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学霸夯基——北师大版八年级下册
班级： 姓名：
一、单选题
1．如图，在△ABC中，AB=BC=10，BD是∠ABC的平分线，E是AB边的中点．则DE的长是（ ）
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A．6 B．5 C．4 D．3
2．如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为（ ）
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A．1 B．2 C． D．1+
3．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BC、AB、AC的中点，如果△ABC的周长为20，那么△DEF的周长是（ ） 21教育网
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A．20 B．15 C．10 D．5
4．如图，在等腰梯形ABCD中，CD∥AB，点E、F分别是AD、AB的中点，且AC⊥BC，若AD=5，EF=6，则CF的长为（）
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A．6.5 B．6 C．5 D．4
5．Rt△ABC两直角边的长分别为6cm和8cm，则连接这两条直角边中点的线段长为( )
A．10cm B．3cm C．4cm D．5cm
二、填空题
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝4，E是AB边的中点，F是AC边的中点。则EF＝ 。21·cn·jy·com
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7．已知：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD=BE=6，则AC的长等于 .
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8．如图，在△ABC中，AB＝ ( http: / / www.21cnjy.com )13，BC＝12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE＝2.5，那么CD的长是 www.21-cn-jy.com
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9．如图，在平行四边形 中， 、 相交于点 ，点 是 的中点.若 ，则 的长是 . 2·1·c·n·j·y
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10．如图，在△ABC中，AB=AC，M、N分别是AB、AC的中点，D、E为BC上的点，连结DN、EM.若AB=13cm，BC=10cm，DE=5cm，则图中阴影部分的面积为 cm2．
( http: / / www.21cnjy.com / )【来源：21·世纪·教育·网】
三、作图题
11．如图，已知△ABC，请用圆规和直尺作出△ABC的一条中位线EF（不写作法，保留作图痕迹）．
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四、综合题
12．在△ABC中，以AB为斜边，作直角△ABD，使点D落在△ABC内，∠ADB=90°．
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（1）如图1，若AB=AC，∠DBA=60°，AD=7 ，点P、M分别为BC、AB边的中点，连接PM，求线段PM的长；21·世纪*教育网
（2）如图2，若AB=AC，把△ABD绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ACE，连接ED并延长交BC于点P，求证：BP=CP；www-2-1-cnjy-com
（3）如图3，若AD=BD，过点D的直线交A ( http: / / www.21cnjy.com )C于点E，交BC于点F，EF⊥AC，且AE=EC，请直接写出线段BF、FC、AD之间的关系（不需要证明）．2-1-c-n-j-y
13．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AB，AD的中点．
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（1）请判断△OEF的形状，并证明你的结论；
（2）若AB=13，AC=10，请求出线段EF的长．
14．定义：如图1，点M，N把线段AB分 ( http: / / www.21cnjy.com )割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．21*cnjy*com
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（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM=2，MN=3，求BN的长；
（2）如图2，在△ABC中，FG是中 ( http: / / www.21cnjy.com )位线，点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC＞DE≥BD，连接AD，AE分别交FG于点M，N，求证：点M，N是线段FG的勾股分割点；【来源：21cnj*y.co*m】
（3）已知点C是线段AB上的一定点，其位置 ( http: / / www.21cnjy.com )如图3所示，请在BC上画一点D，使点C，D是线段AB的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画一种情形即可）；【出处：21教育名师】
（4）如图4，已知点M，N是线段 ( http: / / www.21cnjy.com )AB的勾股分割点，MN＞AM≥BN，△AMC，△MND和△NBE均为等边三角形，AE分别交CM，DM，DN于点F，G，H，若H是DN的中点，试探究S△AMF，S△BEN和S四边形MNHG的数量关系，并说明理由．【版权所有：21教育】
15．爱好思考的小茜在探究两条 ( http: / / www.21cnjy.com )直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AN⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．21教育名师原创作品
【特例探究】
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）如图1，当tan∠PAB=1，c=4 时，a= ，b= ；
如图2，当∠PAB=30°，c=2时，a= ，b= ；
（2）【归纳证明】请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．21世纪教育网版权所有
（3）【拓展证明】如图4， ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD=3 ，AB=3，求AF的长．21*cnjy*com
6.3三角形的中位线
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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学霸夯基——北师大版八年级下册
班级： 姓名：
一、单选题
1．如图，在△ABC中，AB=BC=10，BD是∠ABC的平分线，E是AB边的中点．则DE的长是（ ）
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A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【解析】解：∵在△ABC中，AB=BC=10，BD是∠ABC的平分线，
∴D是AC的中点．
∵E是AB边的中点，
∴DE=BC= ×10=5．
2．如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为（ ）
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A．1 B．2 C． D．1+
【答案】A
【解析】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC=2．
又∵点D、E分别是AC、BC的中点，
∴DE是△ACB的中位线，
∴DE= AB=1．
3．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BC、AB、AC的中点，如果△ABC的周长为20，那么△DEF的周长是（ ） 21世纪教育网版权所有
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A．20 B．15 C．10 D．5
【答案】C
【解析】∵D、E分别是△ABC的边BC、AB的中点，
∴DE= AC，同理 EF= ( http: / / www.21cnjy.com ) BC，DF= AB，∴C△DEF=DE+EF+DF= （AC+BC+AB）= ×20=10．
4．如图，在等腰梯形ABCD中，CD∥AB，点E、F分别是AD、AB的中点，且AC⊥BC，若AD=5，EF=6，则CF的长为（）
( http: / / www.21cnjy.com / )21教育网
A．6.5 B．6 C．5 D．4
【答案】A
【解析】连接BD，由点E、F分别是AD、A ( http: / / www.21cnjy.com )B的中点可知EF是△ABD的中位线，故BD=2EF=12，再由梯形ABCD是等腰梯形可知AD=BC=5，BD=AC，由AC⊥BC可知△ABC是直角三角形，由勾股定理可求出AB的长，再由F是AB的中点可知CF=AB．21cnjy.com
5．Rt△ABC两直角边的长分别为6cm和8cm，则连接这两条直角边中点的线段长为( )
A．10cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】D
【解析】解：∵Rt△ABC两直角边的长分别为6cm和8cm，
∴斜边= =10cm，
∴连接这两条直角边中点的线段长为 ×10=5cm.
二、填空题
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝4，E是AB边的中点，F是AC边的中点。则EF＝ 。21·cn·jy·com
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【答案】2
【解析】根据对称点的性质，延 ( http: / / www.21cnjy.com )长FC到P，使FC＝PC，连接EP交BC于D，连接ED、FD，此时ED＋FD最小，即△EDF的周长最小，求出EP长，即可求出答案．2·1·c·n·j·y
解答：∵E是AB边的中点，F是AC边的中点，
∴EF为△ABC的中位线，
∵BC＝4，
∴EF＝ BC＝ ×4＝2；
分析：根据对称点的性质，延长FC到 ( http: / / www.21cnjy.com )P，使FC＝PC，连接EP交BC于D，连接ED、FD，此时ED＋FD最小，即△EDF的周长最小，求出EP长，即可求出答案．21·世纪*教育网
7．已知：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD=BE=6，则AC的长等于 .
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【答案】
【解析】过D点作DF∥BE，
∵AD是△ABC的中线，AD⊥BE，
∴F为EC中点，AD⊥DF，
∵AD=BE=6，则DF=3，AF==3，
∵BE是△ABC的角平分线，AD⊥BE，
∴△ABG≌△DBG，
∴G为AD中点，
∴E为AF中点，
∴AC=AF=×3=．
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8．如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝ ( http: / / www.21cnjy.com )12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE＝2.5，那么CD的长是 www-2-1-cnjy-com
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【答案】6.5
【解析】解：∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴AC＝2DE＝5，AC∥DE，
AC2＋BC2＝52＋122＝169，
AB2＝132＝169，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∵AC∥DE，
∴∠DEB＝90°
，又∵E是BC的中点，
∴直线DE是线段BC的垂直平分线，
∴DC＝BD＝ AB＝6.5，
9．如图，在平行四边形 ( http: / / www.21cnjy.com ) 中， 、 相交于点 ，点 是 的中点.若 ，则 的长是 . 【出处：21教育名师】
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【答案】6
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴ 点O是BD的中点
∵点E是AB的中点
∴
10．如图，在△ABC中，AB=AC，M、N分别是AB、AC的中点，D、E为BC上的点，连结DN、EM.若AB=13cm，BC=10cm，DE=5cm，则图中阴影部分的面积为 cm2．
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【答案】30
【解析】连接MN，则MN是△ABC的中位线，
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因此MN=BC=5cm；
过点A作AF⊥BC于F，则AF=12cm．
∵图中阴影部分的三个三角形的底长都是5cm，且高的和为12cm；
因此S阴影=×5×12=30cm2．【来源：21·世纪·教育·网】
三、作图题
11．如图，已知△ABC，请用圆规和直尺作出△ABC的一条中位线EF（不写作法，保留作图痕迹）．
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【答案】如图所示：
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【解析】解：如图，△ABC的一条中位线EF如图所示，
方法：作线段AB的垂直平分线得到AB的中点E，作AC的垂直平分线得到线段AC的中点F．线段EF即为所求．【版权所有：21教育】
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四、综合题
12．在△ABC中，以AB为斜边，作直角△ABD，使点D落在△ABC内，∠ADB=90°．
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（1）如图1，若AB=AC，∠DBA=60°，AD=7 ，点P、M分别为BC、AB边的中点，连接PM，求线段PM的长；21教育名师原创作品
（2）如图2，若AB=AC，把△ABD绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ACE，连接ED并延长交BC于点P，求证：BP=CP；21*cnjy*com
（3）如图3，若AD=B ( http: / / www.21cnjy.com )D，过点D的直线交AC于点E，交BC于点F，EF⊥AC，且AE=EC，请直接写出线段BF、FC、AD之间的关系（不需要证明）．
【答案】（1）解：如图1中，
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∵∠ADB=90°，∠DBA=60°，AD=7 ，
∴∠BAD=30°，
∴AB=2BD，设BD=a，则AB=2a，
∵AB2=BD2+AD2，
∴（2a）2=a2+（7 ）2，
∴a=7，
∴AB=AC=14，
∵AM=MB，PB=PC，
∴PM= AC=7
（2）证明：如图2中，在ED上截取EQ=DP，连接CQ．
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∵AD=AE，
∴∠1=∠2，
∵∠ADB=∠AEC=90°，
∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，
∴∠3=∠4，
∵BD=EC，
∴△EQC≌△DPB，
∴CQ=BP，∠QCE=∠DBP，
∵∠CQP=∠3+∠QCE，∠CPQ=∠4+∠DBP，
∴∠CQP=∠CPQ，
∴CQ=PC，
∴PB=PC．
（3）解：结论：2AD2=FB2+CF2．
理由：如图3中，连接AF交BD于N，连接CD延长至H．
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∵EA=EC，EF⊥AC，
∴DA=DC，
∵∠ADB=90°，DA=DB，
∴DA=DC=DB，∴∠DBA=∠DAB=45°，AB= AD，
∴∠DAC=∠DCA，∠DBC=∠DCB，
∵∠ADH=∠DAC+∠ACD，∠BDH﹣∠DBC+∠DCB，
∴∠ADB=2∠ACD+2∠DCB=90°，
∴∠ACF=45°，
∵FA=FC，
∴∠FAC=∠FCA=45°，
∴∠AFC=90°
∵∠AND=∠BNF，∠ADN=∠BFN=90°，
∴△AND∽△BNF，
∴ ，
∴ ，∵∠ANB=∠DNF，
∴△ANB∽△DNF，
∴∠DFN=∠ABD=45°，
∵FE⊥AC，AE=EC，
∴FA=FC，∠AFE=∠CFE=45°，
∴∠AFC=∠AFB=90°，
∴AB2=BF2+AF2，
∴2AD2=BF2+CF2
【解析】（1）根据直角三角形30度 ( http: / / www.21cnjy.com )角性质求出AB，再根据三角形中位线定理即可求出PM．（2）如图2中，在ED上截取EQ=DP，连接CQ．首先证明△EQC≌△DPB，推出QC=PB，再证明QC=PC即可解决问题．（3）结论：2AD2=FB2+CF2．如图3中，连接AF交BD于N．由△AND∽△BNF，推出 ，推出 ，又∠ANB=∠DNF，推出△ANB∽△DNF，从∠DFN=∠ABD=45°，在RtABF中利用勾股定理即可证明．
13．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AB，AD的中点．
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（1）请判断△OEF的形状，并证明你的结论；
（2）若AB=13，AC=10，请求出线段EF的长．
【答案】（1）解：△OEF是等腰三角形，
理由：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AC⊥BD，
∵点E，F分别是边AB，AD的中点，
∴EO=AB，OF=AD，
∴EO=FO，
∴△OEF是等腰三角形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AC=10，
∴AO=5，∠AOB=90°，
∴BO===12，
∴BD=24，
∵点E，F分别是边AB，AD的中点，
∴EFBD，
∴EF=12．
【解析】（1）利用菱形的性质结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进而求出即可；
（2）利用勾股定理得出BO的长再利用三角形中位线定理得出EF的长．
14．定义：如图1，点M，N把线段AB分 ( http: / / www.21cnjy.com )割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．
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（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM=2，MN=3，求BN的长；
（2）如图2，在△ABC中，FG ( http: / / www.21cnjy.com )是中位线，点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC＞DE≥BD，连接AD，AE分别交FG于点M，N，求证：点M，N是线段FG的勾股分割点；
（3）已知点C是线段AB上的一定点，其位置如 ( http: / / www.21cnjy.com )图3所示，请在BC上画一点D，使点C，D是线段AB的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画一种情形即可）；
（4）如图4，已知点M，N是线段AB ( http: / / www.21cnjy.com )的勾股分割点，MN＞AM≥BN，△AMC，△MND和△NBE均为等边三角形，AE分别交CM，DM，DN于点F，G，H，若H是DN的中点，试探究S△AMF，S△BEN和S四边形MNHG的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：①当MN为最大线段时，
∵点 M、N是线段AB的勾股分割点，
∴BN===；
②当BN为最大线段时，
∵点M、N是线段AB的勾股分割点，
∴BN===，
综上所述：BN=或；
（2）
证明：∵FG是△ABC的中位线，
∴FG∥BC，
∴===1，
∴点M、N分别是AD、AE的中点，
∴BD=2FM，DE=2MN，EC=2NG，
∵点D、E是线段BC的勾股分割点，且EC＞DE≥BD，
∴EC2=BD2+DE2，
∴（2NG）2=（2FM）2+（2MN）2，
∴NG2=FM2+MN2，
∴点M、N是线段FG的勾股分割点；
（3）解：作法：①在AB上截取CE=CA；② ( http: / / www.21cnjy.com )作AE点垂直平分线，并截取CF=CA；③连接BF，并作BF的垂直平分线，交AB于D；点D即为所求；如图所示：【来源：21cnj*y.co*m】
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（4）解：S四边形MNHG=S△AMF+S△BEN，理由如下：
设AM=a，BN=b，MN=c，
∵H是DN的中点，
∴DH=HN=c，
∵△MND、△BNE均为等边三角形，
∴∠D=∠DNE=60°，
在△DGH和△NEH中，
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∴△DGH≌△NEH（ASA），
∴DG=EN=b，
∴MG=c﹣b，
∵GM∥EN，
∴△AGM∽△AEN，
∴，
∴c2=2ab﹣ac+bc，
∵点 M、N是线段AB的勾股分割点，
∴c2=a2+b2，
∴（a﹣b）2=（b﹣a）c，
又∵b﹣a≠c，
∴a=b，
在△DGH和△CAF中，
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∴△DGH≌△CAF（ASA），
∴S△DGH=S△CAF，
∵c2=a2+b2，
∴c2=a2+b2，
∴S△DMN=S△ACM+S△ENB，
∵S△DMN=S△DGH+S四边形MNHG，S△ACM=S△CAF+S△AMF，
∴S四边形MNHG=S△AMF+S△BEN．
【解析】（1）①当MN为最大线段时，由勾股定理求出BN；②当BN为最大线段时，由勾股定理求出BN即可；www.21-cn-jy.com
（2）先证出点M、N分别是AD、AE的 ( http: / / www.21cnjy.com )中点，得出BD=2FM，DE=2MN，EC=2NG，求出EC2=BD2+DE2，得出NG2=FM2+MN2，即可得出结论；2-1-c-n-j-y
（3）在AB上截取CE=CA；作AE点垂直平分线，截取CF=CA；作BF的垂直平分线，交AB于D即可；
（4）先证明△DGH≌△NE ( http: / / www.21cnjy.com )H，得出DG=EN=b，MG=c﹣b，再证明△AGM∽△AEN，得出比例式，得出c2=2ab﹣ac+bc，证出c2=a2+b2，得出a=b，证出△DGH≌△CAF，得出S△DGH=S△CAF，证出S△DMN=S△ACM+S△ENB，即可得出结论．
15．爱好思考的小茜在探究两 ( http: / / www.21cnjy.com )条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AN⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．
【特例探究】
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（1）如图1，当tan∠PAB=1，c=4 时，a= ，b= ；
如图2，当∠PAB=30°，c=2时，a= ，b= ；
（2）【归纳证明】请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．
（3）【拓展证明】如图4 ( http: / / www.21cnjy.com )， ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD=3 ，AB=3，求AF的长．
【答案】（1）4 ；4 ；；
（2）结论a2+b2=5c2．
证明：如图3中，
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连接EF．
∵AF、BE是中线，
∴EF∥AB，EF= AB，
∴△FPE∽△APB，
∴ = = ，
设FP=x，EP=y，则AP=2x，BP=2y，
∴a2=BC2=4BF2=4（FP2+BP2）=4x2+16y2，
b2=AC2=4AE2=4（PE2+AP2）=4y2+16x2，
c2=AB2=AP2+BP2=4x2+4y2，
∴a2+b2=20x2+20y2=5（4x2+4y2）=5c2．
（3）解：如图4中，
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在△AGE和△FGB中，
，
∴△AGE≌△FGB，
∴BG=FG，取AB中点H，连接FH并且延长交DA的延长线于P点，
同理可证△APH≌△BFH，
∴AP=BF，PE=CF=2BF，
即PE∥CF，PE=CF，
∴四边形CEPF是平行四边形，
∴FP∥CE，
∵BE⊥CE，
∴FP⊥BE，即FH⊥BG，
∴△ABF是中垂三角形，
由（2）可知AB2+AF2=5BF2，
∵AB=3，BF= AD= ，
∴9+AF2=5×（ ）2，
∴AF=4．
【解析】（1）解：如图1中，
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∵CE=AE，CF=BF，
∴EF∥AB，EF= AB=2 ，
∵tan∠PAB=1，
∴∠PAB=∠PBA=∠PEF=∠PFE=45°，
∴PF=PE=2，PB=PA=4，
∴AE=BF= =2 ．
∴b=AC=2AE=4 ，a=BC=4 ．
故答案为4 ，4 ．
如图2中，
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连接EF，
，∵CE=AE，CF=BF，
∴EF∥AB，EF= AB=1，
∵∠PAB=30°，
∴PB=1，PA= ，
在RT△EFP中，∵∠EFP=∠PAB=30°，
∴PE= ，PF= ，
∴AE= = ，BF= = ，
∴a=BC=2BF= ，b=AC=2AE= ，
6.3三角形的中位线
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