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5.1 认识分式
一、单选题
1．在、、、、、中，分式的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．在函数中x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．若把分式 中的x和y都扩大10倍，那么分式的值（ ）
A．扩大10倍 B．不变
C．缩小为原来的 D．缩小为原来的
4．若分式的值为0，则x的值为（ ）
A． B．2021 C．0 D．
5．在下列各式中，x、y同时扩大2倍，式子的值不变的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列各式从左到右的变形，不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如果分式则x为（ ）
A．2 B．-2 C． D．0
8．下列关于分式的判断，正确的是（ ）
A．当时，的值为零 B．无论x为何值，不可能得整数值
C．当时，无意义 D．无论x为何值，的值总为正数
9．由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
10．下列结论：①不论a为何值时都有意义；②时，分式的值为0；③若的值为负，则x的取值范围是；④若有意义，则x的取值范围是且．其中正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题
11．要使式子有意义，则x的取值范围是_________．
12．在式子①；②；③；④；⑤；⑥中，分式有______个．
13．若分式的值为0，则的值为 ．
14．使分式无意义的的取值是_______ ．
15．已知非零实数x，y满足，则的值等于______．
16．约分：① __________， ② __________，
③ ___________， ④ 若，则的值是________.
17．若，则的值为 _____．
18．给定一列分式：，，，，，其中，根据你发现的规律，试写出第个分式______．
三、解答题
19．当x为何值时，下列分式有意义？
（1）；（2）；（3）
20．化简下列分式：
（1）；
（2）；
（3）．
21．下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？两类式子的区别是什么？
．
22．求下列各式的值：
（1），其中；
（2），其中．
23．（1）当时，分别求分式的值；
（2）当a取何值时，分式有意义？
24．约分
（1） （2）
（3） （4）
25．不改变分式的值，把下列各式的分式与分母中各项的系数都化为整数．
①；②；③；④．
26．不改变分式的值，使分子、分母中次数最高的项的系数都化为正数．
①；②；③；④．
27．已知：代数式．
（1）当m为何值时，该式的值大于零？
（2）当m为何整数时，该式的值为正整数？
28．已知，取哪些值时：
（1）的值是正数．
（2）的值是负数．
（3）的值是零．
（4）分式无意义．
29．若分式的值为零，求x的值．
莉莉的解法如下：
解：分式的值为零．
，．
请问莉莉的解法正确吗？如果不正确，请写出正确的解法．
30．（1）请你写出五个正的真分数，____，____，____，____，____，给每个分数的分子和分母加上同一个正数得到五个新分数：____，____，____，_____，____.
（2）比较原来每个分数与对应新分数的大小，可以得出下面的结论：
一个真分数是（a、b均为正数），给其分子分母同加一个正数m，得，则两个分数的大小关系是_____.
（3）请你用文字叙述（2）中结论的含义：
（4）你能用图形的面积说明这个结论吗？
（5）解决问题：如图1，有一个长宽不等的长方形绿地，现给绿地四周铺一条宽相等的路，问原来的长方形与现在铺过小路后的长方形是否相似？为什么？
（6）这个结论可以解释生活中的许多现象，解决许多生活与数学中的问题.请你再提出一个类似的数学问题，或举出一个生活中与此结论相关例子.
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第五章 分式与分式方程
5.1 认识分式
精品教学课件
北师大版八年级下册数学教学课件
回忆：什么叫整式 请你举例说明.
整式
单项式: 数与字母或字母与字母的积
多项式: 几个单项式的和
复习引入
第十届田径运动会
情景引入
（1）如果乐乐的速度是7米/秒，那么她所用的时间是（ ）秒；
（2）如果乐乐的速度是a米/秒，那么她所用的时间是（ ）秒；
（3）如果乐乐原来的速度是a米/秒，经过训练她的速度每秒增加了1米，那么她现在所用的时间是（ ）秒.
7
100
a
100
a+1
100
填空：乐乐同学参加百米赛跑
（4）后勤老师若把体积为200 cm3的水倒入底面积为33 cm2的圆柱形保温桶中，水面高度为( )cm；若把体积为V 的水倒入底面积为S 的圆柱形容器中，水面高度为( ).
V
S
（5）采购秒表8块共8a元，一把发射枪b元，合计为 元.
（8a+b）
问题1:请将上面问题中得到的式子分分类：
7
100
a
100
a+1
100
单项式：
多项式：
既不是单项式也不是多项式：
a
100
a+1
100
8a+b
8a+b
整
式
7
100
一、分式的概念
问题2 ：式子
它们有什么相同点和不同点？
相同点
不同点
（观察分母）
从形式上都具有分数 形式
分母中是否含有字母
7
100
a
100
a+1
100
分子f、分母 g 都是整式
知识要点
分式的定义
一般地，用A，B表示两个整式，A÷B可以表示成 的形式， 且B中含有字母，那么称 为分式.其中A称为分式的分子，B称为分式的分母.对于任意一个分式，分母不能为零.
理解要点：
（1）分式也是代数式；
（2）分式是两个整式的商，它的形式是 （其中A，B都是
整式并且还要求B是含有字母的整式）；
（3）A称为分式的分子，B为分式的分母.
思考：（1）分式与分数有何联系？
②分数是分式中的字母取某些值的结果，分式更具一般性.
整数
整数
整式
整式
(分母含有字母）
分数
分式
类比思想
特殊到一般思想
①
7
100
a+1
100
整数
分数
整式
分式
有理数
有理式
数、式通性
(2)既然分式是不同于整式的另一类式子，那么它们统称为什么呢？
数的扩充
式的扩充
判一判：下面的式子哪些是分式？
分式:
归纳：1.判断时，注意含有 的式子， 是常数.
2.式子中含有多项时，若其中有一项分
母含有字母，则该式也为分式，如：
.
1 下列各式中，是分式的是( )
A. B.
C. D.
C
练一练
2
设A，B都是整式，若 表示分式，则( )
A．A，B中都必须含有字母
B．A中必须含有字母
C．B中必须含有字母
D．A，B中都不含字母
C
3
在3，a2－1，5a中任选两个构成一个分式，则构成的分式有_______________________，共____个．
4
4 下列各式：
中，整式有__________________________；
分式有______________________________．
1.在分式中，当分母的值不为0时，分式有意义；当
分母的值为0时，分式无意义．
要点精析：
(1)分母不为0，并不是说分母中的字母不能为0，而
是表示分母的整式的值不能为0.
(2)分式是否有意义，只与分式的分母是否为0有关，
而与分式的分子的值是否为0无关．
二、分式有意义的条件
2.条件的求法：
(1)当分式有意义时，根据分式分母值不为0的条件
转化为不等式求解．
(2)当分式无意义时，根据分式分母值为0的条件转
化为方程求解．
3.易错警示：当分母出现含字母的式子是平方形式
时，容易出现考虑不周的错误．
例2
〈贺州〉分式 有意义，则x的取值范围是 ( )
A．x≠1 B．x＝1
C．x≠－1 D．x＝－1
根据分式有意义的条件：分母不等于0，即可求
解．根据题意得：x－1≠0，解得：x≠1.
导引：
A
求分式有意义时字母的取值范围，一般是根据
分母不等于0构造不等式，求使分式的分母不等于0
的字母的取值范围．
总 结
例3
当x取何值时，下列分式无意义？
(1) (2)
由分式无意义可得分母的值为0，从而利用方程
求解．
导引：
(1)当3x＝0，即x＝0时，分式 无意义；
(2)当3x2－27＝0，即x＝±3时，
分式 无意义．
解：
本题运用方程思想求解．利用分式无意义时需
分母等于0这一条件，构造方程求解．
总 结
1
当x取什么值时，下列分式有意义？
(1)由x－1≠0，得x≠1.
所以，当 x≠1时，分式 有意义．
(2)由x2－9≠0，得x≠±3.
所以，当x≠±3时，分式 有意义．
解：
练一练
若代数式 有意义，则实数x的取值范围是( )
A．x＝0 B．x＝4
C．x≠0 D．x≠4
2
D
当x＝－1时，下列分式中有意义的是( )
A. B.
C. D.
3
C
使分式 无意义的x满足的条件是( )
A．x＝2 B．x＝－2
C．x≠2 D．x≠－2
4
B
5 下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是
( )
A. B.
C. D.
D
分式值为零的条件及求法：
(1)条件：分子为0，分母不为0.
(2)求法：①利用分子等于0，构建方程．②解方程
求出所含字母的值．③代入验证：将所求的值
代入分母，验证是否使分母为0，若分母不为0，
所求的值使分式值为0；否则，应舍去．
三、分式的值为零的条件
对于分式 ：
(1)若 ＝0，则A＝0且B≠0；
(2)若 ＝1，则A＝B≠0；
(3)若 ＝－1，则A＋B＝0且B≠0；
例4
(1)当a＝1，2，－1时，分别求分式 的值.
(2)当a取何值时，分式 有意义？
解：
(1)当a＝1时，
当a＝2时，
当a＝－1时，
(2)当分母的值等于零时，分式没有意义，除此之
外，分式都有意义.
由分母2a －1＝0，得a＝
所以，当a≠ 时，分式 有意义.
例5
〈毕节〉 若分式 的值为零，则x的值为( )
A．0 B．1 C．－1 D．±1
导引：
分式的值为0的条件是：分子为0，分母不为0，由
此条件解出x即可．
由x2－1＝0，得x＝±1.
当x＝1时，x－1＝0，故x＝1不合题意；
当x＝－1时，x－1＝－2≠0，
所以x＝－1时分式的值为0.
C
求使分式的值为0的字母的值的方法：
首先求出使分子的值等于0的字母的值，再
检验这个字母的值是否使分母的值等于0，只有
当它使分母的值不为0时，才是我们所要求的字
母的值．
总 结
1
当x＝0，－2， 时，分别求 分式的值.
当x＝0时，
当x＝－2时，
当x＝ 时，
解：
练一练
【中考·淄博】若分式 的值为零，则x的值是( )
A．1 B．－1
C．±1 D．2
2
A
【中考·乐山】若a2－ab＝0(b≠0)，则 ＝( )
A．0 B.
C．0或 D．1或2
3
C
下列关于分式的判断，正确的是( )
A．当x＝2时， 的值为零
B．当x≠3时， 有意义
C．无论x为何值， 不可能得整数值
D．无论x为何值， 的值总为正数
4
D
5 分式 中，当x＝－a时，下列结论正确的
是( )
A．分式的值为零
B．分式无意义
C．若a≠－ ，分式的值为零
D．若a≠ ，分式的值为零
C
你认为分式 与 相等吗？ 与 呢？
与同伴交流.
三、分式的基本性质
分数的分子与分母同时乘以（或除以）一个不等于0的数，分数的值不变.
分数的基本性质：
即对于任意一个分数 有：
(1)因为y≠0，所以
(2)因为x≠0，所以
下列等式的右边是怎样从左边得到的
(1) (2)
例1
解：
应用分式的基本性质时，一定要确定分式在有
意义的情况下才能应用．应用时要注意是否符合两
个“同”：一是要同时作“乘法”或“除法”运算；
二是“乘(或除以)”的对象必须是同一个不等于0的
整式．
总 结
不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数．
(1) (2)
例2
(1)根据分式的基本性质，将 的分子
与分母同乘60，得
(2)根据分式的基本性质，将
的分子与分母同乘12，得
解：
将分式的分子、分母的各项系数化整的方法：
第一步：找出分子、分母中各项的系数，确定使系
数都能化成整数的最小正整数；
第二步：分子、分母同时乘这个最小正整数．
总 结
想一想: 运用分式的基本性质应注意什么
(1)“都”
(2) “同一个”
(3) “不为0”
想一想：
联想分数的约分，由例1你能想出如何对分式进行约分？
（ ）
（ ）
与分数约分类似，关键是要找出分式的分子与分母的最简公分母.
四、分式的约分
把一个分式的分子与分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．
知识要点
约分的定义
在化简分式 时，小颖和小明的做法出现了分歧：
小颖：
小明：
你对他们俩的解法有何看法？说说看！
一般约分要彻底, 使分子、分母没有公因式.
议一议
判断一个分式是不是最简分式，要严格按照定义来判断，就是看分子、分母有没有公因式.分子或分母是多项式时，要先把分子、分母因式分解.
注意
知识要点
最简分式
分子和分母都没有公因式的分式叫做最简分式.
例3 约分:
典例精析
分析：为约分要先找出分子和分母的公因式.
找公因式方法:
（1）约去系数的最大公约数.
（2）约去分子分母相同因式的最低次幂.
解：
(公因式是5abc)
解：
分析：约分时,分子或分母若是多项式,能分解则必须先进行因式分解.再找出分子和分母的公因式进行约分.
约分:
做一做
解：
(公因式是ab)
解：
知识要点
约分的基本步骤
（１）若分子﹑分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂；
（２）若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子﹑分母所有的公因式．
注意事项：
（1）约分前后分式的值要相等.
（2）约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式.
（3）约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式.
1
填空：
(1)
(2)
2x(x＋y)
y－2
练一练
2 写出下列等式中所缺的分子或分母．
(1)
(2)
(3)
bc
ma＋mb
x－y
3
下列式子从左到右的变形一定正确的是( )
A. B.
C. D.
C
4
如果把 中的x与y都扩大到原来的20倍，
那么这个式子的值( )
A．不变
B．扩大到原来的10倍
C．扩大到原来的20倍
D．缩小到原来的
A
5
当x＝6，y＝－2时，则式子
的值为( )
A．2 B.
C．1 D.
D
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5.1 认识分式
一、单选题
1．在、、、、、中，分式的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解析】
【分析】
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
解：分式有、、三个，
故选：B
【点睛】
考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，熟记分式的定义是解题的关键．
2．在函数中x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据分式有意义的条件可得3x-1≠0，即可求解．
解：由题意得：3x-1≠0，
解得： ．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式分母不为零．
3．若把分式 中的x和y都扩大10倍，那么分式的值（ ）
A．扩大10倍 B．不变
C．缩小为原来的 D．缩小为原来的
【答案】C
【解析】
【分析】
根据分式的基本性质解答即可．
解：把分式中的x和y都扩大10倍后可得：
，
∴缩小为原来的 ．
故选：C．
【点睛】
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
4．若分式的值为0，则x的值为（ ）
A． B．2021 C．0 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据分式的值为零的条件：分子等于0且分母不等于0即可得出答案．
解：∵分式的值为0，
∴x-2021=0，x+2021≠0，
∴x=2021，
故选：B．
【点睛】
本题考查了分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件：分子等于0且分母不等于0是解题的关键．
5．在下列各式中，x、y同时扩大2倍，式子的值不变的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
把，换为，代入所给分式化简后和原来分式比较即可．
解：A. ，此项不符题意；
B. ，此项符题意；
C. ，此项不符题意；
D. ，此项不符题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键．
6．下列各式从左到右的变形，不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据分式的基本性质进行求解判断即可．
解：A、，变形正确，不符合题意；
B、，变形正确，不符合题意；
C、，变形正确，不符合题意；
D、，变形错误，符合题意；
故选D
【点睛】
本题主要考查了分式的变形，熟知分式的基本性质是解题的关键．
7．如果分式则x为（ ）
A．2 B．-2 C． D．0
【答案】B
【解析】
【分析】
根据分式的值为零的条件：分子等于0且分母不等于0即可得出答案．
解：∵
∴，
∴，0，2
∴
故选：B．
【点睛】
本题考查了分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件是分子等于0且分母不等于0是解题的关键．
8．下列关于分式的判断，正确的是（ ）
A．当时，的值为零 B．无论x为何值，不可能得整数值
C．当时，无意义 D．无论x为何值，的值总为正数
【答案】D
【解析】
【分析】
根据分式有意义的条件是分母不等于0．分式值是0的条件是分子是0，分母不是0即可得到结论．
A、当x=2时，分母x-2=0，分式无意义，故A错误；
B、当x+1=±3或±1，的值是整数，故B错误；
C、当时，的值为零，不是无意义，故C错误；
D、无论x为何值，x2+3的值总为正数，的分子是3，所以分式的值总是正数，故D正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了分式有意义的条件和分式的值为零的条件．分式有意义的条件是分母不等于0．分式值是0的条件是分子是0，分母不是0．
9．由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】C
【解析】
【分析】
将c= 3和0分别代入A中计算求值即可判断出选项A，B的对错；当c< 3和c<0时计算的正负，即可判断出选项C，D的对错．
解：A选项，当c= 3时，分式无意义，故该选项不符合题意；
B选项，当c=0时，，故该选项不符合题意；
C选项，
∵c< 3，
∴3+c<0，c<0，
∴3(3+c)<0，
∴，
∴，故该选项符合题意；
D选项，当c<0时，
∵3(3+c)的正负无法确定，
∴A与的大小就无法确定，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了分式的求值，分式的加减法，通过作差法比较大小是解题的关键．
10．下列结论：①不论a为何值时都有意义；②时，分式的值为0；③若的值为负，则x的取值范围是；④若有意义，则x的取值范围是且．其中正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】A
【解析】
【分析】
根据分式有意义的条件对各式进行逐一分析即可．
解∶①∵不论a为何值，，∴不论a为何值时都有意义，故正确；
②当时，，此时分式无意义，故错误；
③∵的值为负，又，∴，∴，故正确；
④∵有意义，∴，∴x≠0且x≠-1且x≠-2，故错误．
故选：A．
【点睛】
本题考查了分式有意义的条件，解题要注意④中除数不能为0，否则会造成误解．
二、填空题
11．要使式子有意义，则x的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据分式有意义的条件，即解不等式作答即可．
由题意得，
解得
故答案为：．
【点睛】
本题考查了分式有意义的条件，即分母不等于0，熟练掌握知识点是解题的关键．
12．在式子①；②；③；④；⑤；⑥中，分式有______个．
【答案】4
【解析】
【分析】
根据分式的定义，形如(A、B是整式，且B中含有字母，B0)的式子叫做分式，紧扣定义，便可判断出有4个式子是分式．
解：①，②，④，⑤这4个式子都符合分式的定义，
③，⑥的分母都不含字母，不符合分式的定义，
综上，分式有4个．
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．
13．若分式的值为0，则的值为 ．
【答案】﹣2
【解析】
【分析】
直接利用分式的值为零，则分子为零，且分母不为零，进而得出答案．
解：由题意，得
a2﹣4＝0且a﹣2≠0，
解得a＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点睛】
本题考查了分式为零的条件，要使分式的值为零，必须同时满足分子为零，且分母不为零．
14．使分式无意义的的取值是_______ ．
【答案】-1或0或1
【解析】
【分析】
根据分式无意义的条件即可求出答案．
解：由分式有意义的条件可知：x+1≠0，x≠0，x﹣1≠0，
∴使分式无意义的x＝﹣1，0，1，
故答案为：﹣1或0或1．
【点睛】
本题考查分式无意义的条件即分母为零，解题的关键是熟练运用分式无意义的条件．
15．已知非零实数x，y满足，则的值等于______．
【答案】1
【解析】
【分析】
由可得，然后代入代数式求解即可．
解：∵
∴
∴原式
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了代数式求值．解题的关键在于求出．
16．约分：① __________， ② __________，
③ ___________， ④ 若，则的值是________.
【答案】 ； ； ； ．
【解析】
【分析】
（1）分子分母都约去公因式5ab即可；
（2）分别将分子和分母分解因式，再约分；
（3）分别将分子和分母分解因式，再约分；
（4）将前面的等式进行变形后再代入后面的代数式进行求值即可．
解：① ；
② ；
③ ；
④ 若，则,
∴．
故答案为：① ；② ； ③ ；④．
【点睛】
本题考查了约分及分式的求值：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．
17．若，则的值为 _____．
【答案】5
【解析】
【分析】
先根据得到，然后化简，最后代入求解即可．
解：∵，
∴，
∴
∴
，
故答案为：5．
【点睛】
本题主要考查了分式的求值，解题的关键在于能够熟知分式的性质．
18．给定一列分式：，，，，，其中，根据你发现的规律，试写出第个分式______．
【答案】
【解析】
【分析】
用后面项除以前面项求出结果，归纳总结得到第个分式即可．
解：给定一列分式：，，，，，其中用任意一个分式做除法，去除它后面一个分式得到的结果是；
根据你发现的规律，试写出第个分式，
故答案为：．
【点睛】
此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
三、解答题
19．当x为何值时，下列分式有意义？
（1）；（2）；（3）
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据分式有意义的条件，即分母不等于0求解；
（2）根据分式有意义的条件，即分母不等于0求解；
（3）根据分式有意义的条件，即分母不等于0求解．
解：（1）要有意义，则有：
（2）要有意义，则有：
（3）要有意义，则有：x≠0
【点睛】
本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是分母不等于0是解答此题的关键．
20．化简下列分式：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）（2）直接利用分式的性质分别约分即可得出答案；
（3）分子分母分别因式分解，再约分即可得出答案．
（1）；
（2）；
（3）．
【点睛】
本题主要考查了分式的性质，正确化简分式是解题关键．
21．下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？两类式子的区别是什么？
．
【答案】分式：，，；整式：，见解析
【解析】
【分析】
根据分式和整式的定义求解即可．
解：分式：，，；整式：．
两类式子的区别是：分式的分母中必须含有未知数，整式的分母中不含未知数．
【点睛】
本题主要考查分式的定义，解题的关键是掌握如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式；单项式和多项式统称为整式．
22．求下列各式的值：
（1），其中；
（2），其中．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
各式约分得到最简结果，把字母的值代入计算即可求出值．
解：（1），
当x=100时，原式；
（2），
当x=-6，y=28时，原式．
【点睛】
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23．（1）当时，分别求分式的值；
（2）当a取何值时，分式有意义？
【答案】（1）2；1；0；（2）
【解析】
【分析】
（1）把a=1，a=2，a=-1，分别代入分式，求解即可；
（2）根据分式有意义的条件求解即可得．
解：（1）当时，；
当时，；
当时，．
（2）当分母的值等于零时，分式没有意义，除此之外，分式都有意义．
由分母，得．
所以，当时，分式都有意义．
【点睛】
本题主要考查了求分式的值，分式有意义的条件，解题的关键是明确分式有意义的条件是分母不等于零．
24．约分
（1） （2）
（3） （4）
【答案】（1）（2）（3）（4）
【解析】
【分析】
根据分式的基本性质进行约分即可.
（1）
（2）
（3）
（4）
【点睛】
考查约分的相关知识:定义:根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分; 约分的步骤主要是:把分式的分子与分母分解因式,然后约去分子与分母的公因式.
25．不改变分式的值，把下列各式的分式与分母中各项的系数都化为整数．
①；②；③；④．
【答案】①；②；③；④
【解析】
【分析】
分式的基本性质：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变，根据分式的基本性质：①分式的分子分母都乘以 可得答案；②分式的分子分母都乘以可得答案；③分式的分子分母都乘以 可得答案；④分式的分子分母都乘以 可得答案；
解：①，
②，
③，
④
【点睛】
本题考查的是利用分式的基本性质把分子分母的各项系数化为整数，掌握变形的方法是解题的关键.
26．不改变分式的值，使分子、分母中次数最高的项的系数都化为正数．
①；②；③；④．
【答案】①；②；③；④
【解析】
【分析】
分式的基本性质：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变，从而可得分式的三个符号，同时改变两个，分式的值不变，根据分式的基本性质：①改变分式的分子与分式本身的符号，可得答案；②改变分式的分母与分式本身的符号，可得答案；③改变分式的分子与分母的符号，可得答案；④改变分式的分子与分母的符号，可得答案.
解：①；
②；
③；
④
【点睛】
本题考查的是利用分式的基本性质把分子分母的最高次项的系数化为正数，掌握变形的方法是解题的关键.
27．已知：代数式．
（1）当m为何值时，该式的值大于零？
（2）当m为何整数时，该式的值为正整数？
【答案】（1）m＞1；（2）2，3，5
【解析】
【分析】
（1）根据分式值大于0的条件计算即可；
（2）根据值为整数进行判断求解即可；
解：（1）∵0，
∴m﹣1＞0，
∴m＞1，即，当m＞1时，该式的值大于零；
（2）∵为正整数，m为整数，
∴m﹣1＝1或m﹣1＝2或m﹣1＝4，
解得：m＝2，3，5．
∴当m为2，3，5时，该式的值为正整数．
【点睛】
本题主要考查了分式的值，准确分析，列出不等式或方程是解题的关键．
28．已知，取哪些值时：
（1）的值是正数．
（2）的值是负数．
（3）的值是零．
（4）分式无意义．
【答案】（1）且；（2）；（3）；（4）
【解析】
【分析】
先在分式有意义的条件下化简，再考虑（1）、（2）、（3）、（4）小题.
（1）y的值是正数，则分式化简后的结果是正数，据此可求；
（2）y的值是负数，则分式化简后的结果是负数，据此可求；
（3）分式的值是0，则分式化简后的结果等于0，据此可求；
（4）分式无意义的条件是原分式的分母等于0，据此可求．
解：
=
=
由上可知，当时，分式有意义化简的结果是m+1；
（1）由y为正数得：＞0，
∴m＞-1且．
（2）由y为负数得：＜0，
∴m＜-1．
（3）由y为零得：=0，
∴m=-1．
（4）由分式无意义得：，
∴m=2．
【点睛】
本题主要考查了分式的值的正负，以及值是0、分式有意义的条件，先化简再求解是解决本题的关键．易错点是第（1）问会漏了这个限制条件.
29．若分式的值为零，求x的值．
莉莉的解法如下：
解：分式的值为零．
，．
请问莉莉的解法正确吗？如果不正确，请写出正确的解法．
【答案】莉莉的解法不正确，正确的解法见解析．
【解析】
【分析】
分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零．依此列出算式计算即可求解．
莉莉的解法不正确，正确的解法如下：
分式的值为零，
且，解得．
【点睛】
本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
30．（1）请你写出五个正的真分数，____，____，____，____，____，给每个分数的分子和分母加上同一个正数得到五个新分数：____，____，____，_____，____.
（2）比较原来每个分数与对应新分数的大小，可以得出下面的结论：
一个真分数是（a、b均为正数），给其分子分母同加一个正数m，得，则两个分数的大小关系是_____.
（3）请你用文字叙述（2）中结论的含义：
（4）你能用图形的面积说明这个结论吗？
（5）解决问题：如图1，有一个长宽不等的长方形绿地，现给绿地四周铺一条宽相等的路，问原来的长方形与现在铺过小路后的长方形是否相似？为什么？
（6）这个结论可以解释生活中的许多现象，解决许多生活与数学中的问题.请你再提出一个类似的数学问题，或举出一个生活中与此结论相关例子.
【答案】(1) ；；；；；；；；；；（2）＞；（3）给一个正的真分数的分子、分母同加一个正数，得到的新分数大于原来的分数；（4）答案见解析；（5）不相似，理由见解析；（6）答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）小于1的数叫做真分数；（2）根据实例易得规律；（3）抓住新分数大于原分数即可；（4）根据图形进行分析解答；（5）利用相关规律解决问题即可；（6）结合生活中的现象进行解答.
解：（1）、、、、，、、、、；（2）；
（3）给一个正的真分数的分子、分母同加一个正数，得到的新分数大于原来的分数；
（4）思路1：如图2所示，
由，得，即，，可推出；
思路2：构造两个面积为1的长方形（如图3），将它们分成两部分，比较右侧的两个长方形面积可以发现：
，，
因为a、b、，且，
故 ，即
（5）不相似.因为两个长方形长与宽的比值不相等；
（6）数学问题举例：
①若是假分数，会有怎样的结论？
②a、b不是正数，或不全是正数，情况如何？
【点睛】
本题实际考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键.
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