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第四章 因式分解
4.1 因式分解
精品教学课件
北师大版八年级下册数学教学课件
1.整式乘法有几种形式
2.乘法公式有哪些
(1)单项式乘以单项式
(2)单项式乘以多项式
(3)多项式乘以多项式
(1)平方差公式 (2)完全平方公式
复习引入
3.计算:
(1)3a(a-2b+c)
(2)(a+3)(a-3)
(3)(a+2b)2
(4)(a-3b)2
=3a2-6ab+3ac
=a2 - 9
=a2+4ab+4b2
=a2-6ab+9b2
问题：993-99能被100整除这个吗？
所以，993-99能被100整除.
想一想: 993-99还能被哪些整数整除
因式分解的概念
根据左面算式填空:
(1) 3x2-3x=_________
(2)ma+mb+mc=___________
(3) m2-16=__________
(4) x2-6x+9=________
(5) a3-a=___________
计算下列各式:
3x(x-1)= __,
m(a+b+c) = ______,
(3)(m+4)(m-4)= _____,
(4)(x-3)2= ,
(5)a(a+1)(a-1)= __,
3x2 - 3x
ma+mb+mc
m2 -16
x2-6x+9
a3-a
3x(x-1)
m(a+b+c)
(m+4)(m-4)
(x-3)2
a(a+1)(a-1)
由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算
由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与它有什么不同
答:由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是
整式乘法,由a3-a得到a(a+1)(a-1)
的变形与上面的变形互为逆过程.
分解因式定义:
把一个多项式化成几个整式积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.
做一做
根据左面算式填空:
(1) 3x2-3x=_________
(2)ma+mb+mc=___________
(3) m2-16=__________
(4) x2-6x+9=________
(5) a3-a=___________
计算下列各式:
(1) 3x(x-1)= __,
(2) m(a+b+c) = ______ ,
(3)(m+4)(m-4)= _____,
(4)(x-3)2= ,
(5)a(a+1)(a-1)= __,
3x2 - 3x
ma+mb+mc
m2 -16
x2-6x+9
a3-a
3x(x-1)
m(a+b+c)
(m+4)(m-4)
(x-3)2
a(a+1)(a-1)
想一想：由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算
由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与它有什么不同
由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法,
由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与上面的变形互为逆过程.
因式分解与整式乘法的关系
x2-1 (x+1)(x-1)
因式分解
整式乘法
x2-1 = (x+1)(x-1)
等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积
想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？
是互为相反的变形，即
例 若多项式x2+ax+b分解因式的结果为
a（x﹣2）（x+3），求a，b的值.
解：∵x2+ax+b=a（x﹣2）（x+3）
=ax2+ax-6a.
∴a=1，b=﹣6a=﹣6.
典例精析
方法归纳：对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为互逆运算是解题关键，应先把分解因式后的结果乘开，再与多项式的各项系数对应比较即可.
下列多项式中，分解因式的结果为-(x+y)(x-y)的是（ ）
A．x2﹣y2 B．﹣x2+y2
C．x2+y2 D．﹣x2﹣y2
B
练一练
1．计算下列各式：
(1)(a＋b)(a－b)＝__________；
(2)(a＋b)2＝______________；
(3)8y(y＋1)＝__________；
(4)a(x＋y＋1)＝__________．
根据上面的算式将下列多项式进行因式分解：
(5)ax＋ay＋a； (6)a2－b2；
(7)a2＋2ab＋b2; (8)8y2＋8y.
a2－b2
a2＋2ab＋b2
8y2＋8y
ax＋ay＋a
课堂练习
(5)ax＋ay＋a＝a(x＋y＋1)．
(6)a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
(7)a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2.
(8)8y2＋8y＝8y(y＋1)．
解：
2. 仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2－4x＋m有一个因式是x＋3，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为x＋n，则
x2－4x＋m＝(x＋3)(x＋n)，
即x2－4x＋m＝x2＋(n＋3)x＋3n，
∴
故另一个因式为x－7，m的值为－21.
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2＋3x－k有一个因式是2x－5，求另一个因式以及k的值．
设另一个因式为x＋a，则
2x2＋3x－k＝(2x－5)(x＋a)，
即2x2＋3x－k＝2x2＋(2a－5)x－5a，
∴
故另一个因式为x＋4，k的值为20.
解：
3. 计算: 7652×17－2352 ×17
解: 7652×17－2352 ×17
=17(7652 －2352)=17(765+235)(765 －235)
=17 ×1000 ×530=9010000
4. 20042+2004能被2005整除吗
解: ∵20042+2004=2004(2004+1)
=2004 ×2005
∴ 20042+2004能被2005整除
因式分解
定义：把一个多项式化成几个整式的_____的形式，叫做因式分解，也可称为___________.
其中，每个整式叫做这个多项式的_______.
与多项式乘法运算的关系
的变形过程.
前者是把一个多项式化为几个整式的_____，后者是把几个整式的______化为一个_________.
积
分解因式
因式
相反
多项式
乘积
乘积
课堂小结
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4.1 因式分解
一、单选题
1．下列等式从左到右的变形是因式分解的是( )
A．﹣6a3b2＝2a2b (﹣3ab2) B．9a2﹣4b2＝(3a+2b)(3a﹣2b)
C．ma﹣mb+c＝m(a﹣b)+c D．(a+b)2＝a2+2ab+b2
2．对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解 B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
3．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
4．一次课堂练习，一位同学做了4道因式分解题，你认为这位同学做得不够完整的题是（ ）
A． B．
C． D．
5．多项式，则，的值为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．下列式子变形是因式分解且正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．下列变形中正确的因式分解有（ ）个．
① ②
③ ④
A．1 B．2 C．3 D．4
8．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
9．下列式子中，从左到右的变形为多项式因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
10．若关于的多项式含有因式，则实数的值为（ ）
A． B．5 C． D．1
11．小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x﹣1，a﹣b，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：中，爱，我，数，学，五，现将3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱学 B．爱五中 C．我爱五中 D．五中数学
12．已知，且、、互不相等，对（ ）．
A．0 B．1 C．2016 D．2017
二、填空题
13．下列各式从左到右是因式分解的是_______．
①； ②；
③； ④；
⑤； ⑥．
14．下列由左边到右边的变形，是因式分解的有_______ （填序号）
①a（x＋y）＝ax＋ay；
②10x2－5x＝5x（2x－1）；
③y2－4y＋4＝（y－2）2；
④t2－16＋3t＝（t－4）（t＋4）＋3t．
15．若多项式x2+ax+b可分解为(x+1)(x-2)，那么 a-b=__________．
16．多项式kx2－9xy－10y2可分解因式得(mx＋2y)(3x－5y)，则k=_______，m=________．
17．若, , 则__________，__________.
18．在当今“互联网+”的时代，有一种用“因式分解法”生成密码的方法，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：因式分解的结果是，当取时，各个因式的值是：，，于是就可以把“182021”作为一个六位数的密码．类似地，对于多项式，当取时，得到密码596769，则______，________．
三、解答题
19．下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？
（1）；（2）
（3）；（4）．
20．下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？为什么？
（1）；（2）；
（3）；（4）．
21．下列各式的变形中，是否是因式分解，为什么？
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
22．若2x2+mx﹣1能分解为（2x+1）（x﹣1），求m的值．
23．如果一个正整数能写成的形式（其中a，b均为自然数），则称之为婆罗摩笈多数，比如7和31均是婆罗摩笈多数，因为7＝22＋3×12，31＝22＋3×32．
（1）请证明：28和217都是婆罗摩笈多数．
（2）请证明：任何两个婆罗摩笈多数的乘积依旧是婆罗摩笈多数．
24．探究应用：（1）计算：（a-2）（a2+2a+4）=______．（2x-y）（4x2+2xy+y2）=______．
（2）上面的乘法计算结果很简洁，聪明的你又可以发现一个新的乘法公式，可以用含a，b的字母表示为______．
（3）下列各式能用你发现的乘法公式计算的是（ ）
A、（a-3）（a2-3a+9） B、（2m-n）（2m2+2mn+n2）
C、（4-x）（16+4x+x2） D、（m-n）（m2+2mn+n2）
（4）根据你的理解，尝试分解因式：
25．仔细阅读下面例题：
例题：已知二次三项式有一个因式是x＋2，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式px＋n，得＝（x＋2）（px＋n），
对比等式左右两边x的二次项系数，可知p＝1，于是＝（x＋2）（x＋n）．
则＝＋（n＋2）x＋2n，
∴n＋2＝5，m＝2n，
解得n＝3，m＝6，
∴另一个因式为x＋3，m的值为6
依照以上方法解答下面问题：
（1）若二次三项式﹣7x＋12可分解为（x﹣3）（x＋a），则a＝ ；
（2）若二次三项式2＋bx﹣6可分解为（2x＋3）（x﹣2），则b＝ ；
（3）已知代数式2＋＋kx﹣3有一个因式是2x﹣1，求另一个因式以及k的值．
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4.1 因式分解
一、单选题
1．下列等式从左到右的变形是因式分解的是( )
A．﹣6a3b2＝2a2b (﹣3ab2) B．9a2﹣4b2＝(3a+2b)(3a﹣2b)
C．ma﹣mb+c＝m(a﹣b)+c D．(a+b)2＝a2+2ab+b2
【答案】B
【分析】
直接利用因式分解的意义分析得出答案．
【解析】
解：A、﹣6a3b2＝2a2b (﹣3ab2)，不符合因式分解的定义；
B、9a2﹣4b2＝(3a+2b)(3a﹣2b)，是因式分解，符合题意；
C、ma﹣mb+c＝m(a﹣b)+c，不符合因式分解的定义；
D、(a+b)2＝a2+2ab+b2，是整式乘法，不合题意．
故选B．
【点睛】
此题主要考查了因式分解，正确把握因式分解的定义是解题关键．
2．对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解 B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
【答案】D
【分析】
根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式积的形式，叫因式分解，也叫分解因式判断即可．将多项式×多项式变得多项式，是乘法运算．
【解析】
解：①，从左到右的变形是整式的乘法；②，从左到右的变形是因式分解；
所以①是乘法运算，②因式分解．
故选：D．
【点睛】
此题考查了因式分解与乘法运算的定义的认识，解题的关键是掌握因式分解及乘法运算的定义．
3．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式判断，利用排除法求解即可得出答案．
【解析】
根据因式分解的定义，容易看出答案A、B最后都不是乘积的形式，故这两个答案错误，D分解后不是整式乘积，故D错误，C是因式分解，故C选项正确，
故选：C．
【点睛】
本题考查了因式分解的定义，掌握因式分解的定义是解题的关键．
4．一次课堂练习，一位同学做了4道因式分解题，你认为这位同学做得不够完整的题是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
利用完全平方公式和平方差公式可对A、C两项进行判断；利用提公因式法可对B进行判断，利用提公因式法和平方差公式可对D项进行判断.
【解析】
因为x2-2xy+y2=(x-y)2，所以选项A分解正确；
因为x2y-xy2=xy(x-y)，所以选项B分解正确；
因为x2-y2=(x-y)(x+y)，所以选项C分解正确；
因为x3-x=x(x2-1)=x(x+1)(x-1)，所以选项D分解不彻底.
故选:D.
【点睛】
本题是一道关于因式分解的题目，关键是掌握因式分解的常用方法；
5．多项式，则，的值为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】
根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，把展开，比较系数相等即可求出，的值．
【解析】
解：
∴-8=-(n+9)，m=9n，
解得：，．
故选：C．
【点睛】
此题考查了因式分解与整式的乘法的关系，解题的关键是熟练掌握因式分解与整式的乘法互为逆运算．
6．下列式子变形是因式分解且正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据因式分解是将一个多项式分解成几个因式相乘的形式，逐一判断即可求解.
【解析】
A. ，A选项错误；
B. ，B选项正确；
C. ，不符合因式分解要求，C选项错误；
D. ，不符合因式分解要求，D选项错误.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了因式分解的相关内容，熟练掌握分解因式的相关要求是解决本题的关键.
7．下列变形中正确的因式分解有（ ）个．
① ②
③ ④
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】
根据因式分解的定义去判断即可．
【解析】
根据因式分解的定义可知：
①是将一个多项式化成几个整式的积的形式，属于因式分解；
②是整式的乘法，不是因式分解；
③不是将一个多项式化成几个整式的积的形式，不属于因式分解；
④不能进行因式分解，则④中的变形不属于因式分解；
所以是因式分解的是①．
故选A．
【点睛】
本题考查了因式分解的定义即把一个多项式在一个范围（如实数范围内分解，即所有项均为实数）化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式，准确理解定义是解题的关键．
8．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
将多项式写成几个整式的积的形式，叫做将多项式分解因式，也叫因式分解，根据定义解答．
【解析】
解：A、不是因式分解；
B、不是因式分解；
C、是因式分解；
D、不是因式分解；
故选：C．
【点睛】
此题考查因式分解，掌握因式分解的定义及因式分解的方法是解题的关键．
9．下列式子中，从左到右的变形为多项式因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据因式分解的定义，从表现形式，恒等性两个方面去判断即可.
【解析】
∵是多项式，
且，符合因式分解的定义，
∴选项A正确；
∵是因式的积，不是多项式，不符合因式分解的定义，
∴选项B错误；
∵是多项式，
但不是恒等变形，不符合因式分解的定义，
∴选项C错误；
∵是因式的积，不是多项式，不符合因式分解的定义，
∴选项D错误；
故选A.
【点睛】
本题考查了因式分解，解答时，严格按照因式分解的定义去解答是解题的关键.
10．若关于的多项式含有因式，则实数的值为（ ）
A． B．5 C． D．1
【答案】C
【分析】
设，然后利用多项式乘多项式法则计算，合并后根据多项式相等的条件即可求出p的值．
【解析】
解：根据题意设，
∴-p=-a-2，2a=-6，
解得：a=-3，p=-1．
故选：C．
【点睛】
此题考查了因式分解的意义，熟练掌握并灵活运用是解题的关键.
11．小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x﹣1，a﹣b，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：中，爱，我，数，学，五，现将3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱学 B．爱五中 C．我爱五中 D．五中数学
【答案】C
【分析】
先运用提公因式法,再运用公式法进行因式分解即可．
【解析】
∵3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）=3（x2﹣1）（a-b）=3（x+1）（x-1）（a-b），
∴结果呈现的密码信息可能是：我爱五中．
故选：C．
【点睛】
考核知识点:因式分解.掌握提公因式法和套用平方差公式是关键．
12．已知，且、、互不相等，对（ ）．
A．0 B．1 C．2016 D．2017
【答案】B
【分析】
先对已知条件进行因式分解，得到，然后再将2016看成是2017-1，即看成代入即可求解.
【解析】
解：∵
∴
整理得到：，
即：……①
又∵互不相等
∴①式中只能是
∴
.
故答案为：B
【点睛】
本题考查了因式分解的基本方法，解决此题的关键是能将2016看成2017减1，然后再进行因式分解即可.
二、填空题
13．下列各式从左到右是因式分解的是_______．
①； ②；
③； ④；
⑤； ⑥．
【答案】③④⑥
【分析】
根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，判断求解．
【解析】
解：①是整式的乘法，不是因式分解，故不符合题意；
②右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故不符合题意；
③是因式分解，故符合题意；
④是因式分解，故符合题意；
⑤等号不成立，不是因式分解，故不符合题意；
⑥是因式分解，故符合题意；
故答案为：③④⑥．
【点睛】
此题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
14．下列由左边到右边的变形，是因式分解的有_______ （填序号）
①a（x＋y）＝ax＋ay；
②10x2－5x＝5x（2x－1）；
③y2－4y＋4＝（y－2）2；
④t2－16＋3t＝（t－4）（t＋4）＋3t．
【答案】②③．
【分析】
根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解析】
解：①a（x+y）=ax+ay，等式从左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故不符合题意；
②10x2-5x=5x（2x-1），等式从左边到右边的变形属于因式分解，符合题意；
③y2-4y+4=（y-2）2，等式从左边到右边的变形属于因式分解，符合题意；
④t2-16+3t=（t-4）（t+4）+3t，等式从左边到右边的变形不属于因式分解，故不符合题意；
即等式从左边到右边的变形，属于因式分解的有②③，
故答案为：②③．
【点睛】
本题考查了因式分解的定义，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
15．若多项式x2+ax+b可分解为(x+1)(x-2)，那么 a-b=__________．
【答案】1
【分析】
先计算出（x+1）（x-2），再与x2+ax+b进行比较，从而得到a、b的值．
【解析】
∵多项式x2+ax+b可分解为(x+1)(x-2)，而(x+1)(x-2)＝x2-x-2，
∴a=-1，b=-2，
∴a-b=1，
故答案是：1.
【点睛】
考查了因式分解以及多项式乘多项式，解题关键是运用（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab进行计算.
16．多项式kx2－9xy－10y2可分解因式得(mx＋2y)(3x－5y)，则k=_______，m=________．
【答案】 k=9 m=3
【分析】
直接利用多项式乘法将原式化简，进而得出关于m，k的等式求出答案即可．
【解析】
解：∵kx2-9xy-10y2=（mx+2y）（3x-5y），
∴kx2-9xy-10y2=3mx2-5mxy+6xy-10y2=3mx2-（5mxy-6xy）-10y2，
∴
解得：
故答案为：9，3．
【点睛】
此题主要考查了十字相乘法的应用，正确利用多项式乘法是解题关键．
17．若, , 则__________，__________.
【答案】 6 1
【分析】
化解求值，把需要求的式子化成已知式子的形式，代入值即可.
【解析】
；
【点睛】
因式分解首先考虑的一定是提取公因式.
18．在当今“互联网+”的时代，有一种用“因式分解法”生成密码的方法，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：因式分解的结果是，当取时，各个因式的值是：，，于是就可以把“182021”作为一个六位数的密码．类似地，对于多项式，当取时，得到密码596769，则______，________．
【答案】
【分析】
根据题意可得出因式分解的结果，再展开与原式相等即可得到所求的值．
【解析】
∵当时，密码为596769，且的系数是1
∴
∴
即
【点睛】
此题考查因式分解，找到因式分解的结果是关键，主要是在于对题意的理解，难度一般．
三、解答题
19．下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？
（1）；（2）
（3）；（4）．
【答案】（1）不是因式分解，是整式乘法；
（2）是因式分解；
（3）是因式分解；
（4）不是因式分解，因为最后结果不是几个整式的积的形式．
【分析】
分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定．
【解析】
解：（1）a（x+y）＝ax+ay 是整式的乘法，故不是因式分解；
（2）10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）把一个多项式化为几个整式的积的形式，故是因式分解；
（3）y2﹣4y+4＝（y﹣2）2 把一个多项式化为几个整式的积的形式，故是因式分解；
（4）t2﹣16+3t＝（t+4）（t﹣4）+3t没有把一个多项式化为几个整式的积的形式，故不是因式分解．
【点睛】
本题考查了因式分解的意义．解决这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断；同时还要注意变形是否正确．
20．下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？为什么？
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【答案】（1）从左到右不是因式分解，是整式乘法；（2）是因式分解；（3）不是因式分解，因为最后结果不是几个整式的积的形式；（4）是因式分解．
【分析】
根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式积的形式叫做因式分解，也叫分解因式，逐一判断即可．
【解析】
解：（1），从左到右不是因式分解，是整式乘法；
（2），是因式分解；
（3），不是因式分解，因为最后结果不是几个整式的积的形式；
（4），是因式分解．
【点睛】
本题考查了多项式的因式分解，属于基础概念题型，熟知因式分解的定义是关键．
21．下列各式的变形中，是否是因式分解，为什么？
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
【答案】（1）不是因式分解，理由见解析；（2）不是因式分解，理由见解析；（3）不是因式分解，理由见解析；（4）是因式分解，理由见解析；（5）不是因式分解，理由见解析．
【分析】
（1）根据等式右边不符合因式分解的定义即可得；
（2）根据等式右边不符合因式分解的定义即可得；
（3）根据等式左边不符合因式分解的定义即可得；
（4）根据因式分解的定义即可得；
（5）根据等式右边不符合因式分解的定义即可得．
【解析】
因式分解的定义：将一个多项式化为几个整式的积的形式，称为因式分解
（1）不是因式分解，因为是和的形式；
（2）不是因式分解，因为是和的形式；
（3）不是因式分解，因为是单项式；
（4）是因式分解，因为多项式分解成两个整式与的积的形式，符合因式分解的定义；
（5）不是因式分解，因为中的不是整式．
【点睛】
本题考查了因式分解的定义，熟记定义是解题关键．
22．若2x2+mx﹣1能分解为（2x+1）（x﹣1），求m的值．
【答案】m=﹣1
【分析】
先把分解的结果利用多项式乘以多项式法则得到的结果为：，利用多项式相等的条件即可求出m的值．
【解析】
解：∵，
∴，
则：．
【点睛】
题目主要考查因式分解的定义、多项式与多项式相乘及多项式相等的条件，读懂题意及准确掌握多项式相等的条件是解题关键．
23．如果一个正整数能写成的形式（其中a，b均为自然数），则称之为婆罗摩笈多数，比如7和31均是婆罗摩笈多数，因为7＝22＋3×12，31＝22＋3×32．
（1）请证明：28和217都是婆罗摩笈多数．
（2）请证明：任何两个婆罗摩笈多数的乘积依旧是婆罗摩笈多数．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据一个正整数能写成a2+3b2的形式，则称之为婆罗摩笈多数，将28和217都写成a2+3b2的形式即可证明；
（2）设一个婆罗摩笈多数为x＝a2+3b2，另一个婆罗摩笈多数为y＝c2+3d2，所以xy＝（a2+3b2） （c2+3d2），然后根据乘法公式化简，最后分解因式即可．
【解析】
证明：（1）∵28＝12+3×32＝28，
217＝132+3×42＝217，
∴28和217都是婆罗摩笈多数．
（2）设一个婆罗摩笈多数为x＝a2+3b2，另一个婆罗摩笈多数为y＝c2+3d2，
xy＝（a2+3b2） （c2+3d2）
＝a2c2+3a2d2+3b2c2+9b2d2
＝（ac）2+（3bd）2+6abcd﹣6abcd+3a2d2+3b2c2
＝（ac+3bd）2+3（ad﹣bc）2
因此，任何两个婆罗摩笈多数的乘积依旧是婆罗摩笈多数．
【点睛】
本题考查整式乘法运算以及分解因式，正确运用整式乘法运算律、熟练掌握提取公因式分解因式和公式法分解因式是解题的关键．
24．探究应用：（1）计算：（a-2）（a2+2a+4）=______．（2x-y）（4x2+2xy+y2）=______．
（2）上面的乘法计算结果很简洁，聪明的你又可以发现一个新的乘法公式，可以用含a，b的字母表示为______．
（3）下列各式能用你发现的乘法公式计算的是（ ）
A、（a-3）（a2-3a+9） B、（2m-n）（2m2+2mn+n2）
C、（4-x）（16+4x+x2） D、（m-n）（m2+2mn+n2）
（4）根据你的理解，尝试分解因式：
【答案】（1）；（2）；（3）C；（4）.
【分析】
（1）根据多项式与多项式相乘的法则计算，合并同类项即可求解；
（2）根据上面两题即可得出公式；
（3）根据归纳的公式的特点即可进行判断；
（4）直接利用公式计算即可．
【解析】
解：（1）（a-2）（a2+2a+4）=a3+2a2+4a-2a2-4a-8=a3-8，
（2x-y）（4x2+2xy+y2）=8x3+4x2y+2xy2-4x2y-2xy2-y3=8x3-y3；
（2）（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3；
（3）能用发现的乘法公式计算的是C；
（4） =．
故答案为（1）a3-8；8x3-y3；（2）（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3；（3）C；（4）．
【点睛】
本题考查多项式乘多项式，分解因式，解题的关键是运用多项式乘多项式的法则正确求出（1）中的两个式子．
25．仔细阅读下面例题：
例题：已知二次三项式有一个因式是x＋2，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式px＋n，得＝（x＋2）（px＋n），
对比等式左右两边x的二次项系数，可知p＝1，于是＝（x＋2）（x＋n）．
则＝＋（n＋2）x＋2n，
∴n＋2＝5，m＝2n，
解得n＝3，m＝6，
∴另一个因式为x＋3，m的值为6
依照以上方法解答下面问题：
（1）若二次三项式﹣7x＋12可分解为（x﹣3）（x＋a），则a＝ ；
（2）若二次三项式2＋bx﹣6可分解为（2x＋3）（x﹣2），则b＝ ；
（3）已知代数式2＋＋kx﹣3有一个因式是2x﹣1，求另一个因式以及k的值．
【答案】（1）-4；（2）-1；（3）另一个因式为＋x＋3，k的值为5．
【分析】
（1）仿照题干中给出的方法计算即可；
（2）仿照题干中给出的方法计算即可；
（3）设出另一个因式为（），对比两边三次项系数可得a＝1，再参照题干给出的方法计算即可．
【解析】
解：（1）∵
＝
＝．
∴a﹣3＝﹣7，﹣3a＝12，
解得：a＝﹣4.
（2）∵
＝．
＝．
∴b＝﹣1．
（3）设另一个因式为（），得．
对比左右两边三次项系数可得：a＝1．
于是．
则．
∴﹣c＝﹣3，2b﹣1＝1，2c﹣b＝k．
解得：c＝3，b＝1，k＝5．
故另一个因式为，k的值为5．
【点睛】
本题以阅读材料给出的方法为背景考查了因式分解、整式乘法、合并同类项等知识，熟练掌握以上知识是解题关键．
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