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4.3公式法
一、单选题
1．下列各式中能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A．x2+x+1 B．x2+2x﹣1 C．x2﹣1 D．x2﹣2x+1
【答案】C
【解析】
【分析】
利用平方差公式的结构特征判断即可．
解：多项x2+x+1，x2+2x-1，x2-2x+1都不能用平方差公式进行因式分解，
能用平方差公式进行因式分解的是x2-1，
故选：C．
【点睛】
此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
2．因式分解（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据完全平方公式进行因式分解即可．
．
故选C．
【点睛】
本题考查运用公式法进行因式分解，解题关键在于对公式的熟练掌握与应用，题目比较简单．
3．已知M＝3x2－x＋3，N＝2x2＋3x－1，则M、N的大小关系是（ ）
A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N
【答案】A
【解析】
【分析】
用M与N作差，然后进行判断即可．
解：M=3x2-x+3，N=2x2+3x-1，
∵M-N=(3x2-x+3)-(2x2+3x-1)
=3x2-x+3-2x2-3x+1
=x2-4x+4
=(x-2)2≥0，
∴M≥N．
故选：A．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解答题的关键．
4．已知多项式的一个因式为，另一个因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
可运用平方差公式对所给代数式进行因式分解得到所求的另一个因式．
原式=（2x+y-z）（2x-y+z），
∴另一个因式是2x+y-z，
故选：D．
【点睛】
本题考查了公式法分解因式，用了平方差的形式，所以要熟记平方差公式分解因式．
5．在多项式中，（1）（2）（3）（4）其中能用完全平方公式分解因式的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用完全平方公式分别分解因式进而判断即可．
解：（1）无法运用完全平方公式分解因式；
（2）无法运用完全平方公式分解因式；
（3），能运用完全平方公式分解因式；
（4），能运用完全平方公式分解因式；
故选B．
【点睛】
此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
6．已知，则的值是（ ）
A．0 B．1 C．-2 D．-1
【答案】D
【解析】
【分析】
先对进行变形，可以解出a，b的关系，然后在对进行因式分解即可．
∵，
∴，
，
，
∴，，
∴
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了因式分解的应用，在解题时要注意符号变换，同时掌握正确的运算是解答本题的关键．
7．已知，则的个位数字为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】C
【解析】
【分析】
把3变成22-1，依次运用平方差公式进行计算，再合并即可．
∵由2的乘法性质可得个位按照2,4,8,6四次一循环,则16次方时个位为6.
∴216-1个位为5, 216+1个位为7, 5×7=35
∴原式个位为5.
故选C
【点睛】
本题考查了平方差公式的应用，注意：平方差公式为：（a+b）（a-b）=a2-b2．
8．已知，，是的三边，如果满足，则三角形的形状是
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】
将等号右侧式子移到左侧,再将其因式分解,然后根据：若xy=0,则x=0或y=0,判断即可.
解:
∵，，是的三边
∴
∴或
解得: 或
∴是等腰三角形或直角三角形.
故选C.
【点睛】
此题考查的是因式分解、等腰三角形的判定和直角三角形的判定，掌握因式分解的各个方法、等腰三角形的定义和利用勾股定理的逆定理判定直角三角形是解决此题的关键.
9．甲、乙两农户各有两块地，如图所示，今年，这两个农户决定共同投资搞饲养业．为此，他们准备将这4块土地换成一块地，那块地的宽为（a+b）米，为了使所换土地的面积与原来4块地的总面积相等，交换之后的土地的长应该是（ ）米．
A．a+b
B．b+c
C．a+c
D．a+b+c
【答案】C
【解析】
【分析】
首先计算原来4块地的总面积，再进一步因式分解，出现a＋b的因式．
解：原来四块地的总面积是a2＋bc＋ac＋ab＝a（a＋c）＋b（a＋c）＝（a＋c）（a＋b），
则交换之后的土地长是（a＋c）米．
故选C．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，解决此题的关键是能够熟练运用分组分解法进行因式分解．
10．9（x-y）2+12（x2-y2）+4（x+y）2因式分解为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
把（x－y）与（x＋y）看做一个整体，运用完全平方公式求解即可．
解：9（x－y）2＋12（x2－y2）＋4（x＋y）2，
＝[3（x－y）]2＋12（x＋y）（x－y）＋[2（x＋y）]2，
＝[3（x＋y）＋2（x－y）]2，
＝（5x+y）2．
故选B．
【点睛】
本题主要考查利用完全平方公式进行因式分解，要把（x－y）与（x＋y）看作一个整体，整理成公式形式是解题的关键．
11．已知a、b、c是正整数，a＞b，且a2-ab-ac+bc=11，则a-c等于（ ）
A． B．或 C．1 D．1或11
【答案】D
【解析】
【分析】
此题先把a2－ab－ac＋bc因式分解，再结合a、b、c是正整数和a＞b探究它们的可能值，从而求解．
解：根据已知a2－ab－ac＋bc＝11，
即a（a－b）－c（a－b）＝11，
（a－b）（a－c）＝11，
∵a＞b，
∴a－b＞0，
∴a－c＞0，
∵a、b、c是正整数，
∴a－c＝1或a－c＝11
故选D．
【点睛】
此题考查了因式分解；能够借助因式分解分析字母的取值范围是解决问题的关键．
12．已知a＝2018x＋2018，b＝2018x＋2019，c＝2018x＋2020，则a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
把已知的式子化成[（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2]的形式，然后代入求解即可．
原式=（2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc）
=[（a2-2ab+b2）+（a2-2ac+c2）+（b2-2bc+c2）]
=[（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2]
=×（1+4+1）
=3，
故选D.
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，代数式的求值，正确利用因式分解的方法把所求的式子进行变形是关键．
二、填空题
13．因式分解的结果是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
直接去括号再合并同类项，再利用完全平方公式分解因式即可．
解：（a+b）2﹣4ab，
＝a2+b2+2ab﹣4ab，
＝a2+b2﹣2ab，
＝（a﹣b）2．
故答案为：（a﹣b）2．
【点睛】
本题主要考查了因式分解的计算，准确理解计算是解题的关键．
14．__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先提公因式2x，得到，再利用平方差公式得到，检查发现还可以继续分解，再利用平方差公式分解即可解决．
解：．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了因式分解，熟知先提公因式再套平方差公式是解决本题的关键．
15．分解因式：
（1）________；（2）________；
（3）________；（4）________；
（5）________；（6）________；
（7）________；（8）________；
（9）________．
【答案】
【解析】
【分析】
（1）利用十字乘法分解因式即可得到答案；
（2）利用十字乘法分解因式即可得到答案；
（3）利用十字乘法分解因式即可得到答案；
（4）利用十字乘法分解因式即可得到答案；
（5）利用十字乘法分解因式即可得到答案；
（6）利用十字乘法分解因式即可得到答案；
（7）先提公因式 再利用十字乘法分解因式即可得到答案；
（8）先利用十字乘法分解因式，再利用平方差公式分解即可；
（9）先把原式化为：，再利用完全平方公式与平方差公式分解即可.
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）
故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）
【点睛】
本题考查的是十字乘法分解因式，分组分解法，利用完全平方公式分解因式，掌握以上因式分解的方法是解题的关键.
16．因式分解：__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
解：原式，
故答案为：．
【点睛】
本题考查提公因式和完全平方公式因式分解，熟练掌握运算法则是解题关键．
17．已知，则的值是__________．
【答案】7
【解析】
【分析】
已知等式两边平方，利用完全平方公式展开，变形即可求出所求式子的值．
将两边平方得：，
即：，
解得：＝7，
故填7.
【点睛】
此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
18．已知且a≠0，则＝__．
【答案】2
【解析】
【分析】
由可得：去分母整理可得：从而得到：于是可得答案．
解：
，
故答案为：2．
【知识点】
本题考查的是整式的乘法运算，完全平方公式的应用，因式分解的应用，非负数的性质，代数式的值，利用平方根的含义解方程，掌握以上知识是解题的关键．
19．=_______．
【答案】
【解析】
【分析】
先利用平方差公式把每一个因数化为两个因数的积，约分后可得余下的因数，再计算乘法，从而可得答案．
解：
=
=
=
=
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是有理数的乘法运算，运用平方差公式对有理数进行简便运算，掌握以上知识是解题的关键．
20．阅读下面材料：
一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式．例如：a+b+c，abc，a2+b2，…
含有两个字母a，b的对称式的基本对称式是a+b和ab，像a2+b2，（a+2）（b+2）等对称式都可以用a+b，ab表示，例如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab．请根据以上材料解决下列问题：
（1）式子①a2b2②a2﹣b2③中，属于对称式的是_______（填序号）；
（2）已知（x+a）（x+b）＝x2+mx+n．
①若，求对称式的值；
②若n＝﹣4，直接写出对称式的最小值．
【答案】（1）①③；（2）①＝6；②的最小值为．
【解析】
【分析】
（1）根据对称式的定义进行判断；
（2）①先得到a+b＝﹣2，ab＝，再变形得到＝＝，然后利用整体代入的方法计算；
②根据分式的性质变形得到＝，再利用完全平方公式变形得到（a+b）2﹣2ab+，所以原式=m2+，然后根据非负数的性质可确定的最小值．
解：（1）式子①a2b2②a2﹣b2③中，属于对称式的是 ①③．
故答案为①③；
（2）∵x2+（a+b）x+ab＝x2+mx+n
∴a+b＝m，ab＝n．
①a+b＝﹣2，ab＝，
＝＝＝＝6；
②＝
＝（a+b）2﹣2ab+
＝m2+8+
＝m2+，
∵m2≥0，
∴的最小值为．
【点睛】
本题主要考查完全平方公式，关键是根据题目所给的定义及完全平方公式进行求解即可．
三、解答题
21．把下列各式因式分解：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；
（6）；（7）；（8）；
（9）；（10）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）．
【解析】
【分析】
（1）直接提取公因式7，进而利用平方差公式分解因式即可；
（2）直接提取公因式，进而利用平方差公式分解因式即可；
（3）直接提取公因式3，进而利用平方差公式分解因式即可；
（4）直接利用平方差公式分解因式即可；
（5）直接提取公因式分解因式即可；
（6）直接提取公因式分解因式即可；
（7）直接利用平方差公式分解因式即可；
（8）直接提取公因式，进而利用平方差公式分解因式即可；
（9）直接利用平方差公式分解因式即可；
（10）直接利用完全平方公式分解因式即可．
解：（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
；
（7）
；
（8）
；
（9）
；
（10）
．
【点睛】
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
22．把下列各式因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用平方差公式及完全平方公式即可求解；
（2）利用完全平方公式即可求解；
解：（1）
＝
（2）
＝
【点睛】
本题考查平方差公式及完全平方公式，解题关键是掌握平方差公式及完全平方公式．
23．把下列各式因式分解：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）
【解析】
【分析】
（1）先进行提公因式，然后将括号内进行合并同类项即可；
（2）应用公式法（平法差公式），进行分解因式即可；
（3）应用公式法（完全平方公式），进行因式分解即可；
（4）应用公式法（完全平方公式），进行因式分解即可；
（5）应用公式法（完全平方公式），进行因式分解即可．
解：（1），
，
；
（2），
，
；
（3），
，
；
（4），
，
；
（5），
，
．
【点睛】
题目主要考查因式分解中的提公因式法和公式法，熟练掌握分解因式的方法是解题关键．
24．先因式分解，然后计算求值：
（1），其中，；
（2），其中，．
【答案】（1），9；（2）ab，．
【解析】
【分析】
（1）先根据完全平方公式分解因式，再代数求值即可；
（2）先根据平方差公式分解因式，再代数求值即可．
解：（1）当，时，；
（2）当，时，
原式
．
【点睛】
本题考查了分解因式，能根据公式正确分解因式是解此题的关键．
25．已知，，求代数式的值．
【答案】39．
【解析】
【分析】
先把分解因式，再利用完全平方公式变形，再整体代入求值即可.
解： ，，
【点睛】
本题考查的是因式分解的应用，完全平方公式的应用，掌握以上知识是解题的关键.
26．已知：a，b，c是三角形的三边，且满足．求证：这个三角形是等边三角形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据完全平方式将原式变形为，结合平方的非负性即可计算得到正确答案．
解：∵
=
=
∴原式可变形为：=
∵，
∴
∴
∴
即这个三角形是等边三角形．
【点睛】
本题考查完全平方式的应用，平方非负性的应用，根据相关知识点灵活应用是解题关键．
27．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程(如图)．
回答下列问题：
(1)第二步到第三步运用了因式分解的______；
A．提取公因式 B．两数和的完全平方公式
C．平方差公式 D．两数差的完全平方公式
(2)该同学的因式分解是否彻底？________(填“是”或“否”)，若不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果________；
(3)依据上题的解法尝试对（x2-6x）（x2-6x+18）+81进行因式分解．
【答案】（1）B；（2）否；；（3）
【解析】
【分析】
（1）观察发现利用了完全平方公式；
（2）观察发现最后一步还能利用完全平方公式继续因式分解；
（3）仿照例题中方法求解即可．
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式，故选：B，
故答案为：B；
(2)该同学的因式分解结果不彻底，所以填“否”，最后结果为，
故答案为：否；；
(3)设（x2-6x）=y，则
原式
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查整体换元的思想方法，注意分解因式的结果要彻底．
28．有足够多的长方形和正方形卡片，分别记为1号，2号，3号卡片，如图1所示．
(1)如果选取4张3号卡片，拼成如图2所示的一个正方形，请你用2种不同的方法表示阴影部分的面积．
①方法1：______ 方法2：______
②请写出代数式，，这三个代数式之间的等量关系：______．
(2)解决问题：若，求的值．
(3)如果选取1张1号，2张2号，3张3号卡片，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画出这个拼出的长方形，根据图形的面积关系得到的等式是：______．
【答案】(1)①；②
(2)20
(3)画图见解析，
【解析】
【分析】
（1）①方法1：利用大的的正方形的面积减去4个小长方形的面积即可；方法2：利用阴影正方形的边长为 直接计算面积即可；②由阴影部分的面积不变可得答案；
（2）利用非负数的性质求解再利用，再整体代入求值即可；
（3）选取1张1号，2张2号，3张3号卡片，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），可得长方形的面积为： 再分解因式，得到长方形的边长，再画出图形即可.
(1)
解：①方法1：
方法2：
故答案为：
②由阴影部分的面积不变可得：
(2)
解：
(3)
解：选取1张1号，2张2号，3张3号卡片，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），
则长方形的面积为：
而
所以该长方形的边长为 如图所示：
该图形反映的面积恒等式为：
故答案为：
【点睛】
本题考查的是完全平方公式与几何图形面积之间的关系，多项式的乘法与因式分解，解题的关键是掌握“利用图形面积得到代数恒等式”．
29．阅读理解：
在教材中，我们有学习到，又因为任何实数的平方都是非负数，所以，即．例如，比较整式和的大小关系，因为，所以请类比以上的解题过程，解决下列问题：
【初步尝试】比较大小：______；_____
【知识应用】比较整式和的大小关系，并请说明理由．
【拓展提升】比较整式和的大小关系，并请说明理由．
【答案】[初步尝试]≥，≤；[知识应用]≥；[拓展提升]
【解析】
【分析】
[初步尝试]两式相减，仿照题干中的方法比较即可；
[知识应用]两式相减，将结果因式分解，再比较即可；
[拓展提升]两式相减，利用完全平方公式变形，再比较即可．
解：[初步尝试]
，
∴≥；
，
∴≤；
[知识应用]
=
=
=≥0
∴≥；
[拓展提升]
=
=
=
=
当a=1，b=时，原式=0，
∴≥0，
∴．
【点睛】
此题考查了因式分解的应用，非负数的性质，以及整式的混合运算，熟练掌握公式和运算法则是解本题的关键．
30．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法．例如：．
②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．例如：
③十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．分解步骤：1．分解二次项，所得结果分别写在十字十字交叉线的左上角和左下角；2．分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；4．观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果．这种分解方法叫作十字相乘法．
观察得出：两个因式分别为与
例如：
分析：
解：原式
（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法）
②（拆项法）
③________．
（2）已知：、、为的三条边，，求的周长．
【答案】（1）①，②，③；（2）7
【解析】
【分析】
（1）①将原式化为，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；②将原式化为，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；③直接利用十字相乘法分解即可；
（2）先利用完全平方公式对等式的左边变形，再根据偶次方的非负性可得出，，的值，然后求和即可得出答案．
解：（1）①
；
②
；
③；
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，，，
∴．
∴的周长为7．
【点睛】
本题考查因式分解的方法及其在几何图形问题中的应用，读懂题中的分解方法并熟练掌握整式乘法公式是解题的关键．
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第四章 因式分解
4.3 公式法
精品教学课件
北师大版八年级下册数学教学课件
想一想：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？
是a,b两数的平方差的形式
)
)(
(
b
a
b
a
-
+
=
2
2
b
a
-
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
-
+
=
-
整式乘法
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
平方差公式：
问题引入
看一看：观察下图中图形的构成，试着表示出图形的面积。
b
a
b
b
b
a
a
a2+b(a-b)=a2-b2+ab
ab+(a+b)(a-b)
方法一：
方法二：
a2-b2+ab
=ab+(a+b)(a-b)
(a+b)(a-b)=a2-b2
情景引入
运用平方差公式因式分解
问题1：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？
a2-b2
已知
（a+b）（a-b）= a2-b2
可得
a2-b2= （a+b）（a-b）
因式分解
整式乘法
一、运用平方差公式因式分解
运用平方差公式因式分解
运用平方差公式分解因式（依据）：
两个数的平方差，等于这两个数的____与这两个数的____的乘积.
即a2-b2=______________
差
和
（a+b）（a-b）
运用平方差公式因式分解
例 把下列各式因式分解：
(1)25-16x2; (2)9a2- b2.
解：9a2- b2
＝(3a)2-( b)2
＝(3a+ b)(3a- b)
解：25-16x2
＝52-(4x)2
＝(5+4x)(5-4x)
运用平方差公式因式分解
练一练：下列能用平方差公式因式分解的是（ ）
A.a2+b2
B.-a2-b2
C.a2-c2-2ac
D.-4a2+b2
D
归纳：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.
平方差公式与提公因式法综合运用
例1 把下列各式因式分解：
(1)9(m＋n)2－(m－n)2; (2)2x3-8x.
＝(4m＋2n)(2m＋4n)
解：(1)原式＝[3(m＋n)]2－(m－n)2
＝4(2m＋n)(m＋2n)．
＝(3m＋3n＋m－n)(3m＋3n－m＋n)
＝[3(m＋n)+(m－n)][3(m＋n)－(m－n)]
若用平方差公式分解后的结果中有公因式，一定要再用提公因式法继续分解.
平方差公式与提公因式法综合运用
(2)2x3-8x.
(2)原式＝2x(x2－4)
＝2x(x＋2)(x－2)
＝2x(x2－22)
当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一步因式分解.
平方差公式与提公因式法综合运用
解：x4-y4
＝(x2+y2)(x2-y2)
＝(x2+y2)(x+y)(x-y);
＝(x2)2-(y2)2
解：a3b-ab
＝ab(a+1)(a-1).
＝ab(a2-1)
归纳：因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
例2 分解因式：
(1)x4-y4 ; (2)a3b-ab
练一练：把x3-9x分解因式，结果正确的是（ ）
A.x(x2-9)
B.x(x-3)2
C.x(x+3)2
D.x(x+3)(x-3)
D
平方差公式与提公因式法综合运用
平方差公式与提公因式法综合运用
例3 计算下列各题：
(1)1012－992； (2)53.52×4-46.52×4.
＝(101＋99)(101－99)
＝4×(53.52－46.52)
＝4×(53.5＋46.5)(53.5－46.5)
＝4×100×7=2800.
解：53.52×4-46.52×4
解：1012－992
＝400
平方差公式与提公因式法综合运用
练一练：计算：
（1）50×1252-50×252=____________;
（2） =____________.
750 000
1
你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？
同学们拼出图形为：
a
a
b
b
a
b
a
b
ab
a
b
ab
二、运用完全平方公式因式分解
这个大正方形的面积可以怎么求？
a2+2ab+b2
（a+b）2
=
a
b
a
b
a
ab
ab
b
（a+b）2
a2+2ab+b2
=
将上面的等式倒过来看，能得到：
a2+2ab+b2
a2－2ab+b2
我们把a +2ab+b 和a -2ab+b 这样的式子叫作完全平方式.
观察这两个式子：
（1）每个多项式有几项？
（3）中间项和第一项，第三项有什么关系？
（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？
三项
这两项都是数或式的平方，并且符号相同
是第一项和第三项底数的积的±2倍
完全平方式的特点：
1.必须是三项式（或可以看成三项的）；
2.有两个同号的数或式的平方；
3.中间有两底数之积的±2倍.
完全平方式:
简记口诀：
首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.
2
a
b
+b2
±
=(a ± b)
a2
首2
+尾2
±2×首×尾
(首±尾)2
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
3.a +4ab+4b =( ) +2· ( ) ·( )+( ) =( )
2.m -6m+9=( ) - 2· ( ) ·( )+( ) =( )
1. x +4x+4= ( ) +2·( )·( )+( ) =( )
x
2
x + 2
a
a 2b
a + 2b
2b
对照 a ±2ab+b =(a±b) ，填空：
m
m - 3
3
x
2
m
3
下列各式是不是完全平方式？
（1）a2－4a+4; （2）1+4a ;
（3）4b2+4b-1; （4）a2+ab+b2;
（5）x2+x+0.25.
是
（2）因为它只有两项；
不是
（3）4b 与-1的符号不统一；
不是
分析：
不是
是
（4）因为ab不是a与b的积的2倍.
例1 如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是( )
A . 11 B. 9 C. -11 D. -9
B
解析：根据完全平方式的特征，中间项-6x=2x×(-3),故可知N=(-3)2=9.
变式训练 如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为________.
解析：∵16=(±4)2，故-m=2×(±4)，m=±8.
±8
典例精析
方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征， 根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解．
例2 把以下三个多项式因式分解：
(x+6)2
(x-y)2
(a+b-3)2
因式分解：
3a(m+n)2
-(a-2b)2
【做一做】
下列因式分解是否正确？为什么？如果不正确，请给出正确的结果.
不正确，分解不彻底
(y2 + x2 )2 - 4x2y2
你能彻底分解下面的因式吗？
要分解到不能再分解为止.
(x+y)2(x-y)2
【合作探究】
1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( )
A．a2＋(－b)2 B．5m2－20mn
C．－x2－y2 D．－x2＋9
D
2.分解因式(2x+3)2 -x2的结果是（ ）
A．3(x2+4x+3) B．3(x2+2x+3)
C．(3x+3)(x+3) D．3(x+1)(x+3)
D
3.若a+b=3，a-b=7，则b2-a2的值为（ ）
A．-21 B．21 C．-10 D．10
A
课堂练习
4.下列四个多项式中，能因式分解的是( )
A．a2＋1 B．a2－6a＋9
C．x2＋5y D．x2－5y
5.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( )
A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2
C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2)
6.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是________．
B
B
1
7.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为___________ ．
±4
8.把下列多项式因式分解.
（1）x2－12x+36; （2）4(2a+b)2-4(2a+b)+1;
(3) y2+2y+1－x2;
(2)原式=[2(2a+b)] － 2·2(2a+b)·1+(1)
=(4a+2b － 1)2;
解：(1)原式 =x2－2·x·6+(6)2
=(x－6)2;
(3)原式=(y+1) －x
=(y+1+x)(y+1－x).
(2)原式
9.计算：(1)38.92－2×38.9×48.9＋48.92.
解：(1)原式＝(38.9－48.9)2
＝100.
10.已知4m+n=40，2m-3n=5．求(m+2n)2-(3m-n)2的值．
原式=-40×5=-200．
解：原式=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n)
=(4m+n)(3n-2m)
=-(4m+n)（2m-3n)，
当4m+n=40，2m-3n=5时，
11.分解因式:(1)4x2＋4x＋1；(2)
小聪和小明的解答过程如下：
他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来.
x2－2x＋3.
(2)原式＝ (x2－6x＋9)＝ (x－3)2
解:(1)原式＝(2x)2＋2 2x 1＋1＝(2x+1)2
小聪: 小明:
×
×
12.(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值；
(2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．
原式＝2×52＝50.
解：(1)原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
当a－b＝3时，原式＝32＝9.
(2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.
当ab＝2，a＋b＝5时，
13.已知a、b、c是 ABC的三边，且满足a +b +c =ab+ac+bc，是说明 ABC是等边三角形.
解：∵a +b +c =ab+bc+ac,
∴a +b +c -ab-bc-ac=0
等式两边同乘以2，得
2a +2b +2c -2ab-2bc-2ac=0
（a -2ab＋b ）＋（b -2bc＋c ）＋（c -2ac＋a ）=0
∴(a-b) +(b-c) +(c-a) =0，
a=b=c 即 ABC为等边三角形
运用平方差公式因式分解
依据
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积。
a2-b2=(a+b)(a-b)
与提公因式法综合运用
①提取公因式；
②运用平方差公式；
③检查多项式的因式分解是否完全，有没有分解到不能再分解为止.
课堂小结
运用完全平方公式
分解因式
公式
a2±2ab+b2=(a±b)2
特点
（1）要求多项式有三项.
（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.
步骤
一提、二套、三查
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4.3公式法
一、单选题
1．下列各式中能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A．x2+x+1 B．x2+2x﹣1 C．x2﹣1 D．x2﹣2x+1
2．因式分解（ ）
A． B． C． D．
3．已知M＝3x2－x＋3，N＝2x2＋3x－1，则M、N的大小关系是（ ）
A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N
4．已知多项式的一个因式为，另一个因式是（ ）
A． B． C． D．
5．在多项式中，（1）（2）（3）（4）其中能用完全平方公式分解因式的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．已知，则的值是（ ）
A．0 B．1 C．-2 D．-1
7．已知，则的个位数字为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
8．已知，，是的三边，如果满足，则三角形的形状是
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
9．甲、乙两农户各有两块地，如图所示，今年，这两个农户决定共同投资搞饲养业．为此，他们准备将这4块土地换成一块地，那块地的宽为（a+b）米，为了使所换土地的面积与原来4块地的总面积相等，交换之后的土地的长应该是（ ）米．
A．a+b
B．b+c
C．a+c
D．a+b+c
10．9（x-y）2+12（x2-y2）+4（x+y）2因式分解为（ ）
A． B．
C． D．
11．已知a、b、c是正整数，a＞b，且a2-ab-ac+bc=11，则a-c等于（ ）
A． B．或 C．1 D．1或11
12．已知a＝2018x＋2018，b＝2018x＋2019，c＝2018x＋2020，则a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
13．因式分解的结果是_____．
14．__________．
15．分解因式：
（1）________；（2）________；
（3）________；（4）________；
（5）________；（6）________；
（7）________；（8）________；
（9）________．
16．因式分解：__________．
17．已知，则的值是__________．
18．已知且a≠0，则＝__．
19．=_______．
20．阅读下面材料：
一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式．例如：a+b+c，abc，a2+b2，…
含有两个字母a，b的对称式的基本对称式是a+b和ab，像a2+b2，（a+2）（b+2）等对称式都可以用a+b，ab表示，例如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab．请根据以上材料解决下列问题：
（1）式子①a2b2②a2﹣b2③中，属于对称式的是_______（填序号）；
（2）已知（x+a）（x+b）＝x2+mx+n．
①若，求对称式的值；
②若n＝﹣4，直接写出对称式的最小值．
三、解答题
21．把下列各式因式分解：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；
（6）；（7）；（8）；
（9）；（10）．
22．把下列各式因式分解：
（1）；
（2）．
23．把下列各式因式分解：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
24．先因式分解，然后计算求值：
（1），其中，；
（2），其中，．
25．已知，，求代数式的值．
26．已知：a，b，c是三角形的三边，且满足．求证：这个三角形是等边三角形．
27．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程(如图)．
回答下列问题：
(1)第二步到第三步运用了因式分解的______；
A．提取公因式 B．两数和的完全平方公式
C．平方差公式 D．两数差的完全平方公式
(2)该同学的因式分解是否彻底？________(填“是”或“否”)，若不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果________；
(3)依据上题的解法尝试对（x2-6x）（x2-6x+18）+81进行因式分解．
28．有足够多的长方形和正方形卡片，分别记为1号，2号，3号卡片，如图1所示．
(1)如果选取4张3号卡片，拼成如图2所示的一个正方形，请你用2种不同的方法表示阴影部分的面积．
①方法1：______ 方法2：______
②请写出代数式，，这三个代数式之间的等量关系：______．
(2)解决问题：若，求的值．
(3)如果选取1张1号，2张2号，3张3号卡片，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画出这个拼出的长方形，根据图形的面积关系得到的等式是：______．
29．阅读理解：
在教材中，我们有学习到，又因为任何实数的平方都是非负数，所以，即．例如，比较整式和的大小关系，因为，所以请类比以上的解题过程，解决下列问题：
【初步尝试】比较大小：______；_____
【知识应用】比较整式和的大小关系，并请说明理由．
【拓展提升】比较整式和的大小关系，并请说明理由．
30．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法．例如：．
②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．例如：
③十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．分解步骤：1．分解二次项，所得结果分别写在十字十字交叉线的左上角和左下角；2．分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；4．观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果．这种分解方法叫作十字相乘法．
观察得出：两个因式分别为与
例如：
分析：
解：原式
（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法）
②（拆项法）
③________．
（2）已知：、、为的三条边，，求的周长．
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