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第四章 因式分解
4.2 提公因式法
精品教学课件
北师大版八年级下册数学教学课件
学校打算把操场重新规划一下，分为绿化带、运动场、主席台三个部分，如下图，计算操场总面积．
a
b
c
m
情景引入
a
b
c
m
方法一：S = m ( a + b + c )
方法二：S = ma + mb + mc
m
m
方法一：S = m ( a + b + c )
方法二：S = ma + mb + mc
m ( a + b + c ) = ma + mb + mc
下面两个式子中哪个是因式分解？
在式子ma + mb + mc中，m是这个多项式中每一个项都含有的因式，叫做 ．
公因式
ma + mb + mc = m ( a + b + c )
一、公因式
如何准确地找到多项式的公因式呢？
一、找系数 所有项的系数的最大公因数；
二、看字母 应提取每一项都有的相同字母，；
三、定指数 取相同字母的最低指数．
多项式 公因式 最大公因式 系数 字母
例.指出下列各多项式中各项的公因式：
(1)
(2)
(3)
提公因式法
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
( a+b+c )
pa+ pb +pc
p
=
概念学习
二、提公因式法
8a3b2 + 12ab3c；
例 分解因式：
分析：提公因式法步骤（分两步）
第一步:找出公因式；第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积.
解：8a3b2 + 12ab3c
=4ab2 ·2a2+4ab2 ·3bc
=4ab2(2a2+3bc)；
如果提出公因式4ab,另一个因式是否还有公式？
另一个因式将是2a2b+3b2c,
它还有公因式是b.
思考：以下是三名同学对多项式2x2+4x分解因式的结果：
（1）2x2+4x = 2(x2+2x)；
（2）2x2+4x = x(2x+4)；
（3） 2x2+4x = 2x(x+2).
第几位同学的结果是正确的？
用提公因式法分解因式应注意哪些问题呢？
做乘法运算来检验易得第3位同学的结果是正确的.
因式分解：12x2y+18xy2.
解：原式 =3xy(4x + 6y).
错误
公因式没有提尽，还可以提出公因式2
注意：公因式要提尽.
正确解：原式=6xy(2x+3y).
问题1：小明的解法有误吗？
易错分析
当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1.
错误
注意：某项提出莫漏1.
解：原式 =x(3x-6y).
因式分解：3x2 - 6xy+x.
正确解：原式=3x·x-6y·x+1·x
=x(3x-6y+1)
问题2：小亮的解法有误吗？
提出负号时括号里的项没变号
错误
因式分解： - x2+xy-xz.
解：原式= - x(x+y-z).
注意：首项有负常提负.
正确解：原式= - (x2-xy+xz)
=- x(x-y+z)
问题3：小华的解法有误吗？
例：把下列各式分解因式：
多项式 原来几项，提完公因式后还是几项.
若多项式中其中一项与公因式相同，提取公因式后余下的是1而不是0 ．
若多项式的首项是负的，应先提取“-”号使括号内的多项式首项为正． ．
提公因式法分解因式的技巧:
各项有公先提公,
首项有负常提负,
某项提出莫漏一,
括号里面分到底.
例 把下列各式分解因式
（1）a(x-3)+2b(x-3)
（2）
解:（1） a(x-3)+2b(x-3)
=(x-3)(a+2b)
=y(x+1)(1+xy+y)
(2)
典例精析
三、公因式为多项式的提公因式法
归纳总结
1.公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.
2.整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.
练一练：
1. x(a+b)+y(a+b)
2. 3a(x－y)－(x－y)
3. 6(p+q)2－12(q+p)
=(a+b)(x+y)
=(x－y)(3a－1)
=6(p+q)(p+q-2)
解：ab2+a2b-a-b
=ab(b+a)-(a+b)
=(a+b)(ab-1)
=5×(4-1)
=15
已知a+b=5，ab=4，
求ab2+a2b-a-b的值.
拓展提升
1.请在下列各式等号右边填入“+”或“-”号,使等式成立.
(1) 2-a= (a-2)
(2) y-x= (x-y)
(3) b+a= (a+b)
-
(6)-m-n= (m+n)
(5) –s2+t2= (s2-t2)
(4) (b-a)2= (a-b)2
(7) (b-a)3= (a-b)3
-
+
+
-
-
-
练一练
3.因式分解：(x-y)2+y(y-x).
解法1：(x-y)2+y(y-x)
=（x-y)2-y(x-y)
=(x-y)(x-y-y)
=(x-y)(x-2y).
解法2：(x-y)2+y(y-x)
=（y-x)2+y(y-x)
=(y-x)(y-x+y)
=(y-x)(2y-x).
2.因式分解：p(a2 + b2 )- q(a2 + b2 ).
解：p(a2 + b2 )- q(a2 + b2 )=(a2+b2)(p-q).
D
2、分解-4x3+8x2+16x的结果是（ ）
（A）-x（4x2-8x+16） （B）x（-4x2+8x-16）
（C）4（-x3+2x2-4x） （D）-4x（x2-2x-4）
1、多项式-6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式是（ ）
（A）-6ab2c （B）-ab2 （C）-6ab2 （D）-6a3b2C
C
4、下列用提公因式法分解因式正确的是（ ）
（A）12abc-9a2b2=3abc（4-3ab）
（B）3x2y-3xy+6y=3y（x2-x+2y）
（C）-a2+ab-ac=-a（a-b+c）
（D）x2y+5xy-y=y（x2+5x）
3、若多项式-6ab+18abx+24aby的一个因式是-6ab， 那么另一 个因式是（ ）
（A）-1-3x+4y （B）1+3x-4y
（C）-1-3x-4y （D）1-3x-4y
D
C
5、 计算（﹣3）m+2×（﹣3）m﹣1，得（ ）
A．3m﹣1 B．（﹣3）m﹣1
C．﹣（﹣3）m﹣1 D．（﹣3）m
C
1、确定公因式的方法：
一看系数 二看字母 三看指数
2、提公因式法分解因式步骤(分两步)：
第一步，确定公因式；第二步，求出另一个因式
第三步, 写成积的形式
3、用提公因式法分解因式应注意的问题：
（1）公因式要提尽；
（2）小心漏掉1
（3）多项式的首项取正号
课堂小结
把下列各式分解因式:
(1)
(2)
(5)
(6)
课后练习
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4.2 提公因式法
一、单选题
1．用提公因式法分解因式，下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
先确定公因式，再用原多项式除以公因式，可得另外一个因式，进而即可分解因式．
【解析】
解：A. ，故该选项错误；
B. ，故该选项错误；
C. ，故该选项错误；
D. ，故该选项正确，
故选D．
【点睛】
本题主要考查分解因式，掌握提取公因式法分解因式，是解题的关键．
2．如果多项式mx+A可分解为m（x﹣y），则A为（ ）
A．m B．﹣my C．﹣y D．my
【答案】B
【分析】
直接去括号，进而得出A代表的式子即可．
【解析】
解：多项式mx+A可分解为m（x﹣y），
mx+A＝m（x﹣y）＝mx﹣my．
A＝﹣my．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了单项式乘以多项式，提公因式法因式分解．正确去括号是解题关键．
3．把进行因式分解，提取的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
根据题意，公因式为：．
4．下列因式分解：①；②；③．其中结果正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】
根据因式分解的方法，提取公因式法进行因式分解，对照选项逐一验证即可．
【解析】
根据题意知，①，因式分解错误；
②，因式分解正确；
③，因式分解错误，
正确的结果有②，
故选：B．
【点睛】
本题考查了提取公因式法分解因式，掌握提公因式法分解因式是解题的关键．
5．把多项式分解因式，结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据提公因式法：提取﹣3xn，可得答案．
【解析】
原式=﹣3xn（xn+2），故A正确．
故选：A．
【点睛】
本题考查了提公因式法分解因式．掌握提公因式法分解因式是解答本题的关键．
6．多项式提取公因式后，剩下的因式应是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
通过观察知公因式为，提取后得即可判断.
【解析】
解：
=
=
∴此多项式的公因式为，提取公因式后，剩下的因式是.
故选B
【点睛】
本题考查公因式的定义，掌握找公因式的要点是解答此题的关键，即公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；字母取各项都含有的相同字母，相同字母的指数取次数最低的.另外题中第二项为公因式，故提取后不可漏掉1也是解答此题的关键之处.
7．因式分解6abc－4a2b2c2＋2ac2时应提取的公因式是( )．
A．abc B．2a C．2c D．2ac
【答案】D
【分析】
数字因式的公因式为2，字母因式的公因式取各项均有的字母，且该字母的指数要取各项最低.
【解析】
解：该多项式中，三个单项式的数字公因式为2，字母公因式为ac，则应提取的公因式是2ac，
故选择D.
【点睛】
本题考查了提公因式时公因式的确定.
8．(－8)2020＋(－8)2019能被下列哪个数整除( )
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】C
【分析】
根据乘方的性质，提取公因式（-8）2019，整理即可得到是7的倍数，所以能被7整除．
【解析】
( 8)2020+( 8)2019=( 8)( 8)2019+( 8)2019=( 8+1)( 8)2019= 7×( 8)2019=7×82019.
所以能被7整除.
故答案选：C.
【点睛】
本题考查的知识点是因式分解的应用，解题的关键是熟练的掌握因式分解的应用.
9．若，，则之值为何？（ ）.
A．101 B．－101 C．808 D．－808
【答案】D
【分析】
先提取公因式101，然后利用数的拆分进行简便计算，从而求解.
【解析】
=
=
=
=
=
=
【点睛】
本题考查提取公因式进行简便计算，准确进行数的拆分使计算简便是解题关键.
10．与相同的式子是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：首先对题目中的式子利用提取公因式法进行因式分解，然后再判断．
原式=（3x+2）（－3+4）+（x＋1）（3﹣4）=－（3－4）（2x+1）
考点：因式分解
二、填空题
11．分解因式：
（1）________；
（2）________；
（3）________；
（4）________；
（5）________；
（6）________．
【答案】
【分析】
（1）提取公因式即可得到答案；
（2）提取公因式即可得到答案；
（3）提取公因式即可得到答案；
（4）提取公因式即可得到答案；
（5）提取公因式即可得到答案；
（6）提取公因式即可得到答案．
【解析】
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
故答案为：；；；；；．
【点睛】
本题主要考查了分解因式，解题的关键在于能够熟练掌握分解因式的方法．
12．如果，，则________，________．
【答案】 -15 31
【分析】
将第一个代数式因式分解，结合已知条件即可求得，第二个代数式的值可以通过完全平方公式变形求得．
【解析】
，，
；
．
故答案为：-15，31．
【点睛】
本题考查了因式分解，完全平方公式的计算，掌握以上计算方法是解题的关键．
13．________．
【答案】
【分析】
提取公因式法分解因式，寻找相同的公因式即可．
【解析】
原式= = ．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了提公因式法分解因式，熟练掌握寻找公因式的方法是解题的关键．
14．多项式x2﹣9，x2+6x+9的公因式是_____．
【答案】x＋3
【分析】
分别将多项式ax2-4a与多项式x2-4x+4进行因式分解，再寻找他们的公因式．
【解析】
解：∵x2-9=（x-3）(x+3)，
x2+6x+9=（x+3）2，
∴多项式x2-9与多项式x2+6x+9的公因式是x+3．
故答案为：x+3
15．把多项式-16x3+40x2y提出一个公因式-8x2后，另一个因式是______ ．
【答案】2x-5y ；
【解析】
解：﹣16x3+40x2y
=﹣8x2 2x+（﹣8x2） （﹣5y）
=﹣8x2（2x﹣5y），
所以另一个因式为2x﹣5y．
故答案为2x﹣5y
点睛：本题考查了提公因式法分解因式，把多项式的各项写成公因式与另一个因式相乘的形式是解题的关键．
16．分解因式： ＝______
【答案】
【分析】
直接运用提公因式法分解即可．
【解析】
解：．
故答案为：．
【点睛】
此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的基本方法是解题的关键．
17．因式分解：（x+2）x﹣x﹣2=_____．
【答案】（x+2）（x﹣1）
【解析】
【分析】通过提取公因式（x+2）进行因式分解即可．
【解析】（x+2）x﹣x﹣2
=（x+2）x-(x+2)
=（x+2）（x﹣1），
故答案为（x+2）（x﹣1）．
【点睛】考查了因式分解﹣提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
18．4x(m－n)＋8y(n－m)2中各项的公因式是________.
【答案】4(m－n)
【解析】
根据题意，先变形为4x(m－n)＋8y(m－n)2，把m-n看做一个整体，即可找到公因式4（m-n）.
故答案为4（m-n）.
点睛：此题主要考查了提公因式法因式分解，根据公因式的特点，利用整体法确定公因式即可，关键是要把n-m与m-n变形为统一的式子.
19．把多项式(x－2)2－4x＋8分解因式，哪一步开始出现了错误____
解：原式＝(x－2)2－(4x－8)…A
＝(x－2)2－4(x－2)…B
＝(x－2)(x－2＋4)…C
＝(x－2)(x＋2)…D
【答案】C
【解析】
根据题意，第一步应是添括号（注意符号变化），解法正确，第二步先对后面因式提公因式4，再提取公因式（x-2）这时出现符号错误，所以从C步出现错误.
故选C.
20．化简：a+1+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）99=________．
【答案】（a+1）100．
【分析】
原式提取公因式，计算即可得到结果．
【解析】
原式=（a+1）[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）98]，
=（a+1）2[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）97]，
=（a+1）3[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）96]，
=…，
=（a+1）100．
故答案是：（a+1）100．
【点睛】
考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
三、解答题
21．分解因式
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】
（1）直接利用提取公因式法，提取公因式，进而分解因式得出答案；
（2）直接利用提取公因式法，提取公因式，进而分解因式得出答案；
（3）直接利用提取公因式法，提取公因式，进而分解因式得出答案；
（4）直接利用提取公因式法，提取公因式，进而分解因式得出答案．
【解析】
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【点睛】
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
22．运用提公因式法分解因式：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）利用提公因式法分解即可；
（2）把看作一个整体利用提公因式法分解．
【解析】
解：（1）．
（2）．
【点睛】
本题考查了多项式的因式分解，属于基本题型，正确提取公因式是解题的关键．
23．把下列各式因式分解：
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）；
（7）；（8）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．
【分析】
找公因式－－－取各项系数的最大公约数；取各项相同字母的最低次数；取相同多项式的最低次数，进而提取公因式进行分解．
【解析】
解：（1）原式＝；
（2）原式＝；
（3）原式＝；
（4）原式＝；
（5）原式＝；
（6）原式＝；
（7）原式＝；
（8）原式＝．
【点睛】
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
24．分解因式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）.
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)
【分析】
（1）直接提取公因式5xy，计算即可；（2）直接提取公因式-7x2y2，计算即可；（3）将原多项式变形为4a(x-y)+2b(x-y)，提取公因式2(x-y)，计算即可；（4）将原多项式变形为m2(a-2)+m(a-2)，提取公因式m(a-2)，计算即可；（5）直接提取公因式-4ab4，计算即可；（6）直接提取公因式a+b后，化每个因式为最简即可；（7）直接提取公因式x+y后，化每个因式为最简即可；（8）直接提取公因式x+1后，化每个因式为最简即可.
【解析】
解：（1）
=
=；
（2）
=
=；
（3）
=
=
=；
（4）
=
=
=；
（5）
=
=；
（6）
=
=；
（7）
=
=；
（8）.
=
=.
【点睛】
本题考查提公因式法因式分解，确定公因式是解答此题的关键，确定公因式的方法为公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；字母取各项都含有的相同字母，相同字母的指数取次数最低的.
25．先分解因式，再求值：，其中．
【答案】，48
【分析】
先将原式变形，再提取公因式，整理即可．
【解析】
解：
；
当时，原式
．
【点睛】
本题考查了提取公因式法分解因式及代入求值，正确确定公因式是解题关键．
26．（1）利用因式分解进行计算：
，其中；
（2）求的值，其中；
（3）已知，求多项式的值．
【答案】（1）2512；（2）；（3）．
【分析】
（1）提取公因式m后，再把数值代入计算即可；
（2）提取公因式z后，再把数值代入计算即可；
（3）提取公因式后ab，再代入计算即可；
【解析】
（1）；
（2）；
（3）．
【点睛】
本题考查了提公因式的应用，先提后计算．
27．观察等式，回答问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2＝（1+x）[1+x+x（x+1）]
＝（1+x）2（1+x）
＝（1+x）3
（1）上述分解因式的方法是 ，共应用了 次；
（2）若分解因式1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2015，则需应用上述方法 次，结果是 ；
（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n．
【答案】（1）提取公因式法，3；（2）2016，（1+x）2016；（3）（1+x）n+1．
【分析】
（1）根据已知计算过程直接得出因式分解的方法即可；
（2）根据已知分解因式的方法可以得出答案；
（3）由（1）中计算发现规律进而得出答案．
【解析】
解：（1）1+x+x（x+1）+x（x+1）2＝（1+x）[1+x+x（x+1）]
=（1+x）2（1+x）
=（1+x）3，
上述分解因式的方法是提取公因式法，共应用了3次；
故答案为：提取公因式法，3；
（2）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2015，
=（1+x）[1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2014]
=（1+x）2[1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2013]
……
=（1+x）2016
则需应用上述方法2016次，结果是（1+x）2016；
故答案为：2016，（1+x）2016；
（3）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n
=(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n－1]
=(1＋x)2[1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n－2]
=(1＋x)3[1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n－3]
……
=(1＋x)n(1＋x)
=(1＋x)n＋1．
【点睛】
本题考查的知识点是因式分解-提公因式法，解题的关键是熟练的掌握因式分解-提公因式法.
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4.2 提公因式法
一、单选题
1．用提公因式法分解因式，下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如果多项式mx+A可分解为m（x﹣y），则A为（ ）
A．m B．﹣my C．﹣y D．my
3．把进行因式分解，提取的公因式是（ ）
A． B． C． D．
4．下列因式分解：①；②；③．其中结果正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．把多项式分解因式，结果为（ ）
A． B． C． D．
6．多项式提取公因式后，剩下的因式应是（ ）.
A． B．
C． D．
7．因式分解6abc－4a2b2c2＋2ac2时应提取的公因式是( )．
A．abc B．2a C．2c D．2ac
8．(－8)2020＋(－8)2019能被下列哪个数整除( )
A．3 B．5 C．7 D．9
9．若，，则之值为何？（ ）.
A．101 B．－101 C．808 D．－808
10．与相同的式子是（ ）.
A． B． C． D．
二、填空题
11．分解因式：
（1）________；
（2）________；
（3）________；
（4）________；
（5）________；
（6）________．
12．如果，，则________，________．
13．________．
14．多项式x2﹣9，x2+6x+9的公因式是_____．
15．把多项式-16x3+40x2y提出一个公因式-8x2后，另一个因式是______ ．
16．分解因式： ＝______
17．因式分解：（x+2）x﹣x﹣2=_____．
18．4x(m－n)＋8y(n－m)2中各项的公因式是________.
19．把多项式(x－2)2－4x＋8分解因式，哪一步开始出现了错误____
解：原式＝(x－2)2－(4x－8)…A
＝(x－2)2－4(x－2)…B
＝(x－2)(x－2＋4)…C
＝(x－2)(x＋2)…D
20．化简：a+1+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）99=________．
三、解答题
21．分解因式
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
22．运用提公因式法分解因式：
（1）；
（2）．
23．把下列各式因式分解：
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）；
（7）；（8）．
24．分解因式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）.
25．先分解因式，再求值：，其中．
26．（1）利用因式分解进行计算：
，其中；
（2）求的值，其中；
（3）已知，求多项式的值．
27．观察等式，回答问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2＝（1+x）[1+x+x（x+1）]
＝（1+x）2（1+x）
＝（1+x）3
（1）上述分解因式的方法是 ，共应用了 次；
（2）若分解因式1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2015，则需应用上述方法 次，结果是 ；
（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n．
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