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5.2分式的乘除
一、单选题
1．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先将分母分解因式，再根据分式的除法运算法则计算即可．
解：原式
，
故选：B．
【点睛】
本题考查了分式的除法运算，熟练掌握分式的运算法则是解决本题的关键．
2．的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
首先把每一项因式分解，然后根据分式的混合运算法则求解即可．
=
=
=
故选：B．
【点睛】
此题考查了分式的混合运算，解题的关键是先对每一项因式分解，然后再根据分式的混合运算法则求解．
3．下列分式中最简分式的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
根据最简分式的定义分析即可，最简分式定义， 一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时叫最简分式．
，， ，不是最简分式，
是最简分式，
最简分式的个数为1个
故选A
【点睛】
本题考查了最简分式，掌握最简分式的定义是解题的关键．
4．与分式的乘积等于的分式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
直接用除以得到的结果即为所求．
解：，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了分式的除法，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则进行求解．
5．下列分式运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据分式的乘除法运算法则对每个选项逐个计算即可判断出正确选项．
解：A、，故A选项错误；
B、，故B选项正确；
C、，故C选项错误；
D、，故D选项错误，
故选：B．
【点睛】
本题考查了分式的乘除法运算，熟练掌握分式的运算法则是解决本题的关键．
6．下列各分式运算结果正确的是（ ）
①；②；③；④
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
【答案】C
【解析】
【分析】
根据分式乘除法则逐一计算判断即可．
解：①，计算正确；
②，计算正确；
③，计算错误；
④，计算错误；
故选C．
【点睛】
本题考查了分式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
7．当时，的值为（ ）
A．1 B． C． D．不确定
【答案】B
【解析】
【分析】
当时，去掉式子中的绝对值符号，即可对原式进行化简．
解：当时，
，
故选：B．
【点睛】
本题考查了分式的化简，绝对值的性质：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，化简式子时，正确去掉绝对值符号是解决本题的关键．
8．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
将除法转化为乘法，进而根据分式的性质约分即可．
=．
故选D．
【点睛】
本题考查了分式的除法运算，将除法转化为乘法运算是解题的关键．
9．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据平方差公式和完全平方公式变形，再约分即可得出答案．
解：原式，
当时，原式．
故选A．
【点睛】
本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
10．一支部队排成a米长队行军，在队尾的战士要与最前面的团长联系，他用t1分钟追上了团长、为了回到队尾，他在追上团长的地方等待了t2分钟．如果他从最前头跑步回到队尾，那么他需要的时间是（ ）
A．分钟 B．分钟
C．分钟 D．分钟
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意得到队伍的速度为，队尾战士的速度为，可以得到他从最前头跑步回到队尾，那么他需要的时间是，化简即可求解
解：由题意得：分钟．
故选：C
【点睛】
本题考查了根据题意列分式计算，理解题意正确列出分式是解题关键．
二、填空题
11．（1）________；
（2）________．
【答案】
【解析】
【分析】
（1）根据分式的基本性质进行计算即可得到答案；
（2）根据分式的基本性质进行计算即可得到答案．
解：（1）
；
（2）
．
故答案为： ，
【点睛】
本题主要考查了分式的运算，解题的关键在于能够熟练掌握分式的基本性质．
12．（1）________；
（2）________．
【答案】
【解析】
【分析】
（1）根据分式的乘除计算法则进行计算即可得到答案；
（2）根据分式的基本性质进行计算即可得到答案．
解：（1）
；
（2）
．
故答案为：，．
【点睛】
本题主要考查了分式的运算，解题的关键在于能够熟练掌握分式的运算法则．
13．（1）________； （2）________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据分式的除法运算，进行计算即可．
（1）
故答案为：；
（2）
故答案为：；
【点睛】
本题考查了分式的除法运算，将除法转化为乘法运算是解题的关键．
14．计算：______.
【答案】1.
【解析】
【分析】
根据分式的乘除运算法则即可求解.
=
=1
故填：1.
【点睛】
此题主要考查分式乘除，解题的关键是熟知分式的乘除运算法则.
15．（1）________；
（2）________；
（3）________；
（4）________；
（5）________．
【答案】
【解析】
【分析】
（1）根据分式的乘法法则计算即可；
（2）先算乘方，再算乘法即可；
（3）先算乘方，再算除法即可；
（4）先算乘方，再算乘除法即可；
（5）先算乘方，再算除法即可；
解：（1）
（2）；
（3）原式=；
（4）原式=；
（5）；
故答案为：，，，，
【点睛】
本题考查了分式的乘、除、乘方的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键
16．计算÷=__________．
【答案】-2
【解析】
【分析】
原式利用除法法则变形，约分即可得到结果
解：原式==-2，
故答案为：-2．
【点睛】
本题考查了分式的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．计算：___________．
【答案】
【解析】
【分析】
先将分子和分母分解因式，再计算乘法，并将结果化为最简分式．
．
【点睛】
此题考查分式的乘法计算法则：分子相乘作积的分子，分母相乘作积的分母．
18．任意两个和不为零的数a、b、c满足，求的值______．
【答案】或
【解析】
【分析】
根据，可以得到它们的比值或者a、b、c的关系式，进而解答．
解：设，
则，，，
∴，
∴，
当时，，
，
当时，
．
故答案为：或．
【点睛】
本题考查分式的混合运算，利用等式的性质进行变形是解题关键．
三、解答题
19．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】
【分析】
（1）按分式乘法的法则进行计算即可求出答案；
（2）（3）（4）先将分式的分子分母分解因式，再将除法运算转化为乘法运算，最后约分即可求出答案．
解：（1）；
（2）
=a2-2a+1；
（3）
=y（x-1）=xy-y；
（4）
．
【点睛】
本题考查了分式的乘除，解题的关键是熟练运用分式的乘除运算法则，本题属于基础题型．
20．计算
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】
【分析】
（1）按照分式乘除混合运算法则进行计算即可．
（2）按照分式乘除运算法则进行计算即可．
（3）分式的分子分母分别平方即可．
（4）按照分式混合运算法则进行计算即可．
（1）
（2）
（3）
（4）
【点睛】
本题考查分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题关键．
21．（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
【答案】（1）；（2）；（3）1；（4）；（5）；（6）
【解析】
【分析】
（1）根据分式约分法则先约分再按乘法法则计算即可；
（2）先因式分解，把除变乘除式分子分母颠倒位置与被除式相乘，约分化为最简分式即可；
（3）先因式分解，把除变乘，再约分即可；
（4）先因式分解，约分，再利用乘法分配律去分母括号即可；
（5）先因式分解，把除法化为乘法，再利用公式展开即可；
（6）先因式分解，再约分即可．
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
【点睛】
本题考查分式的乘除法混合运算，掌握分式的乘除法混合运算法则，先因式分解，再化除为乘，然后约分化为最简分式，去掉分子分母中括号是解题关键．
22．计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】
【分析】
（1）利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解，再由分式的运算法则进行运算即可；
（2）利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解，再由分式的运算法则进行运算即可；
（3）根据幂的乘方和分式的运算法则进行运算即可．
解：（1）原式
；
（2）原式；
（3）原式
．
【点睛】
本题主要考查了分式的混合运算，其中涉及到了幂的乘方，完全平方公式和平方差公式等知识点，熟悉掌握运算的法则是解题的关键．
23．先化简，再求值：，其中．
【答案】，9
【解析】
【分析】
先对分式的分子和分母因式分解，再将除号变为乘号计算并化简，最后代值运算即可．
解：原式．
当时，
原式．
【点睛】
本题主要考查分式的化简运算，需要有一定的运算求解能力，属于基础题，熟练掌握运算法则是解题的关键．
24．已知A=xy-x2，B=，C=，若A÷B=C×D，求代数式D．
【答案】D=-y.
【解析】
【分析】
根据所给出的条件A÷B=C×D列出式子，经过运算即可求出D的值．
A=xy-x2=x(y-x)，B=，C=
∵A÷B=C×D，
∴x(y-x)÷×D.
∴D=x(y-x)××=-y.
∴D=-y.
【点睛】
本题综合地考查了化简分式以及分式的乘除法运算的知识，分式的乘除混合运算一般是统一为乘法运算，找出分子分母中能约分的公因式，然后进行约分．
25．化简：．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意利用分式通分约分法则以及加减乘除运算法则进行计算与化简.
解：
=
=
=
=
【点睛】
本题考查分式的化简运算，熟练掌握利用因式分解进行分式的化简运算以及去括号由里及外的原则进行计算是解题的关键.
26．化简：．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意先对原式各分母分解因式，并裂项相消进行加减运算即可.
解：
【点睛】
本题考查分式的化简运算，熟练掌握利用因式分解进行分式的化简运算以及运用裂项相消的方法计算是解题的关键.
27．计算：（a、b、c两两不相等）
【答案】0
【解析】
【分析】
将各分母进行分组分解，然后通分相加减，将分子进行运算后得到和为0，得结果为0.
【点睛】
本题考查了分式的混合运算，解题关键是熟练掌握运算法则.
28．阅读下面的解题过程：
已知，求代数式的值．
解：∵，∴，∴．
∴，
∴．
这种解题方法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面的题目：
已知，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】
先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，接着把分子分母因式分解后约分得到原式利用倒数法由已知条件得到然后把左边化为真分式后利用整体代入的方法计算．
解：原式，
∵，
∴，
∴原式
【点睛】
本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
29．小刚在学习分式的运算时，探究出了一个分式的运算规律：
．
反过来，有
运用这个运算规律可以计算：
．
请你运用这个运算规律计算： ；
小刚尝试应用这个数学运算规律解决下面的问题：
一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第次倒出水，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的．．．．．第次倒出的水量是的．按照这种倒水的方法，这水能倒完吗
请你补充解决过程：
①列出倒次水倒出的总水量的式子并计算；
②根据①的计算结果回答问题“按照这种倒水的方法，这水能倒完吗”，并说明理由．
【答案】（1）；（2）①，见解析；②按这种方法，容器中的水是倒不完的，见解析
【解析】
【分析】
（1）根据材料中的运算规律，把写成直接运算即可．
（2）①先列出式子，再根据材料中的运算规律，直接计算和化简．
②根据①的计算结果可判断始终是小于1的，由此可判断容器中的水是倒不完的．
=
=
=；
①
=
=
=(L)
②这水不能倒完，因为，所以无论倒水次数有多大，倒出的总水量总小于．
因此，按这种方法，容器中的水是倒不完的．
【点睛】
本题主要考查阅读材料的能力，分式的运算，读懂材料并理解材料中的运算规律是解决本题的关键．
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5.2分式的乘除
一、单选题
1．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．下列分式中最简分式的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．与分式的乘积等于的分式是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列分式运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列各分式运算结果正确的是（ ）
①；②；③；④
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
7．当时，的值为（ ）
A．1 B． C． D．不确定
8．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
9．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．一支部队排成a米长队行军，在队尾的战士要与最前面的团长联系，他用t1分钟追上了团长、为了回到队尾，他在追上团长的地方等待了t2分钟．如果他从最前头跑步回到队尾，那么他需要的时间是（ ）
A．分钟 B．分钟
C．分钟 D．分钟
二、填空题
11．（1）________；
（2）________．
12．（1）________；
（2）________．
13．（1）________； （2）________．
14．计算：______.
15．（1）________；
（2）________；
（3）________；
（4）________；
（5）________．
16．计算÷=__________．
17．计算：___________．
18．任意两个和不为零的数a、b、c满足，求的值______．
三、解答题
19．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
20．计算
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
21．（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
22．计算：
（1）；
（2）；
（3）．
23．先化简，再求值：，其中．
24．已知A=xy-x2，B=，C=，若A÷B=C×D，求代数式D．
25．化简：．
26．化简：．
27．计算：（a、b、c两两不相等）
28．阅读下面的解题过程：
已知，求代数式的值．
解：∵，∴，∴．
∴，
∴．
这种解题方法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面的题目：
已知，求的值．
29．小刚在学习分式的运算时，探究出了一个分式的运算规律：
．
反过来，有
运用这个运算规律可以计算：
．
请你运用这个运算规律计算： ；
小刚尝试应用这个数学运算规律解决下面的问题：
一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第次倒出水，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的．．．．．第次倒出的水量是的．按照这种倒水的方法，这水能倒完吗
请你补充解决过程：
①列出倒次水倒出的总水量的式子并计算；
②根据①的计算结果回答问题“按照这种倒水的方法，这水能倒完吗”，并说明理由．
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第五章 分式与分式方程
5.2 分式的乘除
精品教学课件
北师大版八年级下册数学教学课件
问题1 一个长方体容器的容积为V,底面的长为a,宽为b,当容器内的水占容积的 时,水高多少
长方体容器的高为 ,
水高为
问题引入
问题2 大拖拉机m天耕地a公顷,小拖拉机n天耕地b公顷,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍
大拖拉机的工作效率是 公顷/天,小拖拉
机的工作效率是 公顷/天,大拖拉机的工作效率
是小拖拉机的工作效率的( )倍.
想一想：
类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则吗？
填空：
类比探究
一、分式的乘除法
类似于分数，分式有：
乘法法则：
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.
除法法则：
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.
上述法则用式子表示为：
归纳法则
例1 计算:
解：
典例精析
注意：按照法则进行分式乘除运算，如果运算结果不是最简分式，一定要进行约分，使运算结果化成最简分式.
先把除法转化为乘法
约分
解：（1）原式
（2）原式
（1）
（2）
做一做
方法归纳
方法总结：分子和分母都是单项式的分式的乘法，直接按“分子乘分子，分母乘分母”进行运算，其运算步骤为：
(1)符号运算；
(2)按分式的乘法法则运算．
1
【中考·广州】计算(a2b)3· 的结果是( )
A．a5b5 B．a4b5
C．ab5 D．a5b6
A
分式的乘法练习
3
下列计算正确的是( )
A. B.
C. D．
D
计算：
(1)【中考·吉林】 ＝________；
(2)【2017·沈阳】 ＝________．
4
x＋y
计算：
5
原式＝
＝
解：
计算：
1
分式的除法练习
解：
2 (中考·济南)化简 的结果是( )
A. B. C. D．2(x＋1)
A
若 的值是5，则a的值是
( )
A．5 B．－5
C. D．－
3
C
【中考·枣庄】化简：
＝________.
4
根据乘方的意义计算下列各式：
二、分式的乘方
类比分数的乘方运算，你能计算下列各式吗？
10个
想一想：
一般地，当n是正整数时，
n个
n个
n个
这就是说，分式乘方要把分子、分母分别乘方.
想一想：目前为止，正整数指数幂的运算法则都有什么？
(1) am·an ＝am+n ；
(2) am÷an＝am-n；
(3) (am)n＝amn；
(4) (ab)n＝anbn；
知识要点
分式的乘方法则
理解要点：
（1）分式乘方时，一定要把分子、分母分别乘方，不要把 写成 .
（2)分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负.
（3）含有乘方的分式乘除混合运算，先算分式的乘方，再算乘除.
×
√
C
C
课堂练习
A
D
探究点一
问题1：观察下列运算
问题2： 有什么关系？
探究点二
1：计算.
2：计算：
＝a＋1.
当a＝2 018时，
原式＝2 018＋1＝2 019.
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
