中小学教育资源及组卷应用平台
第4章 因式分解 单元测试
一、单选题
1．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是( )
A．(3－x)(3＋x)＝9－x2 B．m4－n4＝(m2＋n2)(m＋n)(m－n)
C．(y＋1)(y－3)＝－(3－y)(y＋1) D．4yz－2y2z＋z＝2y(2z－yz)＋z
【答案】B
【解析】
解：A选项：右边不是整式积的形式，不是因式分解，
故本选项错误；
B选项：m4－n4＝(m2＋n2)(m＋n)(m－n)，符合因式分解的定义，
故本选项正确；
C选项：是恒等变形，不是因式分解，
故本选项错误；
D选项：右边不是整式积的形式，不是因式分解，
故本选项错误；
故选：B.
2．下列多项式能用平方差公式因式分解的是( )．
A．x2－xy B．x2＋xy C．x2－y2 D．x2＋y2
【答案】C
【解析】
【分析】
公式法是指完全平方公式和平方差公式．本题中A和B选项可以利用提取公因式法，C可以利用平方差公式，D无法进行因式分解．
解：A. x2－xy=，用提公因式因式分解，故选项A不正确；
B. x2＋xy=，用提公因式因式分解，故选项B不正确；
C. x2－y2，能用平方差公式因式分解，故选项C正确；
D. x2＋y2不能因式分解，故选项D不正确．
故选C．
【点睛】
考点：因式分解．
3．下列多项式中，含有因式的多项式是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
应先对所给的多项式进行因式分解，根据分解的结果，然后进行判断．
A、y2-2xy-3x2=（y-3x）（y+x)，故不含因式(y+1)．
B、（y+1）2-（y-1）2=[（y+1）-（y-1）][（y+1）+（y-1）]=4y，故不含因式(y+1)．
C、（y+1）2-（y2-1）=（y+1）2-（y+1）（y-1）=2（y+1），故含因式（y+1)．
D、（y+1）2+2（y+1）+1=（y+2)2，故不含因式（y+1)．
故选C
【点睛】
本题主要考查公因式的确定，先因式分解，再做判断，在解题时，仅看多项式的表面形式，不能做出判断．
4．若，则的值是
A．3 B．2 C．1 D．―1
【答案】A
【解析】
试题分析：所求式子后两项提取﹣2变形后，将整体代入计算即可求出值：
∵，
∴．
故选A．
5．因式分解x2＋ax＋b时，甲看错了a的值，分解的结果是(x＋6)(x－1)，乙看错了b的值，分解的结果是(x－2)(x＋1)，那么x2＋ax＋b因式分解的正确结果为( )
A．(x＋2)(x－3) B．(x－2)(x＋1)
C．(x＋6)(x－1) D．无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】
根据x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解特点即可得出答案．甲看错了a的值，分解的结果为（x+6）（x-1），而b值不错可求出b的准确值，同理求出a的准确值后再分解因式．
因为甲看错了a的值，分解的结果为（x+6）（x-1）=x2+5x-6，
所以b=-6，
又因为乙看错了b的值，分解的结果是（x-2）（x+1）=x2-x-2，
所以a=-1，
所以x2+ax+b=x2-x-6=（x+2）（x-3）．
故选A
【点睛】
主要考查了二次三项式的分解因式．掌握此类式子的特点可以使计算简便．
6．把因式分解，结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式a，再对余下的多项式继续分解．
解：a3-4ab2=a（a2-4b2）=a（a+2b）（a-2b）．
故选C．
【点睛】
本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
7．下列各式中，能用完全平方公式分解的个数为（ ）
①；②；③；④；⑤.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】
【分析】
分别利用完全平方公式分解因式得出即可
①=，符合题意；
②；不能用完全平方公式分解，不符合题意
③；不能用完全平方公式分解，不符合题意
④=-，符合题意；
⑤，不可以用完全平方公式分解，不符合题意
故选B.
【点睛】
本题考查因式分解，熟练掌握运算法则是解题关键.
8．下列多项式：①16x5-x；②(x-1)2-4(x-1)+4；③(x+1)4-4x(x+1)2+4x2；④-4x2-1+4x，分解因式后，结果含有相同因式的是（ ）
A．①④ B．②④ C．③④ D．②③
【答案】A
【解析】
【分析】
①首先提取x，进而利用平方差公式进行分解即可；②直接利用完全平方公式分解因式即可；③直接利用完全平方公式分解因式即可；④首先提取“-”，再利用完全平方公式分解因式即可．
解: ①16x5-x，
=x（16x4-1），
=x（4x2+1）（4x2-1），
=x（4x2+1）（2x-1）（2x+1）；
②（x-1）2-4（x-1）+4，
=（x-1-2）2，
=（x-3）2；
③（x+1）4-4x（x+1）2+4x2，
=[（x+1）2-2x]2，
=（x2+1）2；
④-4x2-1+4x，
=-（4x2+1-4x），
=-（2x-1）2．
∴结果含有相同因式的是①④．
故选A．
【点睛】
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用公式法分解因式是解题关键．
9．对于任何整数m，多项式(4m＋5)2－9一定能( )
A．被8整除 B．被m整除
C．被m－91整除 D．被2m－1整除
【答案】A
【解析】
【分析】
将该多项式分解因式，其必能被它的因式整除．
（4m+5）2-9=（4m+5）2-32=（4m+8）（4m+2）=8（m+2）（2m+1），
∵m是整数，而（m+2）和（2m+1）都是随着m的变化而变化的数，
∴该多项式肯定能被8整除．
故选A．
【点睛】
此题考查了因式分解-公式法和提公因式法，熟练掌握提公因式法是解本题的关键．
10．若a，b，c是三角形三边的长，则代数式(a2－2ab＋b2)－c2的值( )
A．大于零 B．小于零
C．大于或等于零 D．小于或等于零
【答案】B
【解析】
【分析】
先把代数式(a2－2ab＋b2)－c2分解因式，再根据三角形中任意两边之和大于第三边就可以进行判断．
(a2－2ab＋b2)－c2=（a-b）2-c2=（a+c-b）[a-（b+c）]，
∵a，b，c是三角形的三边，
∴a+c-b＞0，a-（b+c）＜0，
∴a2-2ab+b2-c2＜0．
故选B．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，三角形中三边之间的关系．（a+c-b）[a-（b+c）]是一个正数与负数的积，所以小于0．
二、填空题
11．因式分解：__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先提公因式2x，然后再利用平方差公式进行分解即可．
解：
故答案为：．
【点睛】
本题考查了综合提公因式法与公式法分解因式，解题的关键熟练掌握是解题的关键．
12．因式分解：x3－2x2y＝__________．
【答案】x2(x－2y)
【解析】
【分析】
直接利用提公因式法进行分解即可．
解：x3－2x2y
=x2(x-2y)，
故答案为：x2(x-2y)．
【点睛】
本题考查了提公因式法分解因式，解题的关键是正确确定公因式．
13．多项式2ax2﹣12axy中，应提取的公因式是_____．
【答案】2ax．
【解析】
【分析】
找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，即可确定出公因式．
∵2ax2-12axy=2ax（x-6y），
∴应提取的公因式是2ax．
故答案为2ax．
【点睛】
本题主要考查公因式的确定，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）相同字母的最低指数次幂．
14．小明抄在作业本上的式子x ﹣9y2（“ ”表示漏抄的指数），不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于5的整数，并且能利用平方差公式分解因式，请你帮小明写出这个整式分解因式的结果：__________________．
【答案】（x+3y）（x﹣3y）或（x2+3y）（x2﹣3y）
【解析】
【分析】
分两种情况讨论①当 ＝2时，②当 ＝4时，分别因式分解即可．
解：由题意知，共有 ＝2时， ＝4两种情况：
情况①，当 ＝2时，x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）；
情况②，当 ＝4时，x4﹣9y2＝（x2+3y）（x2﹣3y）；
综上所述，整式分解因式的结果：（x+3y）（x﹣3y）或（x2+3y）（x2﹣3y）
故答案为：（x+3y）（x﹣3y）或（x2+3y）（x2﹣3y）．
【点睛】
本题考查了利用平方差公式进行因式分解．解题的关键在于正确的使用平方差公式．
15．若x＋y＝2，则代数式x2＋xy＋y2＝________．
【答案】1
【解析】
因为x2＋xy＋y2＝，x＋y＝2，
所以x2＋xy＋y2＝．
故答案是1．
16．若 ,那么 =________.
【答案】0
【解析】
【分析】
直接提取公因式a1999，进而分解因式得出答案．
∵a2+a+1=0，
∴a2001+a2000+a1999=a1999（a2+a+1）=0．
故答案为0．
【点睛】
本题考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
17．若x+y= —1，则x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4的值等于________．
【答案】1
【解析】
试题解析：∵x+y=-1，
∴x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4，
=（x4+2x2y2+y4）+5xy（x2+y2）+xy（x+y）+6x2y2，
=（x2+y2）2+5xy[（x+y）2-2xy]+xy（x+y）+6x2y2，
=[（x+y）2-2xy]2+5xy（1-2xy）-xy+6x2y2，
=（1-2xy）2+5xy-10x2y2-xy+6x2y2，
=1-4xy+4x2y2+5xy-10x2y2-xy+6x2y2，
=1+（-4xy+5xy-xy）+（4x2y2-10x2y2+6x2y2），
=1．
18．已知：，，，则的值_______．
【答案】3
【解析】
【分析】
对a2+b2+c2-ab-bc-ac提公因式，进而进行因式分解，再将a、b、c的值代入即可．
解：∵a=2021x+2020，b=2021x+2021，c=2021x+2022，
∴，
，
∴a2+b2+c2-ab-bc-ac
=（2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac）
= [（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2]
= [（-1）2+（-1）2+（-2）2]
=×6
=3．
故答案为：3．
【点睛】
本题是因式分解的应用，解题的关键是会对所求代数式进行变形．
三、解答题
19．因式分解：
（1）3m2n－12mn＋12n． （2）（a＋b）3－4（a＋b）．
【答案】（1）3n（m－2）2； （2）（a＋b）（a＋b＋2）（a＋b－2）．
【解析】
【分析】
（1）先提公因式3n，然后再利用完全平方公式进行分解即可；
（2）先提公因式（a+b），然后再利用平方差公式进行分解即可．
（1）原式＝3n（m2－4m＋4）
＝3n（m－2）2；
（2）原式＝（a＋b）[（a＋b）2－4]
＝（a＋b）（a＋b＋2）（a＋b－2）．
【点睛】
本题考查了综合提公因式法与公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是解题的关键．
20．因式分解：（1）﹣2+12a ﹣18a （2）(x +4) -16x
（3）(x -2x) +2(x -2x)+1 （4）-28n +42m -14m n
【答案】（1）-2a(a-3) ；（2） (x+2) (x-2) ；（3） ；（4）﹣14m n（2mn﹣3n +1）．
【解析】
【分析】
（1）原式提取a后，利用完全平方公式分解即可；（2）原式利用平方差公式分解，再利用完全平方公式分解即可；（3）原式利用完全平方公式分解即可;(4) 首先提取负号，注意括号里的各项都要改变符号，再找出多项式的公因式，然后提取公因式法因式分解即可．
（1）原式=-2a(a2-6a+9) =-2a(a-3)2 ；
（2）原式=(x2+4+4x)(x2+4-4x)=(x+2)2(x-2)2；
（3）原式=(x2-2x+1)2= (x-1)4
（4）原式=﹣（28m3n2﹣42m2n3+14m2n）=﹣14m2n（2mn﹣3n2+1）．
【点睛】
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
21．给出三个多项式：，请选择两个多项式进行加法运算，并把结果分解因式（写出两种情况）．
【答案】答案不唯一，详见解析
【解析】
【分析】
选择第一个与第二个，第一个与第三个，利用整式的加法运算法则计算，然后再利用提公因式法或平方差公式进行因式分解即可．
情形一：
情形二：
【点睛】
此题主要考查了多项式的计算，以及分解因式，关键是正确求出多项式的和，找出公因式．
22．如图，在一个大圆盘中，镶嵌着四个大小一样的小圆盘，已知大小圆盘的半径都是整数，阴影部分的面积为5πcm2 ， 请你求出大小两个圆盘的半径．
【答案】大圆盘的半径为3cm，一个小圆盘的半径为1cm
【解析】
【分析】
先设大圆盘的半径为Rcm，一个小圆盘的半径为rcm，根据一个大圆盘中，镶嵌着四个大小一样的小圆盘，阴影部分的面积为5πcm2，列出式子，再根据大小圆盘的半径都是整数，即可求出答案．
设大圆盘的半径为Rcm，一个小圆盘的半径为rcm，根据题意，得： πR2﹣4πr2=5π，
即（R+2r）（R﹣2r）=5．
因为R，r均为正整数，所以R+2r，R﹣2r也为正整数，
所以： ，解得 ，
答：大圆盘的半径为3cm，一个小圆盘的半径为1cm.
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，解题的关键是利用因式分解法求不定方程的整数解．
23．商贸大楼共有四层，第一层有商品(a＋b)2种，第二层有商品a(a＋b)种，第三层有商品b(a＋b)种，第四层有商品(b＋a)2种．若a＋b＝10，则这座商贸大楼共有商品多少种？
【答案】300
【解析】
【分析】
先根据题意列出算式a（a+b）+b（a+b）+（a+b）2，再将a+b=10代入求出即可．
解：(a＋b)2＋a(a＋b)＋b(a＋b)＋(b＋a)2
＝2(a＋b)2＋(a＋b)(a＋b)
＝2(a＋b)2＋(a＋b)2
＝3(a＋b)2
因为a＋b＝10，所以3(a＋b)2＝300．
答：这座商贸大楼共有商品300种．
24．设．（n为大于0的自然数）
（1）探究an是否为8的倍数．
（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”，如：1，4，9就是完全平方数．试找出a1，a2，…，an，…，这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，an为完全平方数．（不必说明理由）
【答案】(1)an是8的倍数;(2)n为一个完全平方数的2倍时，an为完全平方数.
【解析】
试题分析：（1）利用平方差公式，将（2n+1）2﹣（2n﹣1）2化简，可得结论；
（2）理解完全平方数的概念，通过计算找出规律．
解：（1）∵an=（2n+1）2﹣（2n﹣1）2=4n2+4n+1﹣4n2+4n﹣1=8n，（3分）
又n为非零的自然数，
∴an是8的倍数．（4分）
这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数（5分）
说明：第一步用完全平方公式展开各（1），正确化简（1分）．
（2）这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64，144，256．（7分）
n为一个完全平方数的2倍时，an为完全平方数（8分）
说明：找完全平方数时，错一个扣（1），错2个及以上扣（2分）．
考点：因式分解-运用公式法．
点评：本题考查了公式法分解因式，属于结论开放性题目，通过一系列的式子，找出一般规律，考查了同学们的探究发现的能力．
25．如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．
(1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积(直接用含m，n的代数式表示)．
方法一： ________________________________________________________；
方法二： __________________________________________________________.
(2)根据(1)的结论，请你写出代数式(m＋n)2，(m－n)2，mn之间的等量关系．
(3)根据(2)题中的等量关系，解决如下问题：
已知实数a，b满足：a＋b＝6，ab＝5，求a－b的值．
【答案】(1) (m＋n)2－4mn； (m－n)2； (2)(m＋n)2－4mn＝(m－n)2；(3)a－b＝4或a－b＝－4.
【解析】
【分析】
（1）观察图形很容易得出图②中的阴影部分的正方形的边长等于a-b，①求出小正方形的边长，②运用大正方形的面积减去四个矩形的面积；
（2）根据（1）中表示的面积是同一个图形的面积，两个式子相等，即可列出等量关系；
（3）由（2）中的等量关系即可求解．
(1)方法一：(m＋n)2－4mn；方法二：(m－n)2；
(2)(m＋n)2－4mn＝(m－n)2；
(3)由(2)可知(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝62－4×5＝16，
∴a－b＝4或a－b＝－4.
【点睛】
本题考查了完全平方公式的实际应用，完全平方公式与正方形的面积公式和长方形的面积公式经常联系在一起，要学会观察．
26．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．
例如：由图1可得到
（1）写出由图2所表示的数学等式：_________________；
（2）写出由图3所表示的数学等式（利用阴影部分）：________________；
（3）已知实数满足．求：
①的值；
②的值．
【答案】（1）（a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）（a-b-c）2=a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc；（3）①0；②1
【解析】
【分析】
（1）大正方形的面积等于6个长方形和3个小正方形的面积和；
（2）图中阴影部分面积为正方形等于阴影部分面积等于大正方形面积减去5个长方形和3个小正方形的面积；
（3）①将（1）式子变形ab+bc+ca=×[（a+b+c）2-（a2+b2+c2）]，代入已知即可求解；②先求出（a+b+c）3=a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3b2a+3b2c+3c2a+3bc2+6abc，再结合已知条件，将式子逐步代入，得到1=3（a+b+c）-2（a3+b3+c3）+6abc，即可求解．
解：（1）大正方形的面积为（a+b+c）2，
9个长方形和小正方形的面积和为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
∴（a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）图中阴影部分面积为正方形，则有（a-c-b）（a-b-c）=（a-b-c）2，
阴影部分面积等于大正方形面积减去5个长方形和3个小正方形的面积，即a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc，
∴（a-b-c）2=a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc；
（3）①由（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
可得ab+bc+ca=×[（a+b+c）2-（a2+b2+c2）]，
∵a+b+c=1，a2+b2+c2=1，
∴ab+bc+ca=0；
②∵（a+b+c）3=a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3b2a+3b2c+3c2a+3bc2+6abc，
∵a+b+c=1，a2+b2+c2=1，
∴1=a3+b3+c3+3[b（a2+c2）+a（b2+c2）+c（a2+b2）]+6abc=a3+b3+c3+3[b（1-b2）+a（1-a2）+c（1-c2）]+6abc，
1=3（a+b+c）-2（a3+b3+c3）+6abc，
∴1=3-2（a3+b3+c3）+6abc，
∴a3+b3+c3-3abc=1．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用；根据一个图形面积的不同求法，利用面积相等，得到相应的表达式，再将表达式进行适当的变形，用代入法求值是解题关键．
27．阅读材料：若m2－2mn＋2n2－8n＋16＝0，求m，n的值．
解：∵m2－2mn＋2n2－8n＋16＝0，
∴(m2－2mn＋n2)＋(n2－8n＋16)＝0，
∴(m－n)2＋(n－4)2＝0，
∴(m－n)2＝0，(n－4)2＝0，
∴n＝4，m＝4.
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)若a2＋b2－4a＋4＝0，则a＝________，b＝________；
(2)已知x2＋2y2－2xy＋6y＋9＝0，求xy的值；
(3)已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足2a2＋b2－4a－6b＋11＝0，求△ABC的周长．
【答案】（1）a=2，b=0；（2）xy=；（3）△ABC的周长为7
【解析】
分析：（1）利用配方法将三项配方成完全平方式的形式，利用非负数的性质求得a、b的值即可；（2）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答即可；（3）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质和三角形三边关系解答即可；
本题解析：∵a+b 4a+4=0，∴a 4a+4+b=0，∴(a 2) +b=0，∴a 2=0，b=0，
解得a=2，b=0；
（2）∵x2+2y2﹣2xy+6y+9=0，∴x2+y2﹣2xy+y2+6y+9=0
即：（x﹣y）2+（y+3）2=0则：x﹣y=0，y+3=0，
解得：x=y=﹣3，∴xy==﹣ ；
（3）∵2a2+b2﹣4a﹣6b+11=0，∴2a2﹣4a++2+b2﹣6b+9=0，
∴2（a﹣1）2+（b﹣3）2=0，则a﹣1=0，b﹣3=0，解得，a=1，b=3，
由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3，
∴△ABC的周长为1+3+3=7；
故答案为: （1）a=2，b=0；（2）xy=；（3）△ABC的周长为7
28．教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题．
例如：分解因式
求代数式的最小值，．
当时，有最小值，最小值是，
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：__________．
（2）当x为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．
（3）若，求出a，b的值．
【答案】（1）（x+1）（x-5）；（2）x=-1，最大值为5；（3）a=2，b=1
【解析】
【分析】
（1）根据题目中的例子，可以将题目中的式子因式分解；
（2）根据题目中的例子，先将所求式子变形，然后即可得到当x为何值时，所求式子取得最大值，并求出这个最大值；
（3）将题目中的式子化为完全平方式的形式，然后根据非负数的性质，即可得到a、b的值．
解：（1）x2-4x-5
=（x-2）2-9
=（x-2+3）（x-2-3）
=（x+1）（x-5），
故答案为：（x+1）（x-5）；
（2）∵-2x2-4x+3=-2（x+1）2+5，
∴当x=-1时，多项式-2x-4x+3有最大值，这个最大值是5；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
∴a-2b=0，b-1=0，
∴a=2，b=1．
【点睛】
本题考查非负数的性质、因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法和非负数的性质解答．
29．如果一个自然数的个位数字不为，且能分解成，其中与都是两位数，与的十位数字相同，个位数字之和为，则称数为“合和数”，并把数分解成的过程，称为“合分解”．
例如，和的十位数字相同，个位数字之和为，
是“合和数”．
又如，和的十位数相同，但个位数字之和不等于，
不是“合和数”．
（1）判断，是否是“合和数”？并说明理由；
（2）把一个四位“合和数”进行“合分解”，即．的各个数位数字之和与的各个数位数字之和的和记为；的各个数位数字之和与的各个数位数字之和的差的绝对值记为．令，当能被整除时，求出所有满足条件的．
【答案】（1）不是“合和数”，是“合和数，理由见解析；（2）有，，，．
【解析】
【分析】
（1）首先根据题目内容，理解“合和数”的定义：如果一个自然数的个位数字不为，且能分解成，其中与都是两位数，与的十位数字相同，个位数字之和为，则称数为“合和数”，再判断，是否是“合和数”；
（2）首先根据题目内容，理解“合分解”的定义．引进未知数来表示个位及十位上的数，同时也可以用来表示．然后整理出：，根据能被4整除时，通过分类讨论，求出所有满足条件的．
解：（1）
不是“合和数”，是“合和数”．
，，
不是“合和数”，
，十位数字相同，且个位数字，
是“合和数”．
（2）设的十位数字为，个位数字为（，为自然数，且，），
则．
∴．
∴（是整数）．
，
，
是整数，
或，
①当时，
或，
或．
②当时，
或，
或．
综上，满足条件的有，，，．
【点睛】
本题考查了新定义问题，解题的关键是：首先要理解题中给出的新定义和会操作题目中所涉及的过程，结合所学知识去解决问题，充分考察同学们自主学习和运用新知识的能力．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第4章 因式分解 单元测试
一、单选题
1．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是( )
A．(3－x)(3＋x)＝9－x2 B．m4－n4＝(m2＋n2)(m＋n)(m－n)
C．(y＋1)(y－3)＝－(3－y)(y＋1) D．4yz－2y2z＋z＝2y(2z－yz)＋z
2．下列多项式能用平方差公式因式分解的是( )．
A．x2－xy B．x2＋xy C．x2－y2 D．x2＋y2
3．下列多项式中，含有因式的多项式是（ ）.
A． B．
C． D．
4．若，则的值是
A．3 B．2 C．1 D．―1
5．因式分解x2＋ax＋b时，甲看错了a的值，分解的结果是(x＋6)(x－1)，乙看错了b的值，分解的结果是(x－2)(x＋1)，那么x2＋ax＋b因式分解的正确结果为( )
A．(x＋2)(x－3) B．(x－2)(x＋1)
C．(x＋6)(x－1) D．无法确定
6．把因式分解，结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．下列各式中，能用完全平方公式分解的个数为（ ）
①；②；③；④；⑤.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．下列多项式：①16x5-x；②(x-1)2-4(x-1)+4；③(x+1)4-4x(x+1)2+4x2；④-4x2-1+4x，分解因式后，结果含有相同因式的是（ ）
A．①④ B．②④ C．③④ D．②③
9．对于任何整数m，多项式(4m＋5)2－9一定能( )
A．被8整除 B．被m整除
C．被m－91整除 D．被2m－1整除
10．若a，b，c是三角形三边的长，则代数式(a2－2ab＋b2)－c2的值( )
A．大于零 B．小于零
C．大于或等于零 D．小于或等于零
二、填空题
11．因式分解：__________．
12．因式分解：x3－2x2y＝__________．
13．多项式2ax2﹣12axy中，应提取的公因式是_____．
14．小明抄在作业本上的式子x ﹣9y2（“ ”表示漏抄的指数），不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于5的整数，并且能利用平方差公式分解因式，请你帮小明写出这个整式分解因式的结果：__________________．
15．若x＋y＝2，则代数式x2＋xy＋y2＝________．
16．若 ,那么 =________.
17．若x+y= —1，则x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4的值等于________．
18．已知：，，，则的值_______．
三、解答题
19．因式分解：
（1）3m2n－12mn＋12n． （2）（a＋b）3－4（a＋b）．
20．因式分解：（1）﹣2+12a ﹣18a （2）(x +4) -16x
（3）(x -2x) +2(x -2x)+1 （4）-28n +42m -14m n
21．给出三个多项式：，请选择两个多项式进行加法运算，并把结果分解因式（写出两种情况）．
22．如图，在一个大圆盘中，镶嵌着四个大小一样的小圆盘，已知大小圆盘的半径都是整数，阴影部分的面积为5πcm2 ， 请你求出大小两个圆盘的半径．
23．商贸大楼共有四层，第一层有商品(a＋b)2种，第二层有商品a(a＋b)种，第三层有商品b(a＋b)种，第四层有商品(b＋a)2种．若a＋b＝10，则这座商贸大楼共有商品多少种？
24．设．（n为大于0的自然数）
（1）探究an是否为8的倍数．
（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”，如：1，4，9就是完全平方数．试找出a1，a2，…，an，…，这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，an为完全平方数．（不必说明理由）
25．如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．
(1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积(直接用含m，n的代数式表示)．
方法一： ________________________________________________________；
方法二： __________________________________________________________.
(2)根据(1)的结论，请你写出代数式(m＋n)2，(m－n)2，mn之间的等量关系．
(3)根据(2)题中的等量关系，解决如下问题：
已知实数a，b满足：a＋b＝6，ab＝5，求a－b的值．
26．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．
例如：由图1可得到
（1）写出由图2所表示的数学等式：_________________；
（2）写出由图3所表示的数学等式（利用阴影部分）：________________；
（3）已知实数满足．求：
①的值；
②的值．
27．阅读材料：若m2－2mn＋2n2－8n＋16＝0，求m，n的值．
解：∵m2－2mn＋2n2－8n＋16＝0，
∴(m2－2mn＋n2)＋(n2－8n＋16)＝0，
∴(m－n)2＋(n－4)2＝0，
∴(m－n)2＝0，(n－4)2＝0，
∴n＝4，m＝4.
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)若a2＋b2－4a＋4＝0，则a＝________，b＝________；
(2)已知x2＋2y2－2xy＋6y＋9＝0，求xy的值；
(3)已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足2a2＋b2－4a－6b＋11＝0，求△ABC的周长．
28．教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题．
例如：分解因式
求代数式的最小值，．
当时，有最小值，最小值是，
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：__________．
（2）当x为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．
（3）若，求出a，b的值．
29．如果一个自然数的个位数字不为，且能分解成，其中与都是两位数，与的十位数字相同，个位数字之和为，则称数为“合和数”，并把数分解成的过程，称为“合分解”．
例如，和的十位数字相同，个位数字之和为，
是“合和数”．
又如，和的十位数相同，但个位数字之和不等于，
不是“合和数”．
（1）判断，是否是“合和数”？并说明理由；
（2）把一个四位“合和数”进行“合分解”，即．的各个数位数字之和与的各个数位数字之和的和记为；的各个数位数字之和与的各个数位数字之和的差的绝对值记为．令，当能被整除时，求出所有满足条件的．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
