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第五章 分式与分式方程
5.3 分式的加减
精品教学课件
北师大版八年级下册数学教学课件
1.分式的基本性质：
一个分式的分子与分母同乘（或除以）一个________________,分式的值_______.
不变
不为0的整式
2.什么叫约分？
把一个分式的分子和分母的公因式约去,不改变分式的值，这种变形叫做分式的约分.
复习引入
3. 把下面分数通分：
最简公倍数：
4×3×2=24
类比分数，怎样把分式通分呢？
1.同分母分数的加减法则是什么吗？
2.计算：
1
2
同分母分数相加减，分母不变，把分子相加减.
回顾与思考
思考：类比前面同分母分数的加减，想想下面式子怎么计算？
a
1
a
2
+
猜一猜：同分母的分式应该如何加减？
类比探究
观察下列分数加减运算的式子,你想到了什么？
请类比同分母分数的加减法，说一说同分母的分式应该如何加减
一、同分母分式的加减
知识要点
同分母分式的加减法则
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减
上述法则可用式子表示为
解：原式=
=
=
注意：结果要化为最简分式！
=
例 计算：
解：原式=
=
=
注意：结果要化为最简分式！
=
把分子看作一个整体，先用括号括起来！
（去括号）
（合并同类项）
注意：当分子是
多项式时要加括号！
注意：结果要化为最简形式！
做一做
思考：下列等式是否成立？为什么？
二、分式的符号法则
例 计算:
解：
典例精析
分式的分母是互为相反数时，可以把其中一个分母放到带有负号的括号内，把分母化为完全相同．再根据同分母分式相加减的法则进行运算．
方法总结
例1 找出下面各组分式最简公分母：
最小公倍数
最简公分母
最高次幂
单独字母
类似于分数的通分要找最小公倍数，分式的通分要先确定分式的最简公分母.
三、最简公分母
不同的因式
最简公分母的系数，取各个分母的系数的最小公倍数，字母及式子取各分母中所有分母和式子的最高次幂.
找最简公分母:
x(x-5)（x+5）
(x+y)2 (x-y)
练一练
问题：
请计算 ( )， ( ).
异分母分数相加减
分数的通分
依据：分数的基本性质
转化
同分母分数相加减
异分母分数相加减，先通分，
变为同分母的分数，再加减 .
四、异分母的加减
请计算 ( )， ( );
依据:分数基本性质
分数的通分
同分母分数相加减
异分母分数相加减
转化
异分母分数相加减，先通分，变为同分母的分数，再加减.
异分母分式相加减
分式的通分
依据:分式基本性质
转化
同分母分式相加减
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
请思考
b
d
b
d
类比：异分母的分式应该如何加减
计算：
(1) (2) (3)
例2
(1)
(2)
解：
(3)
找最简公分母：
第一要看系数；第二要看字母(式子）.
分母是多项式的先因式分解，再找公分母.
总结归纳
根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分.
知识要点
异分母分式的加减法则
异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.
上述法则可用式子表示为
1
计算：
解：
练一练
2
【中考·山西】化简 的结果是( )
A．－x2＋2x B．－x2＋6x
C． D.
C
3
计算 的结果是( )
A. B.
C. D.
A
计算 的结果是( )
B.
C. D.
4
D
【中考·呼和浩特】下列运算正确的是( )
A．(a2＋2b2)－2(－a2＋b2)＝3a2＋b2
B. －a－1＝
C．(－a)3m÷am＝(－1)ma2m
D．6x2－5x－1＝(2x－1)(3x－1)
5
C
【中考·滨州】观察下列各式：
….
请你利用你所得的结论，化简代数式：
(n≥3且n为
整数)，其结果为_______________．
6
例
小刚家和小丽家到学校的路程都是3 km,其中小丽走的是平路，骑 车速度是2v km/h.小刚需要走1 km的上坡路、2 km的下坡路，在上坡路上的骑车速度为
v km/h，在下坡路上的骑车速度为3v km/h.那么
(1) 小刚从家到学校需要多长时间？
(2) 小刚和小丽谁在路上花费的时间少？少用多长时
间？
五、分式的应用及分式混合运算
(1)小刚从家到学校需要
(2)小丽从家到学校需要
因为 所以小丽在路上花费时间少.
小丽比小刚在路上花费时间少
解：
1
已知两个式子：
其中x≠±2，则A与B的关系是( )
A．相等 B．互为倒数
C．互为相反数 D．A大于B
C
练一练
【中考·泰安】化简
的结果为( )
A. B.
C. D．a
2
C
当a＝1，b＝0时， 的值为( )
A．－2 B．2 C．1 D．－1
已知1＜x＜2，则式子 化简
的结果是( )
A．－1 B．1 C．2 D．3
3
4
C
A
【中考·眉山】已知 m2＋ n2＝n－m－2，
则 的值等于( )
A．1 B．0
C．－1 D.
5
C
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5.3分式的加减
一、单选题
1．计算的结果为（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．1
3．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．当时，（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
6．若，则A，B的值分别为（ ）
A． B． C． D．
7．化简分式的结果是（ ）
A． B． C． D．
8．已知x为整数，且为整数，则符合条件的x有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．已知，为实数，且，，设，，则，的大小关系是（ ）.
A． B． C． D．无法确定
10．已知，，，则的值为（ ）
A．-1 B． C．2 D．
二、填空题
11．化简：________．
12．化简：________．
13．________________；________________；________________．
14．与的最简公分母是________；
与的最简公分母是________；
与的最简公分母是________；
的最简公分母是________；
的最简公分母为________．
的最简公分母是________．
15．一份稿件，甲单独打字需a天完成，乙单独打字需b天完成，两人共同打需________天完成．
16．化简：＝_____．
17．若x＜0，则＝______．
18．设a，b，c，d都是正数，且S＝+，那么S的取值范围是__．
三、解答题
19．计算：
（1）；（2）；（3）．
20．计算：
（1）；（2）；（3）；（4）．
21．计算
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
22．先化简，再求值：
（1）当时，求的值；
（2）设，求的值．
23．先化简，再求值：
（1）已知，求的值；
（2）设，求的值．
24．临近春节，甲厂决定包租一辆车送员工返乡过年，租金为3000元．出发时，乙厂有3名同乡员工也随车返乡（车费自付），总人数达到x名．如果包车租金不变，那么甲厂为每位员工平均每人支付车费可比原来少多少元？
25．一个无盖长方体盒子的容积是V．
（1）如果盒子底面是边长为a的正方形，这个盒子的表面积是多少？
（2）如果盒子底面是长为b 宽为c的长方形，这个盒子的表面积是多少？
（3）上面两种情况下，如果盒子的底面面积相等，那么两种盒子的表面积相差多少？（不计制造材料的厚度．）
26．先化简，再求值：＋·，其中x=，y=－3.
27．（1）先化简，再求值：，其中．
（2）已知对于分式有意义的一切实数x，分式的值不变，求分式的值．
（3）已知，求的值．
28．阅读下面的解题过程：
已知，求的值．
解：由知≠0，所以
∴，故的值为
评注：该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面的题目
已知，求的值．
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5.3分式的加减
一、单选题
1．计算的结果为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据分式加减法则进行运算．对于同分母的分式相加减分母不变，分子相加减，然后根据分式的性质化简即可．
解：原式．
故选D．
【点睛】
本题分式的基本性质和分式的加减计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
2．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】
【分析】
根据分式的加减计算法则进行求解即可．
解：．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了分式的加减计算，解题的关键在于能够熟练掌握分式的加减计算法则．
3．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据分式的加减运算法则，先通分再加减即可．
解：原式
，
故选：A．
【点睛】
本题考查了分式的加减，掌握通分的方法是解题的关键．
4．当时，（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】
【分析】
将原式化简后再将x=1带入求解即可．
原式，
当时，原式．
故选：C
【点睛】
本题运用了分式的混合运算，熟练掌握是解决问题的关键．
5．计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
括号内先通分，化为同分母分式后，根据分式的运算法则计算可得．
原式
，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了分式的加减乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握异分母分式加减运算法则．
6．若，则A，B的值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据分式的加减法法则计算等号左边，再根据等号左右两边分式的分子相同，列出关于A、B的二元一次方程组进行求解即可．
∵，
，
∴，
解得：．
故选：A．
【点睛】
本题考查了分式的加减，解二元一次方程组，熟练掌握分式加减法法则及二元一次方程组的解法是解题的关键．
7．化简分式的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意根据约分的方法可以化简题目中的式子，从而可以解答本题．
解：
=
故选：B.
【点睛】
本题考查分式的化简，熟练掌握分式通分与约分的技巧是解题的关键.
8．已知x为整数，且为整数，则符合条件的x有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【解析】
【分析】
原式三项通分并利用同分母分式的加法法则计算，根据其值为整数，即可得出符合条件x值的个数．
解：原式=
=；
当x﹣3=3，即x=6时，原式值为整数；
当x﹣3=1，即x=4时，原式值为整数；
当x﹣3=﹣1，即x=2时，原式值为整数；
当x﹣3=﹣3，即x=0时，原式值为整数；
所以符合条件的x有4个．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查分式的化简与分式的整数值，解此题的关键在于通分、约分．
9．已知，为实数，且，，设，，则，的大小关系是（ ）.
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】
对M、N分别求解计算，进行异分母分式加减，然后把ab=1代入计算后直接选取答案.
解：，
∵，∴ ，
，
∵，∴，
∴M=N，
故选：C.
【点睛】
本题考查分式的加减法，熟练掌握分式的运算为解题关键
10．已知，，，则的值为（ ）
A．-1 B． C．2 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
观察所给算式可得,代入整理之后对算式进行通分即可．
解：由可得：，
则
，
，
故原式．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查的是求分式的值，对算式进行通分简化是解题的关键，体现了转化思想，化繁为简．
二、填空题
11．化简：________．
【答案】
【解析】
【分析】
把异分母化成同分母，根据同分母分式加减法法则进行计算即可．
解：
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了异分母分式加减法运算，掌握异分母分式加减法的运算法则是解题的关键．
12．化简：________．
【答案】．
【解析】
【分析】
先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的除法．
解：原式
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查分式的混合运算，掌握分式混合运算的运算顺序是解题关键．
13．________________；________________；________________．
【答案】 1 1
【解析】
【分析】
根据分式的加减乘除运算法则计算即可．
解：，
；
；
故答案为：；1；1．
【点睛】
本题考查了分式的加法，分式的除法，熟练掌握分式的运算法则是解本题的关键．
14．与的最简公分母是________；
与的最简公分母是________；
与的最简公分母是________；
的最简公分母是________；
的最简公分母为________．
的最简公分母是________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据最简公分母的定义：通常取各分式分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母，进行求解即可．
解：与的最简公分母是 ；
与的最简公分母是；
与的最简公分母是；
的最简公分母是；
的最简公分母为．
的最简公分母是．
故答案为：；；；；；．
【点睛】
本题主要考查了求最简公分母，解题的关键在于能够熟练掌握最简公分母的定义．
15．一份稿件，甲单独打字需a天完成，乙单独打字需b天完成，两人共同打需________天完成．
【答案】
【解析】
【分析】
甲单独打字需a天完成，乙单独打字需b天完成，则甲、乙的工作效率分别为 、 ，由此求解即可．
解：由题意可得，两人共同打需要 天，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了分式的应用，解题的关键在于能够找到甲、乙的工作效率．
16．化简：＝_____．
【答案】3-x
【解析】
【分析】
先利用完全平方公式和平方差公式分解因式，进而约分，再将除法改为乘法，且利用乘法分配律，再进行约分即可得出结果．
解：原式
故答案为：．
【点睛】
本题考查分式的加减乘除混合运算．掌握完全平方公式和平方差公式是解答本题的关键．
17．若x＜0，则＝______．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意先依据x＜0去绝对值后，进行分式的加法运算即可得出答案．
解：∵x＜0，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查去绝对值以及分式的加法运算，熟练掌握去绝对值以及分式的加法运算方法是解题的关键．
18．设a，b，c，d都是正数，且S＝+，那么S的取值范围是__．
【答案】1＜S＜2
【解析】
【分析】
根据分式的性质，分别将分母扩大、缩小，通过分式加减，计算即可得到结论．
∵a，b，c，d都是正数
∴S＝+＞+＝＝1
S＝+＜+＝+＝2
∴1＜S＜2
故答案为：1＜S＜2．
【点睛】
本题考查了分式的知识；解题的关键是熟练掌握分式加减运算的性质，从而完成求解．
三、解答题
19．计算：
（1）；（2）；（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
异分母分式相加减，先进行通分，将异分母分式化成同分母分式，再进行加减运算．
解：（1），
，
，
；
（2），
，
；
（3），
，
．
【点睛】
此题主要考查了分式的加减法，关键是掌握异分母分式加减法法则，注意结果要化简．
20．计算：
（1）；（2）；（3）；（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】
【分析】
（1）原式先通分，再根据同分母分式加减法计算法则计算即可求解；
（2）原式先通分，再根据同分母分式加减法计算法则计算即可求解；
（3）原式先通分，再根据同分母分式加减法计算法则计算即可求解；
（4）原式先通分，再根据同分母分式加减法计算法则计算即可求解．
解：（1），
，
；
（2），
，
；
（3），
，
，
，
；
（4），
，
，
．
【点睛】
本题考查了分式的加减法，异分母分式相加减时，先通分，变为同分母分式，再进行加减运算是解题关键．
21．计算
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】
【分析】
先算括号里面的，再根据分式乘除法法则计算，最后利用加减法通分化简即可；
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
【点睛】
本题考查分式的混合运算，一般先算括号和乘方，再算乘除，最后算加减．熟记运算法则是解题的关键，解题时需要注意因式分解来化简分式．
22．先化简，再求值：
（1）当时，求的值；
（2）设，求的值．
【答案】（1），；（2），
【解析】
【分析】
（1）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可；
（2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可．
解：（1）原式
，
当时，
原式，
；
（2）原式
，
，
当时，
原式，
，
，
．
【点睛】
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
23．先化简，再求值：
（1）已知，求的值；
（2）设，求的值．
【答案】（1），101；（2），．
【解析】
【分析】
（1）利用完全平方公式因式分解，化简分式，再利用同分母分式加法法则解题，最后代值计算即可；
（2）通分，将分式的分母统一化成，再结合同分母分式的加法法则及完全平方公式进行计算、化简，最后代入数值解题．
解：（1）
当时，
原式=1+r=1+100=101；
（2）
当时，
原式
．
【点睛】
本题考查分式的化简求值，涉及完全平方公式、平方差公式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
24．临近春节，甲厂决定包租一辆车送员工返乡过年，租金为3000元．出发时，乙厂有3名同乡员工也随车返乡（车费自付），总人数达到x名．如果包车租金不变，那么甲厂为每位员工平均每人支付车费可比原来少多少元？
【答案】元．
【解析】
【分析】
甲厂员工原来支付元，乙厂有3名同乡员工也随车返乡后甲厂员工支付元，根据题意做减法即可．
解：由题意可得：甲厂员工原来支付元，
乙厂有3名同乡员工也随车返乡后甲厂员工支付元，
甲厂为员工支付的人均车费可比原来少元．
【点睛】
此题主要考查了列代数式，正确表示出平均每人分担的车费数是解题关键．
25．一个无盖长方体盒子的容积是V．
（1）如果盒子底面是边长为a的正方形，这个盒子的表面积是多少？
（2）如果盒子底面是长为b 宽为c的长方形，这个盒子的表面积是多少？
（3）上面两种情况下，如果盒子的底面面积相等，那么两种盒子的表面积相差多少？（不计制造材料的厚度．）
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据体积公式可计算出盒子的高，则由长方体表面积公式可求得盒子的表面积；
（2）根据体积公式可计算出盒子的高，则由长方体表面积公式可求得盒子的表面积；
（3）把前两小题中所得的式子相减并化简即可．
（1）长方体盒子的高为：
由于盒子底面是正方形，则盒子的另外四个面完全相同，所以盒子的表面积为：；
（2）长方体盒子的高为：
盒子的表面积为：；
（3）∵
∴
∴
即当底面积相等时，两种盒子的表面积相差是．
【点睛】
本题考查了分式的加减乘除混合运算，长方体的体积与表面积等知识，关键是掌握长方体体积与表面积的计算公式．
26．先化简，再求值：＋·，其中x=，y=－3.
【答案】化简为，值为.
【解析】
【分析】
先对第二项两个分式的分子和分母进行因式分解，再约分，然后将异分母分式化为同分母分式，再按照同分母分式的减法进行计算.
解：原式
将，
原式.
【点睛】
本题考查分式的化简求值，解决本题的关键是能对原分式分母、分子进行因式分解，并进行约分，将异分母分式化为同分母分式，最终的结果能约分的一定要约分.
27．（1）先化简，再求值：，其中．
（2）已知对于分式有意义的一切实数x，分式的值不变，求分式的值．
（3）已知，求的值．
【答案】（1），；（2）分式的值为；（3）的值为．
【解析】
【分析】
（1）根据分式的性质先计算括号内的，再将除法转化为乘法，最后用含的代数式表示，代入求解即可；
（2）根据题意，令求得的关系式，进而用含的代数式表示，代入求解即可
（3）根据分式的性质可设，，进而代入求解即可；
（1）
原式
（2）对于分式有意义的一切实数x，分式的值不变，
当时，，
当时，
即
（3）
设，则
【点睛】
本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，正确的计算是解题的关键．
28．阅读下面的解题过程：
已知，求的值．
解：由知≠0，所以
∴，故的值为
评注：该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面的题目
已知，求的值．
【答案】．
【解析】
【分析】
首先根据解答例题可得=7，进而可得x+=8，再求的倒数的值，进而可得答案．
∵=，∴=7，x+=8．
∵=x2++1=（x+）2﹣2+1=82﹣1=63，∴=．
【点睛】
本题主要考查了分式的混合运算，关键是理解例题的解法，掌握解题方法后，再根据例题方法解答．
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