2021-2022苏科版数学七年级下册10.4 三元一次方程组同步练习
一、单选题
1．（2018-2019学年初中数学华师大版七年级下册7.3三元一次方程组及其解法 同步练习）三元一次方程组 的解为（ ）
A． B． C． D．
2．（沪科版七上数学3.5三元一次方程组及其解法课时作业（1））已知三元一次方程组 ，则x+y+z=（ ）
A．20 B．30 C．35 D．70
3．（2018-2019学年初中数学华师大版七年级下册7.3三元一次方程组及其解法 同步练习）已知 是方程组 的解，则a+b+c的值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．无法确定
4．（新人教版数学七年级下册 第八章二元一次方程组8.4三元一次方程组的解法同步训练）以 为解建立三元一次方程组，不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（解三元一次方程组++++++++++ ）若三元一次方程组 的解使ax+2y+z=0，则a的值为（ ）
A．1 B．0 C．﹣2 D．4
6．（2021七上·浦口月考）设“●■▲”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也平衡，那么“？”处应放“■”的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
7．（2020七下·扬州期中）已知方程组 的解也是方程3x－2y=0的解，则k的值是（ ）
A．k=－5 B．k=5 C．k=－10 D．k=10
二、填空题
8．（2019七下·海安月考）已知 ，则x＋y＋z＝ .
9．（2019七下·南通月考）有甲、乙、丙三种货物，若购买甲2件、乙8件、丙5件共需400元；若购买甲3件、乙11件、丙7件只需600元，则购买甲、乙、丙各一件共需 元.
10．（2018-2019学年初中数学华师大版七年级下册第7章一次方程组 单元检测提高卷）已知a、b、c满足 ，则a= ，b= ，c= ．
11．（2018-2019学年初中数学华师大版七年级下册7.3三元一次方程组及其解法 同步练习）判断 是否是三元一次方程组 的解： （填：“是”或者“不是”）．
12．（沪科版七上数学3.3二元一次方程组及其解法课时作业（3））已知 (x,y,z≠0),则 的值为 .
13．（沪科版七上数学3.5三元一次方程组及其解法课时作业（1））解三元一次方程组 时，首先消去z，得二元一次方程组为 ，再消去未知数x，得一元一次方程为 .解得y= ；将y代入变形得到的二元一次方程组中，求得x= ，最后将x和y值同时代入②；得z= .
14．（2021七下·苏州期末）“洞庭碧螺春，品香醉天下.”洞庭碧螺春产于苏州市太湖洞庭山，以形美、色艳、香浓、味醇“四绝”驰名中外.如图，若将一壶碧螺春茶倒满2个小杯，则还剩 壶；若倒满1个小杯后再全部倒入1个大杯中，则只能倒满这个大杯的 .1个小杯与1个大杯的容积之比为 .
三、计算题
15．（2021七下·昆山月考）解下列方程组或不等式（组）：
（1）
（2）
16．（2020七下·江苏月考）解下列方程组：
（1） （代入法）；
（2） （加减法）；
（3） .
17．（2019七下·姜堰期中）已知关于 ， 的二元一次方程组 的解互为相反数，求k的值.
四、解答题
18．小明去超市买三种商品．其中丙商品单价最高．如果购买3件甲商品、2件乙商品和1件丙商品，那么需要付费20元，如果购买4件甲商品，3件乙商品和2件丙商品，那么需要付费32元．
（1）如果购买三种商品各1件，那么需要付费多少元？
（2）如果需要购买1件甲商品，3件乙商品和2件丙商品，那么小明至少需多少钱才能保证一定能全部买到？（结果精确到元）
19．（2021七下·吴中期末）对于未知数为 ， 的二元一次方程组，如果方程组的解 ， 满足 ，我们就说方程组的解 与 具有“邻好关系”.
（1）方程组 的解 与 是否具有“邻好关系” 说明你的理由：
（2）若方程组 的解 与 具有“邻好关系”，求 的值：
（3）未知数为 ， 的方程组 ，其中 与 、 都是正整数，该方程组的解 与 是否具有“邻好关系” 如果具有，请求出 的值及方程组的解：如果不具有，请说明理由.
20．（2021七下·盐城期末）（阅读感悟）
对于方程组的问题，有时候要求的结果不是每个未知数的值，而是求关于未知数的代数式的值.如已知实数 、 满足 ，求 和 的值.
方法一：解方程组，分别求出 、 的值，代入代数式求值；
方法二：仔细观察两个方程中未知数的系数之间的关系，通过适当变形整体求代数式的值.解法如下：
①－②，得： ；①＋②×2，得： .
比较：方法一运算量较大，是常规思路；方法二运算较为简单，这种解题思路就是通常所说的“整体思想”.
（问题解决）
（1）已知二元一次方程组 ，则 ； .
（2）某班级因组织活动购买奖品.买13支铅笔、4块橡皮、2本笔记本共需48元；买25支铅笔、7块橡皮、3本笔记本共需84元.则购买5只铅笔、5块橡皮、5本笔记本共需 元.
（3）对于实数 、 ，定义新运算： ，其中 、 、 是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运算.已知 ， ，那么 的值是 .
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：
②×4 ①得2x y=5④
②×3+③得5x 2y=11⑤
④⑤组成二元一次方程组得 ，
解得 ，
代入②得z= 2.
故原方程组的解为 .
故答案为：C.
【分析】观察方程组中同一个未知数的系数特点：z的系数分别为：4，1、-3，存在倍数关系，因此由②×4 ①；②×3+③分别消去z，就可得到关于x、y的二元一次方程组，利用加减消元法求出二元一次方程组的解，然后将x、y的值代入方程②求出z的值，就可得出方程组的解。
2．【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： ，
①+②+③得：2（x+y+z）=70，
则x+y+z=35．
故答案为：C．
【分析】将方程组的三个式子求和，即可得到（x+y+z）的两倍的值，得到（x+y+z）的值即可。
3．【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：将 代入方程得
，
①+②+③得4(a+b+c)=12，
∴a+b+c=3，
故答案为：A.
【分析】将x、y、z的值代入方程组中，再观察方程组中各未知数的系数特点：相同字母的系数之和都为4，因此由（①+②+③）÷4，就可求得a+b+c的值。
4．【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】因为将未知数的值代入C项中为 ，所以选择C．
【分析】将三个未知数的值代入选项中的三元一次方程中逐个验证即可．
5．【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： ，
①+②+③得：x+y+z=1④，
把①代入④得：z=﹣4，
把②代入④得：y=2，
把③代入④得：x=3，
把x=3，y=2，z=﹣4代入方程得：3a+4﹣4=0，
解得：a=0．
故选B．
【分析】求出已知方程组的解得到x，y，z的值，代入方程计算即可求出a的值．
6．【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设●、■、▲分别为x，y，z，由（1）（2）可知，
，
由①②可得：，，
∴；
故答案为：A.
【分析】设●、■、▲分别为x，y，z，利用（1）（2）可得方程组据此求出，，再求出x+z的值即可.
7．【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】∵方程组 的解也是方程3x－2y=0的解，
∴ ，
解得， ；
把 代入4x-3y+k=0得，
-40+45+k=0，
∴k=-5.
故答案为：A.
【分析】根据方程组 的解也是方程3x－2y=0的解，可得方程组 ，解方程组求得x、y的值，再代入4x-3y+k=0即可求得k的值.
8．【答案】3
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：三个式子相加得2（x＋y＋z）=6,
∴x＋y＋z=3
【分析】观察方程组中同一未知数系数的特点：三个方程都是二元一次方程，且x、y、z的系数都是1，因此将三个方程相加除以2，即可求出x+y+z的值。
9．【答案】200
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设甲货物的单价为x元/件，乙货物的单价为y元/件，丙货物的单价为z元/件，
依题意，得： ，
﹣4×①+3×②，得：x+y+z＝200.
故答案为：200.
【分析】设甲货物的单价为x元/件，乙货物的单价为y元/件，丙货物的单价为z元/件，根据“购买甲2件、乙8件、丙5件共需400元；若购买甲3件、乙11件、丙7件只需600元”，即可得出关于x，y，z的三元一次方程，由﹣4×①+3×②可得出x+y+z的值，此题得解.
10．【答案】2；2；-4
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： ①﹣②，得：3a﹣3b=0④
①﹣③，得：﹣4b=﹣8，解得：b=2，
把b=2代入④，得：3a﹣3×2=0，解得：a=2，
把a=2，b=2代入②，得2+2+c=0，解得：c=﹣4，
∴原方程组的解是 ．
故答案为：2，2，﹣4．
【分析】观察方程组中同一未知数的系数特点：三个方程中c的系数都是1，因此①﹣②和①﹣③，就可求出b的值，再代入计算求出a、c的值。
11．【答案】是
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：∵把 代入： 得：
方程①左边=5+10+（-15）=0=右边；
方程②左边=2×5-10+（-15）=-15=右边；
方程③左边=5+2×10-（-15）=40=右边；
∴ 是方程组： 的解.
【分析】将已知x、y、z的值分别代入三个方程计算，就可判断；或求出方程组的解，也可作出判断。
12．【答案】1
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：解关于x、y的方程组 得： ，
把 代入 得：
.
故答案为：1.
【分析】将z看作已知数，求出关于x、y方程组的解，然后将其代入原式进行计算即可.
13．【答案】；2y=6；3；2；1
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：先消去z，得二元一次方程组为 ，再消去未知数x，得一元一次方程为2y=6，解得y=3；将y值代入变形得到的二元一次方程组中，求得x=2；最后将x和y值同时代入②，得z=1.
故答案为： ；2y=6；y=3；x=2.z=1
【分析】解三元一次方程组时，利用加减消元法消去一个未知数，转化为二元一次方程组，再解出方程组的解即可。
14．【答案】3：10
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设壶的容积为V，小杯容积为a，大杯容积为b，
由题意可得： ，
把②代入①中，得 ，
化简可得： ，
故答案为：3：10.
【分析】设壶的容积为V，小杯容积为a，大杯容积为b， 根据“若将一壶碧螺春茶倒满2个小杯，则还剩 壶；若倒满1个小杯后再全部倒入1个大杯中，则只能倒满这个大杯的 ”，列出方程组，求解即可.
15．【答案】（1）解：
②×5+①得： ，
解得： ，
把 代入②得： ，
解得： ，
∴原方程组的解为 ；
（2）解： ，
①+②得： ，④
①-③得： ，⑤
⑤×2+④得： ，解得： ，
把 代入④得： ，解得： ，
把 ， 代入①得： ，解得： ，
∴原方程组的解为 .
【知识点】解二元一次方程组；三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】（1）给第二个方程两边同时乘以5，然后加上第一个方程，消去未知数y，可求出x的值，然后将x的值代入第二个方程中可求出y的值，据此可得方程组的解；
（2）将第一个方程与第二个方程相加，可得2x-y=4，将第一个方程与第三个方程相减，可得2y-x=1，联立可求出x、y的值，进而求出z的值，据此可得方程组的解.
16．【答案】（1）解： ，
由①得：y=x-3，代入②中，
7x-5（x-3）=9，
解得：x=-3，
∴y=-6，
∴方程组的解为： ；
（2）解： ，
①×2+②得：7x=21，
解得：x=3，代入①中，
解得：y=-1，
∴方程组的解为： ；
（3）解： ，
由①得：令 =k，
∴a=3k，b=4k，c=5k，代入②得：
6k-12k+5k=6，
解得：k=-6，
∴方程组的解为： .
【知识点】解二元一次方程组；三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】（1）利用代入法进行求解即可；（2）利用加减法进行求解即可；（3）令 =k，将a，b，c用k表示出来，代入2a-3b+c=6中求解即可.
17．【答案】解： ，
由①-②得2x+2y=k+1，
∴x+y= ，
∵x，y互为相反数，
∴ ，解得k=-1
【知识点】相反数及有理数的相反数；三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】根据方程组的解互为相反数可得x+y=0，把这个方程与已知的方程组构成三元一次方程组，解这个三元一次方程组即可求解。
18．【答案】解：（1）设一件甲商品x元，乙y元，丙z元，
根据题意得：3x+2y+z=20①
4x+3y+2z=32②
①﹣②得：﹣x﹣y﹣z=﹣12，
∴x+y+z=12，
答：如果购买三种商品各1件，那么需要付费12元；
（2）设需要购买1件甲商品，3件乙商品和2件丙商品，那么小明至少需m元才能保证一定能全部买到，由题意可得：
x+3y+2z≥m，
由（1）可知4x+3y+2z=32，
∴3y+2z=32﹣4x，
∴x+32﹣4x≥m，
x≤，
∵x=1元时，m最小，
∴m=29，
答：需要购买1件甲商品，3件乙商品和2件丙商品，那么小明至少需29元才能保证一定能全部买到．
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】（1）先设一件甲商品x元，乙y元，丙z元，然后根据题意列出方程，再解方程即可．
（2）设需要购买1件甲商品，3件乙商品和2件丙商品，那么小明至少需m元才能保证一定能全部买到，根据题意列出不等式，解不等式即可．
19．【答案】（1）解：方程组
由②得： ，即满足 .
方程组的解 ， 具有“邻好关系”；
（2）解：方程组
①-②得： ，即 .
方程组的解 ， 具有“邻好关系”，
，即
或
（3）解：方程两式相加得： ，
， ， 均为正整数，
， ， （舍去）， （舍去），
在上面符合题宜的两组解中，只有 时， .
，方程组的解为
【知识点】解二元一次方程组；三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】（1）将方程组中的方程 ②变形可得到x-y=1，即可退出|x-y|=1，由此可作出判断.
（2）利用“邻好关系”的定义，将①-②可得到x-y=3-2m，由此可建立关于m的方程，解方程求出m的值.
（3）将两方程相加可得到（2+a）y=12，再根据a，x，y为正整数，可达到符合题意的x，y，a的值；再根据“邻好关系”的定义，可得到a，x，y的值.
20．【答案】（1）2；
（2）60
（3）-11
【知识点】三元一次方程组解法及应用；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）∵ ，
由①②，得 ；
由①+②，得 ，
∴ ；
故答案为：2； ；
（2）设买1支铅笔为a元，买1块橡皮为b元，买1本笔记本为c元，
由题意得：
，
①×2 ②得：a+b+c=12，
∴5a+5b+5c=60，
故答案为：60；
（3） ，
由 得： ，
∴ .
故答案为： .
【分析】（1）将两个方程相加可得x+y的值，将两个方程相减可得x-y的值；
（2）设买1支铅笔为a元，买1块橡皮为b元，买1本笔记本为c元，则13a+4b+2c=48，25a+7b+3c=84，利用第一个方程的2倍减去第二个方程可得a+b+c的值，据此解答；
（3）由定义的新运算可得3a+5b-c=15，4a+7b-c=28，利用第一个方程的3倍减去第二个方程的2倍可得a+b-c的值，据此解答.
1 / 12021-2022苏科版数学七年级下册10.4 三元一次方程组同步练习
一、单选题
1．（2018-2019学年初中数学华师大版七年级下册7.3三元一次方程组及其解法 同步练习）三元一次方程组 的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：
②×4 ①得2x y=5④
②×3+③得5x 2y=11⑤
④⑤组成二元一次方程组得 ，
解得 ，
代入②得z= 2.
故原方程组的解为 .
故答案为：C.
【分析】观察方程组中同一个未知数的系数特点：z的系数分别为：4，1、-3，存在倍数关系，因此由②×4 ①；②×3+③分别消去z，就可得到关于x、y的二元一次方程组，利用加减消元法求出二元一次方程组的解，然后将x、y的值代入方程②求出z的值，就可得出方程组的解。
2．（沪科版七上数学3.5三元一次方程组及其解法课时作业（1））已知三元一次方程组 ，则x+y+z=（ ）
A．20 B．30 C．35 D．70
【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： ，
①+②+③得：2（x+y+z）=70，
则x+y+z=35．
故答案为：C．
【分析】将方程组的三个式子求和，即可得到（x+y+z）的两倍的值，得到（x+y+z）的值即可。
3．（2018-2019学年初中数学华师大版七年级下册7.3三元一次方程组及其解法 同步练习）已知 是方程组 的解，则a+b+c的值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．无法确定
【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：将 代入方程得
，
①+②+③得4(a+b+c)=12，
∴a+b+c=3，
故答案为：A.
【分析】将x、y、z的值代入方程组中，再观察方程组中各未知数的系数特点：相同字母的系数之和都为4，因此由（①+②+③）÷4，就可求得a+b+c的值。
4．（新人教版数学七年级下册 第八章二元一次方程组8.4三元一次方程组的解法同步训练）以 为解建立三元一次方程组，不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】因为将未知数的值代入C项中为 ，所以选择C．
【分析】将三个未知数的值代入选项中的三元一次方程中逐个验证即可．
5．（解三元一次方程组++++++++++ ）若三元一次方程组 的解使ax+2y+z=0，则a的值为（ ）
A．1 B．0 C．﹣2 D．4
【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： ，
①+②+③得：x+y+z=1④，
把①代入④得：z=﹣4，
把②代入④得：y=2，
把③代入④得：x=3，
把x=3，y=2，z=﹣4代入方程得：3a+4﹣4=0，
解得：a=0．
故选B．
【分析】求出已知方程组的解得到x，y，z的值，代入方程计算即可求出a的值．
6．（2021七上·浦口月考）设“●■▲”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也平衡，那么“？”处应放“■”的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设●、■、▲分别为x，y，z，由（1）（2）可知，
，
由①②可得：，，
∴；
故答案为：A.
【分析】设●、■、▲分别为x，y，z，利用（1）（2）可得方程组据此求出，，再求出x+z的值即可.
7．（2020七下·扬州期中）已知方程组 的解也是方程3x－2y=0的解，则k的值是（ ）
A．k=－5 B．k=5 C．k=－10 D．k=10
【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】∵方程组 的解也是方程3x－2y=0的解，
∴ ，
解得， ；
把 代入4x-3y+k=0得，
-40+45+k=0，
∴k=-5.
故答案为：A.
【分析】根据方程组 的解也是方程3x－2y=0的解，可得方程组 ，解方程组求得x、y的值，再代入4x-3y+k=0即可求得k的值.
二、填空题
8．（2019七下·海安月考）已知 ，则x＋y＋z＝ .
【答案】3
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：三个式子相加得2（x＋y＋z）=6,
∴x＋y＋z=3
【分析】观察方程组中同一未知数系数的特点：三个方程都是二元一次方程，且x、y、z的系数都是1，因此将三个方程相加除以2，即可求出x+y+z的值。
9．（2019七下·南通月考）有甲、乙、丙三种货物，若购买甲2件、乙8件、丙5件共需400元；若购买甲3件、乙11件、丙7件只需600元，则购买甲、乙、丙各一件共需 元.
【答案】200
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设甲货物的单价为x元/件，乙货物的单价为y元/件，丙货物的单价为z元/件，
依题意，得： ，
﹣4×①+3×②，得：x+y+z＝200.
故答案为：200.
【分析】设甲货物的单价为x元/件，乙货物的单价为y元/件，丙货物的单价为z元/件，根据“购买甲2件、乙8件、丙5件共需400元；若购买甲3件、乙11件、丙7件只需600元”，即可得出关于x，y，z的三元一次方程，由﹣4×①+3×②可得出x+y+z的值，此题得解.
10．（2018-2019学年初中数学华师大版七年级下册第7章一次方程组 单元检测提高卷）已知a、b、c满足 ，则a= ，b= ，c= ．
【答案】2；2；-4
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： ①﹣②，得：3a﹣3b=0④
①﹣③，得：﹣4b=﹣8，解得：b=2，
把b=2代入④，得：3a﹣3×2=0，解得：a=2，
把a=2，b=2代入②，得2+2+c=0，解得：c=﹣4，
∴原方程组的解是 ．
故答案为：2，2，﹣4．
【分析】观察方程组中同一未知数的系数特点：三个方程中c的系数都是1，因此①﹣②和①﹣③，就可求出b的值，再代入计算求出a、c的值。
11．（2018-2019学年初中数学华师大版七年级下册7.3三元一次方程组及其解法 同步练习）判断 是否是三元一次方程组 的解： （填：“是”或者“不是”）．
【答案】是
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：∵把 代入： 得：
方程①左边=5+10+（-15）=0=右边；
方程②左边=2×5-10+（-15）=-15=右边；
方程③左边=5+2×10-（-15）=40=右边；
∴ 是方程组： 的解.
【分析】将已知x、y、z的值分别代入三个方程计算，就可判断；或求出方程组的解，也可作出判断。
12．（沪科版七上数学3.3二元一次方程组及其解法课时作业（3））已知 (x,y,z≠0),则 的值为 .
【答案】1
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：解关于x、y的方程组 得： ，
把 代入 得：
.
故答案为：1.
【分析】将z看作已知数，求出关于x、y方程组的解，然后将其代入原式进行计算即可.
13．（沪科版七上数学3.5三元一次方程组及其解法课时作业（1））解三元一次方程组 时，首先消去z，得二元一次方程组为 ，再消去未知数x，得一元一次方程为 .解得y= ；将y代入变形得到的二元一次方程组中，求得x= ，最后将x和y值同时代入②；得z= .
【答案】；2y=6；3；2；1
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：先消去z，得二元一次方程组为 ，再消去未知数x，得一元一次方程为2y=6，解得y=3；将y值代入变形得到的二元一次方程组中，求得x=2；最后将x和y值同时代入②，得z=1.
故答案为： ；2y=6；y=3；x=2.z=1
【分析】解三元一次方程组时，利用加减消元法消去一个未知数，转化为二元一次方程组，再解出方程组的解即可。
14．（2021七下·苏州期末）“洞庭碧螺春，品香醉天下.”洞庭碧螺春产于苏州市太湖洞庭山，以形美、色艳、香浓、味醇“四绝”驰名中外.如图，若将一壶碧螺春茶倒满2个小杯，则还剩 壶；若倒满1个小杯后再全部倒入1个大杯中，则只能倒满这个大杯的 .1个小杯与1个大杯的容积之比为 .
【答案】3：10
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设壶的容积为V，小杯容积为a，大杯容积为b，
由题意可得： ，
把②代入①中，得 ，
化简可得： ，
故答案为：3：10.
【分析】设壶的容积为V，小杯容积为a，大杯容积为b， 根据“若将一壶碧螺春茶倒满2个小杯，则还剩 壶；若倒满1个小杯后再全部倒入1个大杯中，则只能倒满这个大杯的 ”，列出方程组，求解即可.
三、计算题
15．（2021七下·昆山月考）解下列方程组或不等式（组）：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
②×5+①得： ，
解得： ，
把 代入②得： ，
解得： ，
∴原方程组的解为 ；
（2）解： ，
①+②得： ，④
①-③得： ，⑤
⑤×2+④得： ，解得： ，
把 代入④得： ，解得： ，
把 ， 代入①得： ，解得： ，
∴原方程组的解为 .
【知识点】解二元一次方程组；三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】（1）给第二个方程两边同时乘以5，然后加上第一个方程，消去未知数y，可求出x的值，然后将x的值代入第二个方程中可求出y的值，据此可得方程组的解；
（2）将第一个方程与第二个方程相加，可得2x-y=4，将第一个方程与第三个方程相减，可得2y-x=1，联立可求出x、y的值，进而求出z的值，据此可得方程组的解.
16．（2020七下·江苏月考）解下列方程组：
（1） （代入法）；
（2） （加减法）；
（3） .
【答案】（1）解： ，
由①得：y=x-3，代入②中，
7x-5（x-3）=9，
解得：x=-3，
∴y=-6，
∴方程组的解为： ；
（2）解： ，
①×2+②得：7x=21，
解得：x=3，代入①中，
解得：y=-1，
∴方程组的解为： ；
（3）解： ，
由①得：令 =k，
∴a=3k，b=4k，c=5k，代入②得：
6k-12k+5k=6，
解得：k=-6，
∴方程组的解为： .
【知识点】解二元一次方程组；三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】（1）利用代入法进行求解即可；（2）利用加减法进行求解即可；（3）令 =k，将a，b，c用k表示出来，代入2a-3b+c=6中求解即可.
17．（2019七下·姜堰期中）已知关于 ， 的二元一次方程组 的解互为相反数，求k的值.
【答案】解： ，
由①-②得2x+2y=k+1，
∴x+y= ，
∵x，y互为相反数，
∴ ，解得k=-1
【知识点】相反数及有理数的相反数；三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】根据方程组的解互为相反数可得x+y=0，把这个方程与已知的方程组构成三元一次方程组，解这个三元一次方程组即可求解。
四、解答题
18．小明去超市买三种商品．其中丙商品单价最高．如果购买3件甲商品、2件乙商品和1件丙商品，那么需要付费20元，如果购买4件甲商品，3件乙商品和2件丙商品，那么需要付费32元．
（1）如果购买三种商品各1件，那么需要付费多少元？
（2）如果需要购买1件甲商品，3件乙商品和2件丙商品，那么小明至少需多少钱才能保证一定能全部买到？（结果精确到元）
【答案】解：（1）设一件甲商品x元，乙y元，丙z元，
根据题意得：3x+2y+z=20①
4x+3y+2z=32②
①﹣②得：﹣x﹣y﹣z=﹣12，
∴x+y+z=12，
答：如果购买三种商品各1件，那么需要付费12元；
（2）设需要购买1件甲商品，3件乙商品和2件丙商品，那么小明至少需m元才能保证一定能全部买到，由题意可得：
x+3y+2z≥m，
由（1）可知4x+3y+2z=32，
∴3y+2z=32﹣4x，
∴x+32﹣4x≥m，
x≤，
∵x=1元时，m最小，
∴m=29，
答：需要购买1件甲商品，3件乙商品和2件丙商品，那么小明至少需29元才能保证一定能全部买到．
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】（1）先设一件甲商品x元，乙y元，丙z元，然后根据题意列出方程，再解方程即可．
（2）设需要购买1件甲商品，3件乙商品和2件丙商品，那么小明至少需m元才能保证一定能全部买到，根据题意列出不等式，解不等式即可．
19．（2021七下·吴中期末）对于未知数为 ， 的二元一次方程组，如果方程组的解 ， 满足 ，我们就说方程组的解 与 具有“邻好关系”.
（1）方程组 的解 与 是否具有“邻好关系” 说明你的理由：
（2）若方程组 的解 与 具有“邻好关系”，求 的值：
（3）未知数为 ， 的方程组 ，其中 与 、 都是正整数，该方程组的解 与 是否具有“邻好关系” 如果具有，请求出 的值及方程组的解：如果不具有，请说明理由.
【答案】（1）解：方程组
由②得： ，即满足 .
方程组的解 ， 具有“邻好关系”；
（2）解：方程组
①-②得： ，即 .
方程组的解 ， 具有“邻好关系”，
，即
或
（3）解：方程两式相加得： ，
， ， 均为正整数，
， ， （舍去）， （舍去），
在上面符合题宜的两组解中，只有 时， .
，方程组的解为
【知识点】解二元一次方程组；三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】（1）将方程组中的方程 ②变形可得到x-y=1，即可退出|x-y|=1，由此可作出判断.
（2）利用“邻好关系”的定义，将①-②可得到x-y=3-2m，由此可建立关于m的方程，解方程求出m的值.
（3）将两方程相加可得到（2+a）y=12，再根据a，x，y为正整数，可达到符合题意的x，y，a的值；再根据“邻好关系”的定义，可得到a，x，y的值.
20．（2021七下·盐城期末）（阅读感悟）
对于方程组的问题，有时候要求的结果不是每个未知数的值，而是求关于未知数的代数式的值.如已知实数 、 满足 ，求 和 的值.
方法一：解方程组，分别求出 、 的值，代入代数式求值；
方法二：仔细观察两个方程中未知数的系数之间的关系，通过适当变形整体求代数式的值.解法如下：
①－②，得： ；①＋②×2，得： .
比较：方法一运算量较大，是常规思路；方法二运算较为简单，这种解题思路就是通常所说的“整体思想”.
（问题解决）
（1）已知二元一次方程组 ，则 ； .
（2）某班级因组织活动购买奖品.买13支铅笔、4块橡皮、2本笔记本共需48元；买25支铅笔、7块橡皮、3本笔记本共需84元.则购买5只铅笔、5块橡皮、5本笔记本共需 元.
（3）对于实数 、 ，定义新运算： ，其中 、 、 是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运算.已知 ， ，那么 的值是 .
【答案】（1）2；
（2）60
（3）-11
【知识点】三元一次方程组解法及应用；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）∵ ，
由①②，得 ；
由①+②，得 ，
∴ ；
故答案为：2； ；
（2）设买1支铅笔为a元，买1块橡皮为b元，买1本笔记本为c元，
由题意得：
，
①×2 ②得：a+b+c=12，
∴5a+5b+5c=60，
故答案为：60；
（3） ，
由 得： ，
∴ .
故答案为： .
【分析】（1）将两个方程相加可得x+y的值，将两个方程相减可得x-y的值；
（2）设买1支铅笔为a元，买1块橡皮为b元，买1本笔记本为c元，则13a+4b+2c=48，25a+7b+3c=84，利用第一个方程的2倍减去第二个方程可得a+b+c的值，据此解答；
（3）由定义的新运算可得3a+5b-c=15，4a+7b-c=28，利用第一个方程的3倍减去第二个方程的2倍可得a+b-c的值，据此解答.
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