高中数学人教A版（2019）必修二 第六章 平面向量的概念与运算（二）
一、单选题
1．（2020·新课标Ⅲ·理）已知向量a，b满足 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】 ， ， ， .
，
因此， .
故答案为：D.
【分析】计算出 、 的值，利用平面向量数量积可计算出 的值.
2．如图，在底面为正方形的平行六面体 的棱中，与向量 模相等的向量有（ ）.
A．0个 B．3个 C．7个 D．9个
【答案】C
【知识点】相等向量与相反向量
【解析】【解答】向量模相等即向量的长度相等.根据平行六面体的性质可知，与向量 模相等的向量为 ， ， ， ， ， ， ，共7个.故答案为：C.
【分析】根据题意由向量相等的定义结合平行六边形的几何性质即可得出答案。
3．（2020高二上·西安期末）下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（ ）
（1）长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；（2）平行且模相等的两个向量是相等向量；（3）若 ，则 ；（4）两个向量相等，则它们的起点与终点相同．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】向量的模；共线（平行）向量；相等向量与相反向量
【解析】【解答】由相等向量的定义知（1）正确；
平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，（2）错；
方向不相同且长度相等的两个是不相等向量，（3）错；
相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，（4）错，
所以正确答案只有一个．
故答案为：B．
【分析】根据向量的基本概念依次进行判断即可得到答案。
4．（2020高三上·长沙月考）若平面向量 ， 满足 ，则对于任意实数 ， 的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】A
【知识点】向量的模；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】由题意得，设向量 夹角为 ，则 ，
，设 与 的夹角为 ，
， ，
， ，
故答案为：A
【分析】利用数量积的公式即可求出夹角的公式即，从而得到，设出 与 的夹角为 ，借助向量运算的性质以及数量积的公式即可求出，由此得到模的最小值即可。
5．（2020高一下·河西期中）已知向量 ， 是两个不共线的向量，且向量m 3 与 （2﹣m） 共线，则实数m的值为（ ）
A．﹣1或3 B． C．﹣1或4 D．3或4
【答案】A
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：∵向量m 3 与 （2﹣m） 共线，
∴存在实数k使得：m 3 k[ （2﹣m） ]，
化为：（m﹣k） [﹣3﹣k（2﹣m）] ，
∵向量 ， 是两个不共线的向量，
∴ ，解得m＝3或﹣1.
故答案为：A.
【分析】由向量共线可得存在实数k使得m 3 k[ （2﹣m） ]，整理，利用平面向量基本定理列关于k，m的方程组，解出即可.
6．（2020高一下·北京期中）如图， ， 与 的夹角为 ， 与 的夹角为 ，若 ，则 等于（ ）．
A． B． C． D．2
【答案】D
【知识点】向量加法的三角形法则；平面向量的基本定理
【解析】【解答】将 沿 与 方向进行分解，如图，
由平行四边形法则有 ，且 ，所以
，又 ， ，在 中， ，
即 .
故答案为：D
【分析】将 沿 与 方向进行分解，易得 ，再在 中， ，代入相关值即可得到答案.
二、多选题
7．（2020高一下·句容期中）在△ABC中，下列结论正确的是（ ）
A． ；
B． ；
C．若 ，则△ABC是锐角三角形
D．若 ，则△ABC是等腰三角形；
【答案】A,B,D
【知识点】向量加法的三角形法则；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：对于A，由向量的减法法则可知是正确的；
对于B，由向量的加法法则可知也是正确的；
对于C，由 ，可得角A是锐角，但不能判断角B,C的大小，所以△ABC不一定是锐角三角形，所以C不正确；
对于D，由 ，得 ，
所以 ，所以△ABC是等腰三角形，所以D符合题意，
故答案为：ABD
【分析】由向量的加减法法则，数量积运算逐个进行判断即可.
8．（2020高一下·辽宁期中） 是边长为2的等边三角形，已知向量 、 满足 、 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,D
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】因为 ， ，所以 ，
因为 是边长为2的等边三角形，所以 ，A符合题意，
因为 ， ，
所以向量 、 之间的夹角为 ，B不符合题意，
所以 ，C不符合题意，
因为 ，
所以 ，D符合题意，
故答案为：AD.
【分析】本题首先可以根据向量的减法得出 ，然后根据 是边长为2的等边三角形得出A符合题意以及B不符合题意，再然后根据向量 、 之间的夹角为 计算出 ，C不符合题意，最后通过计算得出 ，D符合题意.
9．（2020高一下·济南月考）设 、 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ）
A．若 ，则存在实数 使得
B．若 ，则
C．若 ，则 在 方向上的投影向量为
D．若存在实数 使得 ，则
【答案】A,B
【知识点】向量加法的三角形法则
【解析】【解答】当 时，则 、 方向相反且 ，则存在负实数 ，使得 ，A选项正确，D选项错误；
若 ，则 、 方向相同， 在 方向上的投影向量为 ，C选项错误；
若 ，则以 、 为邻边的平行四边形为矩形，且 和 是这个矩形的两条对角线长，则 ，B选项正确.
故选：AB.
【分析】根据向量模的三角不等式找出 和 的等价条件，可判断A、C、D选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B选项的正误.综合可得出结论.
10．（2020高一下·枣庄开学考）在给出的下列命题中，正确的是（ ）
A．设 是同一平面上的四个点，若 ，则点 必共线
B．若向量 是平面 上的两个向量，则平面 上的任一向量 都可以表示为 ，且表示方法是唯一的
C．已知平面向量 满足 则 为等腰三角形
D．已知平面向量 满足 ，且 ，则 是等边三角形
【答案】A,C,D
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】对于A， ，
∴ ，∴ ，且有公共点C，
∴则点A、B、C共线，命题A符合题意；
对于B，根据平面向量的基本定理缺少条件 不共线，B不符合题意；
对于C，由于 ，即 ， ，
得 ，即OA为BC的垂线，
又由于 ，可得OA在 的角平分线上，
综合得 为等腰三角形，C符合题意；
对于D，平面向量 、 、 满足 ，且 ，
∴ ，∴ ，
即 ，∴ ，
∴ 、 的夹角为 ，同理 、 的夹角也为 ，
∴ 是等边三角形，D符合题意；
故答案为：ACD.
【分析】由共线定理即可判断出A、B、C三点共线进而判断出选项A正确；由平面向量的额基本定理即可判断出选项B错误；由向量的运算性质即可得出OA为BC的垂线OA在 的角平分线上，进而判断出选项C正确；由向量的线性表示和数量积的运算性质即可判断出选项D正确；由此即可得出答案。
三、填空题
11．（2020高三上·嘉兴期末）已知平面向量 与 的夹角为 ， 在 上的投影是 ，且满足 ，则 .
【答案】
【知识点】向量的模
【解析】【解答】因为平面向量 与 的夹角为 ， 在 上的投影是 ，
所以 ，所以
因为 ，即 ，即
所以 ，解得
所以 ，所以
故答案为：
【分析】由条件算出，，然后可得答案。
12．（2017·天津）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若 =2 ， =λ ﹣ （λ∈R），且 =﹣4，则λ的值为 ．
【答案】
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算；平面向量数乘的运算；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：如图所示，
△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，
=2 ，
∴ = +
= +
= + （ ﹣ ）
= + ，
又 =λ ﹣ （λ∈R），
∴ =（ + ） （λ ﹣ ）
=（ λ﹣ ） ﹣ + λ
=（ λ﹣ ）×3×2×cos60°﹣ ×32+ λ×22=﹣4，
∴ λ=1，
解得λ= ．
故答案为： ．
【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用 、 表示出 ，
再根据平面向量的数量积 列出方程求出λ的值．
13．（2017·浙江）已知向量 、 满足| |=1，| |=2，则| + |+| ﹣ |的最小值是 ，最大值是 ．
【答案】4；
【知识点】函数的最大（小）值；向量的模；含三角函数的复合函数的值域与最值；余弦定理
【解析】【解答】解：记∠AOB=α，则0≤α≤π，如图，
由余弦定理可得：
| + |= ，
| ﹣ |= ，
令x= ，y= ，
则x2+y2=10（x、y≥1），其图象为一段圆弧MN，如图，
令z=x+y，则y=﹣x+z，
则直线y=﹣x+z过M、N时z最小为zmin=1+3=3+1=4，
当直线y=﹣x+z与圆弧MN相切时z最大，
由平面几何知识易知zmax即为原点到切线的距离的 倍，
也就是圆弧MN所在圆的半径的 倍，
所以zmax= × = ．
综上所述，| + |+| ﹣ |的最小值是4，最大值是 ．
故答案为：4、 ．
【分析】通过记∠AOB=α（0≤α≤π），利用余弦定理可可知| + |= 、| ﹣ |= ，进而换元，转化为线性规划问题，计算即得结论．
14．（2020高三上·南开期末）如图，在边长1为正方形 中， ， 分别是 ， 的中点，则 ，若 ，则 .
【答案】；
【知识点】向量加法的三角形法则；平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】设向量 ，则 ，
可得 ，
，
又因为 ，可得 ，解得 ，所以 。
【分析】设向量 ，则 ，再利用数量积的运算法则求出的值，再利用三角形法则结合共线定理，从而结合 ，从而建立关于的方程组，从而解方程组求出的值，进而求出的值。
15．（2020高一下·红桥期中）计算： ．
【答案】
【知识点】向量加减混合运算
【解析】【解答】由向量加法的交换律、向量加法的三角形法则和向量减法法则可得 .
故答案为： .
【分析】根据向量加法的交换律、向量加法的三角形法则和向量减法法则进行运算，即得答案.
16．（2020高一下·佛山期中）已知向量 、 ，且 ， ， ，则A、B、 C 、 D 四点中一定共线的三点是 .
【答案】A、B、D
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】
则 三点共线
故答案为： A、B、D
【分析】根据向量的加法和减法得出 ，结合向量共线定理，即可得出 三点共线.
四、解答题
17．（2020高一下·海淀期中）如图所示，已知 ， ， ， ， ， ，试用 、 、 、 、 、 表示下列各式：
（1） ；
（2） ；
（3） .
【答案】（1）解： ；
（2）解： ；
（3）解： .
【知识点】平面向量减法运算；向量加法的三角形法则；平面向量的基本定理
【解析】【分析】将（1）、（2）、（3）中的每个向量利用共起点 的向量的差向量表示，再利用平面向量加法和减法运算可得出结果.
18．（2020高一下·杭州期中）已知 是两个单位向量.
（1）若 ，试求 的值；
（2）若 的夹角为 ，求向量 在 上的投影.
【答案】（1）解：因为 是两个单位向量，且 ,
故可得 ，即 ，
解得 ，则 ；
即 .
（2）解：因为 的夹角为 ，故可得 ，
则 ，
又因为 ，
故可得向量 在 上的投影
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；直角三角形的射影定理
【解析】【分析】（1）根据已知模长，求得 的数量积，再由数量积求模长即可；（2）根据题意，求得 的数量积，再由射影计算公式即可求得.
19．（2020高一下·崇礼期中）已知 与 的夹角为120°．
（1）求 与 的值；
（2）x为何值时， 与 垂直？
【答案】（1）解： ．
．
．
（2）解：因为 ，
所以 ，即 ．
所以当 时， 与 垂直．
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【分析】（1）先由数量积的定义求出 ，由数量积的运算性质可得 ， ，将条件及 的值代入，可得答案.（2）由 与 垂直，可得 ，将条件代入可求出x的值.
20．（2020高一下·湖州期中）已知平面向量 满足 ，且 的夹角为 .
(Ⅰ)求 的值；
(Ⅱ)求 和 夹角的余弦值.
【答案】解：(Ⅰ)由已知得 ，即 ，解得 .
(Ⅱ) ， .
又 .
所以 和 夹角的余弦值为 .
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】(Ⅰ)利用模长平方与向量的平分相等，将已知 两边平方展开，得到关于 的方程解之即可；(Ⅱ)分别求出 和 模长以及数量积，利用数量积公式求夹角.
21．（2020高一上·六安期末）已知 是平面上两个不共线的向量且 ， ， .
（1）若 ， 方向相反，求 的值；
（2）若 ， ， 三点共线，求 的值.
【答案】（1）解：由题意知， ，则存在 ，使得 ，即 ，从而 ，得 ，又 方向相反，则
（2）解：由题意知， ，由 ， ， 三点共线得，存在 ，使得 ，即 ，从而 ，得 或 .
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【分析】（1）由向量共线得出存在 ，使得 ，得出 ，列出方程组，即可得出 的值；（2）根据三点共线得出存在 ，使得 ，得出 ，列出方程组，即可得出 的值.
1 / 1高中数学人教A版（2019）必修二 第六章 平面向量的概念与运算（二）
一、单选题
1．（2020·新课标Ⅲ·理）已知向量a，b满足 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．如图，在底面为正方形的平行六面体 的棱中，与向量 模相等的向量有（ ）.
A．0个 B．3个 C．7个 D．9个
3．（2020高二上·西安期末）下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（ ）
（1）长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；（2）平行且模相等的两个向量是相等向量；（3）若 ，则 ；（4）两个向量相等，则它们的起点与终点相同．
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2020高三上·长沙月考）若平面向量 ， 满足 ，则对于任意实数 ， 的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．1
5．（2020高一下·河西期中）已知向量 ， 是两个不共线的向量，且向量m 3 与 （2﹣m） 共线，则实数m的值为（ ）
A．﹣1或3 B． C．﹣1或4 D．3或4
6．（2020高一下·北京期中）如图， ， 与 的夹角为 ， 与 的夹角为 ，若 ，则 等于（ ）．
A． B． C． D．2
二、多选题
7．（2020高一下·句容期中）在△ABC中，下列结论正确的是（ ）
A． ；
B． ；
C．若 ，则△ABC是锐角三角形
D．若 ，则△ABC是等腰三角形；
8．（2020高一下·辽宁期中） 是边长为2的等边三角形，已知向量 、 满足 、 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2020高一下·济南月考）设 、 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ）
A．若 ，则存在实数 使得
B．若 ，则
C．若 ，则 在 方向上的投影向量为
D．若存在实数 使得 ，则
10．（2020高一下·枣庄开学考）在给出的下列命题中，正确的是（ ）
A．设 是同一平面上的四个点，若 ，则点 必共线
B．若向量 是平面 上的两个向量，则平面 上的任一向量 都可以表示为 ，且表示方法是唯一的
C．已知平面向量 满足 则 为等腰三角形
D．已知平面向量 满足 ，且 ，则 是等边三角形
三、填空题
11．（2020高三上·嘉兴期末）已知平面向量 与 的夹角为 ， 在 上的投影是 ，且满足 ，则 .
12．（2017·天津）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若 =2 ， =λ ﹣ （λ∈R），且 =﹣4，则λ的值为 ．
13．（2017·浙江）已知向量 、 满足| |=1，| |=2，则| + |+| ﹣ |的最小值是 ，最大值是 ．
14．（2020高三上·南开期末）如图，在边长1为正方形 中， ， 分别是 ， 的中点，则 ，若 ，则 .
15．（2020高一下·红桥期中）计算： ．
16．（2020高一下·佛山期中）已知向量 、 ，且 ， ， ，则A、B、 C 、 D 四点中一定共线的三点是 .
四、解答题
17．（2020高一下·海淀期中）如图所示，已知 ， ， ， ， ， ，试用 、 、 、 、 、 表示下列各式：
（1） ；
（2） ；
（3） .
18．（2020高一下·杭州期中）已知 是两个单位向量.
（1）若 ，试求 的值；
（2）若 的夹角为 ，求向量 在 上的投影.
19．（2020高一下·崇礼期中）已知 与 的夹角为120°．
（1）求 与 的值；
（2）x为何值时， 与 垂直？
20．（2020高一下·湖州期中）已知平面向量 满足 ，且 的夹角为 .
(Ⅰ)求 的值；
(Ⅱ)求 和 夹角的余弦值.
21．（2020高一上·六安期末）已知 是平面上两个不共线的向量且 ， ， .
（1）若 ， 方向相反，求 的值；
（2）若 ， ， 三点共线，求 的值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】 ， ， ， .
，
因此， .
故答案为：D.
【分析】计算出 、 的值，利用平面向量数量积可计算出 的值.
2．【答案】C
【知识点】相等向量与相反向量
【解析】【解答】向量模相等即向量的长度相等.根据平行六面体的性质可知，与向量 模相等的向量为 ， ， ， ， ， ， ，共7个.故答案为：C.
【分析】根据题意由向量相等的定义结合平行六边形的几何性质即可得出答案。
3．【答案】B
【知识点】向量的模；共线（平行）向量；相等向量与相反向量
【解析】【解答】由相等向量的定义知（1）正确；
平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，（2）错；
方向不相同且长度相等的两个是不相等向量，（3）错；
相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，（4）错，
所以正确答案只有一个．
故答案为：B．
【分析】根据向量的基本概念依次进行判断即可得到答案。
4．【答案】A
【知识点】向量的模；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】由题意得，设向量 夹角为 ，则 ，
，设 与 的夹角为 ，
， ，
， ，
故答案为：A
【分析】利用数量积的公式即可求出夹角的公式即，从而得到，设出 与 的夹角为 ，借助向量运算的性质以及数量积的公式即可求出，由此得到模的最小值即可。
5．【答案】A
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：∵向量m 3 与 （2﹣m） 共线，
∴存在实数k使得：m 3 k[ （2﹣m） ]，
化为：（m﹣k） [﹣3﹣k（2﹣m）] ，
∵向量 ， 是两个不共线的向量，
∴ ，解得m＝3或﹣1.
故答案为：A.
【分析】由向量共线可得存在实数k使得m 3 k[ （2﹣m） ]，整理，利用平面向量基本定理列关于k，m的方程组，解出即可.
6．【答案】D
【知识点】向量加法的三角形法则；平面向量的基本定理
【解析】【解答】将 沿 与 方向进行分解，如图，
由平行四边形法则有 ，且 ，所以
，又 ， ，在 中， ，
即 .
故答案为：D
【分析】将 沿 与 方向进行分解，易得 ，再在 中， ，代入相关值即可得到答案.
7．【答案】A,B,D
【知识点】向量加法的三角形法则；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：对于A，由向量的减法法则可知是正确的；
对于B，由向量的加法法则可知也是正确的；
对于C，由 ，可得角A是锐角，但不能判断角B,C的大小，所以△ABC不一定是锐角三角形，所以C不正确；
对于D，由 ，得 ，
所以 ，所以△ABC是等腰三角形，所以D符合题意，
故答案为：ABD
【分析】由向量的加减法法则，数量积运算逐个进行判断即可.
8．【答案】A,D
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】因为 ， ，所以 ，
因为 是边长为2的等边三角形，所以 ，A符合题意，
因为 ， ，
所以向量 、 之间的夹角为 ，B不符合题意，
所以 ，C不符合题意，
因为 ，
所以 ，D符合题意，
故答案为：AD.
【分析】本题首先可以根据向量的减法得出 ，然后根据 是边长为2的等边三角形得出A符合题意以及B不符合题意，再然后根据向量 、 之间的夹角为 计算出 ，C不符合题意，最后通过计算得出 ，D符合题意.
9．【答案】A,B
【知识点】向量加法的三角形法则
【解析】【解答】当 时，则 、 方向相反且 ，则存在负实数 ，使得 ，A选项正确，D选项错误；
若 ，则 、 方向相同， 在 方向上的投影向量为 ，C选项错误；
若 ，则以 、 为邻边的平行四边形为矩形，且 和 是这个矩形的两条对角线长，则 ，B选项正确.
故选：AB.
【分析】根据向量模的三角不等式找出 和 的等价条件，可判断A、C、D选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B选项的正误.综合可得出结论.
10．【答案】A,C,D
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】对于A， ，
∴ ，∴ ，且有公共点C，
∴则点A、B、C共线，命题A符合题意；
对于B，根据平面向量的基本定理缺少条件 不共线，B不符合题意；
对于C，由于 ，即 ， ，
得 ，即OA为BC的垂线，
又由于 ，可得OA在 的角平分线上，
综合得 为等腰三角形，C符合题意；
对于D，平面向量 、 、 满足 ，且 ，
∴ ，∴ ，
即 ，∴ ，
∴ 、 的夹角为 ，同理 、 的夹角也为 ，
∴ 是等边三角形，D符合题意；
故答案为：ACD.
【分析】由共线定理即可判断出A、B、C三点共线进而判断出选项A正确；由平面向量的额基本定理即可判断出选项B错误；由向量的运算性质即可得出OA为BC的垂线OA在 的角平分线上，进而判断出选项C正确；由向量的线性表示和数量积的运算性质即可判断出选项D正确；由此即可得出答案。
11．【答案】
【知识点】向量的模
【解析】【解答】因为平面向量 与 的夹角为 ， 在 上的投影是 ，
所以 ，所以
因为 ，即 ，即
所以 ，解得
所以 ，所以
故答案为：
【分析】由条件算出，，然后可得答案。
12．【答案】
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算；平面向量数乘的运算；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：如图所示，
△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，
=2 ，
∴ = +
= +
= + （ ﹣ ）
= + ，
又 =λ ﹣ （λ∈R），
∴ =（ + ） （λ ﹣ ）
=（ λ﹣ ） ﹣ + λ
=（ λ﹣ ）×3×2×cos60°﹣ ×32+ λ×22=﹣4，
∴ λ=1，
解得λ= ．
故答案为： ．
【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用 、 表示出 ，
再根据平面向量的数量积 列出方程求出λ的值．
13．【答案】4；
【知识点】函数的最大（小）值；向量的模；含三角函数的复合函数的值域与最值；余弦定理
【解析】【解答】解：记∠AOB=α，则0≤α≤π，如图，
由余弦定理可得：
| + |= ，
| ﹣ |= ，
令x= ，y= ，
则x2+y2=10（x、y≥1），其图象为一段圆弧MN，如图，
令z=x+y，则y=﹣x+z，
则直线y=﹣x+z过M、N时z最小为zmin=1+3=3+1=4，
当直线y=﹣x+z与圆弧MN相切时z最大，
由平面几何知识易知zmax即为原点到切线的距离的 倍，
也就是圆弧MN所在圆的半径的 倍，
所以zmax= × = ．
综上所述，| + |+| ﹣ |的最小值是4，最大值是 ．
故答案为：4、 ．
【分析】通过记∠AOB=α（0≤α≤π），利用余弦定理可可知| + |= 、| ﹣ |= ，进而换元，转化为线性规划问题，计算即得结论．
14．【答案】；
【知识点】向量加法的三角形法则；平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】设向量 ，则 ，
可得 ，
，
又因为 ，可得 ，解得 ，所以 。
【分析】设向量 ，则 ，再利用数量积的运算法则求出的值，再利用三角形法则结合共线定理，从而结合 ，从而建立关于的方程组，从而解方程组求出的值，进而求出的值。
15．【答案】
【知识点】向量加减混合运算
【解析】【解答】由向量加法的交换律、向量加法的三角形法则和向量减法法则可得 .
故答案为： .
【分析】根据向量加法的交换律、向量加法的三角形法则和向量减法法则进行运算，即得答案.
16．【答案】A、B、D
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】
则 三点共线
故答案为： A、B、D
【分析】根据向量的加法和减法得出 ，结合向量共线定理，即可得出 三点共线.
17．【答案】（1）解： ；
（2）解： ；
（3）解： .
【知识点】平面向量减法运算；向量加法的三角形法则；平面向量的基本定理
【解析】【分析】将（1）、（2）、（3）中的每个向量利用共起点 的向量的差向量表示，再利用平面向量加法和减法运算可得出结果.
18．【答案】（1）解：因为 是两个单位向量，且 ,
故可得 ，即 ，
解得 ，则 ；
即 .
（2）解：因为 的夹角为 ，故可得 ，
则 ，
又因为 ，
故可得向量 在 上的投影
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；直角三角形的射影定理
【解析】【分析】（1）根据已知模长，求得 的数量积，再由数量积求模长即可；（2）根据题意，求得 的数量积，再由射影计算公式即可求得.
19．【答案】（1）解： ．
．
．
（2）解：因为 ，
所以 ，即 ．
所以当 时， 与 垂直．
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【分析】（1）先由数量积的定义求出 ，由数量积的运算性质可得 ， ，将条件及 的值代入，可得答案.（2）由 与 垂直，可得 ，将条件代入可求出x的值.
20．【答案】解：(Ⅰ)由已知得 ，即 ，解得 .
(Ⅱ) ， .
又 .
所以 和 夹角的余弦值为 .
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】(Ⅰ)利用模长平方与向量的平分相等，将已知 两边平方展开，得到关于 的方程解之即可；(Ⅱ)分别求出 和 模长以及数量积，利用数量积公式求夹角.
21．【答案】（1）解：由题意知， ，则存在 ，使得 ，即 ，从而 ，得 ，又 方向相反，则
（2）解：由题意知， ，由 ， ， 三点共线得，存在 ，使得 ，即 ，从而 ，得 或 .
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【分析】（1）由向量共线得出存在 ，使得 ，得出 ，列出方程组，即可得出 的值；（2）根据三点共线得出存在 ，使得 ，得出 ，列出方程组，即可得出 的值.
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