌△EOC（SSS），
∴∠OCA=∠OCE，
∵∠OAC=∠OCA，又∠ACP=3∠PAC，
∴∠PCE=∠OAC，
∵AB是的直径，
∴∠ACB=90°，即∠OAC+∠ABC=90°，
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠PCE+∠ADE=90°，
∴∠CFD=90°，
故AD⊥CE；
（3）解：连接OC、BC，过G作GH⊥OC于H，延长GH交AC于N，
则∠CHN=∠CHG=90°，
设∠OAC=α，由（2）知，∠OAC=∠OCA=∠OCE=∠PCE=α，
∵∠OCA=∠OCE，CH=CH，∠CHN=∠CHG，
∴△CHN≌△CHG（ASA），
∴HN=HG，CN=CG，
∵∠OCE=∠PCE，GH⊥OC，GM⊥CP，
∴HG=GM=，
∴GN=2HG=，过G作GK⊥AC于K，在AC上截取KQ=KC，
则GK垂直平分CQ，∴CG=GQ，
∴∠CQG=∠ACE=2α，
∵∠CQG=∠OAC+∠AGQ，
∴∠AGQ=α=∠OAC，
∴AQ=GQ=CG，又AC=CE，
∴CQ=GE=4，
∴KQ=KC=2，
设CG=x，则AQ=GQ=CN=x，∴NK=x－2，
∵在Rt△GQK和Rt△GNK中，KG2=GQ2－KQ2=GN2－NK2，
∴x2－22=（）2－（x－2）2，解得：x1=6，x2=－4(舍去)，
∴AK=8，AC=10，KG2=32，
∴在Rt△AKG中，AG=，
∵GK⊥AC，BC⊥AC，
∴GK∥BC，
∴，即，
∴AB=．
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）连接OC，根据∠OAC=∠OCA，∠ACP=3∠PAC，可得∠PCO=2∠OAC，再结合∠POC=∠OAC+∠OCA=2∠OAC，可得∠POC=∠PCO， 因此OP=CP；
（2）连接OA、OE、BC，先利用“SSS”证明△AOC≌△EOC可得∠OCA=∠OCE，再证明∠PCE=∠OAC，再结合∠ACB=90°，即∠OAC+∠ABC=90°，∠ABC=∠ADC， 可得∠PCE+∠ADE=90°，因此∠CFD=90°，故AD⊥CE；
（3）连接OC、BC，过G作GH⊥OC于H，延长GH交AC于N，过G作GK⊥AC于K，在AC上截取KQ=KC，求出KQ=KC=2，设CG=x，则AQ=GQ=CN=x，则NK=x－2，再利用勾股定理可得KG2=GQ2－KQ2=GN2－NK2，将数据代入计算求出x的值，再求出AG的长，再根据，即，求出AB的长即可。
27．【答案】（1）解：如图1，当x＝0时，，
∴C（0，3），∴OC＝3，
∵OB＝3OC，
∴OB＝9，∴B（9，0），
∵点B在抛物线 上，
∴ ， ，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图2，设，
∴，BD＝9﹣t，
在Rt△EDB中，，
∴，
解得t1＝3，t2＝9（舍去），
∴，
∴E（3，8），OD＝3，BD＝6，ED＝8，
∴；
（3）解：如图4，连接CD，
∵OC＝OD＝3，∠COD＝90°，
∴∠ODC＝∠OCD＝45°
∵∠EDO＝90°，
∴∠EDC＝45°，
∴∠EDC＝∠EMQ，
∵∠QCD＝180°﹣∠CDQ﹣∠CQD，∠QEM＝180°﹣∠QME﹣∠EQM，
∴∠DCQ＝∠DEM，
过点D作DG⊥BC于点G，，BD＝6，，
设CG＝a，则，
在Rt△CGD中，DG2＝CD2﹣CG2，
在Rt△BGD中，DG2＝BD2﹣BG2，
∴CD2﹣CG2＝BD2﹣BG2，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴DN＝4，
∴N（7，0），
过点K作KH⊥ED于点H，
设，
∴KH＝m﹣3，，
∵，
∴ ，
∴m1＝11，m2＝3（舍），
当m＝11时， ，
∴K（11，﹣8），
∴T（11，0），L（11，8），
∴EL＝ED＝8，
∵∠EDT＝∠DTL＝∠ELT＝90°，
∴四边形DELT是矩形，
∵EL＝ED，
∴四边形DELT是正方形
∴∠DET＝∠LET，
又∵EP＝EP，ED＝EL，
∴△EPD≌△EPL（SAS），
∴∠EDP＝∠ELP，
∵SE＝2SL，
∴ ，
在Rt△SED中，，
∴，
过点F作FR⊥EL于点R，设 ，
，RL＝11﹣n，
∴，
∴n2﹣6n﹣7＝0，
∴n1＝7，n2＝﹣1（舍），
∴．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）先利用解析式求出点C的坐标，再根据OB=3OC，求出点B的坐标，再将点B的坐标代入
求出b的值即可；
（2）设，则，BD＝9﹣t，再利用，可得
求出t的值，即可得到点Ｅ的坐标，从而得到OD＝3，BD＝6，ED＝8，最后利用三角形的面积公式求解即可；
（3）连接CD，过点D作DG⊥BC于点G，设CG＝a，则，利用勾股定理可得CD2﹣CG2＝BD2﹣BG2，求出a的值，再利用，求出点N的坐标，过点K作KH⊥ED于点H，设，则KH＝m﹣3，，利用可得
求出m的值，利用“SAS”证明△EPD≌△EPL，结合SE＝2SL，可得，从而得到
，过点F作FR⊥EL于点R，设 ，则
，RL＝11﹣n，可得，再求出n的值，即可得到点F的坐标。
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