4.2.3对数函数的性质与图像 学案（Word版含答案）

对数函数的性质与图像
【第1课时】
【学习目标】
1．理解对数函数的概念，会判断对数函数。
2．初步掌握对数函数的图像与性质。
3．能利用对数函数的性质解决与之有关的问题。
【学习重难点】
1．对数函数的概念。
2．对数函数的图像。
3．对数函数的简单应用。
【学习过程】
问题导学
预习教材P24－P27的内容，思考以下问题：
1．对数函数的概念是什么？它的解析式具有什么特点？
2．对数函数的图像是什么，通过图像可观察到对数函数具有哪些性质？
【新知初探】
对数函数
一般地，函数y＝logax称为对数函数，其中a是常数，a>0且a≠1．
对数函数y＝logax的性质：
（1）定义域是（0，＋∞），因此函数图像一定在y轴的右边。
（2）值域是实数集R。
（3）函数图像一定过点（1，0）。
（4）当a>1时，y＝logax是增函数；当0（5）对数函数的图像
■名师点拨
底数a与1的大小关系决定了对数函数图像的“升降”：当a＞1时，对数函数的图像“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图像“下降”。
【自我检测】
1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）函数y＝logx是对数函数。（　　）
（2）函数y＝2log3x是对数函数。（　　）
（3）函数y＝log3（x＋1）的定义域是（0，＋∞）。（　　）
2．函数f（x）＝＋lgx的定义域是（　　）
A．（0，＋∞）
B．（0，1）
C．[1，＋∞）
D．（1，＋∞）
3．下列不等号连接错误的一组是（　　）
A．log0.52．2>log0.52．3
B．log34>log65
C．log34>log56
D．logπe>logeπ
4．函数y＝log（3a－1）x是（0，＋∞）上的减函数，则实数a的取值范围是________。
探究一、对数函数的概念
1．判断下列函数哪些是对数函数？
（1）y＝3log2x；（2）y＝log6x；（3）y＝logx3；（4）y＝log2x＋1．
[规律方法]
判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax（a＞0且a≠1）的形式，即必须满足以下条件：
（1）系数为1．
（2）底数为大于0且不等于1的常数。
（3）对数的真数仅有自变量x。
2．若某对数函数的图像过点（4，2），则该对数函数的解析式为（　　）
A．y＝log2x
B．y＝2log4x
C．y＝log2x或y＝2log4x
D．不确定
探究二、对数函数的图像
3．如图所示，曲线是对数函数y＝logax的图像，已知a取，，，，则对应于c1、c2、c3、c4的a值依次为（　　）
A．、、、
B．、、、
C．、、、
D．、、、
[规律方法]
函数y＝logax（a＞0且a≠1）的
底数变化对图像位置的影响
观察图像，注意变化规律：
（1）上下比较：在直线x＝1的右侧，a＞1时，a越大，图像越靠近x轴，0＜a＜1时，a越小，图像越靠近x轴。
（2）左右比较：比较图像与y＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大。
4．函数y＝loga（x＋2）＋1的图像过定点（　　）
A．（1，2）
B．（2，1）
C．（－2，1）
D．（－1，1）
5．如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图像，则（　　）
A．0＜a＜b＜1
B．0＜b＜a＜1
C．a＞b＞1
D．b＞a＞1
探究三、与对数函数有关的定义域问题
6．若f（x）＝，则f（x）的定义域为（　　）
A．
B．
C．∪（0，＋∞）
D．
[规律方法]
求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数大于零且不等于1；三是按底数的取值范围对应单调性，有针对性地解不等式。
7．函数y＝ln（1－x）的定义域为（　　）
A．（0，1）
B．[0，1）
C．（0，1]
D．[0，1]
【达标反馈】
1．下列函数是对数函数的是（　　）
A．y＝loga（2x）
B．y＝log22x
C．y＝log2x＋1
D．y＝lgx
2．函数f（x）＝＋lg（3x＋1）的定义域是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．函数y＝ax与y＝－logax（a＞0，且a≠1）在同一坐标系中的图像形状可能是（　　）
4．若a＞0且a≠1，则函数y＝loga（x－1）＋1的图像过定点为________。
5．比较下列各组数的大小：
（1）log2________log2；
（2）log32________1；
（3）log4________0.
[A基础达标]
1．函数f（x）＝＋lg（1＋x）的定义域是（　　）
A．（－∞，－1）
B．（1，＋∞）
C．（－1，1）∪（1，＋∞）
D．（－∞，＋∞）
2．对数函数的图像过点M（16，4），则此对数函数的解析式为（　　）
A．y＝log4x
B．y＝logx
C．y＝logx
D．y＝log2x
3．函数f（x）＝log2（3x＋1）的值域为（　　）
A．（0，＋∞）
B．[0，＋∞）
C．（1，＋∞）
D．[1，＋∞）
4．函数y＝lg（x＋1）的图像大致是（　　）
5．已知函数f（x）＝loga（x－m）的图像过点（4，0）和（7，1），则f（x）在定义域上是（　　）
A．增函数
B．减函数
C．奇函数
D．偶函数
6．若f（x）＝logax＋（a2－4a－5）是对数函数，则a＝________。
7．已知函数y＝loga（x－3）－1的图像过定点P，则点P的坐标是________。
8．若f（x）是对数函数且f（9）＝2，当x∈[1，3]时，f（x）的值域是________。
9．若函数y＝loga（x＋a）（a＞0且a≠1）的图像过点（－1，0）。
（1）求a的值；
（2）求函数的定义域。
10．求下列函数的定义域与值域：
（1）y＝log2（x－2）；
（2）y＝log4（x2＋8）。
[B能力提升]
11．函数y＝2＋log2x（x≥1）的值域为（　　）
A．（2，＋∞）
B．（－∞，2）
C．[2，＋∞）
D．[3，＋∞）
12．函数f（x）＝的定义域是（　　）
A．[4，＋∞）
B．（10，＋∞）
C．（4，10）∪（10，＋∞）
D．[4，10）∪（10，＋∞）
13．如果函数f（x）＝（3－a）x，g（x）＝logax的增减性相同，则a的取值范围是________。
14．已知f（x）＝log3x。
（1）作出这个函数的图像；
（2）若f（a）[C拓展探究]
15．求y＝（logx）2－logx＋5在区间[2，4]上的最大值和最小值。
【第2课时】
【学习目标】
1．进一步加深理解对数函数的概念。
2．掌握对数函数的性质及其应用。
【学习重难点】
1．对数函数的概念。
2．对数函数的性质。
对数值的大小比较。
比较下列各组中两个值的大小。
（1）ln0.3，ln2；
（2）loga3．1，loga5．2（a＞0，且a≠1）；
（3）log30.2，log40.2；
（4）log3π，logπ3．
【解】（1）因为函数y＝lnx是增函数，且0.3＜2，
所以ln0.3＜ln2．
（2）当a＞1时，函数y＝logax在（0，＋∞）上是增函数，又3．1＜5．2，所以loga3．1＜loga5．2；
当0＜a＜1时，函数y＝logax在（0，＋∞）上是减函数，又3．1＜5．2，所以loga3．1＞loga5．2．
（3）法一：因为0＞log0.23＞log0.24，
所以＜，
即log30.2＜log40.2．
法二：如图所示。
由图可知log40.2＞log30.2．
（4）因为函数y＝log3x是增函数，且π＞3，所以log3π＞log33＝1．
同理，1＝logππ＞logπ3，所以log3π＞logπ3．
比较对数的大小，主要依据对数函数的单调性。
（1）若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较。
（2）若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论。
（3）若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以先画出函数的图像，再进行比较。
（4）若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较。
1．设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则（　　）
A．a＞c＞b
B．b＞c＞a
C．c＞b＞a
D．c＞a＞b
2．已知a＝log23．6，b＝log43．2，c＝log43．6，则（　　）
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．b＞a＞c
D．c＞a＞b
对数函数单调性的应用
求函数y＝log（1－x2）的单调增区间，并求函数的最小值。
【解】要使y＝log（1－x2）有意义，则1－x2＞0，所以x2＜1，即－1＜x＜1，
因此函数y＝log（1－x2）的定义域为（－1，1）。
令t＝1－x2，x∈（－1，1）。
当x∈（－1，0]时，若x增大，则t增大，y＝logt减小，
所以x∈（－1，0]时，y＝log（1－x2）是减函数；
同理当x∈[0，1）时，y＝log（1－x2）是增函数。
故函数y＝log（1－x2）的单调增区间为[0，1），且函数的最小值ymin＝log（1－02）＝0.
（1）求形如y＝logaf（x）的函数的单调区间，一定要树立定义域优先意识，即由f（x）＞0，先求定义域。
（2）求此类型函数单调区间的两种思路：①利用定义求证；②借助函数的性质，研究函数t＝f（x）和y＝logat在定义域上的单调性，从而判定y＝logaf（x）的单调性。
3．设函数f（x）＝则满足f（x）≤2的x的取值范围是（　　）
A．[－1，2]
B．[0，2]
C．[1，＋∞）
D．[0，＋∞）
与对数函数有关的值域与最值问题
求下列函数的值域：
（1）y＝log2（x2＋4）；
（2）y＝log（3＋2x－x2）。
【解】（1）y＝log2（x2＋4）的定义域为R。
因为x2＋4≥4，
所以log2（x2＋4）≥log24＝2．
所以y＝log2（x2＋4）的值域为[2，＋∞）。
（2）设u＝3＋2x－x2＝－（x－1）2＋4≤4．
因为u>0，所以0又y＝logu在（0，＋∞）上为减函数，
所以logu≥log4＝－2，
所以y＝log（3＋2x－x2）的值域为[－2，＋∞）。
求对数型函数值域（最值）的方法
对于形如y＝logaf（x）（a>0，且a≠1）的复合函数，其值域（最值）的求解步骤如下：
（1）分解成y＝logau，u＝f（x）两个函数。
（2）求f（x）的定义域。
（3）求u的取值范围。
（4）利用y＝logau的单调性求解。
4．（2019·厦门检测）若函数f（x）＝ax＋loga（x＋1）在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值等于________。
对数函数性质的综合应用
已知函数f（x）＝loga（a＞0且a≠1），
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断函数的奇偶性和单调性。
【解】（1）要使此函数有意义，
则有或
解得x＞1或x＜－1，
此函数的定义域为（－∞，－1）∪（1，＋∞）。
（2）f（－x）＝loga＝loga
＝－loga＝－f（x）。
又由（1）知f（x）的定义域关于原点对称，
所以f（x）为奇函数。
f（x）＝loga＝loga（1＋），
函数u＝1＋在区间（－∞，－1）和区间（1，＋∞）上单调递减。
所以当a＞1时，f（x）＝loga在（－∞，－1），（1，＋∞）上递减；
当0＜a＜1时，f（x）＝loga在（－∞，－1），（1，＋∞）上递增。
（1）判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看是否关于原点对称。
（2）求函数的单调区间有两种思路：①易得到单调区间的，可用定义法来求证；②利用复合函数的单调性求得单调区间。
5．已知函数f（x）＝loga（1＋x），g（x）＝loga（1－x），其中（a＞0且a≠1），设h（x）＝f（x）－g（x）。
（1）求函数h（x）的定义域，判断h（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若f（3）＝2，求使h（x）＜0成立的x的集合。
1．函数y＝lnx的单调递增区间是（　　）
A．[e，＋∞）
B．（0，＋∞）
C．（－∞，＋∞）
D．[1，＋∞）
2．设a＝log54，b＝（log53）2，c＝log45，则（　　）
A．a＜c＜b
B．b＜c＜a
C．a＜b＜c
D．b＜a＜c
3．函数f（x）＝的定义域是（　　）
A．（1，＋∞）B．（2，＋∞）C．（－∞，2）D．（1，2]
4．函数f（x）＝的值域为________。
5．函数f（x）＝log5（2x＋1）的单调增区间是________。
【参考答案】
【自我检测】
1．答案：（1）×（2）×（3）×
2．解析：选C．因为，所以x≥1．
3．解析：选D．函数y＝logπx在定义域上单调递增，e<π，则logπelogee＝1，则logπe4．解析：由题意可得0<3a－1<1，
解得所以实数a的取值范围是。
答案：
探究一、对数函数的概念
1．【解】（1）log2x的系数是3，不是1，不是对数函数。
（2）符合对数函数的结构形式，是对数函数。
（3）自变量在底数位置上，不是对数函数。
（4）对数式log2x后又加1，不是对数函数。
2．解析：选A．设对数函数的解析式为y＝logax（a＞0且a≠1），由题意可知loga4＝2，
所以a2＝4，所以a＝2，
所以该对数函数的解析式为y＝log2x。
3．【解析】法一：观察在（1，＋∞）上的图像，先排c1、c2底的顺序，底都大于1，当x＞1时图像靠近x轴的底大，c1、c2对应的a分别为、。然后考虑c3、c4底的顺序，底都小于1，当x＜1时图像靠近x轴的底小，c3、c4对应的a分别为、。综合以上分析，可得c1、c2、c3、c4的a值依次为、、、。故选A．
法二：作直线y＝1与四条曲线交于四点，由y＝logax＝1，得x＝a（即交点的横坐标等于底数），所以横坐标小的底数小，所以c1、c2、c3、c4对应的a值分别为、、、，故选A．
【答案】A
4．解析：选D．令x＋2＝1，即x＝－1，
得y＝loga1＋1＝1，
故函数y＝loga（x＋2）＋1的图像过定点（－1，1）。
5．解析：选B．作直线y＝1，则直线y＝1与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0＜b＜a＜1．
探究三、与对数函数有关的定义域问题
6．【解析】由题意知
解得x＞－且x≠0.
【答案】C
7．解析：选B．因为y＝ln（1－x），所以解得0≤x＜1．
【达标反馈】
1．解析：选D．选项A、B、C中的函数都不具有“y＝logax（a＞0且a≠1）”的形式，只有D选项符合。
2．解析：选D．由可得－＜x＜1．
3．解析：选A．函数y＝－logax恒过定点（1，0），排除B项；当a＞1时，y＝ax是增函数，y＝－logax是减函数，排除C项，当04．解析：函数图像过定点，则与a无关，故loga（x－1）＝0，
所以x－1＝1，x＝2，y＝1，所以y＝loga（x－1）＋1过定点（2，1）。
答案：（2，1）
5．解析：（1）底数相同，y＝log2x是增函数，
所以log2＜log2。（2）log32＜log33＝1．（3）log4＜log1＝0.
答案：（1）＜（2）＜（3）＜
[A基础达标]
1．解析：选C．由题意知解得x>－1且x≠1．
2．解析：选D．由于对数函数的图像过点M（16，4），所以4＝loga16，得a＝2．所以此对数函数的解析式为y＝log2x，故选D．
3．解析：选A．因为3x＞0，所以3x＋1＞1．所以log2（3x＋1）＞0.所以函数f（x）的值域为（0，＋∞）。
4．解析：选C．由底数大于1可排除A、B，y＝lg（x＋1）可看作是y＝lgx的图像向左平移1个单位（或令x＝0得y＝0），而且函数为增函数，故选C．
5．解析：选A．将点（4，0）和（7，1）代入函数解析式，有解得a＝4和m＝3，则有f（x）＝log4（x－3）。由于定义域是x＞3，则函数不具有奇偶性，很明显函数f（x）在定义域上是增函数。
6．解析：由对数函数的定义可知，
解得a＝5．
答案：5
7．解析：y＝logax的图像恒过点（1，0），令x－3＝1，得x＝4，则y＝－1．
答案：（4，－1）
8．解析：设f（x）＝logax，因为loga9＝2，所以a＝3，即f（x）＝log3x。又因为x∈[1，3]，所以0≤f（x）≤1．
答案：[0，1]
9．解：（1）将（－1，0）代入y＝loga（x＋a）（a＞0，a≠1）中，
有0＝loga（－1＋a），则－1＋a＝1，所以a＝2．
（2）由（1）知y＝log2（x＋2），由x＋2＞0，解得x＞－2，
所以函数的定义域为{x|x＞－2}。
10．解：（1）由x－2＞0，得x＞2，
所以函数y＝log2（x－2）的定义域是（2，＋∞），值域是R。
（2）因为对任意实数x，log4（x2＋8）都有意义，
所以函数y＝log4（x2＋8）的定义域是R。
又因为x2＋8≥8，
所以log4（x2＋8）≥log48＝，即函数y＝log4（x2＋8）的值域是。
11．解析：选C．当x≥1时，log2x≥0，所以y＝2＋log2x≥2．
所以函数y＝2＋log2x的值域为[2，＋∞）。
12．解析：选D．由解得所以x≥4且x≠10，
所以函数f（x）的定义域为[4，10）∪（10，＋∞）。故选D．
13．解析：若f（x），g（x）均为增函数，则即1＜a＜2，
若f（x），g（x）均为减函数，则无解。
所以a的取值范围是（1，2）。
答案：（1，2）
14．解：（1）作出函数y＝f（x）＝log3x的图像如图所示。
（2）令f（x）＝f（2），
即log3x＝log32，解得x＝2．
由图像知：当0恒有f（a）所以所求a的取值范围为（0，2）。
15．解：因为2≤x≤4，所以log2≥logx≥log4，
即－1≥logx≥－2．
设t＝logx，则－2≤t≤－1，
所以y＝t2－t＋5，其图像的对称轴为直线t＝，
所以当t＝－2时，ymax＝10；当t＝－1时，ymin＝。
【第2课时】
1．解析：选D．利用对数函数的性质求解。
a＝log32＜log33＝1；c＝log23＞log22＝1，
由对数函数的性质可知log52＜log32，所以b＜a＜c，故选D．
2．解析：选B．a＝log23．6＝log43．62，函数y＝log4x在（0，＋∞）上为增函数，3．62＞3．6＞3．2，所以a＞c＞b，故选B．
3．解析：选D．f（x）≤2 或
0≤x≤1或x＞1，故选D．
4．解析：当0所以f（x）在[0，1]上为减函数，
所以f（x）max＝f（0）＝1，f（x）min＝f（1）＝a＋loga2，于是1＋a＋loga2＝a，
解得a＝；
同理，
当a>1时，f（x）在[0，1]上为增函数，
所以f（x）max＝f（1）＝a＋loga2，f（x）min＝f（0）＝1，于是1＋a＋loga2＝a，解得a＝，与a>1矛盾。
综上，a＝。
答案：
5．解：（1）因为f（x）＝loga（1＋x）的定义域为{x|x＞－1}，
g（x）＝loga（1－x）的定义域为{x|x＜1}，
所以h（x）＝f（x）－g（x）的定义域为{x|x>－1}∩{x|x＜1}
＝{x|－1＜x＜1}。
函数h（x）为奇函数，理由如下：
因为h（x）＝f（x）－g（x）＝loga（1＋x）－loga（1－x），
所以h（－x）＝loga（1－x）－loga（1＋x）
＝－[loga（1＋x）－loga（1－x）]＝－h（x），
所以h（x）为奇函数。
（2）因为f（3）＝loga（1＋3）＝loga4＝2，所以a＝2．
所以h（x）＝log2（1＋x）－log2（1－x），
所以h（x）＜0等价于log2（1＋x）＜log2（1－x），
所以解之得－1＜x＜0.
所以使得h（x）＜0成立的x的集合为{x|－1＜x＜0}。
1．解析：选B．函数y＝lnx的定义域为（0，＋∞），在（0，＋∞）上是增函数，故该函数的单调递增区间为（0，＋∞）。
2．解析：选D．因为1＝log55＞log54＞log53＞log51＝0，
所以1＞a＝log54＞log53＞（log53）2＝B．
又因为c＝log45＞log44＝1．所以c＞a＞B．
3．解析：选D．由题意有解得1＜x≤2．
4．解析：当x≥1时，logx≤log1＝0，所以当x≥1时，f（x）≤0.当x＜1时，0＜2x＜21，即0＜f（x）＜2．因此函数f（x）的值域为（－∞，2）。
答案：（－∞，2）
5．答案：
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