初中数学北师大版七年级下学期 5. 2 探索轴对称的性质 同步测试
一、单选题
1．（2021八上·东莞期中）如图，△ABC与△DEF关于直线1对称，BE交l于点O，则下列说法不一定正确的是（ ）
A．AC＝DF B．BO＝EO
C．AB＝EF D．l是线段AD的垂直平分线
【答案】C
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF关于直线l对称，
∴△ABC≌△DEF，
∴AC＝DF，AB＝DE，
∵直线l垂直平分线段AD，直线l垂直平分线段BE，
∴BO＝OE，
故答案为：A，B，D符合题意，
故答案为：C．
【分析】先求出△ABC≌△DEF，再求出AC＝DF，AB＝DE，最后判断即可。
2．（2022·东昌府模拟）已知在RtABC中，，，，点D为边BC上的动点，点E为边AB上的中点，则线段的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂线段最短；轴对称的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：作点E关于直线BC的对称点，如下图所示：
由对称性可知，，
此时，
由“点到直线的距离垂线段长度最小”可知，
当时，有最小值AG，此时E位于上图中的G位置，
由对称性知，
∴
∴
在
∵
∴
∴
故答案为：C．
【分析】作点E关于直线BC的对称点，如图，由对称性可知，，此时，由“点到直线的距离垂线段长度最小”可知，当时，有最小值为AG的长，证明可得，即得结论.
3．（2021八上·章贡期末）如图的4×4的正方形网格中，有A、B两点，在直线a上求一点P，使PA+PB最短，则点P应选在（ ）
A．C点 B．D点 C．E点 D．F点
【答案】A
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，
点A′是点A关于直线a的对称点，连接A′B，则A′B与直线a的交点，即为点P，此时PA+PB最短，
∵A′B与直线a交于点C，
∴点P应选C点．
故答案为：A．
【分析】点A′是点A关于直线a的对称点，连接A′B，则A′B与直线a的交点，即为点P，此时PA+PB最短。
4．（2021八上·吉林期末）如图，直线AB、CD相交于点O，P为这两条直线外一点，连接OP．点P关于直线AB、CD的对称点分别是点P1、P2．若OP＝3.5，则点P1、P2之间的距离可能是（ ）
A．0 B．6 C．7 D．9
【答案】B
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：连接OP1，OP2，P1P2，如图：
∵点P关于直线AB，CD的对称点分别是点P1，P2，
∴OP1＝OP＝3.5，OP＝OP2＝3.5，
∵OP1＋OP2＞P1P2，
∴0＜P1P2＜7，
故答案为：B．
【分析】根据轴对称的性质可得OP1＝OP＝3.5，OP＝OP2＝3.5，再利用三角形三边的关系可得OP1＋OP2＞P1P2，即可得到答案。
5．（2021七上·长春期末）如图，如果直线是△ABC的对称轴，其中∠C=66° ，那么∠BAC的度数等于（ ）
A．66° B．48° C．58° D．24°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；轴对称的性质
【解析】【解答】∵直线是△ABC的对称轴
∴
∴
故答案为：B．
【分析】根据轴对称的性质可得，再利用三角的内角和可得。
6．（2021七上·张店期中）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A=102°，∠C′=25°，则∠B的度数为（ ）.
A．35 B．53 C．63 D．43
【答案】B
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A＝102°，∠C′＝25°，
∴∠C＝25°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝53°．
故答案为：B．
【分析】先求出∠C＝25°，再计算求解即可。
7．（2021七上·龙口期中）如图，在3×3的正方形网格中，点A、B在格点(网格线的交点)上，要找一个格点C，连接AC，BC，使 ABC成为轴对称图形，则符合条件的格点C的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：C点落在网格中的4个格点使△ABC为轴对称图形，
故答案为：B．
【分析】根据轴对称图形的定义，分A和B对称，A和C对称，B和C对称进行分析即可得到答案。
8．（2021七上·龙口期中）下列说法正确的是（ ）
A．等腰三角形是关于底边中线成轴对称的图形
B．一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形
C．如果两个三角形全等，则它们必是关于直线成轴对称的图形
D．如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形
【答案】D
【知识点】轴对称的性质；轴对称图形
【解析】【解答】解：A、等腰三角形是以底边中线所在的直线为对称轴的轴对称图形或者说等腰三角形被中线所在的直线分成的两个三角形成轴对称，不合题意；
B、成轴对称的图形必须是两个，一个图形只能是轴对称图形，不合题意；
C、全等三角形不一定是成轴对称，而成轴对称的两个三角形一定是全等的，不合题意；
D、成轴对称的两个三角形一定是全等的，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据轴对称图形的定义及性质进行判断即可得到答案。
9．（2021七上·泰安期中）下列关于轴对称性质的说法中，错误的是（ ）
A．对应线段互相平行 B．对应线段相等
C．对应角相等 D．对应点连线与对称轴垂直
【答案】A
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】根据轴对称的性质：（1）成轴对称的两个图形全等；（2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线，可知选项B、C、D不符合题意，选项A符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据轴对称的性质逐项判断即可。
10．（2021七上·广饶期中）如图，直线是一条河，A、B是两个新农村定居点．欲在l上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向A、B两地供水．现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点A关于直线的对称点 ，连接 交直线 于一点，
根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道最短．
故答案为：D
【分析】作点A关于直线的对称点 ，连接 交直线 于一点，即可得到答案。
二、填空题
11．（2021八上·汉滨期中）如图， 与 关于直线对称，则∠B的度数为 °.
【答案】105
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，
∴△ABC≌△A′B′C′，
∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，
∴∠C=∠C′=40°，∠A=∠A′=35°
∴∠B=180° 35° 40°=105°.
故答案为：105.
【分析】由轴对称的性质可得△ABC≌△A′B′C′，根据全等三角形的性质可得∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，然后根据内角和定理进行计算.
12．（2022七上·宝安期末）将一张长方形的纸按照如图所示折叠后，点C、D两点分别落在点C'、D'处，若EA平分∠D'EF，则∠DEF= 。
【答案】120°
【知识点】轴对称的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵EA平分∠D'EF，
∴∠D'EF=2∠AEF，
由折叠的性质得：∠DEF=∠D'EF，
∴∠DEF=2∠AEF，
∵∠DEF+∠AEF=180°，
∴2∠AEF+∠AEF=180°，
∴∠AEF=60°，
∴∠DEF=120°.
故答案为：120°.
【分析】根据角平分线的定义得出∠D'EF=2∠AEF，根据折叠的性质得出∠DEF=∠D'EF，再根据∠DEF+∠AEF=180°， 得出∠AEF=60°，即可得出∠DEF=120°.
13．（2021七上·莱芜期末）如图，ABC中，直线DE是AB边的对称轴，交AC于D，交AB于E，如果BC＝5，BCD的周长为15，那么AC边的长是 ．
【答案】10
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵直线是边的对称轴，
∴AD=BD
∵的周长为15，
∴CD＋BD＋BC=15
∴CD＋AD＋5=15
∴AC＋5=15
∴AC=10
故答案为：10．
【分析】先求出AD=BD，再求出CD＋AD＋5=15，最后计算求解即可。
14．（2021七上·肇源期末）如图，∠AOB内一点P，P1、P2分别是点P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2＝5cm，则△PMN的周长是 ．
【答案】5cm
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵∠AOB内一点P，P1、P2分别是点P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于M，交OB于N，
∴OA、OB分别是P与P1和P与P2的对称轴
∴PM＝MP1，PN＝NP2；
∴P1M+MN+NP2＝PM+MN+PN＝P1P2＝5cm，
∴△PMN的周长为5cm．
故填5cm．
【分析】根据轴对称的性质可得PM＝MP1，PN＝NP2，再利用P1M+MN+NP2＝PM+MN+PN＝P1P2＝5计算即可。
15．（2021九上·鸡西期中）如图，等边三角形ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为直线l上一动点，则AD＋CD的最小值是 .
【答案】
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接CC ，如图所示
∵△ABC与△A′BC′均为等边三角形，
∴∠A BC =∠CAB=60°，AB=BC =AC，
∴AC∥BC ，
∴四边形ABC C为菱形，
∴BC⊥AC ，CA=CC ，∠ACC =180°-∠CAB=120°，
∴∠CAC = (180°-∠ACC )= (180°-120°)=30°，
∴∠C AB=∠CAB-∠CAC =30°，
∵∠A =60°，
∴∠AC A =180°-∠C AB-∠A =180°-30°-60°=90°，
∵点C关于直线l对称的点是C ，
∴当点D与点D 重合时，AD+CD取最小值，
∴ ．
故答案为 ．
【分析】根据“将军饮马”的方法可得：连接AC'交直线l于点D'，当点D与点D 重合时，AD+CD取最小值，再利用解直角三角形的方法求出AC'的长即可。
三、作图题
16．（2021八上·江油期末）A，B两个村庄在如图所示的直角坐标系中，那么：
（1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
（2）在x轴上有一条河，现准备在河流边上建一个抽水站P，使得抽水站P到A、B两个村庄的距离之和最小，请作出点P的位置，并求此时距离之和的最小值．
【答案】（1）（1，1）；（5，2）
（2）解：作A关于x轴的对称点A′，
连接A′B交x轴于P，
则点P就是使得抽水站到两个村庄的距离之和最小，即PA+PB最小的点，
A′B的长度即为PA+PB的最小值，
∴PA+PB的最小值＝A′B＝ ＝5．
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（1）点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（5，2），
故答案为：（1，1），（5，2）；
【分析】(1)观察图形，在坐标系中读出A、B两点坐标即可；
(2) 作A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于P，根据三角形三边的关系得出点P就是使得抽水站到两个村庄的距离之和最小，结合点的坐标，根据勾股定理求出A'B长度即可.
四、解答题
17．（2020八上·北京期中）已知：如图，点M在锐角∠AOB的内部，在OA边上求作一点P，在OB边上求作一点Q，使得△PMQ的周长最小．
【答案】解：如图，
作出点M关于OA和OB的对称点M′和M″，
连接M′M″交OA于P，交OB于点Q，
则M′M″即为△PMQ最小周长．
所以点P，点Q即为所求．
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作出点M关于OA和OB的对称点M′和M″，连接M′M″交OA于P，交OB于点Q，则M′M″即为△PMQ最小周长．
18．（2020七下·白云期末）如图要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两镇供气.泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？
聪明的小明通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法.他把管道l看成一条直线图（2）问题就转化为要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小.他的做法是这样的：
①作点B关于直线l的对称点 ；
②连接 交直线l于点P，则点P即为所求.
请你参考小明的做法解决下列问题：
如图（3），在 ABC中，D，E分别是AB，AC边的中点，请你在BC边上确定一点P，使 的周长最小.
【答案】解：如图所示：
的周长
为 的中位线
，DE为定值
要使 的周长最小
则 的和最小
根据小明的做法，
过点D作关于BC的对称点F，连接EF与线段BC交于P点，
则此时 的和最小，此时 的周长最小.
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】由于DE为定值，只需 的和最小，根据材料提供的方法作图即可，过点D作关于BC的对称点F，连接EF与线段BC交于P点.
1 / 1初中数学北师大版七年级下学期 5. 2 探索轴对称的性质 同步测试
一、单选题
1．（2021八上·东莞期中）如图，△ABC与△DEF关于直线1对称，BE交l于点O，则下列说法不一定正确的是（ ）
A．AC＝DF B．BO＝EO
C．AB＝EF D．l是线段AD的垂直平分线
2．（2022·东昌府模拟）已知在RtABC中，，，，点D为边BC上的动点，点E为边AB上的中点，则线段的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021八上·章贡期末）如图的4×4的正方形网格中，有A、B两点，在直线a上求一点P，使PA+PB最短，则点P应选在（ ）
A．C点 B．D点 C．E点 D．F点
4．（2021八上·吉林期末）如图，直线AB、CD相交于点O，P为这两条直线外一点，连接OP．点P关于直线AB、CD的对称点分别是点P1、P2．若OP＝3.5，则点P1、P2之间的距离可能是（ ）
A．0 B．6 C．7 D．9
5．（2021七上·长春期末）如图，如果直线是△ABC的对称轴，其中∠C=66° ，那么∠BAC的度数等于（ ）
A．66° B．48° C．58° D．24°
6．（2021七上·张店期中）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A=102°，∠C′=25°，则∠B的度数为（ ）.
A．35 B．53 C．63 D．43
7．（2021七上·龙口期中）如图，在3×3的正方形网格中，点A、B在格点(网格线的交点)上，要找一个格点C，连接AC，BC，使 ABC成为轴对称图形，则符合条件的格点C的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
8．（2021七上·龙口期中）下列说法正确的是（ ）
A．等腰三角形是关于底边中线成轴对称的图形
B．一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形
C．如果两个三角形全等，则它们必是关于直线成轴对称的图形
D．如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形
9．（2021七上·泰安期中）下列关于轴对称性质的说法中，错误的是（ ）
A．对应线段互相平行 B．对应线段相等
C．对应角相等 D．对应点连线与对称轴垂直
10．（2021七上·广饶期中）如图，直线是一条河，A、B是两个新农村定居点．欲在l上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向A、B两地供水．现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2021八上·汉滨期中）如图， 与 关于直线对称，则∠B的度数为 °.
12．（2022七上·宝安期末）将一张长方形的纸按照如图所示折叠后，点C、D两点分别落在点C'、D'处，若EA平分∠D'EF，则∠DEF= 。
13．（2021七上·莱芜期末）如图，ABC中，直线DE是AB边的对称轴，交AC于D，交AB于E，如果BC＝5，BCD的周长为15，那么AC边的长是 ．
14．（2021七上·肇源期末）如图，∠AOB内一点P，P1、P2分别是点P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2＝5cm，则△PMN的周长是 ．
15．（2021九上·鸡西期中）如图，等边三角形ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为直线l上一动点，则AD＋CD的最小值是 .
三、作图题
16．（2021八上·江油期末）A，B两个村庄在如图所示的直角坐标系中，那么：
（1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
（2）在x轴上有一条河，现准备在河流边上建一个抽水站P，使得抽水站P到A、B两个村庄的距离之和最小，请作出点P的位置，并求此时距离之和的最小值．
四、解答题
17．（2020八上·北京期中）已知：如图，点M在锐角∠AOB的内部，在OA边上求作一点P，在OB边上求作一点Q，使得△PMQ的周长最小．
18．（2020七下·白云期末）如图要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两镇供气.泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？
聪明的小明通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法.他把管道l看成一条直线图（2）问题就转化为要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小.他的做法是这样的：
①作点B关于直线l的对称点 ；
②连接 交直线l于点P，则点P即为所求.
请你参考小明的做法解决下列问题：
如图（3），在 ABC中，D，E分别是AB，AC边的中点，请你在BC边上确定一点P，使 的周长最小.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF关于直线l对称，
∴△ABC≌△DEF，
∴AC＝DF，AB＝DE，
∵直线l垂直平分线段AD，直线l垂直平分线段BE，
∴BO＝OE，
故答案为：A，B，D符合题意，
故答案为：C．
【分析】先求出△ABC≌△DEF，再求出AC＝DF，AB＝DE，最后判断即可。
2．【答案】C
【知识点】垂线段最短；轴对称的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：作点E关于直线BC的对称点，如下图所示：
由对称性可知，，
此时，
由“点到直线的距离垂线段长度最小”可知，
当时，有最小值AG，此时E位于上图中的G位置，
由对称性知，
∴
∴
在
∵
∴
∴
故答案为：C．
【分析】作点E关于直线BC的对称点，如图，由对称性可知，，此时，由“点到直线的距离垂线段长度最小”可知，当时，有最小值为AG的长，证明可得，即得结论.
3．【答案】A
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，
点A′是点A关于直线a的对称点，连接A′B，则A′B与直线a的交点，即为点P，此时PA+PB最短，
∵A′B与直线a交于点C，
∴点P应选C点．
故答案为：A．
【分析】点A′是点A关于直线a的对称点，连接A′B，则A′B与直线a的交点，即为点P，此时PA+PB最短。
4．【答案】B
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：连接OP1，OP2，P1P2，如图：
∵点P关于直线AB，CD的对称点分别是点P1，P2，
∴OP1＝OP＝3.5，OP＝OP2＝3.5，
∵OP1＋OP2＞P1P2，
∴0＜P1P2＜7，
故答案为：B．
【分析】根据轴对称的性质可得OP1＝OP＝3.5，OP＝OP2＝3.5，再利用三角形三边的关系可得OP1＋OP2＞P1P2，即可得到答案。
5．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；轴对称的性质
【解析】【解答】∵直线是△ABC的对称轴
∴
∴
故答案为：B．
【分析】根据轴对称的性质可得，再利用三角的内角和可得。
6．【答案】B
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A＝102°，∠C′＝25°，
∴∠C＝25°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝53°．
故答案为：B．
【分析】先求出∠C＝25°，再计算求解即可。
7．【答案】B
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：C点落在网格中的4个格点使△ABC为轴对称图形，
故答案为：B．
【分析】根据轴对称图形的定义，分A和B对称，A和C对称，B和C对称进行分析即可得到答案。
8．【答案】D
【知识点】轴对称的性质；轴对称图形
【解析】【解答】解：A、等腰三角形是以底边中线所在的直线为对称轴的轴对称图形或者说等腰三角形被中线所在的直线分成的两个三角形成轴对称，不合题意；
B、成轴对称的图形必须是两个，一个图形只能是轴对称图形，不合题意；
C、全等三角形不一定是成轴对称，而成轴对称的两个三角形一定是全等的，不合题意；
D、成轴对称的两个三角形一定是全等的，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据轴对称图形的定义及性质进行判断即可得到答案。
9．【答案】A
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】根据轴对称的性质：（1）成轴对称的两个图形全等；（2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线，可知选项B、C、D不符合题意，选项A符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据轴对称的性质逐项判断即可。
10．【答案】D
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点A关于直线的对称点 ，连接 交直线 于一点，
根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道最短．
故答案为：D
【分析】作点A关于直线的对称点 ，连接 交直线 于一点，即可得到答案。
11．【答案】105
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，
∴△ABC≌△A′B′C′，
∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，
∴∠C=∠C′=40°，∠A=∠A′=35°
∴∠B=180° 35° 40°=105°.
故答案为：105.
【分析】由轴对称的性质可得△ABC≌△A′B′C′，根据全等三角形的性质可得∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，然后根据内角和定理进行计算.
12．【答案】120°
【知识点】轴对称的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵EA平分∠D'EF，
∴∠D'EF=2∠AEF，
由折叠的性质得：∠DEF=∠D'EF，
∴∠DEF=2∠AEF，
∵∠DEF+∠AEF=180°，
∴2∠AEF+∠AEF=180°，
∴∠AEF=60°，
∴∠DEF=120°.
故答案为：120°.
【分析】根据角平分线的定义得出∠D'EF=2∠AEF，根据折叠的性质得出∠DEF=∠D'EF，再根据∠DEF+∠AEF=180°， 得出∠AEF=60°，即可得出∠DEF=120°.
13．【答案】10
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵直线是边的对称轴，
∴AD=BD
∵的周长为15，
∴CD＋BD＋BC=15
∴CD＋AD＋5=15
∴AC＋5=15
∴AC=10
故答案为：10．
【分析】先求出AD=BD，再求出CD＋AD＋5=15，最后计算求解即可。
14．【答案】5cm
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵∠AOB内一点P，P1、P2分别是点P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于M，交OB于N，
∴OA、OB分别是P与P1和P与P2的对称轴
∴PM＝MP1，PN＝NP2；
∴P1M+MN+NP2＝PM+MN+PN＝P1P2＝5cm，
∴△PMN的周长为5cm．
故填5cm．
【分析】根据轴对称的性质可得PM＝MP1，PN＝NP2，再利用P1M+MN+NP2＝PM+MN+PN＝P1P2＝5计算即可。
15．【答案】
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接CC ，如图所示
∵△ABC与△A′BC′均为等边三角形，
∴∠A BC =∠CAB=60°，AB=BC =AC，
∴AC∥BC ，
∴四边形ABC C为菱形，
∴BC⊥AC ，CA=CC ，∠ACC =180°-∠CAB=120°，
∴∠CAC = (180°-∠ACC )= (180°-120°)=30°，
∴∠C AB=∠CAB-∠CAC =30°，
∵∠A =60°，
∴∠AC A =180°-∠C AB-∠A =180°-30°-60°=90°，
∵点C关于直线l对称的点是C ，
∴当点D与点D 重合时，AD+CD取最小值，
∴ ．
故答案为 ．
【分析】根据“将军饮马”的方法可得：连接AC'交直线l于点D'，当点D与点D 重合时，AD+CD取最小值，再利用解直角三角形的方法求出AC'的长即可。
16．【答案】（1）（1，1）；（5，2）
（2）解：作A关于x轴的对称点A′，
连接A′B交x轴于P，
则点P就是使得抽水站到两个村庄的距离之和最小，即PA+PB最小的点，
A′B的长度即为PA+PB的最小值，
∴PA+PB的最小值＝A′B＝ ＝5．
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（1）点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（5，2），
故答案为：（1，1），（5，2）；
【分析】(1)观察图形，在坐标系中读出A、B两点坐标即可；
(2) 作A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于P，根据三角形三边的关系得出点P就是使得抽水站到两个村庄的距离之和最小，结合点的坐标，根据勾股定理求出A'B长度即可.
17．【答案】解：如图，
作出点M关于OA和OB的对称点M′和M″，
连接M′M″交OA于P，交OB于点Q，
则M′M″即为△PMQ最小周长．
所以点P，点Q即为所求．
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作出点M关于OA和OB的对称点M′和M″，连接M′M″交OA于P，交OB于点Q，则M′M″即为△PMQ最小周长．
18．【答案】解：如图所示：
的周长
为 的中位线
，DE为定值
要使 的周长最小
则 的和最小
根据小明的做法，
过点D作关于BC的对称点F，连接EF与线段BC交于P点，
则此时 的和最小，此时 的周长最小.
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】由于DE为定值，只需 的和最小，根据材料提供的方法作图即可，过点D作关于BC的对称点F，连接EF与线段BC交于P点.
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