黑龙江省哈尔滨市风华中学2021-2022学年九年级下学期开学考试数学试卷
一、单选题
1．-2的相反数是（ ）
A．2 B．-2 C． D．
【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：∵-2的相反数是2，
故答案为：A.
【分析】相反数：数值相同，符号相反的两个数，由此即可得出答案.
2．（2020九上·哈尔滨月考）下列运算一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A. ，故此选项运算符合题意；
B. ，故此选项运算不符合题意；
C. ，故此选项运算不符合题意；
D. ，故此选项运算不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据同底数幂的乘法和除法、平方差公式和完全平方公式，判断得到答案即可。
3．（2022九下·哈尔滨开学考）下列图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．是轴对称图形，故此选项不合题意．
故答案为：C．
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可。
4．（2020七上·成都月考）如图所示的几何体是由六个小正方体组合而成的，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从上边看第一列是一个小正方形，第二列是两个小正方形，第三列是两个小正方形，
故答案为：D．
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
5．（2020九上·滕州期末）反比例函数 的图象，当 时，y随x的增大而增大，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数 的图象，当x＞0时，y随x的增大而增大，
∴k-3＜0，解得k＜3．
故答案为：A
【分析】利用反比例函数的性质可知k-3＜0，求出k的值即可。
6．（2022九下·哈尔滨开学考）扇形的半径为，扇形的面积，则该扇形的圆心角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设扇形的圆心角是n°，
根据题意可知：S＝
即
，
解得n＝90．
故答案为：C．
【分析】设扇形的圆心角是n°，利用扇形面积公式可得S＝
即
，再求出n的值即可。
7．（2022九下·哈尔滨开学考）如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C，若∠A=40°，∠B=110°，则∠BCA′的度数是（ ）
A．110° B．90° C．80° D．50°
【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵∠A=40°，∠B=110°，
∴∠ACB=30°，
∵△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C，
∴∠ACA′=50°，
∴∠BCA′=∠BCA+∠ACA′=30°+50°=80°．
故答案为：C．
【分析】先求出∠ACB=30°，再利用旋转的性质可得∠ACA′=50°，最后利用∠BCA′=∠BCA+∠ACA′计算即可。
8．（2022九下·哈尔滨开学考）通过平移y= 2(x 1)2+3的图象，可得到y= 2x2的图象，下列平移方法正确的是（ ）
A．向左移动1个单位，向上移动3个单位
B．向右移动1个单位，向上移动3个单位
C．向左移动1个单位，向下移动3个单位
D．向右移动1个单位，向下移动3个单位
【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：抛物线y=-2x2的顶点坐标是（0，0）．
抛物线y=-2（x-1）2+3的顶点坐标是（1，3）．
则由二次函数y=-2（x-1）2+3的图象向左移动1个单位，向下移动3个单位，可得到y=-2x2的图象．
故答案为：C．
【分析】根据函数解析式平移的特征：左减右加，上加下减的原则求解即可。
9．（2022九下·哈尔滨开学考）如图，点D是△ABC的边AB上的一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，连接BE，过点D作BE的平行线交AC于点F，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵DE//BC，∴，故A不符合题意；
∵DF//BE，∴△ADF∽△ABF， ∴，故B不符合题意；
∵DF//BE，∴，∵，∴，故C不符合题意；
∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵DF//BE，∴，∴，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用相似三角形的判定和性质求解或者利用平行线分线段成比例的性质求解即可。
10．（2022九下·哈尔滨开学考）在同一条跑道上，甲、乙两人从同一起点出发进行500米跑步练习，先到达终点者原地休息，甲先出发10秒，在跑步过程中，甲、乙两人之间的距离y（m）和乙出发的时间x（s）之间的函数关系如图所示，则图象中a的值为（ ）
A．50 B．60 C．70 D．80
【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：由图可得，
甲的速度为：40÷10=4米/秒，
乙的速度为：500÷100=5米/秒，
a=5×100-（4×100+40）=60，
故答案为：B．
【分析】先利用速度=路程÷时间求出甲和乙的速度，再根据图象列出算式a=5×100-（4×100+40）=60求解即可。
二、填空题
11．（2020八下·哈尔滨期中）哈西和谐大道跨线桥总投资250 000 000元，将250 000 000用科学记数法表示为 ．
【答案】2.5×108
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】 ；
故答案是：2.5×108．
【分析】根据科学记数法的求解方法计算即可；
12．（2020九上·哈尔滨月考）在函数 中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】x≠2
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】根据题意得：4-2x≠0，解得x≠2．
故答案是：x≠2．
【分析】根据分式有意义的条件，即可得到x取值范围。
13．（2022九下·哈尔滨开学考）计算：
﹣
＝ ．
【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：原式＝
＝
．
故答案为：
．
【分析】先化简，再利用二次根式的减法计算即可。
14．（2020·深圳模拟）因式分解：a3﹣2a2b+ab2= ．
【答案】a（a﹣b）2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】原式=a（a2﹣2ab+b2）
=a（a﹣b）2，
故答案为a（a﹣b）2．
【分析】先提公因式a，然后再利用完全平方公式进行分解即可．
15．（2020九下·哈尔滨月考）不等式组 的解集是 。
【答案】-1【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式组可得，，∴不等式组的解集为-1＜x≤2.
【分析】根据题意，解不等式组，得到解集即可。
16．（2022九下·哈尔滨开学考）一枚质地均匀的正方体骰子的六个面分别刻有1到6的点数，将这枚骰子掷两次，其点数之和是7的概率为 .
【答案】
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：画树状图为：
共有36种等可能的结果数，其中点数之和是7的结果数为6，
所以点数之和是7的概率==．
故答案为．
【分析】先画树状图展示所有36种等可能的结果数，再找出点数之和是7的结果数，然后根据概率公式求解．
17．（2019八下·哈尔滨期中）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H，则DH＝ ．
【答案】
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，∴菱形面积为24，设AC与BD相较于点O，∴AC⊥BD,OA=4,OB=3,∴AB=5,又因为菱形面积为AB×DH=24,∴DH= .
故答案为 .
【分析】本题考查的是菱形的面积问题，菱形的面积即等于对角线积的一半，也等于底乘以高.
18．（2022九下·哈尔滨开学考）近来房地产市场进入寒冬期，某楼盘原价为每平方米10000元，连续两次降价后售价为8100元，则平均每次降价的百分率是 ．
【答案】10%
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，
依题意得：10000（1-x）2=8100，
解得：x1=0.1=10%，x2=1.9（不合题意，舍去）．
故答案为：10%．
【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据题意列出方程10000（1-x）2=8100，再求出x的值即可。
19．（2021·铁锋模拟）在矩形 中， ，点P为线段 垂直平分线上一点，且 ，则 的长是 ．
【答案】 或
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，∵点P在线段 垂直平分线 上，
∴MN⊥AD，DM= AD=4，MN=AB=4，
①点P在矩形外，则 ，
∴ ，
∴ ，
②点P在矩形内，同理 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： 或 ．
【分析】如图，根据点P在线段 垂直平分线 上，求得MN⊥AD，
DM= AD=4，MN=AB=4，①点P在矩形外，②点P在矩形内，根据勾股定理即可得到结论。
20．（2022九下·哈尔滨开学考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB边上的一点，连接CD，过A点作AE⊥CD于点B，过B点作BF⊥GD于点F，若CD＝5，DF＝1，（CE＞DE）则线段AD的长为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵AE⊥CD，BF⊥CD，
∴∠CEA=∠BFC=∠ACB=90°，
∴∠CAE+∠ACE=90°，∠BCF+∠ACE=90°，
∴∠CAE=∠BCF，
在△CAE和△BCF中，
，
∴△CAE≌△BCF（AAS），
∴AE=CF，CE=BF，
∵CD=5，DF=1，
∴AE=CF=6，
∵∠AED=∠BFD=90°，∠ADE=∠BDF，
∴△AED
△BFD，
∴，
设CE=BF=x，则DE=5-x，
∴，
解得：x1=2(舍去)，x2=3，
经检验，x=3是原方程的根，且符合题意，
∴DE=2，
∴AD=
，
故答案为：
．
【分析】先利用“AAS”证明△CAE≌△BCF，再利用全等三角形的性质可得AE=CF=6，再证明△AED
△BFD，可得
，设CE=BF=x，则DE=5-x，可得
，求出x的值，最后利用勾股定理求AD的长即可。
三、解答题
21．（2022九下·哈尔滨开学考）先化简，再求代数式的值，其中a＝tan60°﹣6sin30°．
【答案】解：原式＝﹣×
＝﹣
＝，
∵a＝tan60°﹣6sin30°＝﹣6×＝﹣3，
∴原式＝＝＝1﹣2．
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再利用特殊角的三角函数值求出a的值，最后将a的值代入计算即可。
22．（2017·兰州模拟）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB，点A、B均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画出以AB为一边的等腰△ABC，点C在小正方形的顶点上，且△ABC的面积为6．
（2）在方格纸中画出△ABC的中线BD，并把线段BD绕点C逆时针旋转90°，画出旋转后的线段EF（B与E对应，D与F对应），连接BF，请直接写出BF的长．
【答案】（1）解：如图所示；
（2）解：如图，由图可知，EF=3．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质画出图形。
（2）根据旋转的性质画出线段EF，利用勾股定理求出BF的长。
23．（2021九下·哈尔滨月考）为评估九年级学生的学习状况，某中学抽取了部分参加考试的学生的成绩作为样本分析，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）求该中学抽取了多少名学生的成绩进行调查；
（2）求样本中成绩类别为“中”的人数，并将条形统计图补充完整；
（3）该校九年级共有1000人参加了这次考试，请估算该校九年级共有多少名学生的成绩达到优秀？
【答案】（1）解：8÷16%=50（人）
答：本次调查数抽取了50名学生．
（2）解：中等学生人数为：50-10-22-8=10（人），
补全图形如下：
．
（3）解：1000× =200（人）
答：估计该校九年级共有200名学生成绩达到优秀．
【知识点】利用统计图表分析实际问题
【解析】【分析】（1）由类别为“差”的学生人数及其所占百分比可得答案；
（2）先求出“中”的人数，再补充统计图即可；
（3）利用样本估计总体思想求解可得．
24．（2022九下·哈尔滨开学考）在△AOB和△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，OA＝OB，OC＝OD，连接AC、BD．
（1）如图1，求证：AC＝BD；
（2）如图2，当OA＝OD时，连接BC，延长BD、CA交于点E，AB、CD交于点F，在不添加任何字母及辅助线的情况下，请直接写出图中四对全等三角形（第一问中用到的除外）．
【答案】（1）证明：∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOB-∠AOD=∠COD-∠AOD，
∴∠BOD=∠AOC，
∵OA=OB，OC=OD，
∴△BOD≌△AOC，
∴AC=BD；
（2）解：△DFB≌△AFC(AAS)，△DCB≌△ABC(ASA)，△ABE≌△DCE，△AOB≌△COD，
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：(2)∵∠AOB=∠COD=90°，OA=OB，OC=OD，且OA=OD，
∴OA=OB=OC=OD，
∴AB=CD，∠ABO=∠CDO=∠BAO=∠DCO=45°，
由（1）得△BOD≌△AOC，
∴BD=AC，∠OBD=∠OAC=∠ODB=∠OCA，
在△DFB和△AFC中，∠OBD-45°=∠OCA-45°，即∠DBF=∠ACF，
又∠DFB=∠AFC，BD=AC，
∴△DFB≌△AFC(AAS)，
在△DCB和△ABC中，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，则45°-∠OBC=45°-∠OCB，
∴∠ABC=∠DCB，
∵∠OAC=∠ODB，则45°+∠OAC=45°+∠ODB，
∴∠BAC=∠CDB，
∵AB=CD，
∴△DCB≌△ABC(ASA)，
同理△ABE≌△DCE，△AOB≌△COD，
【分析】（1）先证明∠BOD=∠AOC，再利用“SAS”证明△BOD≌△AOC，可得AC=BD；
（2）利用全等三角形的判定方法求解即可。
25．（2022九下·哈尔滨开学考）某校开展以感恩为主题的有奖征文活动，并为获奖的同学颁发奖品．小红与小明去文化商店购买甲、乙两种笔记本作为奖品，若买甲种笔记本20个，乙种笔记本10个，则需110元；且买甲种笔记本30个比买乙种笔记本20个少花10元．
（1）求甲、乙两种笔记本的单价各是多少元；
（2）若本次购进甲种笔记本的数量比乙种笔记本的数量的2倍还少10个，且购进两种笔记本的总金额不超过320元，则最多购进乙种笔记本多少个？
【答案】（1）解：设甲种笔记本的单价是x元，乙种笔记本的单价是y元，
根据题意得，，
解得：．
答：甲种笔记本的单价是3元，乙种笔记本的单价是5元；
（2）解：设本次购买乙种笔记本m个，则甲种笔记本（2m-10）个，
由题意得，3（2m-10）+5m≤320，
解得：m≤31，
答：本次最多购买31个乙种笔记本．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲种笔记本的单价是x元，乙种笔记本的单价是y元，根据题意列出方程组，再求解即可；
（2）设本次购买乙种笔记本m个，则甲种笔记本（2m-10）个，根据题意列出不等式3（2m-10）+5m≤320，求解即可。
26．（2022九下·哈尔滨开学考）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，直径DF交BC于点G．
（1）如图1，求证：∠BAD－∠BCF＝90°；
（2）如图2，连接AC，当∠BAC＝∠CFD＋∠ACD时，求证：CA＝CB；
（3）如图3，在（2）的条件下，AC交DF于点H，∠BAC＝∠DGB，，AC＝9，求△CDH的面积．
【答案】（1）证明：如图1，连接AF，∵DF是圆的直径，
∴∠FAD＝90°，
∴∠BAF=∠BCF，
∵∠BAD=∠BAF+∠DAF，
∴∠BAD－∠BCF＝∠DAF，
∴∠BAD－∠BCF＝90°．
（2）证明：如图2，连接BD，
则∠ABD＝∠ACD，∠DBC＝∠CFD，
∴∠ABC=∠ABD +∠DBC=∠CFD＋∠ACD，
∵∠BAC＝∠CFD＋∠ACD，
∴∠ABC=∠BAC，
∴CA＝CB．
（3）解：如图3，延长BA，GD交于点N，
根据(2)得C A=CB，
∴∠ABC=∠BAC，
∵∠BAC＝∠DGB，
∴∠ABC=∠BAC=∠DGB，
∴△CAB∽△NBG，
∴，∠ACB=∠BNG，
∴BNAB=ACBG，∠ACB=∠BNG，
∵∠BCA＝∠BDA，
∴∠BND=∠BDA，
∵∠ABD＝∠DBN，
∴△ABD∽△DBN，
∴，
∴BNAB=，
∴=ACBG，
∵，AC＝9，
∴CG=4，BG=5，
∴=45，
∴BD=，BD=-(舍去)，
连接BD，BF，
∵四边形ABFD是圆的内接四边形，
∴∠NAD=∠BFD，
∵△ABD∽△DBN，
∴∠BAD=∠BDN，
∴180°-∠BAD=180°-∠BDN，
∴∠NAD=∠BDF，
∴∠BDF =∠BFD，
∴BD=BF=，
∵DF是直径，
∴∠DBF=90°，
∴∠BDF =∠BFD=45°，
∴FD=BD=，
设FG=x＜AG，则AG=-x，
∵∠BDG=∠FCG，∠DBG =∠CFG，
∴△BDG∽△FCG，
∴BGCG=DGFG，
∴x(-x)=20，
解得x=，x=2(舍去)，
∴FG=，DG=，
∴，
∴=，
过点O作OP⊥AC于点P，连接OC，
∵AC=9，FD=BD=，
∴OP==，
过点O作OM⊥DC于点M，交AC于点R，
∵DC=，FD=，
∴OM==，
设PR=x，
∵∠PRO=∠MRC，
∴∠POR=∠MCR，
tan∠POR = tan∠MCR =，
∴MR=
在直角三角形RMC中，根据勾股定理，得
，
∴，
解得或(舍去)，
∴MR===，
过点H作HQ⊥DC于点Q，
∴tan∠QDH= tan∠CDF=，
∴DQ=2HQ，
设HQ=y，则DQ=2y，
∵HQ⊥DC，OM⊥DC，
∴HQ∥MR，
∴，
∴，
解得y=即HQ=，
∴=4．
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证明∠BAF=∠BCF，再结合∠BAD=∠BAF+∠DAF，可得∠BAD－∠BCF＝90°；
（2）连接BD，用圆周角的性质可得∠ABD＝∠ACD，∠DBC＝∠CFD，因此∠ABC=∠ABD +∠DBC=∠CFD＋∠ACD， 再结合 ∠BAC＝∠CFD＋∠ACD， 可得 ∠ABC=∠BAC，再根据等角对等边的性质可得CA=CB；
（3）延长BA，GD交于点N，先利用三角形的判定和性质求出BD的长，再求出DC和HQ的长，最后利用三角形的面积公式可得计算即可。
27．（2022九下·哈尔滨开学考）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，四边形OABC是正方形，抛物线经过点B、C，OA＝18．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点D是OA的中点，经过点D的直线交AB于点E、交y轴于点F，连接BD，若∠EDA＝2∠ABD，求直线DE的解析式；
（3）如图3，在（2）的条件下，点G在OD上，连接GC、GE，点P在AB右侧的抛物线上，点Q为BP中点，连接DQ，过点B作BH⊥BP，交直线DP于点H，连接CH、GH，若GC＝GE，DQ＝PQ，求△CGH的周长．
【答案】（1）解：四边形OABC是正方形，抛物线经过点B、C，OA＝18．
，对称轴为
解得
（2）解：如图，取，连接，
设，
∠EDA＝2∠ABD，
点D是OA的中点，
设，则
在中，
即
解得（舍）
设直线的解析式为
则
解得
设直线的解析式为
（3）解：如图，延长，交轴于点，设直线交轴于点，
，，
点Q为BP中点，DQ＝PQ，
，
即
设直线的解析式为，将点代入，得
解得
线的解析式为，
联立
解得
点P在AB右侧的抛物线上，
，
是等腰直角三角形
，
BH⊥BP，
点G在OD上，GC＝GE，
设，则
解得
△CGH的周长为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）先求出点B、C的坐标，可得c的值，再利用对称轴求出b的值，即可得到函数解析式；
（2）先求出点E的坐标，再利用待定系数法求出直线ED的解析式即可；
（3）先求出直线SD的解析式，再联立方程组求出点P的坐标，然后利用两点之间的距离公式求出CG、HG和HC的长，最后利用三角形的周长公式计算即可。
1 / 1黑龙江省哈尔滨市风华中学2021-2022学年九年级下学期开学考试数学试卷
一、单选题
1．-2的相反数是（ ）
A．2 B．-2 C． D．
2．（2020九上·哈尔滨月考）下列运算一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022九下·哈尔滨开学考）下列图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2020七上·成都月考）如图所示的几何体是由六个小正方体组合而成的，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2020九上·滕州期末）反比例函数 的图象，当 时，y随x的增大而增大，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022九下·哈尔滨开学考）扇形的半径为，扇形的面积，则该扇形的圆心角为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022九下·哈尔滨开学考）如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C，若∠A=40°，∠B=110°，则∠BCA′的度数是（ ）
A．110° B．90° C．80° D．50°
8．（2022九下·哈尔滨开学考）通过平移y= 2(x 1)2+3的图象，可得到y= 2x2的图象，下列平移方法正确的是（ ）
A．向左移动1个单位，向上移动3个单位
B．向右移动1个单位，向上移动3个单位
C．向左移动1个单位，向下移动3个单位
D．向右移动1个单位，向下移动3个单位
9．（2022九下·哈尔滨开学考）如图，点D是△ABC的边AB上的一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，连接BE，过点D作BE的平行线交AC于点F，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022九下·哈尔滨开学考）在同一条跑道上，甲、乙两人从同一起点出发进行500米跑步练习，先到达终点者原地休息，甲先出发10秒，在跑步过程中，甲、乙两人之间的距离y（m）和乙出发的时间x（s）之间的函数关系如图所示，则图象中a的值为（ ）
A．50 B．60 C．70 D．80
二、填空题
11．（2020八下·哈尔滨期中）哈西和谐大道跨线桥总投资250 000 000元，将250 000 000用科学记数法表示为 ．
12．（2020九上·哈尔滨月考）在函数 中，自变量x的取值范围是 ．
13．（2022九下·哈尔滨开学考）计算：
﹣
＝ ．
14．（2020·深圳模拟）因式分解：a3﹣2a2b+ab2= ．
15．（2020九下·哈尔滨月考）不等式组 的解集是 。
16．（2022九下·哈尔滨开学考）一枚质地均匀的正方体骰子的六个面分别刻有1到6的点数，将这枚骰子掷两次，其点数之和是7的概率为 .
17．（2019八下·哈尔滨期中）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H，则DH＝ ．
18．（2022九下·哈尔滨开学考）近来房地产市场进入寒冬期，某楼盘原价为每平方米10000元，连续两次降价后售价为8100元，则平均每次降价的百分率是 ．
19．（2021·铁锋模拟）在矩形 中， ，点P为线段 垂直平分线上一点，且 ，则 的长是 ．
20．（2022九下·哈尔滨开学考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB边上的一点，连接CD，过A点作AE⊥CD于点B，过B点作BF⊥GD于点F，若CD＝5，DF＝1，（CE＞DE）则线段AD的长为 ．
三、解答题
21．（2022九下·哈尔滨开学考）先化简，再求代数式的值，其中a＝tan60°﹣6sin30°．
22．（2017·兰州模拟）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB，点A、B均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画出以AB为一边的等腰△ABC，点C在小正方形的顶点上，且△ABC的面积为6．
（2）在方格纸中画出△ABC的中线BD，并把线段BD绕点C逆时针旋转90°，画出旋转后的线段EF（B与E对应，D与F对应），连接BF，请直接写出BF的长．
23．（2021九下·哈尔滨月考）为评估九年级学生的学习状况，某中学抽取了部分参加考试的学生的成绩作为样本分析，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）求该中学抽取了多少名学生的成绩进行调查；
（2）求样本中成绩类别为“中”的人数，并将条形统计图补充完整；
（3）该校九年级共有1000人参加了这次考试，请估算该校九年级共有多少名学生的成绩达到优秀？
24．（2022九下·哈尔滨开学考）在△AOB和△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，OA＝OB，OC＝OD，连接AC、BD．
（1）如图1，求证：AC＝BD；
（2）如图2，当OA＝OD时，连接BC，延长BD、CA交于点E，AB、CD交于点F，在不添加任何字母及辅助线的情况下，请直接写出图中四对全等三角形（第一问中用到的除外）．
25．（2022九下·哈尔滨开学考）某校开展以感恩为主题的有奖征文活动，并为获奖的同学颁发奖品．小红与小明去文化商店购买甲、乙两种笔记本作为奖品，若买甲种笔记本20个，乙种笔记本10个，则需110元；且买甲种笔记本30个比买乙种笔记本20个少花10元．
（1）求甲、乙两种笔记本的单价各是多少元；
（2）若本次购进甲种笔记本的数量比乙种笔记本的数量的2倍还少10个，且购进两种笔记本的总金额不超过320元，则最多购进乙种笔记本多少个？
26．（2022九下·哈尔滨开学考）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，直径DF交BC于点G．
（1）如图1，求证：∠BAD－∠BCF＝90°；
（2）如图2，连接AC，当∠BAC＝∠CFD＋∠ACD时，求证：CA＝CB；
（3）如图3，在（2）的条件下，AC交DF于点H，∠BAC＝∠DGB，，AC＝9，求△CDH的面积．
27．（2022九下·哈尔滨开学考）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，四边形OABC是正方形，抛物线经过点B、C，OA＝18．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点D是OA的中点，经过点D的直线交AB于点E、交y轴于点F，连接BD，若∠EDA＝2∠ABD，求直线DE的解析式；
（3）如图3，在（2）的条件下，点G在OD上，连接GC、GE，点P在AB右侧的抛物线上，点Q为BP中点，连接DQ，过点B作BH⊥BP，交直线DP于点H，连接CH、GH，若GC＝GE，DQ＝PQ，求△CGH的周长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：∵-2的相反数是2，
故答案为：A.
【分析】相反数：数值相同，符号相反的两个数，由此即可得出答案.
2．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A. ，故此选项运算符合题意；
B. ，故此选项运算不符合题意；
C. ，故此选项运算不符合题意；
D. ，故此选项运算不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据同底数幂的乘法和除法、平方差公式和完全平方公式，判断得到答案即可。
3．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．是轴对称图形，故此选项不合题意．
故答案为：C．
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可。
4．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从上边看第一列是一个小正方形，第二列是两个小正方形，第三列是两个小正方形，
故答案为：D．
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
5．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数 的图象，当x＞0时，y随x的增大而增大，
∴k-3＜0，解得k＜3．
故答案为：A
【分析】利用反比例函数的性质可知k-3＜0，求出k的值即可。
6．【答案】C
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设扇形的圆心角是n°，
根据题意可知：S＝
即
，
解得n＝90．
故答案为：C．
【分析】设扇形的圆心角是n°，利用扇形面积公式可得S＝
即
，再求出n的值即可。
7．【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵∠A=40°，∠B=110°，
∴∠ACB=30°，
∵△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C，
∴∠ACA′=50°，
∴∠BCA′=∠BCA+∠ACA′=30°+50°=80°．
故答案为：C．
【分析】先求出∠ACB=30°，再利用旋转的性质可得∠ACA′=50°，最后利用∠BCA′=∠BCA+∠ACA′计算即可。
8．【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：抛物线y=-2x2的顶点坐标是（0，0）．
抛物线y=-2（x-1）2+3的顶点坐标是（1，3）．
则由二次函数y=-2（x-1）2+3的图象向左移动1个单位，向下移动3个单位，可得到y=-2x2的图象．
故答案为：C．
【分析】根据函数解析式平移的特征：左减右加，上加下减的原则求解即可。
9．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵DE//BC，∴，故A不符合题意；
∵DF//BE，∴△ADF∽△ABF， ∴，故B不符合题意；
∵DF//BE，∴，∵，∴，故C不符合题意；
∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵DF//BE，∴，∴，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用相似三角形的判定和性质求解或者利用平行线分线段成比例的性质求解即可。
10．【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：由图可得，
甲的速度为：40÷10=4米/秒，
乙的速度为：500÷100=5米/秒，
a=5×100-（4×100+40）=60，
故答案为：B．
【分析】先利用速度=路程÷时间求出甲和乙的速度，再根据图象列出算式a=5×100-（4×100+40）=60求解即可。
11．【答案】2.5×108
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】 ；
故答案是：2.5×108．
【分析】根据科学记数法的求解方法计算即可；
12．【答案】x≠2
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】根据题意得：4-2x≠0，解得x≠2．
故答案是：x≠2．
【分析】根据分式有意义的条件，即可得到x取值范围。
13．【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：原式＝
＝
．
故答案为：
．
【分析】先化简，再利用二次根式的减法计算即可。
14．【答案】a（a﹣b）2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】原式=a（a2﹣2ab+b2）
=a（a﹣b）2，
故答案为a（a﹣b）2．
【分析】先提公因式a，然后再利用完全平方公式进行分解即可．
15．【答案】-1【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式组可得，，∴不等式组的解集为-1＜x≤2.
【分析】根据题意，解不等式组，得到解集即可。
16．【答案】
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：画树状图为：
共有36种等可能的结果数，其中点数之和是7的结果数为6，
所以点数之和是7的概率==．
故答案为．
【分析】先画树状图展示所有36种等可能的结果数，再找出点数之和是7的结果数，然后根据概率公式求解．
17．【答案】
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，∴菱形面积为24，设AC与BD相较于点O，∴AC⊥BD,OA=4,OB=3,∴AB=5,又因为菱形面积为AB×DH=24,∴DH= .
故答案为 .
【分析】本题考查的是菱形的面积问题，菱形的面积即等于对角线积的一半，也等于底乘以高.
18．【答案】10%
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，
依题意得：10000（1-x）2=8100，
解得：x1=0.1=10%，x2=1.9（不合题意，舍去）．
故答案为：10%．
【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据题意列出方程10000（1-x）2=8100，再求出x的值即可。
19．【答案】 或
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，∵点P在线段 垂直平分线 上，
∴MN⊥AD，DM= AD=4，MN=AB=4，
①点P在矩形外，则 ，
∴ ，
∴ ，
②点P在矩形内，同理 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： 或 ．
【分析】如图，根据点P在线段 垂直平分线 上，求得MN⊥AD，
DM= AD=4，MN=AB=4，①点P在矩形外，②点P在矩形内，根据勾股定理即可得到结论。
20．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵AE⊥CD，BF⊥CD，
∴∠CEA=∠BFC=∠ACB=90°，
∴∠CAE+∠ACE=90°，∠BCF+∠ACE=90°，
∴∠CAE=∠BCF，
在△CAE和△BCF中，
，
∴△CAE≌△BCF（AAS），
∴AE=CF，CE=BF，
∵CD=5，DF=1，
∴AE=CF=6，
∵∠AED=∠BFD=90°，∠ADE=∠BDF，
∴△AED
△BFD，
∴，
设CE=BF=x，则DE=5-x，
∴，
解得：x1=2(舍去)，x2=3，
经检验，x=3是原方程的根，且符合题意，
∴DE=2，
∴AD=
，
故答案为：
．
【分析】先利用“AAS”证明△CAE≌△BCF，再利用全等三角形的性质可得AE=CF=6，再证明△AED
△BFD，可得
，设CE=BF=x，则DE=5-x，可得
，求出x的值，最后利用勾股定理求AD的长即可。
21．【答案】解：原式＝﹣×
＝﹣
＝，
∵a＝tan60°﹣6sin30°＝﹣6×＝﹣3，
∴原式＝＝＝1﹣2．
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再利用特殊角的三角函数值求出a的值，最后将a的值代入计算即可。
22．【答案】（1）解：如图所示；
（2）解：如图，由图可知，EF=3．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质画出图形。
（2）根据旋转的性质画出线段EF，利用勾股定理求出BF的长。
23．【答案】（1）解：8÷16%=50（人）
答：本次调查数抽取了50名学生．
（2）解：中等学生人数为：50-10-22-8=10（人），
补全图形如下：
．
（3）解：1000× =200（人）
答：估计该校九年级共有200名学生成绩达到优秀．
【知识点】利用统计图表分析实际问题
【解析】【分析】（1）由类别为“差”的学生人数及其所占百分比可得答案；
（2）先求出“中”的人数，再补充统计图即可；
（3）利用样本估计总体思想求解可得．
24．【答案】（1）证明：∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOB-∠AOD=∠COD-∠AOD，
∴∠BOD=∠AOC，
∵OA=OB，OC=OD，
∴△BOD≌△AOC，
∴AC=BD；
（2）解：△DFB≌△AFC(AAS)，△DCB≌△ABC(ASA)，△ABE≌△DCE，△AOB≌△COD，
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：(2)∵∠AOB=∠COD=90°，OA=OB，OC=OD，且OA=OD，
∴OA=OB=OC=OD，
∴AB=CD，∠ABO=∠CDO=∠BAO=∠DCO=45°，
由（1）得△BOD≌△AOC，
∴BD=AC，∠OBD=∠OAC=∠ODB=∠OCA，
在△DFB和△AFC中，∠OBD-45°=∠OCA-45°，即∠DBF=∠ACF，
又∠DFB=∠AFC，BD=AC，
∴△DFB≌△AFC(AAS)，
在△DCB和△ABC中，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，则45°-∠OBC=45°-∠OCB，
∴∠ABC=∠DCB，
∵∠OAC=∠ODB，则45°+∠OAC=45°+∠ODB，
∴∠BAC=∠CDB，
∵AB=CD，
∴△DCB≌△ABC(ASA)，
同理△ABE≌△DCE，△AOB≌△COD，
【分析】（1）先证明∠BOD=∠AOC，再利用“SAS”证明△BOD≌△AOC，可得AC=BD；
（2）利用全等三角形的判定方法求解即可。
25．【答案】（1）解：设甲种笔记本的单价是x元，乙种笔记本的单价是y元，
根据题意得，，
解得：．
答：甲种笔记本的单价是3元，乙种笔记本的单价是5元；
（2）解：设本次购买乙种笔记本m个，则甲种笔记本（2m-10）个，
由题意得，3（2m-10）+5m≤320，
解得：m≤31，
答：本次最多购买31个乙种笔记本．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲种笔记本的单价是x元，乙种笔记本的单价是y元，根据题意列出方程组，再求解即可；
（2）设本次购买乙种笔记本m个，则甲种笔记本（2m-10）个，根据题意列出不等式3（2m-10）+5m≤320，求解即可。
26．【答案】（1）证明：如图1，连接AF，∵DF是圆的直径，
∴∠FAD＝90°，
∴∠BAF=∠BCF，
∵∠BAD=∠BAF+∠DAF，
∴∠BAD－∠BCF＝∠DAF，
∴∠BAD－∠BCF＝90°．
（2）证明：如图2，连接BD，
则∠ABD＝∠ACD，∠DBC＝∠CFD，
∴∠ABC=∠ABD +∠DBC=∠CFD＋∠ACD，
∵∠BAC＝∠CFD＋∠ACD，
∴∠ABC=∠BAC，
∴CA＝CB．
（3）解：如图3，延长BA，GD交于点N，
根据(2)得C A=CB，
∴∠ABC=∠BAC，
∵∠BAC＝∠DGB，
∴∠ABC=∠BAC=∠DGB，
∴△CAB∽△NBG，
∴，∠ACB=∠BNG，
∴BNAB=ACBG，∠ACB=∠BNG，
∵∠BCA＝∠BDA，
∴∠BND=∠BDA，
∵∠ABD＝∠DBN，
∴△ABD∽△DBN，
∴，
∴BNAB=，
∴=ACBG，
∵，AC＝9，
∴CG=4，BG=5，
∴=45，
∴BD=，BD=-(舍去)，
连接BD，BF，
∵四边形ABFD是圆的内接四边形，
∴∠NAD=∠BFD，
∵△ABD∽△DBN，
∴∠BAD=∠BDN，
∴180°-∠BAD=180°-∠BDN，
∴∠NAD=∠BDF，
∴∠BDF =∠BFD，
∴BD=BF=，
∵DF是直径，
∴∠DBF=90°，
∴∠BDF =∠BFD=45°，
∴FD=BD=，
设FG=x＜AG，则AG=-x，
∵∠BDG=∠FCG，∠DBG =∠CFG，
∴△BDG∽△FCG，
∴BGCG=DGFG，
∴x(-x)=20，
解得x=，x=2(舍去)，
∴FG=，DG=，
∴，
∴=，
过点O作OP⊥AC于点P，连接OC，
∵AC=9，FD=BD=，
∴OP==，
过点O作OM⊥DC于点M，交AC于点R，
∵DC=，FD=，
∴OM==，
设PR=x，
∵∠PRO=∠MRC，
∴∠POR=∠MCR，
tan∠POR = tan∠MCR =，
∴MR=
在直角三角形RMC中，根据勾股定理，得
，
∴，
解得或(舍去)，
∴MR===，
过点H作HQ⊥DC于点Q，
∴tan∠QDH= tan∠CDF=，
∴DQ=2HQ，
设HQ=y，则DQ=2y，
∵HQ⊥DC，OM⊥DC，
∴HQ∥MR，
∴，
∴，
解得y=即HQ=，
∴=4．
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证明∠BAF=∠BCF，再结合∠BAD=∠BAF+∠DAF，可得∠BAD－∠BCF＝90°；
（2）连接BD，用圆周角的性质可得∠ABD＝∠ACD，∠DBC＝∠CFD，因此∠ABC=∠ABD +∠DBC=∠CFD＋∠ACD， 再结合 ∠BAC＝∠CFD＋∠ACD， 可得 ∠ABC=∠BAC，再根据等角对等边的性质可得CA=CB；
（3）延长BA，GD交于点N，先利用三角形的判定和性质求出BD的长，再求出DC和HQ的长，最后利用三角形的面积公式可得计算即可。
27．【答案】（1）解：四边形OABC是正方形，抛物线经过点B、C，OA＝18．
，对称轴为
解得
（2）解：如图，取，连接，
设，
∠EDA＝2∠ABD，
点D是OA的中点，
设，则
在中，
即
解得（舍）
设直线的解析式为
则
解得
设直线的解析式为
（3）解：如图，延长，交轴于点，设直线交轴于点，
，，
点Q为BP中点，DQ＝PQ，
，
即
设直线的解析式为，将点代入，得
解得
线的解析式为，
联立
解得
点P在AB右侧的抛物线上，
，
是等腰直角三角形
，
BH⊥BP，
点G在OD上，GC＝GE，
设，则
解得
△CGH的周长为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）先求出点B、C的坐标，可得c的值，再利用对称轴求出b的值，即可得到函数解析式；
（2）先求出点E的坐标，再利用待定系数法求出直线ED的解析式即可；
（3）先求出直线SD的解析式，再联立方程组求出点P的坐标，然后利用两点之间的距离公式求出CG、HG和HC的长，最后利用三角形的周长公式计算即可。
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