人教版数学八年级上册第12章 12.3角的平分线的性质 同步练习
一、单选题
1．（2016八上·台安期中）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（ ）
A．10 B．12 C．20 D．无法确定
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥BC于点E．
∵∠A=90°，
∴AD⊥AB．
∴AD=DE=4．
又∵BC=5，
∴S△BCD= BC DE= ×5×4=10．
故选：A．
【分析】如图，过点D作DE⊥BC于点E．利用角平分的性质得到DE=AD=3，然后由三角形的面积公式来求△BCD的面积．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，若CD=m，AB=2n，则△ABD的面积是（ ）
A．mn B．5mn C．7mn D．6mn
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°，
∴DE=CD=m，
∴△ABD的面积= ×2n×m=mn，
故选：A．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．
3．（2017八下·桂林期中）如图，△ABC中，∠C = 90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，若DE = 8cm，DB = 10cm则BC等于（ ）
A．14cm B．16cm C．18cm D．20cm
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】已知△ABC中，∠C = 90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，根据角平分线的性质可得CD=DE=8cm，所以BC=CD+BD=18cm，故选C.
4．（2017八下·邵东期中）下列说法错误的是（ ）
A．角平分线上的点到角的两边的距离相等
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．菱形的对角线相等
D．平行四边形是中心对称图形
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵角平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴选项A正确；
∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
∴选项B正确；
∵菱形的对角线互相垂直，但是不一定相等，
∴选项C不正确；
∵平行四边形是中心对称图形，
∴选项D正确．
故选：C．
【分析】A：根据角平分线的性质，可得角平分线上的点到角的两边的距离相等．
B：根据直角三角形斜边上的中线的性质，可得直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
C：根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直，但是不一定相等．
D：根据中心对称图形的性质，可得常见的中心对称图形有：平行四边形、圆形、正方形、长方形，据此判断即可．
5．（2017八上·宜昌期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，
又∵∠C=90°，
∴DE=CD，
∴△ABD的面积= AB DE= ×15×4=30．
故选B．
【分析】判断出AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
6．如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个农贸市场，使农贸市场到三个小区的距离均相等，则超市应建在（ ）
A．在三个内角角平分线的交点处 B．在三条高线的交点处
C．在三条中线的交点处 D．在三条边垂直平分线的交点处
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：作线段BC、AB的垂直平分线OD、OE，二者相交于O．
因为AO=BO，
CO=BO，
所以AO=CO．
于是AO=BO=CO．
即点O到A、B、C三点的距离相等．
根据垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，
AC的垂直平分线过点O．
故点O为三边垂直平分线的交点．
故选D．
【分析】要使超市到三个小区的距离相等，分别作出线段BC、AB的垂直平分线，二者交点O即为广场位置．
7．如图，在△ABC中，点O是∠ABC的平分线与线段BC的垂直平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB．垂足分别为D、E、F，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．OB=OC B．OD=OF C．OA=OB=OC D．BD=DC
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵点O是∠ABC的平分线与线段BC的垂直平分线的交点，
∴OB=OC，故（A）成立；
又∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴OD=OF，故（B）成立；
∵OD垂直平分BC，
∴BD=CD，故（D）成立；
∵点E和点F不一定是AC和AB的中点，
即OF不一定垂直平分AB，
∴OA=OB=OC不一定成立．
故选C.
【分析】垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．角的平分线上的点到角的两边的距离相等．据此判断即可．
8．（2017八上·宜春期末）如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于，且OD=4，△ABC的面积是（ ）
A．25 B．84 C．42 D．21
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：连接OA，作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，如图，
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴OD=OE=4，OD=OF=4，
∴△ABC的面积=
S△AOB+S△BOC+S△AOC
= OE AB+ OD BC+ OF AC
= ×4×（AB+BC+AC）
= ×4×21
=42．
故选C．
【分析】连接OA，作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，如图，利用角平分线的性质得到OD=OE=OF=4，然后根据三角形面积公式得到△ABC的面积=S△AOB+S△BOC+S△AOC= ×4×（AB+BC+AC），再把三角形的周长代入计算即可．
9．（2017八下·蓟州期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，若AC=6，BC=8，则CD的长为（ ）
[ERRORIMAGE:http://tikupic.21cnjy.com/f2/76/f2760da18b209f10427d7326920df264.png]
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：
过点D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，
∴CD=DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AE=AC=6，
由勾股定理得，AB= =10，
∴BE=AB﹣AE=10﹣6=4，
设CD=DE=x，则BD=8﹣x，
在Rt△BDE中，DE2+BE2=BD2，
x2+42=（8﹣x）2，
解得x=3，
即CD的长为3．
故选：B，
[ERRORIMAGE:http://tikupic.21cnjy.com/f2/f8/f2f86fabd3be06143b97098a03df1aea.png]
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE，再利用“HL”证明Rt△ACD和Rt△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AC，再利用勾股定理列式求出AB，然后求出BE，设CD=DE=x，表示出BD，然后利用勾股定理列出方程求解即可．
10．（2017八下·合浦期中）如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，且PD=PE，则△APD与△APE全等的理由是（ ）
A．SAS B．AAS C．SSS D．HL
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵PD⊥AB，PE⊥AC，
∴∠ADP=∠AEP=90°，
在Rt△ADP和△AEP中 ，
∴Rt△ADP≌△AEP（HL），
故选：D．
【分析】根据题中的条件可得△ADP和△AEP是直角三角形，再根据条件DP=EP，AP=AP可根据HL定理判定△APD≌△APE．
11．（2017八下·汶上期末）如图，在 ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF=6，AB=5，则AE的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：连结EF，AE与BF交于点O，如图，
∵AB=AF，AO平分∠BAD，
∴AO⊥BF，BO=FO= BF=3，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AF∥BE，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴AB=EB，
而BO⊥AE，
∴AO=OE，
在Rt△AOB中，AO= = =4，
∴AE=2AO=8．
故选C．
【分析】由基本作图得到AB=AF，加上AO平分∠BAD，则根据等腰三角形的性质得到AO⊥BF，BO=FO= BF=3，再根据平行四边形的性质得AF∥BE，所以∠1=∠3，于是得到∠2=∠3，根据等腰三角形的判定得AB=EB，然后再根据等腰三角形的性质得到AO=OE，最后利用勾股定理计算出AO，从而得到AE的长．
12．（2017八下·房山期末）如图，在 ABCD中，AB=4，AD=7，∠ABC的平分线BE交AD于点E，则DE的长是（ ）
A．4 B．3 C．3.5 D．2
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∴ED=AD-AE=AD-AB=7-4=3.
故选B.
【分析】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是得出∠ABE=∠AEB，判断三角形ABE中，AB=AE，难度一般.
二、填空题
13．（2017八下·灌阳期中）直角三角形中两锐角平分线相交所成的角的度数是 ．
【答案】45°或135°
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，∠ABC+∠BAC=90°，
∵AD、BE分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，
∴∠OAB+∠OBA= （∠ABC+∠BAC）=45°，
∴∠AOE=∠OAB+∠OBA=45°，
∴∠AOB=135°
∴两锐角的平分线的夹角是45°或135°，
故答案为：45°或135°
【分析】作出图形，根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC+∠BAC=90°，再根据角平分线的定义可得∠OAB+∠OBA= （∠ABC+∠BAC），然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AOE，即为两角平分线的夹角．
14．（2017八下·澧县期中）如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB=6，BC=8．若S△ABC=28，则DE= ．
【答案】4
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF，
∵AB=6，BC=8，
∴S△ABC= AB DE+ BC DF= ×6DE+ ×8DE=28，
即3DE+4DE=28，
解得DE=4．
故答案为：4．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DF，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
15．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE=180°，EF⊥AC交AC于F，AC=12，BC=8，则AF= ．
【答案】10
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：连接AE，BE，过E作EG⊥BC于G，
∵D是AB的中点，DE⊥AB，
∴DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∵∠ACE+∠BCE=180°，∠ECG+∠BCE=180°，
∴∠ACE=∠ECG，
又∵EF⊥AC，EG⊥BC，
∴EF=EG，∠FEC=∠GEC，
∵CF⊥EF，CG⊥EG，
∴CF=CG，
在Rt△AEF和Rt△BEG中，
，
∴Rt△AEF≌Rt△BEG（HL），
∴AF=BG，
设CF=CG=x，则AF=AC﹣CF=12﹣x，BG=BC+CG=8+x，
∴12﹣x=8+x，
解得x=2，
∴AF=12﹣2=10．
故答案为：10．
【分析】先连接AE，BE，过E作EG⊥BC于G，根据角平分线的性质以及中垂线的性质，得出EF=EG，AE=BE，进而判定Rt△AEF≌Rt△BEG，即可得到AF=BG，据此列出方程12﹣x=8+x，求得x的值，即可得到AF长．
16．（2017八上·丰都期末）如图：∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于 ．
【答案】4
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：作DG⊥AC，垂足为G．
∵DE∥AB，
∴∠BAD=∠ADE，
∵∠DAE=∠ADE=15°，
∴∠DAE=∠ADE=∠BAD=15°，
∴∠DEG=15°×2=30°，
∴ED=AE=8，
∴在Rt△DEG中，DG= DE=4，
∴DF=DG=4．
故答案为：4．
【分析】作DG⊥AC，根据DE∥AB得到∠BAD=∠ADE，再根据∠DAE=∠ADE=15°得到∠DAE=∠ADE=∠BAD，求出∠DEG=15°×2=30°，再根据30°的角所对的直角边是斜边的一半求出GD的长，然后根据角平分线的性质求出DF．
17．（2017八下·合浦期中）如图，在△ABC中，∠A=90，BD是角平分线，若AD=m，BC=n，则△BDC的面积为 ．
【答案】 mn
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过D作DE⊥BC于E，
∵∠A=90，BD是角平分线，
∴DE=AD=m，
∴△BDC的面积= BC DE= mn，
故答案为： mn．
【分析】根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可得到结论．
三、解答题
18．如图：AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，连接E、F，
求证：AD是EF的垂直平分线．
【答案】证明：∵AD是∠BAC的平分线，
DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中
∵ ，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴AD是EF的垂直平分线
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】先求出DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，根据HL证Rt△AED≌Rt△AFD，推出AE=AF，根据等腰三角形性质推出即可．
19．（2017八上·上杭期末）如图，△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，过点M作ME⊥AB、MF⊥AC，垂足分别为E、F．求证：ME=MF．
【答案】证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵ME⊥AB，MF⊥AC，
∴∠BEM=∠CFM=90°，
在△BME和△CMF中， ，
∴△BME≌△CMF（AAS），
∴ME=MF．
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】根据等边对等角的性质可得∠B=∠C，然后根据“角角边”证明△BME和△CMF全等，再根据全等三角形对应边相等即可得证．
20．（2017八上·丰都期末）如图，已知PB⊥AB，PC⊥AC，且PB=PC，D是AP上的一点，求证：BD=CD．
【答案】证明：∵PB⊥BA，PC⊥CA，
在Rt△PAB，Rt△PAC中，
∵PB=PC，PA=PA，
∴Rt△PAB≌Rt△PAC，
∴∠APB=∠APC，
又D是PA上一点，PD=PD，PB=PC，
∴△PBD≌△PCD，
∴BD=CD．
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】先利用HL判定Rt△PAB≌Rt△PAC，得出∠APB=∠APC，再利用SAS判定△PBD≌△PCD，从而得出BD=CD．
21．（2017八下·房山期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，交DC的延长线于点E.求证：BC=DE
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD=BC，
∴∠BAE=∠E ，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠E=∠DAE ，
∴DA=DE，
又∵AD=BC，
∴BC=DE
【知识点】角平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】由平行四边形的性质得出AB∥CD，得出内错角相等∠E=∠BAE，再由角平分线证出∠E=∠DAE，得出DA=DE，再根据平行四边形的性质即可得出结论.
22．如图，已知AB⊥AC，AB=AC，DE过点A，且CD⊥DE，BE⊥DE，垂足分别为点D，E，试说明DE=DC+BE．
【答案】证明：∵AB⊥AC，CD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠BAC=∠D=∠E=90°，
∴∠CAD+∠BAE=90°，∠DCA+∠CAD=90°，
∴∠DCA=∠EAB，
在△ADC和△BEA中， ，
∴△ADC≌△BEA（AAS），
∴DC=AE，AD=BE，
∵DE=AD+AE，
∴DE=DC+BE．
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【分析】利用同角的余角相等证出∠DCA=∠EAB，由AAS证明△ADC≌△BEA，得出DC=AE，AD=BE，即可得出结论．
23．如图，△ABC中，∠CAB的平分线与BC的垂直平分线相交于D，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，求证：BE=CF．
【答案】证明：∵∠CAB的平分线与BC的垂直平分线DG相交于D，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴BD=CD，DE=DF．
在Rt△CDF和Rt△BDE中
，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL）．
∴BE=CF．
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质，得BD=CD，根据角平分线的性质，得DE=DF，再根据HL即可证明Rt△CDF≌Rt△BDE，由全等三角形的性质即可证得BE=CF．
1 / 1人教版数学八年级上册第12章 12.3角的平分线的性质 同步练习
一、单选题
1．（2016八上·台安期中）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（ ）
A．10 B．12 C．20 D．无法确定
2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，若CD=m，AB=2n，则△ABD的面积是（ ）
A．mn B．5mn C．7mn D．6mn
3．（2017八下·桂林期中）如图，△ABC中，∠C = 90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，若DE = 8cm，DB = 10cm则BC等于（ ）
A．14cm B．16cm C．18cm D．20cm
4．（2017八下·邵东期中）下列说法错误的是（ ）
A．角平分线上的点到角的两边的距离相等
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．菱形的对角线相等
D．平行四边形是中心对称图形
5．（2017八上·宜昌期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
6．如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个农贸市场，使农贸市场到三个小区的距离均相等，则超市应建在（ ）
A．在三个内角角平分线的交点处 B．在三条高线的交点处
C．在三条中线的交点处 D．在三条边垂直平分线的交点处
7．如图，在△ABC中，点O是∠ABC的平分线与线段BC的垂直平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB．垂足分别为D、E、F，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．OB=OC B．OD=OF C．OA=OB=OC D．BD=DC
8．（2017八上·宜春期末）如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于，且OD=4，△ABC的面积是（ ）
A．25 B．84 C．42 D．21
9．（2017八下·蓟州期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，若AC=6，BC=8，则CD的长为（ ）
[ERRORIMAGE:http://tikupic.21cnjy.com/f2/76/f2760da18b209f10427d7326920df264.png]
A．2 B．3 C．4 D．5
10．（2017八下·合浦期中）如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，且PD=PE，则△APD与△APE全等的理由是（ ）
A．SAS B．AAS C．SSS D．HL
11．（2017八下·汶上期末）如图，在 ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF=6，AB=5，则AE的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
12．（2017八下·房山期末）如图，在 ABCD中，AB=4，AD=7，∠ABC的平分线BE交AD于点E，则DE的长是（ ）
A．4 B．3 C．3.5 D．2
二、填空题
13．（2017八下·灌阳期中）直角三角形中两锐角平分线相交所成的角的度数是 ．
14．（2017八下·澧县期中）如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB=6，BC=8．若S△ABC=28，则DE= ．
15．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE=180°，EF⊥AC交AC于F，AC=12，BC=8，则AF= ．
16．（2017八上·丰都期末）如图：∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于 ．
17．（2017八下·合浦期中）如图，在△ABC中，∠A=90，BD是角平分线，若AD=m，BC=n，则△BDC的面积为 ．
三、解答题
18．如图：AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，连接E、F，
求证：AD是EF的垂直平分线．
19．（2017八上·上杭期末）如图，△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，过点M作ME⊥AB、MF⊥AC，垂足分别为E、F．求证：ME=MF．
20．（2017八上·丰都期末）如图，已知PB⊥AB，PC⊥AC，且PB=PC，D是AP上的一点，求证：BD=CD．
21．（2017八下·房山期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，交DC的延长线于点E.求证：BC=DE
22．如图，已知AB⊥AC，AB=AC，DE过点A，且CD⊥DE，BE⊥DE，垂足分别为点D，E，试说明DE=DC+BE．
23．如图，△ABC中，∠CAB的平分线与BC的垂直平分线相交于D，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，求证：BE=CF．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥BC于点E．
∵∠A=90°，
∴AD⊥AB．
∴AD=DE=4．
又∵BC=5，
∴S△BCD= BC DE= ×5×4=10．
故选：A．
【分析】如图，过点D作DE⊥BC于点E．利用角平分的性质得到DE=AD=3，然后由三角形的面积公式来求△BCD的面积．
2．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°，
∴DE=CD=m，
∴△ABD的面积= ×2n×m=mn，
故选：A．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．
3．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】已知△ABC中，∠C = 90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，根据角平分线的性质可得CD=DE=8cm，所以BC=CD+BD=18cm，故选C.
4．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵角平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴选项A正确；
∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
∴选项B正确；
∵菱形的对角线互相垂直，但是不一定相等，
∴选项C不正确；
∵平行四边形是中心对称图形，
∴选项D正确．
故选：C．
【分析】A：根据角平分线的性质，可得角平分线上的点到角的两边的距离相等．
B：根据直角三角形斜边上的中线的性质，可得直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
C：根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直，但是不一定相等．
D：根据中心对称图形的性质，可得常见的中心对称图形有：平行四边形、圆形、正方形、长方形，据此判断即可．
5．【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，
又∵∠C=90°，
∴DE=CD，
∴△ABD的面积= AB DE= ×15×4=30．
故选B．
【分析】判断出AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
6．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：作线段BC、AB的垂直平分线OD、OE，二者相交于O．
因为AO=BO，
CO=BO，
所以AO=CO．
于是AO=BO=CO．
即点O到A、B、C三点的距离相等．
根据垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，
AC的垂直平分线过点O．
故点O为三边垂直平分线的交点．
故选D．
【分析】要使超市到三个小区的距离相等，分别作出线段BC、AB的垂直平分线，二者交点O即为广场位置．
7．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵点O是∠ABC的平分线与线段BC的垂直平分线的交点，
∴OB=OC，故（A）成立；
又∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴OD=OF，故（B）成立；
∵OD垂直平分BC，
∴BD=CD，故（D）成立；
∵点E和点F不一定是AC和AB的中点，
即OF不一定垂直平分AB，
∴OA=OB=OC不一定成立．
故选C.
【分析】垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．角的平分线上的点到角的两边的距离相等．据此判断即可．
8．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：连接OA，作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，如图，
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴OD=OE=4，OD=OF=4，
∴△ABC的面积=
S△AOB+S△BOC+S△AOC
= OE AB+ OD BC+ OF AC
= ×4×（AB+BC+AC）
= ×4×21
=42．
故选C．
【分析】连接OA，作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，如图，利用角平分线的性质得到OD=OE=OF=4，然后根据三角形面积公式得到△ABC的面积=S△AOB+S△BOC+S△AOC= ×4×（AB+BC+AC），再把三角形的周长代入计算即可．
9．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：
过点D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，
∴CD=DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AE=AC=6，
由勾股定理得，AB= =10，
∴BE=AB﹣AE=10﹣6=4，
设CD=DE=x，则BD=8﹣x，
在Rt△BDE中，DE2+BE2=BD2，
x2+42=（8﹣x）2，
解得x=3，
即CD的长为3．
故选：B，
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【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE，再利用“HL”证明Rt△ACD和Rt△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AC，再利用勾股定理列式求出AB，然后求出BE，设CD=DE=x，表示出BD，然后利用勾股定理列出方程求解即可．
10．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵PD⊥AB，PE⊥AC，
∴∠ADP=∠AEP=90°，
在Rt△ADP和△AEP中 ，
∴Rt△ADP≌△AEP（HL），
故选：D．
【分析】根据题中的条件可得△ADP和△AEP是直角三角形，再根据条件DP=EP，AP=AP可根据HL定理判定△APD≌△APE．
11．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：连结EF，AE与BF交于点O，如图，
∵AB=AF，AO平分∠BAD，
∴AO⊥BF，BO=FO= BF=3，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AF∥BE，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴AB=EB，
而BO⊥AE，
∴AO=OE，
在Rt△AOB中，AO= = =4，
∴AE=2AO=8．
故选C．
【分析】由基本作图得到AB=AF，加上AO平分∠BAD，则根据等腰三角形的性质得到AO⊥BF，BO=FO= BF=3，再根据平行四边形的性质得AF∥BE，所以∠1=∠3，于是得到∠2=∠3，根据等腰三角形的判定得AB=EB，然后再根据等腰三角形的性质得到AO=OE，最后利用勾股定理计算出AO，从而得到AE的长．
12．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∴ED=AD-AE=AD-AB=7-4=3.
故选B.
【分析】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是得出∠ABE=∠AEB，判断三角形ABE中，AB=AE，难度一般.
13．【答案】45°或135°
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，∠ABC+∠BAC=90°，
∵AD、BE分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，
∴∠OAB+∠OBA= （∠ABC+∠BAC）=45°，
∴∠AOE=∠OAB+∠OBA=45°，
∴∠AOB=135°
∴两锐角的平分线的夹角是45°或135°，
故答案为：45°或135°
【分析】作出图形，根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC+∠BAC=90°，再根据角平分线的定义可得∠OAB+∠OBA= （∠ABC+∠BAC），然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AOE，即为两角平分线的夹角．
14．【答案】4
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF，
∵AB=6，BC=8，
∴S△ABC= AB DE+ BC DF= ×6DE+ ×8DE=28，
即3DE+4DE=28，
解得DE=4．
故答案为：4．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DF，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
15．【答案】10
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：连接AE，BE，过E作EG⊥BC于G，
∵D是AB的中点，DE⊥AB，
∴DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∵∠ACE+∠BCE=180°，∠ECG+∠BCE=180°，
∴∠ACE=∠ECG，
又∵EF⊥AC，EG⊥BC，
∴EF=EG，∠FEC=∠GEC，
∵CF⊥EF，CG⊥EG，
∴CF=CG，
在Rt△AEF和Rt△BEG中，
，
∴Rt△AEF≌Rt△BEG（HL），
∴AF=BG，
设CF=CG=x，则AF=AC﹣CF=12﹣x，BG=BC+CG=8+x，
∴12﹣x=8+x，
解得x=2，
∴AF=12﹣2=10．
故答案为：10．
【分析】先连接AE，BE，过E作EG⊥BC于G，根据角平分线的性质以及中垂线的性质，得出EF=EG，AE=BE，进而判定Rt△AEF≌Rt△BEG，即可得到AF=BG，据此列出方程12﹣x=8+x，求得x的值，即可得到AF长．
16．【答案】4
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：作DG⊥AC，垂足为G．
∵DE∥AB，
∴∠BAD=∠ADE，
∵∠DAE=∠ADE=15°，
∴∠DAE=∠ADE=∠BAD=15°，
∴∠DEG=15°×2=30°，
∴ED=AE=8，
∴在Rt△DEG中，DG= DE=4，
∴DF=DG=4．
故答案为：4．
【分析】作DG⊥AC，根据DE∥AB得到∠BAD=∠ADE，再根据∠DAE=∠ADE=15°得到∠DAE=∠ADE=∠BAD，求出∠DEG=15°×2=30°，再根据30°的角所对的直角边是斜边的一半求出GD的长，然后根据角平分线的性质求出DF．
17．【答案】 mn
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过D作DE⊥BC于E，
∵∠A=90，BD是角平分线，
∴DE=AD=m，
∴△BDC的面积= BC DE= mn，
故答案为： mn．
【分析】根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可得到结论．
18．【答案】证明：∵AD是∠BAC的平分线，
DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中
∵ ，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴AD是EF的垂直平分线
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】先求出DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，根据HL证Rt△AED≌Rt△AFD，推出AE=AF，根据等腰三角形性质推出即可．
19．【答案】证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵ME⊥AB，MF⊥AC，
∴∠BEM=∠CFM=90°，
在△BME和△CMF中， ，
∴△BME≌△CMF（AAS），
∴ME=MF．
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】根据等边对等角的性质可得∠B=∠C，然后根据“角角边”证明△BME和△CMF全等，再根据全等三角形对应边相等即可得证．
20．【答案】证明：∵PB⊥BA，PC⊥CA，
在Rt△PAB，Rt△PAC中，
∵PB=PC，PA=PA，
∴Rt△PAB≌Rt△PAC，
∴∠APB=∠APC，
又D是PA上一点，PD=PD，PB=PC，
∴△PBD≌△PCD，
∴BD=CD．
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】先利用HL判定Rt△PAB≌Rt△PAC，得出∠APB=∠APC，再利用SAS判定△PBD≌△PCD，从而得出BD=CD．
21．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD=BC，
∴∠BAE=∠E ，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠E=∠DAE ，
∴DA=DE，
又∵AD=BC，
∴BC=DE
【知识点】角平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】由平行四边形的性质得出AB∥CD，得出内错角相等∠E=∠BAE，再由角平分线证出∠E=∠DAE，得出DA=DE，再根据平行四边形的性质即可得出结论.
22．【答案】证明：∵AB⊥AC，CD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠BAC=∠D=∠E=90°，
∴∠CAD+∠BAE=90°，∠DCA+∠CAD=90°，
∴∠DCA=∠EAB，
在△ADC和△BEA中， ，
∴△ADC≌△BEA（AAS），
∴DC=AE，AD=BE，
∵DE=AD+AE，
∴DE=DC+BE．
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【分析】利用同角的余角相等证出∠DCA=∠EAB，由AAS证明△ADC≌△BEA，得出DC=AE，AD=BE，即可得出结论．
23．【答案】证明：∵∠CAB的平分线与BC的垂直平分线DG相交于D，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴BD=CD，DE=DF．
在Rt△CDF和Rt△BDE中
，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL）．
∴BE=CF．
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质，得BD=CD，根据角平分线的性质，得DE=DF，再根据HL即可证明Rt△CDF≌Rt△BDE，由全等三角形的性质即可证得BE=CF．
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