福建省厦门市第十一中学2021-2022学年九年级下学期开学数学试卷
一、单选题
1．（2022九下·厦门开学考）第24届冬奥会计划于2022年2月4日在北京开幕，北京将成为全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市.下列各届冬奥会会徽部分图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022九下·厦门开学考）在下列事件中，必然事件是（ ）
A．购买一张体育彩票，中奖
B．随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数
C．射击运动员射击一次，命中靶心
D．任意画一个圆的内接四边形，其对角互补
3．（2022九下·厦门开学考）关于x的一元二次方程x2+2021x+2022＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
4．（2022九下·厦门开学考）一个正多边形的半径与边长相等，则这个正多边形的边数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
5．（2022九下·厦门开学考）二次函数y＝x（x+2）图象的对称轴是（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．y轴
6．（2022九下·厦门开学考）为创建文明城市，某区2020年投入绿化资金800万元，2022年计划投入960万元，设每年投入资金的平均增长率为x，则下列符合题意的方程是（ ）
A．800（1+2x）＝960
B．800（1+x ）＝960
C．800（1+x）2＝960
D．800+800（1+x）+800（1+x）2＝960
7．（2022九下·厦门开学考）下列说法正确的是（ ）
A．有一个角等于100°的两个等腰三角形相似
B．两个矩形一定相似
C．有一个角等于45°的两个等腰三角形相似
D．相似三角形一定不是全等三角形
8．（2022九下·厦门开学考）已知点A（a，y1），B（a+1，y2）在反比例函数y＝（a是常数）的图象上，且y1＜y2，则a的取值范围是（ ）
A．a＜0 B．a＞0 C．0＜a＜1 D．﹣1＜a＜0
9．（2022九下·厦门开学考）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝90°，D是的中点，连接CD，BD交AC于点E，若∠ACD＝55°，则∠AED的度数是（ ）
A．80° B．75° C．67.5° D．60°
10．（2022九下·厦门开学考）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（2，n），当x＞0时，y≥n，当x≤0时，y≥n+1，则a的值是（ ）
A．﹣1 B．﹣ C． D．1
二、填空题
11．（2021九上·江都期末）如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么这两个相似三角形的面积比为 .
12．（2022九下·厦门开学考）一个质地均匀的小正方体，6个面分别标有数字1、2、2、3、5、5.若随机投掷一次小正方体，则朝上一面的数字是5的概率为 .
13．（2022九下·厦门开学考）若m是方程2x2﹣3x﹣3＝0的一个根，则4m2﹣6m+2015的值为 .
14．（2021九上·越秀期末）飞机着陆后滑行的距离（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2，则飞机停下前最后10秒滑行的距离是 米．
15．（2022九下·厦门开学考）如图，D是等边三角形ABC内一点，∠ADB＝90°，将△ABD绕点A旋转得到△ACE，延长BD交CE于点G，连接ED并延长交BC于点F.则下列结论：①△ADE是等边三角形；②四边形ADGE是轴对称图形；③AC，EF互相平分；④BF＝CF.其中正确的有 .（填序号）
三、解答题
16．（2022九下·厦门开学考）解方程：x2+6x－1=0.
17．（2022九下·厦门开学考）先化简，再求值：，其中a.
18．（2021九上·越秀期末）为了更好地宣传垃圾分类，某校九（1）班学生成立了一个“垃圾分类”宣传小组，其中男生2人，女生3人．
（1）若从这5人中选1人进社区宣传，恰好选中女生的概率是 ；
（2）若从这5人中选2人进社区宣传，请用树状图或列表法求恰好选中一男一女的概率．
19．（2022九下·厦门开学考）如图，PA，PB是圆的切线，A，B为切点.
（1）求作：这个圆的圆心O（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）在（1）的条件下，延长AO交射线PB于C点，若AC＝4，PA＝3，请补全图形，并求⊙O的半径.
20．（2022九下·厦门开学考）为预防新冠病毒，口罩成了生活必需品，某药店销售一种口罩，每包进价为6元，日均销售量y（包）与每包售价x（元）满足y＝﹣5x+80，且10≤x≤16.
（1）每包售价定为多少元时，药店的日均利润最大？最大为多少元？
（2）当进价提高了a元，且每包售价为13元时，日均利润达到最大，求a的值.
21．（2022九下·厦门开学考）
如图，△ABC内接于⊙O，弦BD⊥AC，垂足为E，点D，点F关于AC对称，连接AF并延长交⊙O于点G.
（1）连接OB，求证：∠ABD＝∠OBC；
（2）求证：点F，点G关于BC对称.
22．（2022九下·厦门开学考）已知直线y1＝kx+1（k＞0）与抛物线y2＝x2.
（1）当﹣4≤x≤3时，函数y1与y2的最大值相等，求k的值；
（2）如图①，直线y1＝kx+1与抛物线y2＝x2交于A，B两点，与y轴交于F点，点C与点F关于原点对称，求证：S△ACF：S△BCF＝AC：BC；
（3）将抛物线y2＝x2先向上平移1个单位，再沿直线y1＝kx+1的方向移动，使向右平行移动的距离为t个单位，如图②所示，直线y1＝kx+1分别交x轴，y轴于E，F两点，交新抛物线于M，N两点，D是新抛物线与y轴的交点，当△OEF∽△DNF时，试探究t与k的关系.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：由题意知A、B、D均不是中心对称图形.
故答案为：C.
【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，据此逐一判断即可.
2．【答案】D
【知识点】随机事件
【解析】【解答】解：A中事件为随机事件，故不符合要求；
B中事件为随机事件，故不符合要求；
C中事件为随机事件，故不符合要求；
D中事件为必然事件，故符合要求.
故答案为：D.
【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，据此逐一判断即可.
3．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：
∴方程有两个不相等的实数根
故答案为：D.
【分析】先计算根的判别式△=b2-4ac，进而由当△＞0时，方程由有个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程无实数根，据此判断即可.
4．【答案】C
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，由题意得：
，
是等边三角形，
，
则这个正多边形的边数为
，
故答案为：C.
【分析】先求出正多边形的中心角，利用360°除以中心角即得正多边形的边数.
5．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：
∴该二次函数图象的对称轴为直线
故答案为：A.
【分析】将解析式后化为顶点式，即可求解.
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设每年投入资金的平均增长率为x，2021投入绿化资金为：800×（1+x）万元，
2022年的投入资金800×（1+x）2万元，
根据题意，得800×（1+x）2=960.
故答案为：C.
【分析】设每年投入资金的平均增长率为x，2021投入绿化资金为：800×（1+x）万元，2022年的投入资金800×（1+x）2万元，根据2022年计划投入960万元，列出方程即可.
7．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；相似图形；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A中等于100°的角只能是等腰三角形的顶角，所以这两个等腰三角形相似，故正确，符合要求；
B中两个矩形虽然角度相同，但对应的边长比不相等时，两个矩形不相似，故错误，不符合要求；
C中等于45°的角可以是等腰三角形的顶角或底角，当为顶角时，三角分别为
；当为底角时，三角分别为
，故这两个等腰三角形不相似，故错误，不符合要求；
D中当两个相似三角形的相似比为1时，两个三角形全等，故错误，不符合要求.
故答案为：A.
【分析】对应角相等，对应边成比例的两个多边形相似，全等是相似比为1时的特殊情况，故全等的图形一定相似，但相似的图形不一定全等，进而结合等腰三角形的性质及矩形的性质即可一一判断得出答案.
8．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵
∴该反比例函数图象在第一和第三象限中均有y随着x的增大而减小
∵，
∴
∴
故答案为：D.
【分析】由于反比例函数y＝中
，可知该反比例函数图象在第一和第三象限，且在每个象限内y随x的增加而减小，据此解答即可.
9．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：由同弧所对的圆周角相等可知：∠ABD=∠ACD=55°，
∵D是 的中点，
∴∠ABC+∠CAB=2∠ABD=110°，又∠ABC=90°，
∴∠CAB=20°，
由三角形的外角定理可知，∠AED=∠CAB+∠ABD=20°+55°=75°，
故答案为：B.
【分析】由同弧所对的圆周角相等可知∠ABD=∠ACD=55°，由D是 的中点，可得∠ABC+∠CAB=110°，继而求出∠CAB=20°，根据三角形外角的性质可得∠AED=∠CAB+∠ABD=20°+55°=75°.
10．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵当x＞0时，y≥n，当x≤0时，y≥n+1，
∴二次函数图象开口向上，
∵由
时，
可知抛物线对称轴在y右侧，为直线x=2，如图，
∵点（2，n）在抛物线y＝ax2+bx+c的图象上，
∴
当
时，
有最小值为n+1，即
∵
∵
∴
∴
故答案为：C.
【分析】由题意可知二次函数图象开口向上，由
时，
可知抛物线对称轴在y右侧，为直线x=
=2，可得b=-4a①，将点（2，n）代入y＝ax2+bx+c中，可得
② ，当
时，
有最小值
③， 联立①②③即可求出a值.
11．【答案】4：9
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为2:3，
∴两个相似三角形的相似比为2:3，
∴两个相似三角形的面积之比为(2:3)2=4:9.
故答案为4:9.
【分析】首先由已知条件可得两个相似三角形的相似比为2:3，然后根据面积比等于相似比的平方解答即可.
12．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵一个质地均匀的小正方体有6个面，其中标有数字5的有2个，
∴随机投掷一次小正方体，则朝上一面的数字是5的概率=
.
故答案为：
.
【分析】一个质地均匀的小正方体，6个面分别标有数字1、2、2、3、5、5，若随机投掷一次小正方体，则朝上一面的数字共有6种等可能的结果数，而其中朝上一面的数字是5的共有2种等可能的结果数，进而利用概率公式计算即可.
13．【答案】2021
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：由题意知：
∵
∴
故答案为：2021.
【分析】 将x=m代入2x2﹣3x﹣3＝0中，可得，将原式变形为
，再代入计算即可.
14．【答案】150
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵，
∴当时，飞机停下来，并滑行了600米；
把，代入，得
，
∴机停下前最后10秒滑行的距离是：（米）；
故答案为：150；
【分析】根据函数解析式得出当时，飞机停下来，并滑行了600米；再将t的值代入得出s的值即可。
15．【答案】①②④
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；圆内接四边形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△ABD绕点A旋转得到△ACE，
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，∠ADB=∠AEC=90°，
∴∠BAD+∠DAC =∠CAE+∠DAC即∠BAC=∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
故结论①正确；
如图，连接AG，∵△ADE是等边三角形，
∴AD=AE，
∵∠ADG=∠AEG=90°，
∴△ADG≌△AEG，
∴GD=GE，∠DAG=∠EAG，
∵△ADE是等边三角形，
∴直线AG垂直平分DE，
∴四边形ADGE是一个轴对称图形，
故结论②正确；
连接AF，
∵∠DAC+∠EAC=60°=∠ACB，
∴∠EAC≠∠ACB，
∴AE与FC一定不平行，
∴四边形AFCE一定不是平行四边形，
∴AC，EF一定不互相平分，
故结论③错误；
∵△ADE是等边三角形，∠ADG=90°，
∴∠EDG=∠BDF=30°，
∴∠ADF=120°，
∴∠ADF+∠ABC =180°，
∴A，B，F，D四点共圆，
∴∠ADG=∠AFB=90°，
根据三线合一，得BF＝CF，
故结论④正确.
故答案为：①②④.
【分析】根据旋转的性质可得AD=AE，∠BAD=∠CAE，∠ADB=∠AEC=90°，从而求出∠DAE=60°，可证△ADE是等边三角形，据此判断①正确；连接AG，利用HL证明△ADG≌△AEG，可得GD=GE，∠DAG=∠EAG，由△ADE是等边三角形可得直线AG垂直平分DE，据此判断②正确；连接AF，可证四边形AFCE一定不是平行四边形，据此判断③错误；先证A，B，F，D四点共圆，可得∠ADG=∠AFB
=90°，根据三线合一，得BF＝CF，据此判断④.
16．【答案】解：∵x2+6x-1=0，∴a=1，b=6，c=-1，
∴，
∴
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】此方程是一元二次方程的一般形式，首先找出二次项的系数a、一次项的系数b及常数项c的值，然后算出根的判别式b2-4ac的值，由判别式的值大于0可知方程有两个不相等的实数根，进而利用求根公式
求出方程的根.
17．【答案】解：
当a时，原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】利用分式的混合运算将原式先化简，再将a值代入计算即可.
18．【答案】（1）
（2）解：画树状图如图：
共有20种等可能的结果，恰好选到一男一女的结果有12种，
∴恰好选到一男一女的概率为：．
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：（1）根据题意，
∵男生2人，女生3人，
∴从这5人中选1人进社区宣传，恰好选中女生的概率是：；
故答案为：；
【分析】（1）根据概率公式求解即可；
（2）先画出树状图，得出所有等可能结果数，再得出恰好选到一男一女的结果数，再根据概率公式求解即可。
19．【答案】（1）解：如图，
（2）解：如图，∵PA是圆的切线，AO是半径，PB是圆的切线，
∴∠CAP=90°，PA=PB=3，∠CBO=90°，
∵AC=4，
∴PC==5，BC=5-3=2，
设圆的半径为x，则OC=4-x，
∴，
解得x=，
故圆的半径为.
【知识点】勾股定理；切线的性质；切线长定理；作图-垂线
【解析】【分析】（1）过点A、B分别作AP、BP的垂线，两垂线的交点即为圆心O；
（2）根据切线的性质及切线长定理可得 ∠CAP=90°，PA=PB=3，∠CBO=90°， 利用勾股定理求出PC=5，BC=2， 设圆的半径为x，则OC=4-x， 在Rt△OBC中，利用勾股定理建立方程并求解即可.
20．【答案】（1）解：设日均利润为w，由题意可知：w=(x-6)(-5x+80)，
整理得到：w=-5x2+110x-480=-5(x-11)2+125，
当x=11时，w有最大值为125，
故：每包售价为11元时，药店的日均利润最大为125元.
（2）解：设日均利润为w元，由题意可知：w=(x-a-6)(-5x+80)，
整理得到：w=-5x2+(110+5a)x-80a-480，
∴w是关于x的二次函数，
其对称轴为x=，
∵每包售价为13元时，日均利润达到最大，
∴=13，
解得：a=4.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1） 设日均利润为w，根据日均利润=单件的利润×日均销售量 ，即可求出W关于x的函数解析式，再根据二次函数的性质求解即可；
（2）根据日均利润=单件的利润×日均销售量即可求出W关于x的函数解析式，再根据二次函数的性质求解即可.
21．【答案】（1）证明：连接OC，如图，
∵BD⊥AC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠EAB＋∠ABE＝90°，
∵，
∴∠BOC＝2∠BAC，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠OBC＋∠OCB＋∠BOC＝180°，
∴2∠OBC＋2∠BAC＝180°，
∴∠OBC＋∠BAC＝90°，
∴∠OBC＝∠ABE，
即∠OBC＝∠ABD，
（2）证明：连接BG，AD，GC，AG交BC于点H，如图，
∵点D，F关于AC对称，
∴EF＝ED，
∵BD⊥AC，
∴∠AEF＝∠AED＝90°，
又∵AE＝AE，
∴△AEF≌△AED（SAS），
∴∠EAF＝∠EAD，∠AFE＝∠ADE，
即∠GAC＝∠DAC，
∵
∴∠DAC＝∠DBC，
∵，
∴∠GAC＝∠GBC，
∴∠DBC＝∠GBC，
∵
∴∠ADB＝∠BGA，
∵∠AFD＝∠BFG，
∴∠BFG＝∠AGB，
∴△BHF≌△BHG（AAS），
∴FH＝GH，∠BHF＝∠BHG＝90°，
∴点F，点G关于BC对称；
【知识点】三角形全等的判定；圆周角定理；轴对称的性质
【解析】【分析】（1） 连接OC， 先求出∠EAB＋∠ABE＝90°， 由圆周角定理可得∠BOC＝2∠BAC，根据等腰三角形的性质及三角形内角和可求出∠OBC＋∠BAC＝90°， 利用余角的性质得出∠OBC＝∠ABE，即得结论；
（2）连接BG，AD，GC，AG交BC于点H，如图，先证△AEF≌△AED（SAS），再证△BHF≌△BHG（AAS），得FH＝GH，∠BHF＝∠BHG＝90°，从而得出点F，点G关于BC对称.
22．【答案】（1）解：∵，
∴根据函数图象的性质可知，当时，，
∵
∴
解得.
（2）证明：如图，分别过点作交点分别为
∴
设两点横坐标分别为，
由题意知：
∴，
∵
∴
∵，
∴
∴
∴.
（3）解：由题意知，平移后的二次函数解析式为，与y轴的交点坐标为，
∵
∴
∴有相同的纵坐标
∴
解得
故可知点横纵标
∵在点一次函数与二次函数相交，有相同的纵坐标
∴
解得.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；二次函数图象的几何变换；三角形的面积；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1） 分别求出
时y1、y2的最大值， 根据函数y1与y2的最大值相等 ，建立方程求出k值即可；
（2） 分别过点A、B作AD⊥CF ，BE⊥CF交点分别为D、E ， 设 A、B两点横坐标分别为， 联立直线与抛物线解析式可得方程
，由根与系数的关系可得
， 利用三角形的面积公式可得
，再求出
， 从而可证
，可得
，即得
；
（3） 先得出平移后的二次函数解析式为，求出与y轴的交点坐标为， 由
可得
，即得
有相同的纵坐标，据此建立关于x的方程并求解，可得
点横纵标，由于一次函数与二次函数的交点为N点，将其点N横坐标代入解析式中即可求解.
1 / 1福建省厦门市第十一中学2021-2022学年九年级下学期开学数学试卷
一、单选题
1．（2022九下·厦门开学考）第24届冬奥会计划于2022年2月4日在北京开幕，北京将成为全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市.下列各届冬奥会会徽部分图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：由题意知A、B、D均不是中心对称图形.
故答案为：C.
【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，据此逐一判断即可.
2．（2022九下·厦门开学考）在下列事件中，必然事件是（ ）
A．购买一张体育彩票，中奖
B．随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数
C．射击运动员射击一次，命中靶心
D．任意画一个圆的内接四边形，其对角互补
【答案】D
【知识点】随机事件
【解析】【解答】解：A中事件为随机事件，故不符合要求；
B中事件为随机事件，故不符合要求；
C中事件为随机事件，故不符合要求；
D中事件为必然事件，故符合要求.
故答案为：D.
【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，据此逐一判断即可.
3．（2022九下·厦门开学考）关于x的一元二次方程x2+2021x+2022＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：
∴方程有两个不相等的实数根
故答案为：D.
【分析】先计算根的判别式△=b2-4ac，进而由当△＞0时，方程由有个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程无实数根，据此判断即可.
4．（2022九下·厦门开学考）一个正多边形的半径与边长相等，则这个正多边形的边数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，由题意得：
，
是等边三角形，
，
则这个正多边形的边数为
，
故答案为：C.
【分析】先求出正多边形的中心角，利用360°除以中心角即得正多边形的边数.
5．（2022九下·厦门开学考）二次函数y＝x（x+2）图象的对称轴是（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．y轴
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：
∴该二次函数图象的对称轴为直线
故答案为：A.
【分析】将解析式后化为顶点式，即可求解.
6．（2022九下·厦门开学考）为创建文明城市，某区2020年投入绿化资金800万元，2022年计划投入960万元，设每年投入资金的平均增长率为x，则下列符合题意的方程是（ ）
A．800（1+2x）＝960
B．800（1+x ）＝960
C．800（1+x）2＝960
D．800+800（1+x）+800（1+x）2＝960
【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设每年投入资金的平均增长率为x，2021投入绿化资金为：800×（1+x）万元，
2022年的投入资金800×（1+x）2万元，
根据题意，得800×（1+x）2=960.
故答案为：C.
【分析】设每年投入资金的平均增长率为x，2021投入绿化资金为：800×（1+x）万元，2022年的投入资金800×（1+x）2万元，根据2022年计划投入960万元，列出方程即可.
7．（2022九下·厦门开学考）下列说法正确的是（ ）
A．有一个角等于100°的两个等腰三角形相似
B．两个矩形一定相似
C．有一个角等于45°的两个等腰三角形相似
D．相似三角形一定不是全等三角形
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；相似图形；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A中等于100°的角只能是等腰三角形的顶角，所以这两个等腰三角形相似，故正确，符合要求；
B中两个矩形虽然角度相同，但对应的边长比不相等时，两个矩形不相似，故错误，不符合要求；
C中等于45°的角可以是等腰三角形的顶角或底角，当为顶角时，三角分别为
；当为底角时，三角分别为
，故这两个等腰三角形不相似，故错误，不符合要求；
D中当两个相似三角形的相似比为1时，两个三角形全等，故错误，不符合要求.
故答案为：A.
【分析】对应角相等，对应边成比例的两个多边形相似，全等是相似比为1时的特殊情况，故全等的图形一定相似，但相似的图形不一定全等，进而结合等腰三角形的性质及矩形的性质即可一一判断得出答案.
8．（2022九下·厦门开学考）已知点A（a，y1），B（a+1，y2）在反比例函数y＝（a是常数）的图象上，且y1＜y2，则a的取值范围是（ ）
A．a＜0 B．a＞0 C．0＜a＜1 D．﹣1＜a＜0
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵
∴该反比例函数图象在第一和第三象限中均有y随着x的增大而减小
∵，
∴
∴
故答案为：D.
【分析】由于反比例函数y＝中
，可知该反比例函数图象在第一和第三象限，且在每个象限内y随x的增加而减小，据此解答即可.
9．（2022九下·厦门开学考）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝90°，D是的中点，连接CD，BD交AC于点E，若∠ACD＝55°，则∠AED的度数是（ ）
A．80° B．75° C．67.5° D．60°
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：由同弧所对的圆周角相等可知：∠ABD=∠ACD=55°，
∵D是 的中点，
∴∠ABC+∠CAB=2∠ABD=110°，又∠ABC=90°，
∴∠CAB=20°，
由三角形的外角定理可知，∠AED=∠CAB+∠ABD=20°+55°=75°，
故答案为：B.
【分析】由同弧所对的圆周角相等可知∠ABD=∠ACD=55°，由D是 的中点，可得∠ABC+∠CAB=110°，继而求出∠CAB=20°，根据三角形外角的性质可得∠AED=∠CAB+∠ABD=20°+55°=75°.
10．（2022九下·厦门开学考）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（2，n），当x＞0时，y≥n，当x≤0时，y≥n+1，则a的值是（ ）
A．﹣1 B．﹣ C． D．1
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵当x＞0时，y≥n，当x≤0时，y≥n+1，
∴二次函数图象开口向上，
∵由
时，
可知抛物线对称轴在y右侧，为直线x=2，如图，
∵点（2，n）在抛物线y＝ax2+bx+c的图象上，
∴
当
时，
有最小值为n+1，即
∵
∵
∴
∴
故答案为：C.
【分析】由题意可知二次函数图象开口向上，由
时，
可知抛物线对称轴在y右侧，为直线x=
=2，可得b=-4a①，将点（2，n）代入y＝ax2+bx+c中，可得
② ，当
时，
有最小值
③， 联立①②③即可求出a值.
二、填空题
11．（2021九上·江都期末）如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么这两个相似三角形的面积比为 .
【答案】4：9
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为2:3，
∴两个相似三角形的相似比为2:3，
∴两个相似三角形的面积之比为(2:3)2=4:9.
故答案为4:9.
【分析】首先由已知条件可得两个相似三角形的相似比为2:3，然后根据面积比等于相似比的平方解答即可.
12．（2022九下·厦门开学考）一个质地均匀的小正方体，6个面分别标有数字1、2、2、3、5、5.若随机投掷一次小正方体，则朝上一面的数字是5的概率为 .
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵一个质地均匀的小正方体有6个面，其中标有数字5的有2个，
∴随机投掷一次小正方体，则朝上一面的数字是5的概率=
.
故答案为：
.
【分析】一个质地均匀的小正方体，6个面分别标有数字1、2、2、3、5、5，若随机投掷一次小正方体，则朝上一面的数字共有6种等可能的结果数，而其中朝上一面的数字是5的共有2种等可能的结果数，进而利用概率公式计算即可.
13．（2022九下·厦门开学考）若m是方程2x2﹣3x﹣3＝0的一个根，则4m2﹣6m+2015的值为 .
【答案】2021
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：由题意知：
∵
∴
故答案为：2021.
【分析】 将x=m代入2x2﹣3x﹣3＝0中，可得，将原式变形为
，再代入计算即可.
14．（2021九上·越秀期末）飞机着陆后滑行的距离（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2，则飞机停下前最后10秒滑行的距离是 米．
【答案】150
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵，
∴当时，飞机停下来，并滑行了600米；
把，代入，得
，
∴机停下前最后10秒滑行的距离是：（米）；
故答案为：150；
【分析】根据函数解析式得出当时，飞机停下来，并滑行了600米；再将t的值代入得出s的值即可。
15．（2022九下·厦门开学考）如图，D是等边三角形ABC内一点，∠ADB＝90°，将△ABD绕点A旋转得到△ACE，延长BD交CE于点G，连接ED并延长交BC于点F.则下列结论：①△ADE是等边三角形；②四边形ADGE是轴对称图形；③AC，EF互相平分；④BF＝CF.其中正确的有 .（填序号）
【答案】①②④
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；圆内接四边形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△ABD绕点A旋转得到△ACE，
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，∠ADB=∠AEC=90°，
∴∠BAD+∠DAC =∠CAE+∠DAC即∠BAC=∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
故结论①正确；
如图，连接AG，∵△ADE是等边三角形，
∴AD=AE，
∵∠ADG=∠AEG=90°，
∴△ADG≌△AEG，
∴GD=GE，∠DAG=∠EAG，
∵△ADE是等边三角形，
∴直线AG垂直平分DE，
∴四边形ADGE是一个轴对称图形，
故结论②正确；
连接AF，
∵∠DAC+∠EAC=60°=∠ACB，
∴∠EAC≠∠ACB，
∴AE与FC一定不平行，
∴四边形AFCE一定不是平行四边形，
∴AC，EF一定不互相平分，
故结论③错误；
∵△ADE是等边三角形，∠ADG=90°，
∴∠EDG=∠BDF=30°，
∴∠ADF=120°，
∴∠ADF+∠ABC =180°，
∴A，B，F，D四点共圆，
∴∠ADG=∠AFB=90°，
根据三线合一，得BF＝CF，
故结论④正确.
故答案为：①②④.
【分析】根据旋转的性质可得AD=AE，∠BAD=∠CAE，∠ADB=∠AEC=90°，从而求出∠DAE=60°，可证△ADE是等边三角形，据此判断①正确；连接AG，利用HL证明△ADG≌△AEG，可得GD=GE，∠DAG=∠EAG，由△ADE是等边三角形可得直线AG垂直平分DE，据此判断②正确；连接AF，可证四边形AFCE一定不是平行四边形，据此判断③错误；先证A，B，F，D四点共圆，可得∠ADG=∠AFB
=90°，根据三线合一，得BF＝CF，据此判断④.
三、解答题
16．（2022九下·厦门开学考）解方程：x2+6x－1=0.
【答案】解：∵x2+6x-1=0，∴a=1，b=6，c=-1，
∴，
∴
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】此方程是一元二次方程的一般形式，首先找出二次项的系数a、一次项的系数b及常数项c的值，然后算出根的判别式b2-4ac的值，由判别式的值大于0可知方程有两个不相等的实数根，进而利用求根公式
求出方程的根.
17．（2022九下·厦门开学考）先化简，再求值：，其中a.
【答案】解：
当a时，原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】利用分式的混合运算将原式先化简，再将a值代入计算即可.
18．（2021九上·越秀期末）为了更好地宣传垃圾分类，某校九（1）班学生成立了一个“垃圾分类”宣传小组，其中男生2人，女生3人．
（1）若从这5人中选1人进社区宣传，恰好选中女生的概率是 ；
（2）若从这5人中选2人进社区宣传，请用树状图或列表法求恰好选中一男一女的概率．
【答案】（1）
（2）解：画树状图如图：
共有20种等可能的结果，恰好选到一男一女的结果有12种，
∴恰好选到一男一女的概率为：．
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：（1）根据题意，
∵男生2人，女生3人，
∴从这5人中选1人进社区宣传，恰好选中女生的概率是：；
故答案为：；
【分析】（1）根据概率公式求解即可；
（2）先画出树状图，得出所有等可能结果数，再得出恰好选到一男一女的结果数，再根据概率公式求解即可。
19．（2022九下·厦门开学考）如图，PA，PB是圆的切线，A，B为切点.
（1）求作：这个圆的圆心O（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）在（1）的条件下，延长AO交射线PB于C点，若AC＝4，PA＝3，请补全图形，并求⊙O的半径.
【答案】（1）解：如图，
（2）解：如图，∵PA是圆的切线，AO是半径，PB是圆的切线，
∴∠CAP=90°，PA=PB=3，∠CBO=90°，
∵AC=4，
∴PC==5，BC=5-3=2，
设圆的半径为x，则OC=4-x，
∴，
解得x=，
故圆的半径为.
【知识点】勾股定理；切线的性质；切线长定理；作图-垂线
【解析】【分析】（1）过点A、B分别作AP、BP的垂线，两垂线的交点即为圆心O；
（2）根据切线的性质及切线长定理可得 ∠CAP=90°，PA=PB=3，∠CBO=90°， 利用勾股定理求出PC=5，BC=2， 设圆的半径为x，则OC=4-x， 在Rt△OBC中，利用勾股定理建立方程并求解即可.
20．（2022九下·厦门开学考）为预防新冠病毒，口罩成了生活必需品，某药店销售一种口罩，每包进价为6元，日均销售量y（包）与每包售价x（元）满足y＝﹣5x+80，且10≤x≤16.
（1）每包售价定为多少元时，药店的日均利润最大？最大为多少元？
（2）当进价提高了a元，且每包售价为13元时，日均利润达到最大，求a的值.
【答案】（1）解：设日均利润为w，由题意可知：w=(x-6)(-5x+80)，
整理得到：w=-5x2+110x-480=-5(x-11)2+125，
当x=11时，w有最大值为125，
故：每包售价为11元时，药店的日均利润最大为125元.
（2）解：设日均利润为w元，由题意可知：w=(x-a-6)(-5x+80)，
整理得到：w=-5x2+(110+5a)x-80a-480，
∴w是关于x的二次函数，
其对称轴为x=，
∵每包售价为13元时，日均利润达到最大，
∴=13，
解得：a=4.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1） 设日均利润为w，根据日均利润=单件的利润×日均销售量 ，即可求出W关于x的函数解析式，再根据二次函数的性质求解即可；
（2）根据日均利润=单件的利润×日均销售量即可求出W关于x的函数解析式，再根据二次函数的性质求解即可.
21．（2022九下·厦门开学考）
如图，△ABC内接于⊙O，弦BD⊥AC，垂足为E，点D，点F关于AC对称，连接AF并延长交⊙O于点G.
（1）连接OB，求证：∠ABD＝∠OBC；
（2）求证：点F，点G关于BC对称.
【答案】（1）证明：连接OC，如图，
∵BD⊥AC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠EAB＋∠ABE＝90°，
∵，
∴∠BOC＝2∠BAC，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠OBC＋∠OCB＋∠BOC＝180°，
∴2∠OBC＋2∠BAC＝180°，
∴∠OBC＋∠BAC＝90°，
∴∠OBC＝∠ABE，
即∠OBC＝∠ABD，
（2）证明：连接BG，AD，GC，AG交BC于点H，如图，
∵点D，F关于AC对称，
∴EF＝ED，
∵BD⊥AC，
∴∠AEF＝∠AED＝90°，
又∵AE＝AE，
∴△AEF≌△AED（SAS），
∴∠EAF＝∠EAD，∠AFE＝∠ADE，
即∠GAC＝∠DAC，
∵
∴∠DAC＝∠DBC，
∵，
∴∠GAC＝∠GBC，
∴∠DBC＝∠GBC，
∵
∴∠ADB＝∠BGA，
∵∠AFD＝∠BFG，
∴∠BFG＝∠AGB，
∴△BHF≌△BHG（AAS），
∴FH＝GH，∠BHF＝∠BHG＝90°，
∴点F，点G关于BC对称；
【知识点】三角形全等的判定；圆周角定理；轴对称的性质
【解析】【分析】（1） 连接OC， 先求出∠EAB＋∠ABE＝90°， 由圆周角定理可得∠BOC＝2∠BAC，根据等腰三角形的性质及三角形内角和可求出∠OBC＋∠BAC＝90°， 利用余角的性质得出∠OBC＝∠ABE，即得结论；
（2）连接BG，AD，GC，AG交BC于点H，如图，先证△AEF≌△AED（SAS），再证△BHF≌△BHG（AAS），得FH＝GH，∠BHF＝∠BHG＝90°，从而得出点F，点G关于BC对称.
22．（2022九下·厦门开学考）已知直线y1＝kx+1（k＞0）与抛物线y2＝x2.
（1）当﹣4≤x≤3时，函数y1与y2的最大值相等，求k的值；
（2）如图①，直线y1＝kx+1与抛物线y2＝x2交于A，B两点，与y轴交于F点，点C与点F关于原点对称，求证：S△ACF：S△BCF＝AC：BC；
（3）将抛物线y2＝x2先向上平移1个单位，再沿直线y1＝kx+1的方向移动，使向右平行移动的距离为t个单位，如图②所示，直线y1＝kx+1分别交x轴，y轴于E，F两点，交新抛物线于M，N两点，D是新抛物线与y轴的交点，当△OEF∽△DNF时，试探究t与k的关系.
【答案】（1）解：∵，
∴根据函数图象的性质可知，当时，，
∵
∴
解得.
（2）证明：如图，分别过点作交点分别为
∴
设两点横坐标分别为，
由题意知：
∴，
∵
∴
∵，
∴
∴
∴.
（3）解：由题意知，平移后的二次函数解析式为，与y轴的交点坐标为，
∵
∴
∴有相同的纵坐标
∴
解得
故可知点横纵标
∵在点一次函数与二次函数相交，有相同的纵坐标
∴
解得.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；二次函数图象的几何变换；三角形的面积；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1） 分别求出
时y1、y2的最大值， 根据函数y1与y2的最大值相等 ，建立方程求出k值即可；
（2） 分别过点A、B作AD⊥CF ，BE⊥CF交点分别为D、E ， 设 A、B两点横坐标分别为， 联立直线与抛物线解析式可得方程
，由根与系数的关系可得
， 利用三角形的面积公式可得
，再求出
， 从而可证
，可得
，即得
；
（3） 先得出平移后的二次函数解析式为，求出与y轴的交点坐标为， 由
可得
，即得
有相同的纵坐标，据此建立关于x的方程并求解，可得
点横纵标，由于一次函数与二次函数的交点为N点，将其点N横坐标代入解析式中即可求解.
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