初中数学苏科版九年级下册7.2 正弦、余弦 同步训练
一、单选题
1．（2021九上·甘州期末）在ΔABC中，∠C＝90 ，AB＝5，BC＝3，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021九上·台州期末）在 中， ， ，那么 的值等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2020九上·平房期末）在 中， ， ，若 ，则 的长为（ ）．
A． B． C． D．
4．（2020九下·镇江月考）Rt△ABC中，如果各边长度都扩大 倍，则锐角A的各个三角函数值（ ）
A．不变化 B．扩大2倍 C．缩小 D．不能确定
5．（2020九上·新泰期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，下列式子正确的是（ ）
A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cosB＝
6．（2020九上·婺城月考）如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，DE⊥AB，垂足为E，DE与AC交于点F，则sin∠DFC的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021九上·来宾期末）如图，△ABC中AB＝AC＝4，∠C＝72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2020九上·六安期中）如图，在正方形方格纸中，每个小方格边长为1，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点O，则sin∠BOD的值等于（ ）
A． B． C． D．
9．（2021九下·杭州开学考）如图，已知扇形OAB的半径为r，C是弧AB上的任一点（不与A，B重合），CM⊥OA，垂足为M，CN⊥OB，垂足为N，连接MN，若∠AOB＝ ，则MN可用 表示为（ ）
A． B． C． D．
10．（2020九上·镇海期末）如图，在 ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝8，AD＝6.⊙O分别切边AB，AD于点E，F，且圆心O好落在DE上.现将⊙O沿AB方向滚动到与BC边相切（点O在ABCD的内部），则圆心O移动的路径长为（ ）
A．2 B．4 C．5﹣ D．8﹣2
二、填空题
11．（2021九上·沈河期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是 .
12．（2020九上·龙海月考）已知 中， 则边 的长度为 ．
13．（2020九上·青山期末）如图，点 在钝角 的边 上，连接 ， ， ， ，则 的余弦值为 ．
14．（2021九上·昆明期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，将△ABC折叠，使点B落在AC边上的点D处，EF为折痕，若sin∠CFD的值为 ，则BE＝ .
15．（2020·上海模拟）如图，在△ABC中，AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AB=AC=5，cos∠C= ，那么GE= ．
16．（2020九上·江阴月考）如图，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，若点M、N分别是线段AB、AC上的两个动点，则CM＋MN的最小值为 .
17．（2020九上·舞钢期末）如图，在 中， ， ， ，用含 和 的代数式表示 的值为： .
18．（2020·南通模拟）数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读出sin∠AOB的值是 .
三、解答题
19．（2020九上·张掖月考）如图，在Rt△ABC中，a＝5，c＝13，求sinA，cosA，tanA.
20．（2019九上·西城月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，求cos∠EFC的值．
21．（2019·平谷模拟）如图，CB是⊙O的直径，P是CB延长线上一点，PB＝2，PA切⊙O于A点，PA＝4，求cosP．
22．（2018·徐汇模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，sinC= ，点G是△ABC的重心，线段BG的延长线交边AC于点D，求∠CBD的余弦值．
23．（2019九上·宜阳期末）如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα= = ，根据上述角的余切定义，解下列问题：
（1）ctan30°= ；
（2）如图，已知tanA= ，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．
24．（2021九上·韩城期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sinA＝
（1）求BD的长；
（2）求tanC的值.
25．（2020·北京模拟）如图，已知 ，以 为直径的 交 于点 ，点 为弧 的中点，连接 交 于点 ．且 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 的半径为4， ，求 的长．
26．（2020·峨眉山模拟）如图，AB是 的直径，D是 的中点， 于E，交CB于点 过点D作BC的平行线DM，连接AC并延长与DM相交于点G．
（1）求证：GD是 的切线；
（2）求证： ；
（3）若 ， ，求 的值．
27．（2021九上·下城期末）如图，在锐角三角形ABC中， ， 是 的外接圆，连结AO，BO，延长BO交AC于点D.
（1）求证：AO平分 ；
（2）若 的半径为5， ，设 的面积为 ， 的面积为 ，求 的值；
（3）若 ，求 的值（用含m的代数表示）.
28．（2021九下·杭州开学考）如图，钝角 内接于 O中，AB=AC，连结AO,BO,延长AC,BO交于点D.
（1）求证：AO是∠BAD的角平分线；
（2）若AO=5，AD= ,求 ；
（3）若 ，求 (用含 的代数式表示).
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AB=5，BC=3，
∴AC= =4，
∴cosA= = .
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理可求出AC的长，根据余弦函数的定义即可得答案.
2．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义；同角三角函数的关系
【解析】【解答】∵ ，
∴
∴sinA= .
故答案为：B.
【分析】根据 结合cosA=，即可求出sinA的值.
3．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵ ， ，
∴
∴
故答案为：A．
【分析】根据余弦的定义和性质求解即可．
4．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如下图，设BC=a，AC=b，AB=c，
∴sinA=，cosA=，tanA=，
当各边长度都扩大2倍，即：BC=2a，AC=2b，AB=2c时，
sinA==，cosA==，tanA==，
∴锐角A的各个三角函数值不变化.
故答案为：A.
【分析】根据锐角三角函数的定义得到sinA=，cosA=，tanA=，各边都扩大2倍后，得到sinA==，cosA==，tanA==，由此得出结论.
5．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠A+∠DCA＝90°，∠DCA+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴sinA＝sin∠BCD＝ ；
cosA＝cos∠BCD= ;
tanA＝ ；
cosB＝ ；
所以B、C、D均不符合题意
故答案为：A．
【分析】利用同角的余角相等可得∠A＝∠BCD，再根据锐角三角函数的定义可得答案．
6．【答案】D
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：设AC与BD相较于O，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，AD＝AB，
∴AC⊥OD，AO＝ AC＝4，DO＝BO＝ BD＝3，
由勾股定理得到：AD＝AB＝ ＝5，
又∵DE⊥AB，
∴S菱形ABCD＝ AC BD＝AB DE.
∴DE＝ ＝ ＝ ，
∴AE＝ ＝ ，
∵∠AOB＝∠AEF＝90°，∠EAF＝∠OAB，
∴△AEF∽△AOB，
∴ ＝ ＝ ，
即 ＝ ，
解得：EF＝ ，
∴DF＝DE﹣EF＝ ﹣ ＝ ，
∴sin∠DFC＝ ＝ ＝ ，
故答案为：D.
【分析】设AC与BD相较于O，由菱形的性质根据勾股定理可求得AD=AB的值，由S菱形ABCD＝AC BD＝AB DE可求得DE的值，在直角三角形ADE中，用勾股定理可求得AE的值，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△AEF∽△AOB，于是可得比例式求出EF的值，由DF＝DE﹣EF可求得DF的值，根据锐角三角函数sin∠DFC=可求解.
7．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵△ABC中，AB=AC=4，∠C=72°，
∴∠ABC=∠C=72°，∠A=36°，
∵D是AB中点，DE⊥AB，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=36°，
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=36°，
∠BEC=180°-∠EBC-∠C=72°，
∴∠BEC=∠C=72°，
∴BE=BC，
∴AE=BE=BC.
设AE=x，则BE=BC=x，EC=4-x.
在△BCE与△ABC中，
∴△BCE∽△ABC，
∴ ，即 ，
解得x=-2+2 （负值舍去），
∴AE=-2+2 ，
在△ADE中，∵∠ADE=90°，
∴cosA= ，
故答案为：C.
【分析】先根据等腰三角形的性质与判定以及三角形内角和定理得出∠EBC=36°，∠BEC=72°，AE=BE=BC．再证明△BCE∽△ABC，设AE=x，根据相似三角形的性质列出比例式, 求出AE，然后在△ADE中利用余弦函数定义求出cosA的值．
8．【答案】B
【知识点】平行线的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接AE、EF，如图所示，
则AE∥CD，
∴∠FAE=∠BOD，
∵每个小正方形的边长为1，
则
∴△FAE是直角三角形，∠FEA=90°，
∴
∴
故答案为：B．
【分析】根据平行线的性质和锐角三角函数定义以及勾股定理，通过转化的数学思想可以求得sin∠BOD的值，本题得以解决．
9．【答案】A
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接OC交MN，延长OM、ON交于一点D，
∵
∵∠CMD=∠DNO=90°，
∴∠D=∠D，
∴△CMD∽△OND，
∴，即,
∵∠D=∠D，
∴△DMN∽△DCO，
∴，
∵sin∠AON=,
∴sin∠AON=,
即sin=,
∴MN= ，
故答案为：A.
【分析】连接OC交MN，延长OM、ON交于一点D，先根据圆周角定理推得角相等，再证明△CMD∽△OND，由相似三角形的性质得比例式，然后转换比例，再证△DMN∽△DCO，从而可把sin转换成用来表示，则MN长可求.
10．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；切线的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接OE，OA、BO.
∵AB，AD分别与⊙O相切于点E、F，
∴OE⊥AB，OF⊥AD，
∴∠OAE＝∠OAD＝30°，
在Rt△ADE中，AD＝6，∠ADE＝30°，
∴AE＝ AD＝3，
∴OE＝ AE＝ ，
∵AD∥BC，∠DAB＝60°，
∴∠ABC＝120°.
设当运动停止时，⊙O′与BC，AB分别相切于点M，N，连接O′N，O′M.
同理可得，∠BO′N为30°，且O′N为 ，
∴BN＝O′N tan30°＝1cm，
EN＝AB﹣AE﹣BN＝8﹣3﹣1＝4.
∴⊙O滚过的路程为4.
故答案为：B.
【分析】如图所示，⊙O滚过的路程即线段EN的长度. EN=AB-AE-BN，所以只需求AE、BN的长度即可.分别根据AE和BN所在的直角三角形利用三角函数进行计算即可.
11．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，
∴AB＝ ＝13，
∴sinB＝ ＝ .
故答案为 :.
【分析】先用勾股定理可求得AB的值，再根据锐角三角函数sinB=可求解.
12．【答案】4
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，过A作AD⊥BC于点D，则由已知可得△ABC为等腰三角形，BD=DC= ，
∴由 cosB= 得 ，BC=2BD=4，
故答案为:4 ．
【分析】过A作AD⊥BC于点D，则由已知可得△ABC为等腰三角形，BD=DC= ，再利用余弦的定义求解即可。
13．【答案】
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图作AH⊥BC于H，
∵ ， ，
设AC═CD=5k，BC=7k，
∵∠B=45°，∠AHB=90°，
∴AH=BH，设AH=BH=x，
在Rt△ACH中，
∵AH2+HC2=AC2，
∴x2+（7k-x）2=（5k）2，
解得x=3k或4k，
当x=4k时，即AH=4k，HC=7k-4k=3k，
AH>HC，此时根据大边对大角，∠HAC<∠HCA，
又∠HAC+∠HCA=90°，
∴∠HAC<45°，
∴∠BAC<90°，与△ABC为钝角三角形矛盾，故x=4k舍去，
当x=3k时，
∴BH=AH=3k，HC=7k-3k=4k，DH=k，
∴ ,
∴ ．
故答案为： ．
【分析】作AH⊥BC于H，设AC═CD=5k，则BC=7k，设AH=BH=x，在Rt△ACH中，利用勾股定理求得x的值（x用k表示，求得的值需淘汰不构成钝角三角形的值），然后表示AD，DH，利用余弦的定义即可求得．
14．【答案】3
【知识点】等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5，
∴∠B=∠C，
设BE=x，∵AB=5
∴AE=AB-BE=5-x，
∵将△ABC折叠，使点B落在AC边上的点D处，
∴△BEF≌△DEF
∴BE=DE=5-x，∠B=∠EDF=∠C
∵∠ADE+∠EDF=∠C+∠DFC
∴∠ADE=∠DFC
∴sin∠CFD=sin∠ADE= ，
解得，x=3，
即，BE=3
故答案为：3 .
【分析】根据等腰三角形的性质得出∠B=∠C，设BE=x，得出AE=AB-BE=5-x，根据折叠的性质得出BE=DE=5-x，∠B=∠EDF=∠C，从而可得∠ADE+∠EDF=∠C+∠DFC，即得∠ADE=∠DFC，继而得出sin∠CFD=sin∠ADE= ，解出x的值即可.
15．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】过点E作EF⊥BC交BC于点F.
∵AB=AC， AD为BC的中线 ∴AD⊥BC ∴EF为△ADC的中位线.
又∵cos∠C= ，AB=AC=5，∴AD=3，BD=CD=4，EF= ，DF=2
∴BF=6
∴在Rt△BEF中BE= = ，
又∵△BGD∽△BEF
∴ ，即BG= .
GE=BE-BG=
故答案为 .
【分析】过点E作EF⊥BC交BC于点F，分别求得AD=3，BD=CD=4，EF= ，DF=2，BF=6，再结合△BGD∽△BEF即可.
16．【答案】
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意可得：作点C关于AB的对称点D，然后过点D作DN⊥AC，交AB、AC与点M、N，根据轴对称的性质及垂线段可得DN即为CM＋MN的最小值，如图所示：
在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，
AB=10，∠B=∠ACD，
，
，
，
即 的最小值为 ；
故答案为 .
【分析】作点C关于AB的对称点D，然后过点D作DN⊥AC，交AB、AC与点M、N，根据轴对称的性质及垂线段可得DN即为CM＋MN的最小值，然后利用三角函数及勾股定理进行求解即可.
17．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵ ，∴ ，
在Rt△ADC中，∵ ，∴ ，
∴ .
故答案为： .
【分析】分别在Rt△ABC和Rt△ADC中用AC和 的三角函数表示出AB和AD，进一步即可求出结果.
18．【答案】
【知识点】余角、补角及其性质；圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】 解： 如图，连接AD．
∵OD是直径，
∴∠OAD＝90°，
∵∠AOB＋∠AOD＝90°，∠AOD＋∠ADO＝90°，
∴∠AOB＝∠ADO，
∴sin∠AOB＝sin∠ADO＝ .
【分析】连接AD，由圆周角定理可得∠OAD＝90°，然后根据同角的余角相等可得∠AOB＝∠ADO，求sin∠ADO即可.
19．【答案】解：∵在Rt△ABC中，a＝5，c＝13，∴AC＝12，sinA＝ ＝ ，cosA＝ ＝ ，
tanA＝ ＝ .
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】由题意先用勾股定理可求得直角边AC的长，再根据锐角三角函数sinA=、cosA=、tanA=可求解.
20．【答案】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，
∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，
∴AF＝AD＝5，EF＝DE，
在Rt△ABF中，∵BF＝ ＝ ＝4，
∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1，
设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x
在Rt△ECF中，∵CE2+FC2＝EF2，
∴x2+12＝（3﹣x）2，解得x＝ ，
∴EF＝3﹣x＝ ，
∴cos∠EFC＝ ＝ ．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】先根据矩形的性质得AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，再根据折叠的性质得AF＝AD＝5，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF＝4，则CF＝BC﹣BF＝1，设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理得到x2+12＝（3﹣x）2，解方程得到x的值，进一步得到EF的长，再根据余弦函数的定义即可求解．
21．【答案】解：解：连接OA，设圆的半径为r．
由切割弦定理可得PA2＝PB×PC，
即42＝2×（2+2r），
解得，r＝3，
所以cosP＝ ＝ ＝ ．
【知识点】切线的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】先用切割线定理得出BC长，再得半径OA长，解直角三角形即可解
22．【答案】解：如图连接AG延长AG交BC于H．∵G是重心，∴BH=CH=6，AG=2GH，∵AB=AC，∴AH⊥BC，∵sin∠C= ，设AH=4k，AC=5k，在Rt△AHC中，∵AH2+CH2=AC2，∴（4k）2+62=（5k）2，解得k=2，∴AH=8，AC=10，∴GH= ，在Rt△BGH中，BG= ，∴cos∠CBD= .
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】根据点G是△ABC的重心，因此添加辅助线连接AG延长AG交BC于H，可得出BH=CH=6，AG=2GH，AH⊥BC，利用解直角三角形和勾股定理求出AH、AC、GH的长，再利用勾股定理求出BG的长，根据锐角三角函数的定义，可求出答案。
23．【答案】（1）
（2）解：∵tanA= ，
∴设BC=3，AC=4，
∴ctanA= =
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，α=30°，
∴BC= AB，
∴AC= = = AB，
∴ctan30°= = ．
故答案为： ；
【分析】（1）根据含30度直角三角形的边之间的关系得出BC= AB，然后根据勾股定理算出AC的长，然后根据余切函数的定义即可算出ctan30°的值；
（2）根据正切函数的定义，由 tanA= ， 设BC=3，AC=4， 然后再根据余切函数的定义算出 ctanA的值 。
24．【答案】（1）解：∵△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sinA＝
∴ ，
即 ，
解得：BD＝12；
（2）解：∵AC＝AB＝13，BD＝12，BD⊥AC，
∴AD＝5，
∴DC＝8，
∴tan∠C＝
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据锐角三角函数sinA=可求解；
（2）在直角三角形ABD中用勾股定理可求得AD的值，由线段的构成可求得CD的值，再根据锐角三角函数tan∠C=可求解.
25．【答案】（1）证明：连接 ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵
∴ ．
∵ 为弧 中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ 为直径，
∴ 是 的切线．
（2）解：∵ 的半为4，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
设 ， ，
由勾股定理得： ，
解得 （负数舍去），
∴ ．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接AE，首先由圆周角定理的推论得出 ，则有 ，然后根据等腰三角形的性质和等量代换得出 ，再利用圆周角定理的推论得出 ，则有 ，从而可证 ，则结论可证；（2）先结合勾股定理和锐角三角函数求出BC，AB，AF的长度，然后证明 ，则有 ，然后设 ， ，在 中利用勾股定理即可求出x的值，进而可求出CE的长度．
26．【答案】（1）证明：连接OD，如图所示：
是 的中点，
，OD平分BC，
是 的直径，
，即 ，
，
，
是 的切线；
（2）解： 是 的切线，AG是 的割线，
；
（3）解： 是 的中点，
，
， ，
， ，
∽ ，
，
是 的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
【知识点】垂径定理；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接OD，由垂径定理得出 ，OD平分BC，由圆周角定理得出 ，证出 ，即可得出GD是 的切线；（2）由切割线定理即可得出结论；（3）由垂径定理得出 ， ，由勾股定理求出 ，证明 ∽ ，得出对应边成比例 ，由圆周角定理得出 ，求出BH，得出DH、AH、CH，求出BC的长，再由三角函数的定义即可得出结果．
27．【答案】（1）证明：如图，过点O作 于点M，作 于点N.
∴AM= AB，AN= AC，
，
∴AM=AN,
∵OA=OA，
∴Rt△AOM≌Rt△AON，
，
平分
（2）解：过点B作BH⊥AC，垂足为H，连接OC，
由（1）可知， ，
，
∴∠OBA=∠OAB，
AO平分 ，
∴∠OAD=∠OAB，
∴∠OAD=∠OBA，
∵∠ADO=∠BDA
∴ ，
，
解得 ，
∵ ，
∴ ，
，
，
CD=1.5，
∵ON∥BH，
∴ ，BH= ON，
，
，
.
（3）解：延长BD交圆于点E，连接CE,
设 ，
，
， ，
∵∠ACE=∠ABO,
由（2）得，∠OAD=∠OBA，
∴∠ACE=∠DAO,
∴OA∥CE，
∴ ，
，
CE= ，
∵∠BAC=∠BEC，
∴ ，
∴ .
【知识点】平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】(1)过点O作OM⊥AB于点M,作ON⊥AC于点N ,证Rt△AOM ≌ Rt△AON，然后由全等的性质即可解答 ;
(2)过点B作BH⊥AC ,垂足为H ,连接OC ,易证△ADO~△BDA ,列比例式求出OD、AB长, 再求出面积即可;
(3)延长BD交圆于点E ,连接CE, 设 ， 先证明 OA∥CE， 然后根据平行线分线段成比例的性质列比例式，求出CE的表达式，求∠BEC的余弦值，则∠BAC的余弦值可知.
28．【答案】（1）证明：连结OC，
∵AB=AC，AO=AO，BO=CO，
∴ ≌
∴∠BAO=∠CAO，
∴AO为∠BAC的角平分线
（2）解：作AE⊥AD于点E，CF⊥BD于点F，
设OD= ，
∵AO=BO，
∴∠ABO=∠BAO=∠OAC，
又∵∠ADO=∠BDA，
∴ ∽ ,
∴ ，即 ，
∴
解得 ， (舍)，即OD=10，
∴BD=OB+OD=15， ，
即 ，∴ ，
∴AB=AC= AD=CD,
又∵AE//CF，
∴CF= AE，
∴
（3）解：设OB=r，
∵ ，∴OD=kr，
由（2）可知 ∽ ,
∴ ，即 ，
∴
∵设OE=x，BE=r-x，在 和 中，
，即
解得 ，∴ =
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【分析】（1） 连结OC，利用边边边定理证明 ≌ ，则对应角∠BAO=∠CAO，即可得出AO为∠BAC的角平分线；
（2）作AE⊥AD于点E，CF⊥BD于点F，设OD= ， 证明 ∽ ，根据相似三角形的性质列比例式求解，得出OD的长，则可求出BD，再根据相似三角形的性质求出AB的长，由于AE//
CF，结合AC=CD，得出CF= AE，然后根据三角形的面积公式即可求出两个三角形的面积比；
（3）设OB=r ，把OD用含r的代数式表示，根据 ∽ OE=x，在 和 中，利用勾股定理列关系式把x用含r的代数式表示，统一量以后，根据Rt△AOE中即可求出cos∠AOB的值.
1 / 1初中数学苏科版九年级下册7.2 正弦、余弦 同步训练
一、单选题
1．（2021九上·甘州期末）在ΔABC中，∠C＝90 ，AB＝5，BC＝3，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AB=5，BC=3，
∴AC= =4，
∴cosA= = .
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理可求出AC的长，根据余弦函数的定义即可得答案.
2．（2021九上·台州期末）在 中， ， ，那么 的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义；同角三角函数的关系
【解析】【解答】∵ ，
∴
∴sinA= .
故答案为：B.
【分析】根据 结合cosA=，即可求出sinA的值.
3．（2020九上·平房期末）在 中， ， ，若 ，则 的长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵ ， ，
∴
∴
故答案为：A．
【分析】根据余弦的定义和性质求解即可．
4．（2020九下·镇江月考）Rt△ABC中，如果各边长度都扩大 倍，则锐角A的各个三角函数值（ ）
A．不变化 B．扩大2倍 C．缩小 D．不能确定
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如下图，设BC=a，AC=b，AB=c，
∴sinA=，cosA=，tanA=，
当各边长度都扩大2倍，即：BC=2a，AC=2b，AB=2c时，
sinA==，cosA==，tanA==，
∴锐角A的各个三角函数值不变化.
故答案为：A.
【分析】根据锐角三角函数的定义得到sinA=，cosA=，tanA=，各边都扩大2倍后，得到sinA==，cosA==，tanA==，由此得出结论.
5．（2020九上·新泰期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，下列式子正确的是（ ）
A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cosB＝
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠A+∠DCA＝90°，∠DCA+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴sinA＝sin∠BCD＝ ；
cosA＝cos∠BCD= ;
tanA＝ ；
cosB＝ ；
所以B、C、D均不符合题意
故答案为：A．
【分析】利用同角的余角相等可得∠A＝∠BCD，再根据锐角三角函数的定义可得答案．
6．（2020九上·婺城月考）如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，DE⊥AB，垂足为E，DE与AC交于点F，则sin∠DFC的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：设AC与BD相较于O，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，AD＝AB，
∴AC⊥OD，AO＝ AC＝4，DO＝BO＝ BD＝3，
由勾股定理得到：AD＝AB＝ ＝5，
又∵DE⊥AB，
∴S菱形ABCD＝ AC BD＝AB DE.
∴DE＝ ＝ ＝ ，
∴AE＝ ＝ ，
∵∠AOB＝∠AEF＝90°，∠EAF＝∠OAB，
∴△AEF∽△AOB，
∴ ＝ ＝ ，
即 ＝ ，
解得：EF＝ ，
∴DF＝DE﹣EF＝ ﹣ ＝ ，
∴sin∠DFC＝ ＝ ＝ ，
故答案为：D.
【分析】设AC与BD相较于O，由菱形的性质根据勾股定理可求得AD=AB的值，由S菱形ABCD＝AC BD＝AB DE可求得DE的值，在直角三角形ADE中，用勾股定理可求得AE的值，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△AEF∽△AOB，于是可得比例式求出EF的值，由DF＝DE﹣EF可求得DF的值，根据锐角三角函数sin∠DFC=可求解.
7．（2021九上·来宾期末）如图，△ABC中AB＝AC＝4，∠C＝72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵△ABC中，AB=AC=4，∠C=72°，
∴∠ABC=∠C=72°，∠A=36°，
∵D是AB中点，DE⊥AB，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=36°，
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=36°，
∠BEC=180°-∠EBC-∠C=72°，
∴∠BEC=∠C=72°，
∴BE=BC，
∴AE=BE=BC.
设AE=x，则BE=BC=x，EC=4-x.
在△BCE与△ABC中，
∴△BCE∽△ABC，
∴ ，即 ，
解得x=-2+2 （负值舍去），
∴AE=-2+2 ，
在△ADE中，∵∠ADE=90°，
∴cosA= ，
故答案为：C.
【分析】先根据等腰三角形的性质与判定以及三角形内角和定理得出∠EBC=36°，∠BEC=72°，AE=BE=BC．再证明△BCE∽△ABC，设AE=x，根据相似三角形的性质列出比例式, 求出AE，然后在△ADE中利用余弦函数定义求出cosA的值．
8．（2020九上·六安期中）如图，在正方形方格纸中，每个小方格边长为1，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点O，则sin∠BOD的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接AE、EF，如图所示，
则AE∥CD，
∴∠FAE=∠BOD，
∵每个小正方形的边长为1，
则
∴△FAE是直角三角形，∠FEA=90°，
∴
∴
故答案为：B．
【分析】根据平行线的性质和锐角三角函数定义以及勾股定理，通过转化的数学思想可以求得sin∠BOD的值，本题得以解决．
9．（2021九下·杭州开学考）如图，已知扇形OAB的半径为r，C是弧AB上的任一点（不与A，B重合），CM⊥OA，垂足为M，CN⊥OB，垂足为N，连接MN，若∠AOB＝ ，则MN可用 表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接OC交MN，延长OM、ON交于一点D，
∵
∵∠CMD=∠DNO=90°，
∴∠D=∠D，
∴△CMD∽△OND，
∴，即,
∵∠D=∠D，
∴△DMN∽△DCO，
∴，
∵sin∠AON=,
∴sin∠AON=,
即sin=,
∴MN= ，
故答案为：A.
【分析】连接OC交MN，延长OM、ON交于一点D，先根据圆周角定理推得角相等，再证明△CMD∽△OND，由相似三角形的性质得比例式，然后转换比例，再证△DMN∽△DCO，从而可把sin转换成用来表示，则MN长可求.
10．（2020九上·镇海期末）如图，在 ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝8，AD＝6.⊙O分别切边AB，AD于点E，F，且圆心O好落在DE上.现将⊙O沿AB方向滚动到与BC边相切（点O在ABCD的内部），则圆心O移动的路径长为（ ）
A．2 B．4 C．5﹣ D．8﹣2
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；切线的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接OE，OA、BO.
∵AB，AD分别与⊙O相切于点E、F，
∴OE⊥AB，OF⊥AD，
∴∠OAE＝∠OAD＝30°，
在Rt△ADE中，AD＝6，∠ADE＝30°，
∴AE＝ AD＝3，
∴OE＝ AE＝ ，
∵AD∥BC，∠DAB＝60°，
∴∠ABC＝120°.
设当运动停止时，⊙O′与BC，AB分别相切于点M，N，连接O′N，O′M.
同理可得，∠BO′N为30°，且O′N为 ，
∴BN＝O′N tan30°＝1cm，
EN＝AB﹣AE﹣BN＝8﹣3﹣1＝4.
∴⊙O滚过的路程为4.
故答案为：B.
【分析】如图所示，⊙O滚过的路程即线段EN的长度. EN=AB-AE-BN，所以只需求AE、BN的长度即可.分别根据AE和BN所在的直角三角形利用三角函数进行计算即可.
二、填空题
11．（2021九上·沈河期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是 .
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，
∴AB＝ ＝13，
∴sinB＝ ＝ .
故答案为 :.
【分析】先用勾股定理可求得AB的值，再根据锐角三角函数sinB=可求解.
12．（2020九上·龙海月考）已知 中， 则边 的长度为 ．
【答案】4
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，过A作AD⊥BC于点D，则由已知可得△ABC为等腰三角形，BD=DC= ，
∴由 cosB= 得 ，BC=2BD=4，
故答案为:4 ．
【分析】过A作AD⊥BC于点D，则由已知可得△ABC为等腰三角形，BD=DC= ，再利用余弦的定义求解即可。
13．（2020九上·青山期末）如图，点 在钝角 的边 上，连接 ， ， ， ，则 的余弦值为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图作AH⊥BC于H，
∵ ， ，
设AC═CD=5k，BC=7k，
∵∠B=45°，∠AHB=90°，
∴AH=BH，设AH=BH=x，
在Rt△ACH中，
∵AH2+HC2=AC2，
∴x2+（7k-x）2=（5k）2，
解得x=3k或4k，
当x=4k时，即AH=4k，HC=7k-4k=3k，
AH>HC，此时根据大边对大角，∠HAC<∠HCA，
又∠HAC+∠HCA=90°，
∴∠HAC<45°，
∴∠BAC<90°，与△ABC为钝角三角形矛盾，故x=4k舍去，
当x=3k时，
∴BH=AH=3k，HC=7k-3k=4k，DH=k，
∴ ,
∴ ．
故答案为： ．
【分析】作AH⊥BC于H，设AC═CD=5k，则BC=7k，设AH=BH=x，在Rt△ACH中，利用勾股定理求得x的值（x用k表示，求得的值需淘汰不构成钝角三角形的值），然后表示AD，DH，利用余弦的定义即可求得．
14．（2021九上·昆明期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，将△ABC折叠，使点B落在AC边上的点D处，EF为折痕，若sin∠CFD的值为 ，则BE＝ .
【答案】3
【知识点】等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5，
∴∠B=∠C，
设BE=x，∵AB=5
∴AE=AB-BE=5-x，
∵将△ABC折叠，使点B落在AC边上的点D处，
∴△BEF≌△DEF
∴BE=DE=5-x，∠B=∠EDF=∠C
∵∠ADE+∠EDF=∠C+∠DFC
∴∠ADE=∠DFC
∴sin∠CFD=sin∠ADE= ，
解得，x=3，
即，BE=3
故答案为：3 .
【分析】根据等腰三角形的性质得出∠B=∠C，设BE=x，得出AE=AB-BE=5-x，根据折叠的性质得出BE=DE=5-x，∠B=∠EDF=∠C，从而可得∠ADE+∠EDF=∠C+∠DFC，即得∠ADE=∠DFC，继而得出sin∠CFD=sin∠ADE= ，解出x的值即可.
15．（2020·上海模拟）如图，在△ABC中，AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AB=AC=5，cos∠C= ，那么GE= ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】过点E作EF⊥BC交BC于点F.
∵AB=AC， AD为BC的中线 ∴AD⊥BC ∴EF为△ADC的中位线.
又∵cos∠C= ，AB=AC=5，∴AD=3，BD=CD=4，EF= ，DF=2
∴BF=6
∴在Rt△BEF中BE= = ，
又∵△BGD∽△BEF
∴ ，即BG= .
GE=BE-BG=
故答案为 .
【分析】过点E作EF⊥BC交BC于点F，分别求得AD=3，BD=CD=4，EF= ，DF=2，BF=6，再结合△BGD∽△BEF即可.
16．（2020九上·江阴月考）如图，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，若点M、N分别是线段AB、AC上的两个动点，则CM＋MN的最小值为 .
【答案】
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意可得：作点C关于AB的对称点D，然后过点D作DN⊥AC，交AB、AC与点M、N，根据轴对称的性质及垂线段可得DN即为CM＋MN的最小值，如图所示：
在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，
AB=10，∠B=∠ACD，
，
，
，
即 的最小值为 ；
故答案为 .
【分析】作点C关于AB的对称点D，然后过点D作DN⊥AC，交AB、AC与点M、N，根据轴对称的性质及垂线段可得DN即为CM＋MN的最小值，然后利用三角函数及勾股定理进行求解即可.
17．（2020九上·舞钢期末）如图，在 中， ， ， ，用含 和 的代数式表示 的值为： .
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵ ，∴ ，
在Rt△ADC中，∵ ，∴ ，
∴ .
故答案为： .
【分析】分别在Rt△ABC和Rt△ADC中用AC和 的三角函数表示出AB和AD，进一步即可求出结果.
18．（2020·南通模拟）数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读出sin∠AOB的值是 .
【答案】
【知识点】余角、补角及其性质；圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】 解： 如图，连接AD．
∵OD是直径，
∴∠OAD＝90°，
∵∠AOB＋∠AOD＝90°，∠AOD＋∠ADO＝90°，
∴∠AOB＝∠ADO，
∴sin∠AOB＝sin∠ADO＝ .
【分析】连接AD，由圆周角定理可得∠OAD＝90°，然后根据同角的余角相等可得∠AOB＝∠ADO，求sin∠ADO即可.
三、解答题
19．（2020九上·张掖月考）如图，在Rt△ABC中，a＝5，c＝13，求sinA，cosA，tanA.
【答案】解：∵在Rt△ABC中，a＝5，c＝13，∴AC＝12，sinA＝ ＝ ，cosA＝ ＝ ，
tanA＝ ＝ .
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】由题意先用勾股定理可求得直角边AC的长，再根据锐角三角函数sinA=、cosA=、tanA=可求解.
20．（2019九上·西城月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，求cos∠EFC的值．
【答案】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，
∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，
∴AF＝AD＝5，EF＝DE，
在Rt△ABF中，∵BF＝ ＝ ＝4，
∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1，
设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x
在Rt△ECF中，∵CE2+FC2＝EF2，
∴x2+12＝（3﹣x）2，解得x＝ ，
∴EF＝3﹣x＝ ，
∴cos∠EFC＝ ＝ ．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】先根据矩形的性质得AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，再根据折叠的性质得AF＝AD＝5，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF＝4，则CF＝BC﹣BF＝1，设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理得到x2+12＝（3﹣x）2，解方程得到x的值，进一步得到EF的长，再根据余弦函数的定义即可求解．
21．（2019·平谷模拟）如图，CB是⊙O的直径，P是CB延长线上一点，PB＝2，PA切⊙O于A点，PA＝4，求cosP．
【答案】解：解：连接OA，设圆的半径为r．
由切割弦定理可得PA2＝PB×PC，
即42＝2×（2+2r），
解得，r＝3，
所以cosP＝ ＝ ＝ ．
【知识点】切线的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】先用切割线定理得出BC长，再得半径OA长，解直角三角形即可解
22．（2018·徐汇模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，sinC= ，点G是△ABC的重心，线段BG的延长线交边AC于点D，求∠CBD的余弦值．
【答案】解：如图连接AG延长AG交BC于H．∵G是重心，∴BH=CH=6，AG=2GH，∵AB=AC，∴AH⊥BC，∵sin∠C= ，设AH=4k，AC=5k，在Rt△AHC中，∵AH2+CH2=AC2，∴（4k）2+62=（5k）2，解得k=2，∴AH=8，AC=10，∴GH= ，在Rt△BGH中，BG= ，∴cos∠CBD= .
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】根据点G是△ABC的重心，因此添加辅助线连接AG延长AG交BC于H，可得出BH=CH=6，AG=2GH，AH⊥BC，利用解直角三角形和勾股定理求出AH、AC、GH的长，再利用勾股定理求出BG的长，根据锐角三角函数的定义，可求出答案。
23．（2019九上·宜阳期末）如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα= = ，根据上述角的余切定义，解下列问题：
（1）ctan30°= ；
（2）如图，已知tanA= ，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．
【答案】（1）
（2）解：∵tanA= ，
∴设BC=3，AC=4，
∴ctanA= =
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，α=30°，
∴BC= AB，
∴AC= = = AB，
∴ctan30°= = ．
故答案为： ；
【分析】（1）根据含30度直角三角形的边之间的关系得出BC= AB，然后根据勾股定理算出AC的长，然后根据余切函数的定义即可算出ctan30°的值；
（2）根据正切函数的定义，由 tanA= ， 设BC=3，AC=4， 然后再根据余切函数的定义算出 ctanA的值 。
24．（2021九上·韩城期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sinA＝
（1）求BD的长；
（2）求tanC的值.
【答案】（1）解：∵△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sinA＝
∴ ，
即 ，
解得：BD＝12；
（2）解：∵AC＝AB＝13，BD＝12，BD⊥AC，
∴AD＝5，
∴DC＝8，
∴tan∠C＝
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据锐角三角函数sinA=可求解；
（2）在直角三角形ABD中用勾股定理可求得AD的值，由线段的构成可求得CD的值，再根据锐角三角函数tan∠C=可求解.
25．（2020·北京模拟）如图，已知 ，以 为直径的 交 于点 ，点 为弧 的中点，连接 交 于点 ．且 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 的半径为4， ，求 的长．
【答案】（1）证明：连接 ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵
∴ ．
∵ 为弧 中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ 为直径，
∴ 是 的切线．
（2）解：∵ 的半为4，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
设 ， ，
由勾股定理得： ，
解得 （负数舍去），
∴ ．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接AE，首先由圆周角定理的推论得出 ，则有 ，然后根据等腰三角形的性质和等量代换得出 ，再利用圆周角定理的推论得出 ，则有 ，从而可证 ，则结论可证；（2）先结合勾股定理和锐角三角函数求出BC，AB，AF的长度，然后证明 ，则有 ，然后设 ， ，在 中利用勾股定理即可求出x的值，进而可求出CE的长度．
26．（2020·峨眉山模拟）如图，AB是 的直径，D是 的中点， 于E，交CB于点 过点D作BC的平行线DM，连接AC并延长与DM相交于点G．
（1）求证：GD是 的切线；
（2）求证： ；
（3）若 ， ，求 的值．
【答案】（1）证明：连接OD，如图所示：
是 的中点，
，OD平分BC，
是 的直径，
，即 ，
，
，
是 的切线；
（2）解： 是 的切线，AG是 的割线，
；
（3）解： 是 的中点，
，
， ，
， ，
∽ ，
，
是 的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
【知识点】垂径定理；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接OD，由垂径定理得出 ，OD平分BC，由圆周角定理得出 ，证出 ，即可得出GD是 的切线；（2）由切割线定理即可得出结论；（3）由垂径定理得出 ， ，由勾股定理求出 ，证明 ∽ ，得出对应边成比例 ，由圆周角定理得出 ，求出BH，得出DH、AH、CH，求出BC的长，再由三角函数的定义即可得出结果．
27．（2021九上·下城期末）如图，在锐角三角形ABC中， ， 是 的外接圆，连结AO，BO，延长BO交AC于点D.
（1）求证：AO平分 ；
（2）若 的半径为5， ，设 的面积为 ， 的面积为 ，求 的值；
（3）若 ，求 的值（用含m的代数表示）.
【答案】（1）证明：如图，过点O作 于点M，作 于点N.
∴AM= AB，AN= AC，
，
∴AM=AN,
∵OA=OA，
∴Rt△AOM≌Rt△AON，
，
平分
（2）解：过点B作BH⊥AC，垂足为H，连接OC，
由（1）可知， ，
，
∴∠OBA=∠OAB，
AO平分 ，
∴∠OAD=∠OAB，
∴∠OAD=∠OBA，
∵∠ADO=∠BDA
∴ ，
，
解得 ，
∵ ，
∴ ，
，
，
CD=1.5，
∵ON∥BH，
∴ ，BH= ON，
，
，
.
（3）解：延长BD交圆于点E，连接CE,
设 ，
，
， ，
∵∠ACE=∠ABO,
由（2）得，∠OAD=∠OBA，
∴∠ACE=∠DAO,
∴OA∥CE，
∴ ，
，
CE= ，
∵∠BAC=∠BEC，
∴ ，
∴ .
【知识点】平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】(1)过点O作OM⊥AB于点M,作ON⊥AC于点N ,证Rt△AOM ≌ Rt△AON，然后由全等的性质即可解答 ;
(2)过点B作BH⊥AC ,垂足为H ,连接OC ,易证△ADO~△BDA ,列比例式求出OD、AB长, 再求出面积即可;
(3)延长BD交圆于点E ,连接CE, 设 ， 先证明 OA∥CE， 然后根据平行线分线段成比例的性质列比例式，求出CE的表达式，求∠BEC的余弦值，则∠BAC的余弦值可知.
28．（2021九下·杭州开学考）如图，钝角 内接于 O中，AB=AC，连结AO,BO,延长AC,BO交于点D.
（1）求证：AO是∠BAD的角平分线；
（2）若AO=5，AD= ,求 ；
（3）若 ，求 (用含 的代数式表示).
【答案】（1）证明：连结OC，
∵AB=AC，AO=AO，BO=CO，
∴ ≌
∴∠BAO=∠CAO，
∴AO为∠BAC的角平分线
（2）解：作AE⊥AD于点E，CF⊥BD于点F，
设OD= ，
∵AO=BO，
∴∠ABO=∠BAO=∠OAC，
又∵∠ADO=∠BDA，
∴ ∽ ,
∴ ，即 ，
∴
解得 ， (舍)，即OD=10，
∴BD=OB+OD=15， ，
即 ，∴ ，
∴AB=AC= AD=CD,
又∵AE//CF，
∴CF= AE，
∴
（3）解：设OB=r，
∵ ，∴OD=kr，
由（2）可知 ∽ ,
∴ ，即 ，
∴
∵设OE=x，BE=r-x，在 和 中，
，即
解得 ，∴ =
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【分析】（1） 连结OC，利用边边边定理证明 ≌ ，则对应角∠BAO=∠CAO，即可得出AO为∠BAC的角平分线；
（2）作AE⊥AD于点E，CF⊥BD于点F，设OD= ， 证明 ∽ ，根据相似三角形的性质列比例式求解，得出OD的长，则可求出BD，再根据相似三角形的性质求出AB的长，由于AE//
CF，结合AC=CD，得出CF= AE，然后根据三角形的面积公式即可求出两个三角形的面积比；
（3）设OB=r ，把OD用含r的代数式表示，根据 ∽ OE=x，在 和 中，利用勾股定理列关系式把x用含r的代数式表示，统一量以后，根据Rt△AOE中即可求出cos∠AOB的值.
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