河南省南阳市第三中学2021-2022学年七年级下学期开学考试数学试卷
一、单选题
1．（2021七上·邹城月考）已知下列方程① 3x＝6y；② 2x＝0；③＝4x+x﹣1；④3x＝1；⑤x2+2x﹣5＝0；⑥﹣2＝2．其中一元一次方程的个数是 （ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（2022七下·南阳开学考）下列变形正确的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
3．（2022七下·南阳开学考）下列方程中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
4．某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排x名工人生产螺钉，则下面所列方程正确的是（ ）
A．2×1000（26﹣x）=800x B．1000（13﹣x）=800x
C．1000（26﹣x）=2×800x D．1000（26﹣x）=800x
5．（2022七下·南阳开学考）某书中一道方程题：+1=x，△处在印刷时被墨盖住了，查书后面的答案，得知这个方程的解是x=﹣2.5，那么△处应该是数字（ ）
A．﹣2.5 B．2.5 C．5 D．7
6．（2022七下·南阳开学考）若关于的方程的解与方程的解互为相反数，则的值为（ ）
A．-2.5 B．2.5 C．1 D．-1.2
7．（2022七下·南阳开学考）利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（ ）
A．要消去y可以将①×2﹣②×3
B．要消去x，可以将①×3+②×2
C．要消去y，可以将①×2+②×（﹣3）
D．要消去x，可以将①×3﹣②×2
8．（2022七下·南阳开学考）已知，满足方程组，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2022七下·南阳开学考）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022七下·南阳开学考）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其大意是：有人要去某关口，路程378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地.则此人第四天走的路程为（ ）
A．96里 B．48里 C．24里 D．12里
二、填空题
11．（2020七下·古冶月考）在方程 2x+3y=5 中，用含
x 的代数式表示 y，则
y= ．
12．（2022七下·南阳开学考）学校的篮球数比排球数的2倍少3个，篮球数与排球数的比是，求两种球各有多少个？若设篮球有个，排球有个，根据题意列方程组 .
13．（2022七下·南阳开学考）若实数3是不等式的一个解，则可取的最小正整数为
14．（2022七下·南阳开学考）已知和是二元一次方程的两个解.则 .
15．（2022七下·南阳开学考）如图，已知等边三角形的边长为12cm，甲，乙两动点同时从顶点出发，甲以1厘米/秒的速度沿等边三角形的边按顺时针方向移动，乙以3厘米/秒的速度沿等边三角形的边按逆时针方向移动，相遇后甲乙的速度均增加1厘米/秒且都改变原方向移动.则第二次相遇时乙与最近顶点的距离是 厘米.
三、解答题
16．（2022七下·南阳开学考）解方程（组）
（1）
（2）
17．（2022七下·南阳开学考）先化简，再求值：其中是最小的正整数，是的最小负整数.
18．（2022七下·南阳开学考）
（1）若关于、的二元一次方程组的解满足，求的值；
（2）当为何值时，代数式比大1.
19．（2022七下·南阳开学考）阅读下列推理过程，在括号中填写理由.
（1）已知：如图，点、分别在线段、上，//，//交于点，平分.求证：平分.
证明：∵平分（已知）
∴（ ）
∵（已知）
∴（ ）
故（ ）
∵（已知）
∴，（ ）
（ ）
∴（ ）
∴平分（ ）
（2）若，请直接写出图中所有与互余的角.
20．（2022七下·南阳开学考）某市为鼓励居民节约用水，采取分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量与水费的单价如表：
月用水量 不超过24立方米 超过24立方米
水费单价 4元/立方米 不超过24立方米的部分仍按4元/立方米计费，超过部分按6元/立方米计费
（1）每户用水量为立方米，用式子表示：
①当月用水量不超过24立方米时，应收水费 ▲ 元.
②当月用水量超过24立方米时，应收水费 ▲ 元.
③小明家五月份用水20立方米，六月份用水30立方米，请帮小明计算他家这两个月共应交多少元的水费.
（2）小明家七、八月份共用水50立方米，共交水费208元，已知七月份用水不超过24立方米，请帮小明计算他家这两个月各用多少立方米的水.
21．（2022七下·南阳开学考）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，他采用下面的解法则比较简单：
②-①得：，即.③
得：.④
①-④得：，代入③得.
所以这个方程组的解是.
（1）请你运用小明的方法解方程组.
（2）规律探究：猜想关于、的方程组的解是 .
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元一次方程的定义
【解析】【解答】解：① 3x＝6y含有两个未知数，故①不是一元一次方程；
② 2x＝0，含一个未知数，并且含未知数的项的次数为1，是一元一次方程，故②是一元一次方程；
③＝4x+x﹣1含一个未知数，并且含未知数的项的次数为1，是一元一次方程，故③是一元一次方程；
④3x＝1含一个未知数，并且含未知数的项的次数为1，是一元一次方程，故④是一元一次方程；
⑤x2+2x﹣5＝0含一个未知数，并且含未知数的项的次数为2，故⑤不是一元一次方程；
⑥﹣2＝2分母中有未知数，不是整式方程，故⑥不是一元一次方程．
故答案为：B．
【分析】 一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式。 根据一元一次方程的定义一一判断即可。
2．【答案】B
【知识点】等式的性质；不等式的性质
【解析】【解答】解：A、 如果 ，那么 ，故该选项不正确，不符合题意；
B、 如果 ，那么 ，故该选项正确，符合题意；
C、 如果 ，那么 ，故该选项不正确，不符合题意；
D、 如果 ，且 ，那么 ，故该选项不正确，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据等式的性质判断A、B、D；不等式的性质判断C即可.
3．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的定义
【解析】【解答】解：A中含有两个未知数，含未知数的项的最高次数为2，故不符合定义；
B符合定义，故是二元一次方程组；
C中含有分式，故不符合定义；
D含有三个未知数，故不符合定义；
故答案为：B.
【分析】含有两个未知数，每个未知项的次数都是1，且共有两个整式方程组成的方程组，叫做二元一次方程组，据此逐一判断即可.
4．【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：设安排x名工人生产螺钉，则（26﹣x）人生产螺母，由题意得
1000（26﹣x）=2×800x，故C答案正确，
故选C
【分析】题目已经设出安排x名工人生产螺钉，则（26﹣x）人生产螺母，由一个螺钉配两个螺母可知螺母的个数是螺钉个数的2倍从而得出等量关系，就可以列出方程．
5．【答案】C
【知识点】一元一次方程的解
【解析】【解答】解：设△处数字为a，
把x=﹣2.5代入方程
得：
+1=﹣2.5，
去分母得：2﹣2.5a+3=﹣7.5，
移项合并得：2.5a=12.5，
解得：a=5，
故答案为：C.
【分析】把x=﹣2.5代入方程中即可求出△处值.
6．【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数；一元一次方程的解
【解析】【解答】解：
，
解得：
，
，
解得：
，
∵方程的两个解互为相反数，
∴，
解得：
故答案为：A.
【分析】分别求出两个关于未知数x的方程的解，由于两个方程的解互为相反数，且互为相反数的两个数的和为0，建立关于a的方程并解之即可.
7．【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：利用加减消元法解方程组
，要消去y可以将①×2+②×3，故选项A、C不合题意；
要消去x，可以将①×3﹣②×2，故选项D符合题意，选项B不合题意；
故答案为：D.
【分析】利用加减消元法解方程组，要消去y可以将①×2+②×3，要消去x，可以将①×3﹣②×2，据此逐一判断即可.
8．【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：方程组中的两个方程相加得：3a+3b=12
即3(a+b)=12
∴a+b=4
故答案为：D.
【分析】将两方程相加即可求解.
9．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：∵
∴，表示2的那个点是实心的，
故答案为：B.
【分析】根据移项合并、系数化为1求出不等式的解集，进而根据数轴上表示不等式的解集的方法：大向右，小向左，实心等于，空心不等，一一判断即可得出答案.
10．【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设此人第四天走的路程为x里，根据题意得，
=
所以此人第四天走的路程为24里，
故答案为：C.
【分析】设此人第四天走的路程为x里，分别得出第五、第六天走的路程为
x里，
x里；第三天、第二天、第一天走的路程2x里，4x里，8x里，根据六天共走了378里，列出方程并解之即可.
11．【答案】
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】原方程移项可得： ，
系数化为1可得： ，
故答案为： .
【分析】首先将2x移到等号的右边，然后进一步将y的系数化为1即可得出答案.
12．【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设篮球有x个，排球有y个，根据题意得，
故答案为：
.
【分析】设篮球有x个，排球有y个，根据“ 篮球数比排球数的2倍少3个，篮球数与排球数的比是3∶2 ”列出方程组即可.
13．【答案】5
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：由不等式2x﹣a﹣2＜0，得x＜
，
∵实数3是不等式2x﹣a﹣2＜0的一个解，
∴＞3，得a＞4，
∴a可取的最小正整数为5，
故答案为：5.
【分析】先求出关于未知数a的不等式的解集x＜
，根据实数3是不等式2x﹣a﹣2＜0的一个解，可得
＞3，据此即可求解.
14．【答案】2
【知识点】二元一次方程的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：把 和 代入方程得：
，
①×2+②得：15n＝15，
解得：n＝1，
把n＝1代入①得：m＝2，
则方程组的解为 ；
∴mn=2 1=2
故答案为：2.
【分析】把 和 代入方程可得关于m、n的方程组并解之即可.
15．【答案】3
【知识点】等边三角形的性质；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设出发x秒后甲乙第一次相遇，根据题意得：
x+3x=12×3，
解得：x=9，
此时甲的路程：
，
∴相遇地点在线段AC上，距离点C的距离为：
；
∴第二次相遇的时间为：9+12×3÷（2+4）=15（秒），
∴乙第二次运动的时间为：
（秒），
∴乙第二次的路程为：
，
∴第二次相遇的地点在线段AB上，距离点A的距离为
，
∴第二次相遇时乙与最近顶点A的距离是3cm.
故答案为：3.
【分析】根据第一次相遇所走的路程和为36cm，求出第一次相遇的时间为9秒，从而求出此时甲的路程为9cm，相遇地点在线段AC上，距离点C的距离为3cm，再求出第二次相遇的时间为15秒，从而求出乙第二次的路程24cm，可得第二次相遇的地点在线段AB上，距离点A的距离为3cm，据此即可得解.
16．【答案】（1）解：
解得
（2）解：
②－①×2，得
将代入①得
解得
原方程组的解为：
【知识点】解含分数系数的一元一次方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）先去分母（两边同时乘以4，左边的-1，右边，2也要乘以4，不能漏乘），再去括号（括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），然后移项合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可；
（2）利用加减法解方程组，首先用②－①×2消去y求出x的值，再将x的值代入①求出y的值，从而即可求出方程组的解.
17．【答案】解：原式，
，
，
是最小的正整数，
，解得，
由于是的最小负整数.
当，时，原式.
【知识点】一元一次不等式的特殊解；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】先去括号（括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），再合并同类项将原式化简，根据题意求出x、y值，再代入计算即可.
18．【答案】（1）解：
②×2－①得，，
将代入②得，
解得
解得
（2）解：
解得
【知识点】二元一次方程的解；解含分数系数的一元一次方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据加减消元法求出关于x、y的方程组的解为
，
，再将其代入x-y=1中，可得关于k的方程并解之即可；
（2）根据题意可得-
=1，先去分母（两边同时乘以6，右边的1也要乘以6，不能漏乘），再去括号（括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），然后移项合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可.
19．【答案】（1）解：平分，(已知)
(角平分线的定义)
，(已知)
，(两直线平行，内错角相等)
故(等量代换)
，(已知)
，(两直线平行，同位角相等)
，(两直线平行，内错角相等)
，(等量代换)
平分.(角平分线的定义)
故答案为：角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等量代换；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；等量代换；角平分线的定义；
（2）解：∵，
∴∠AEB=∠DFB=90°
∴∠3+∠DEB=90°，∠1+∠C=90°，∠5+∠B=90°，
又由①可知∠3=∠1=∠4=∠5
∴∠1+∠DEB=90°，∠1+∠B=90°，
∴与互余的角有和.
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义可得∠1=∠2，由二直线平行，内错角相等可得∠1=∠3，利用等量代换可得∠2=∠3，由平行线的性质可得∠2=∠5，∠4=∠3，利用等量代换可得∠4=∠5，根据角平分线的定义即得结论，据此填空即可；
（2）根据和为90°的两个角互为余角进行求解即可.
20．【答案】（1）解：①4a；
②（6a﹣48）；
③当a＝20时，4a＝80；
当a＝30时，6a﹣48＝132.
∴80+132＝212（元）.
答：小明家这两个月共应交212元水费；
（2）解：设小明家七月份用水m立方米（0＜m≤24），则八月份用水（50﹣m）立方米，
依题意，得：4m+6×（50﹣m）﹣48＝208，
解得：m＝22，
∴50﹣m＝28.
答：小明家七月份用水22立方米，八月份用水28立方米.
【知识点】代数式求值；用字母表示数；一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【解答】（1）解：①当a不超过24立方米时，应收水费为4a元；
②当a超过24立方米时，应收水费为：24×4+6（a﹣24）＝（6a﹣48）元；
故答案为：①4a；②（6a﹣48）；
【分析】（1）①根据分段计费标准，用a的代数式表示出当月用水量不超过24立方米时应收水费；②根据分段计费标准，用a的代数式当月用水量超过24立方米时应收水费；③将a值分别代入①②的代数式求值即可；
（2）设小明家七月份用水m立方米（0＜m≤24），则八月份用水（50﹣m）立方米， 根据题意可知七月份用水不超过24立方米 ，可知八月份用水超过24立方米，根据 七、八月份共交水费208元， 列出关于m的方程并解之即可.
21．【答案】（1）解：，
得：，即，
得：，
得：，即，
将代入得，
所以这个方程组得解是；
（2）.
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（2）
，
得：
，即
，
得：
，
得：
，解得
，
将
代入
得：
，
所以这个方程组得解是
，
故答案为：
.
【分析】（1）根据阅读材料进行解方程组即可；
（2）将方程②-①可得
③，将
得
，利用
可求出
，将其代入③求出x值即可.
1 / 1河南省南阳市第三中学2021-2022学年七年级下学期开学考试数学试卷
一、单选题
1．（2021七上·邹城月考）已知下列方程① 3x＝6y；② 2x＝0；③＝4x+x﹣1；④3x＝1；⑤x2+2x﹣5＝0；⑥﹣2＝2．其中一元一次方程的个数是 （ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】一元一次方程的定义
【解析】【解答】解：① 3x＝6y含有两个未知数，故①不是一元一次方程；
② 2x＝0，含一个未知数，并且含未知数的项的次数为1，是一元一次方程，故②是一元一次方程；
③＝4x+x﹣1含一个未知数，并且含未知数的项的次数为1，是一元一次方程，故③是一元一次方程；
④3x＝1含一个未知数，并且含未知数的项的次数为1，是一元一次方程，故④是一元一次方程；
⑤x2+2x﹣5＝0含一个未知数，并且含未知数的项的次数为2，故⑤不是一元一次方程；
⑥﹣2＝2分母中有未知数，不是整式方程，故⑥不是一元一次方程．
故答案为：B．
【分析】 一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式。 根据一元一次方程的定义一一判断即可。
2．（2022七下·南阳开学考）下列变形正确的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
【答案】B
【知识点】等式的性质；不等式的性质
【解析】【解答】解：A、 如果 ，那么 ，故该选项不正确，不符合题意；
B、 如果 ，那么 ，故该选项正确，符合题意；
C、 如果 ，那么 ，故该选项不正确，不符合题意；
D、 如果 ，且 ，那么 ，故该选项不正确，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据等式的性质判断A、B、D；不等式的性质判断C即可.
3．（2022七下·南阳开学考）下列方程中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的定义
【解析】【解答】解：A中含有两个未知数，含未知数的项的最高次数为2，故不符合定义；
B符合定义，故是二元一次方程组；
C中含有分式，故不符合定义；
D含有三个未知数，故不符合定义；
故答案为：B.
【分析】含有两个未知数，每个未知项的次数都是1，且共有两个整式方程组成的方程组，叫做二元一次方程组，据此逐一判断即可.
4．某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排x名工人生产螺钉，则下面所列方程正确的是（ ）
A．2×1000（26﹣x）=800x B．1000（13﹣x）=800x
C．1000（26﹣x）=2×800x D．1000（26﹣x）=800x
【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：设安排x名工人生产螺钉，则（26﹣x）人生产螺母，由题意得
1000（26﹣x）=2×800x，故C答案正确，
故选C
【分析】题目已经设出安排x名工人生产螺钉，则（26﹣x）人生产螺母，由一个螺钉配两个螺母可知螺母的个数是螺钉个数的2倍从而得出等量关系，就可以列出方程．
5．（2022七下·南阳开学考）某书中一道方程题：+1=x，△处在印刷时被墨盖住了，查书后面的答案，得知这个方程的解是x=﹣2.5，那么△处应该是数字（ ）
A．﹣2.5 B．2.5 C．5 D．7
【答案】C
【知识点】一元一次方程的解
【解析】【解答】解：设△处数字为a，
把x=﹣2.5代入方程
得：
+1=﹣2.5，
去分母得：2﹣2.5a+3=﹣7.5，
移项合并得：2.5a=12.5，
解得：a=5，
故答案为：C.
【分析】把x=﹣2.5代入方程中即可求出△处值.
6．（2022七下·南阳开学考）若关于的方程的解与方程的解互为相反数，则的值为（ ）
A．-2.5 B．2.5 C．1 D．-1.2
【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数；一元一次方程的解
【解析】【解答】解：
，
解得：
，
，
解得：
，
∵方程的两个解互为相反数，
∴，
解得：
故答案为：A.
【分析】分别求出两个关于未知数x的方程的解，由于两个方程的解互为相反数，且互为相反数的两个数的和为0，建立关于a的方程并解之即可.
7．（2022七下·南阳开学考）利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（ ）
A．要消去y可以将①×2﹣②×3
B．要消去x，可以将①×3+②×2
C．要消去y，可以将①×2+②×（﹣3）
D．要消去x，可以将①×3﹣②×2
【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：利用加减消元法解方程组
，要消去y可以将①×2+②×3，故选项A、C不合题意；
要消去x，可以将①×3﹣②×2，故选项D符合题意，选项B不合题意；
故答案为：D.
【分析】利用加减消元法解方程组，要消去y可以将①×2+②×3，要消去x，可以将①×3﹣②×2，据此逐一判断即可.
8．（2022七下·南阳开学考）已知，满足方程组，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：方程组中的两个方程相加得：3a+3b=12
即3(a+b)=12
∴a+b=4
故答案为：D.
【分析】将两方程相加即可求解.
9．（2022七下·南阳开学考）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：∵
∴，表示2的那个点是实心的，
故答案为：B.
【分析】根据移项合并、系数化为1求出不等式的解集，进而根据数轴上表示不等式的解集的方法：大向右，小向左，实心等于，空心不等，一一判断即可得出答案.
10．（2022七下·南阳开学考）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其大意是：有人要去某关口，路程378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地.则此人第四天走的路程为（ ）
A．96里 B．48里 C．24里 D．12里
【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设此人第四天走的路程为x里，根据题意得，
=
所以此人第四天走的路程为24里，
故答案为：C.
【分析】设此人第四天走的路程为x里，分别得出第五、第六天走的路程为
x里，
x里；第三天、第二天、第一天走的路程2x里，4x里，8x里，根据六天共走了378里，列出方程并解之即可.
二、填空题
11．（2020七下·古冶月考）在方程 2x+3y=5 中，用含
x 的代数式表示 y，则
y= ．
【答案】
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】原方程移项可得： ，
系数化为1可得： ，
故答案为： .
【分析】首先将2x移到等号的右边，然后进一步将y的系数化为1即可得出答案.
12．（2022七下·南阳开学考）学校的篮球数比排球数的2倍少3个，篮球数与排球数的比是，求两种球各有多少个？若设篮球有个，排球有个，根据题意列方程组 .
【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设篮球有x个，排球有y个，根据题意得，
故答案为：
.
【分析】设篮球有x个，排球有y个，根据“ 篮球数比排球数的2倍少3个，篮球数与排球数的比是3∶2 ”列出方程组即可.
13．（2022七下·南阳开学考）若实数3是不等式的一个解，则可取的最小正整数为
【答案】5
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：由不等式2x﹣a﹣2＜0，得x＜
，
∵实数3是不等式2x﹣a﹣2＜0的一个解，
∴＞3，得a＞4，
∴a可取的最小正整数为5，
故答案为：5.
【分析】先求出关于未知数a的不等式的解集x＜
，根据实数3是不等式2x﹣a﹣2＜0的一个解，可得
＞3，据此即可求解.
14．（2022七下·南阳开学考）已知和是二元一次方程的两个解.则 .
【答案】2
【知识点】二元一次方程的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：把 和 代入方程得：
，
①×2+②得：15n＝15，
解得：n＝1，
把n＝1代入①得：m＝2，
则方程组的解为 ；
∴mn=2 1=2
故答案为：2.
【分析】把 和 代入方程可得关于m、n的方程组并解之即可.
15．（2022七下·南阳开学考）如图，已知等边三角形的边长为12cm，甲，乙两动点同时从顶点出发，甲以1厘米/秒的速度沿等边三角形的边按顺时针方向移动，乙以3厘米/秒的速度沿等边三角形的边按逆时针方向移动，相遇后甲乙的速度均增加1厘米/秒且都改变原方向移动.则第二次相遇时乙与最近顶点的距离是 厘米.
【答案】3
【知识点】等边三角形的性质；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设出发x秒后甲乙第一次相遇，根据题意得：
x+3x=12×3，
解得：x=9，
此时甲的路程：
，
∴相遇地点在线段AC上，距离点C的距离为：
；
∴第二次相遇的时间为：9+12×3÷（2+4）=15（秒），
∴乙第二次运动的时间为：
（秒），
∴乙第二次的路程为：
，
∴第二次相遇的地点在线段AB上，距离点A的距离为
，
∴第二次相遇时乙与最近顶点A的距离是3cm.
故答案为：3.
【分析】根据第一次相遇所走的路程和为36cm，求出第一次相遇的时间为9秒，从而求出此时甲的路程为9cm，相遇地点在线段AC上，距离点C的距离为3cm，再求出第二次相遇的时间为15秒，从而求出乙第二次的路程24cm，可得第二次相遇的地点在线段AB上，距离点A的距离为3cm，据此即可得解.
三、解答题
16．（2022七下·南阳开学考）解方程（组）
（1）
（2）
【答案】（1）解：
解得
（2）解：
②－①×2，得
将代入①得
解得
原方程组的解为：
【知识点】解含分数系数的一元一次方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）先去分母（两边同时乘以4，左边的-1，右边，2也要乘以4，不能漏乘），再去括号（括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），然后移项合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可；
（2）利用加减法解方程组，首先用②－①×2消去y求出x的值，再将x的值代入①求出y的值，从而即可求出方程组的解.
17．（2022七下·南阳开学考）先化简，再求值：其中是最小的正整数，是的最小负整数.
【答案】解：原式，
，
，
是最小的正整数，
，解得，
由于是的最小负整数.
当，时，原式.
【知识点】一元一次不等式的特殊解；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】先去括号（括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），再合并同类项将原式化简，根据题意求出x、y值，再代入计算即可.
18．（2022七下·南阳开学考）
（1）若关于、的二元一次方程组的解满足，求的值；
（2）当为何值时，代数式比大1.
【答案】（1）解：
②×2－①得，，
将代入②得，
解得
解得
（2）解：
解得
【知识点】二元一次方程的解；解含分数系数的一元一次方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据加减消元法求出关于x、y的方程组的解为
，
，再将其代入x-y=1中，可得关于k的方程并解之即可；
（2）根据题意可得-
=1，先去分母（两边同时乘以6，右边的1也要乘以6，不能漏乘），再去括号（括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），然后移项合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可.
19．（2022七下·南阳开学考）阅读下列推理过程，在括号中填写理由.
（1）已知：如图，点、分别在线段、上，//，//交于点，平分.求证：平分.
证明：∵平分（已知）
∴（ ）
∵（已知）
∴（ ）
故（ ）
∵（已知）
∴，（ ）
（ ）
∴（ ）
∴平分（ ）
（2）若，请直接写出图中所有与互余的角.
【答案】（1）解：平分，(已知)
(角平分线的定义)
，(已知)
，(两直线平行，内错角相等)
故(等量代换)
，(已知)
，(两直线平行，同位角相等)
，(两直线平行，内错角相等)
，(等量代换)
平分.(角平分线的定义)
故答案为：角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等量代换；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；等量代换；角平分线的定义；
（2）解：∵，
∴∠AEB=∠DFB=90°
∴∠3+∠DEB=90°，∠1+∠C=90°，∠5+∠B=90°，
又由①可知∠3=∠1=∠4=∠5
∴∠1+∠DEB=90°，∠1+∠B=90°，
∴与互余的角有和.
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义可得∠1=∠2，由二直线平行，内错角相等可得∠1=∠3，利用等量代换可得∠2=∠3，由平行线的性质可得∠2=∠5，∠4=∠3，利用等量代换可得∠4=∠5，根据角平分线的定义即得结论，据此填空即可；
（2）根据和为90°的两个角互为余角进行求解即可.
20．（2022七下·南阳开学考）某市为鼓励居民节约用水，采取分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量与水费的单价如表：
月用水量 不超过24立方米 超过24立方米
水费单价 4元/立方米 不超过24立方米的部分仍按4元/立方米计费，超过部分按6元/立方米计费
（1）每户用水量为立方米，用式子表示：
①当月用水量不超过24立方米时，应收水费 ▲ 元.
②当月用水量超过24立方米时，应收水费 ▲ 元.
③小明家五月份用水20立方米，六月份用水30立方米，请帮小明计算他家这两个月共应交多少元的水费.
（2）小明家七、八月份共用水50立方米，共交水费208元，已知七月份用水不超过24立方米，请帮小明计算他家这两个月各用多少立方米的水.
【答案】（1）解：①4a；
②（6a﹣48）；
③当a＝20时，4a＝80；
当a＝30时，6a﹣48＝132.
∴80+132＝212（元）.
答：小明家这两个月共应交212元水费；
（2）解：设小明家七月份用水m立方米（0＜m≤24），则八月份用水（50﹣m）立方米，
依题意，得：4m+6×（50﹣m）﹣48＝208，
解得：m＝22，
∴50﹣m＝28.
答：小明家七月份用水22立方米，八月份用水28立方米.
【知识点】代数式求值；用字母表示数；一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【解答】（1）解：①当a不超过24立方米时，应收水费为4a元；
②当a超过24立方米时，应收水费为：24×4+6（a﹣24）＝（6a﹣48）元；
故答案为：①4a；②（6a﹣48）；
【分析】（1）①根据分段计费标准，用a的代数式表示出当月用水量不超过24立方米时应收水费；②根据分段计费标准，用a的代数式当月用水量超过24立方米时应收水费；③将a值分别代入①②的代数式求值即可；
（2）设小明家七月份用水m立方米（0＜m≤24），则八月份用水（50﹣m）立方米， 根据题意可知七月份用水不超过24立方米 ，可知八月份用水超过24立方米，根据 七、八月份共交水费208元， 列出关于m的方程并解之即可.
21．（2022七下·南阳开学考）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，他采用下面的解法则比较简单：
②-①得：，即.③
得：.④
①-④得：，代入③得.
所以这个方程组的解是.
（1）请你运用小明的方法解方程组.
（2）规律探究：猜想关于、的方程组的解是 .
【答案】（1）解：，
得：，即，
得：，
得：，即，
将代入得，
所以这个方程组得解是；
（2）.
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（2）
，
得：
，即
，
得：
，
得：
，解得
，
将
代入
得：
，
所以这个方程组得解是
，
故答案为：
.
【分析】（1）根据阅读材料进行解方程组即可；
（2）将方程②-①可得
③，将
得
，利用
可求出
，将其代入③求出x值即可.
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