人教版数学八年级上册第13章 13.1.2线段的垂直平分线的性质 同步练习
一、单选题
1．如图，在△ABC中，AC=5，BC=8，BC的中垂线交AB、BC于D、E，DE=3，连CD，当∠ACD=90°时，则AD的长是（ ）
A．6 B．5 C．5 D．8
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵BC的中垂线交AB、BC于D、E，
∴CD=BD，CE= BC= ×8=4，∠CED=90°，
∵DE=3，
∴CD= =5，
∵AC=5，∠ACD=90°，
∴AD= =5 ．
故选C．
【分析】由BC的中垂线交AB、BC于D、E，DE=3，BC=8，即可求得CD的长，又由AC=5，∠ACD=90°，即可求得答案．
2．如图，已知直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=8，AB的垂直平分线DE交BC于点D，AD=5，则AC的长为（ ）
A．3 B．4 C．12 D．13
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴DB=DA=5，
∴CD=BC﹣BD=3，
∴AC= =4，
故选：B．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB=DA=5，根据勾股定理计算即可．
3．如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个农贸市场，使农贸市场到三个小区的距离均相等，则超市应建在（ ）
A．在三个内角角平分线的交点处 B．在三条高线的交点处
C．在三条中线的交点处 D．在三条边垂直平分线的交点处
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：作线段BC、AB的垂直平分线OD、OE，二者相交于O．
因为AO=BO，
CO=BO，
所以AO=CO．
于是AO=BO=CO．
即点O到A、B、C三点的距离相等．
根据垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，
AC的垂直平分线过点O．
故点O为三边垂直平分线的交点．
故选D．
【分析】要使超市到三个小区的距离相等，分别作出线段BC、AB的垂直平分线，二者交点O即为广场位置．
4．如图，锐角三角形ABC中，直线l为BC的中垂线，直线m为∠ABC的角平分线，l与m相交于P点．若∠BAC=60°，∠ACP=24°，则∠ABP是（ ）
A．24° B．30° C．32° D．36°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠CBP，
∵直线l是线段BC的垂直平分线，
∴BP=CP，
∴∠CBP=∠BCP，
∴∠ABP=∠CBP=∠BCP，
∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，∠A=60°，∠ACP=24°，
∴3∠ABP+24°+60°=180°，
解得：∠ABP=32°．
故选：C．
【分析】根据角平分线定义求出∠ABP=∠CBP，根据线段的垂直平分线性质得出BP=CP，求出∠CBP=∠BCP，根据三角形内角和定理得出方程3∠ABP+24°+60°=180°，求出方程的解即可．
5．已知如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于D，△ABC和△DBC的周长分别是60cm和38cm，则△ABC的腰和底边长分别为（ ）
A．24cm和12cm B．16cm和22cm C．20cm和16cm D．22cm和16cm
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AB的垂直平分线交AC于D，
∴AD=BD，
∴△DBC的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC，
∵△ABC和△DBC的周长分别是60cm和38cm，
∴AB=60﹣38=22cm，
∴BC=38﹣22=16cm，
即△ABC的腰和底边长分别为22cm和16cm．
故选D．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，然后求出△DBC的周长=AC+BC，再根据两个三角形的周长求出AB，然后BC的值，从而得解．
6．（2017八上·上杭期末）和三角形三个顶点的距离相等的点是（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三边中线的交点
C．三边上高所在直线的交点 D．三边的垂直平分线的交点
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：根据线段垂直平分线的性质可得：三角形三个顶点的距离相等的点是三边的垂直平分线的交点．
故选D．
【分析】三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．
7．如图，在△ABC中，点O是∠ABC的平分线与线段BC的垂直平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB．垂足分别为D、E、F，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．OB=OC B．OD=OF C．OA=OB=OC D．BD=DC
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵点O是∠ABC的平分线与线段BC的垂直平分线的交点，
∴OB=OC，故（A）成立；
又∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴OD=OF，故（B）成立；
∵OD垂直平分BC，
∴BD=CD，故（D）成立；
∵点E和点F不一定是AC和AB的中点，
即OF不一定垂直平分AB，
∴OA=OB=OC不一定成立．
故选C.
【分析】垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．角的平分线上的点到角的两边的距离相等．据此判断即可．
8．如图，AC=AD，BC=BD，则有（ ）
A．CD垂直平分AB B．AB与CD互相垂直平分
C．AB垂直平分CD D．CD平分∠ACB
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AC=AD，BC=BD，
∴点A在CD的垂直平分线上，点B在CD的垂直平分线上，
∴AB垂直平分线CD，
故选C
【分析】垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．
9．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（ ） cm．
A．13 B．15 C．17 D．19
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，AC=2AE=6cm，
又∵△ABD的周长=AB+BD+AD=13cm，
∴AB+BD+CD=13cm，
即AB+BC=13cm，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19cm．
故选：D．
【分析】由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到AD=CD，AC=2AE，结合周长，进行线段的等量代换可得答案．
10．下列说法正确的是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形
B．平行四边形的对角线互相垂直平分
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；轴对称图形
【解析】【解答】解：
A、平行四边形不一定是轴对称图形，故A不正确；
B、只有菱形的对角线才互相垂直平分，但一般平行四边形不具有，故B不正确；
C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能为等腰梯形，故C不正确；
D、由平行四边形的判定可知两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故D正确；
故选D．
【分析】分别利用平行边形形的性质和判定逐项判断即可．
11．如图，在△ABC中，AB=BC，∠B=30°，DE垂直平分BC，则∠ACD的度数为（ ）
A．30° B．45° C．55° D．75°
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=BC，∠B=30°，
∴∠A=∠ACB=75°，
∵DE垂直平分BC，
∴BD=CD，
∴∠DCE=∠B=30°，
∴∠ACD=∠ACB=∠DCB=45°，
故选B．
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ACB=75°，根据线段垂直平分线的性质得到BD=CD，求得∠DCE=∠B=30°，即可得到结论．
12．（2015八上·宜昌期中）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE=CE
∴∠EAC=∠C，
又∵∠B=90°，∠BAE=10°，
∴∠AEB=80°，
又∵∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，
∴∠C=40°．
故选：B．
【分析】利用线段的垂直平分线的性质计算．通过已知条件由∠B=90°，∠BAE=10° ∠AEB，∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C．
二、填空题
13．在△ABC中，BC=12cm，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，且DE=4cm，则AD+AE= cm．
【答案】8或16
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，
∴AD=BD，AE=CE，
∴AD+AE=BD+CE，
∵BC=12cm，DE=4cm，
∴如图1，AD+AE=BD+CE=BC﹣DE=12﹣4=8cm，
如图2，AD+AE=BD+CE=BC+DE=12+4=16cm，
综上所述，AD+AE=8cm或16cm．
故答案为：8或16．
【分析】作出图形，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，AE=CE，然后分两种情况讨论求解．
14．已知，△ABC三条边的垂直平分线的交点在△ABC的一条边上，那么△ABC的形状是 ．
【答案】直角三角形
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC的三边的垂直平分线交点在△ABC的边上，
∴△ABC的形状为直角三角形．
故答案为：直角三角形．
【分析】由△ABC的三边的垂直平分线交点在△ABC的边上，可得△ABC的形状为直角三角形；若在内部，则为锐角三角形，若在外部，则为钝角三角形，即可求得答案．
15．在△ABC中，∠C=90°，∠B=∠22.5°，DE垂直平分AB交BC于E，BC=2+2 ，则AC= ．
【答案】2
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∵∠B=∠22.5°，
∴∠BAE=∠B=∠22.5°，
∴∠AEC=∠BAE+∠E=45°，
∵在△ABC中，∠C=90°，
∴AE= AC，AC=CE，
∴BE= AC，
∴BC=CE+BE=AC+ AC=2+2 ，
∴AC=2．
故答案为：2．
【分析】由DE垂直平分AB，可得AE=BE，又由在△ABC中，∠C=90°，∠B=∠22.5°，易得△ACE是等腰直角三角形，继而可得BC=（ +1）AC，则可求得答案．
16．如图，在△ABC中，AB和AC的垂直平分线分别交BC于E、F，若∠BAC=130°，则∠EAF= ．
【答案】80°
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB和AC的垂直平分线分别交BC于E、F，
∴AE=BE，AF=CF，
∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAF，
∵∠BAC=130°，
∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=50°，
∴∠BAE+∠CAF=50°，
∴∠EAF=∠BAC﹣（∠BAE+∠CAF）=130°﹣50°=80°．
故答案为：80°．
【分析】由在△ABC中，AB和AC的垂直平分线分别交BC于E、F，易得∠B=∠BAE，∠C=∠CAF，又由∠BAC=130°，可求得∠B+∠C的度数，继而求得答案．
17．（2017八上·北海期末）如图，△ABC中，AC=6，BC=4，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为 ．
【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，
则△BCE的周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=10，
故答案为：10．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，根据三角形的周长公式计算即可．
18．（2017八上·双台子期末）如图：△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为 ．
【答案】19
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，AC=2AE=6cm，
又∵△ABD的周长=AB+BD+AD=13cm，
∴AB+BD+CD=13cm，
即AB+BC=13cm，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19cm．
故答案为19．
【分析】由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到AD=CD，AC=2AE，结合周长，进行线段的等量代换可得答案．
三、解答题
19．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点D，△ABC和△DBC的周长分别是60cm和38cm，求AB，BC．
【答案】解：∵AB的垂直平分线交AC于点D，
∴AD=BD，即BD+CD=AC，
∵C△ABC=AB+AC+BC=60cm，C△DBC=BD+CD+BC=AC+BC=38cm，
∴AB=60﹣38=22cm，
∵AB=AC，
∴AC=22cm，
∴BC=38﹣22=16cm
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】 【分析】先根据AB的垂直平分线交AC于点D得出AD=BD，即BD+CD=AC，再根据△ABC和△DBC的周长分别是60cm和38cm即可得出AB的长，再由AB=AC得出AC的长，故可得出BC的长．
20．如图△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线交AB于E，交AC于F求证：AF=ED．
【答案】证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AD的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，
∴AE=DE，∠AOE=∠AOF=90°，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∴AF=ED
【知识点】线段垂直平分线的性质；角平分线的定义
【解析】 【分析】先根据AD平分∠BAC，AD的垂直平分线交AB于E，求得AE=DE，且∠AEF=∠AFE，最后得出AE=AF．
21．在Rt△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，且∠BAD：∠BAC=1：3，求∠B的度数．
【答案】解：∵∠BAD：∠BAC=1：3，
设∠BAD=x°，则∠BAC=3x°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠DAB=∠B=x°，
∵∠C=90°，
∴∠BAC+∠B=90°，
∴3x+x=90，
解得：x=22.5，
∴∠B=22.5°
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】由∠BAD：∠BAC=1：3，即可设∠BAD=x°，则∠BAC=3x°，又由DE是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，即可求得∠B=∠BAD=x°，又由在Rt△ABC中，∠C=90°，根据直角三角形中两锐角互余，即可得方程，解方程即可求得答案．
22．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于D，垂足为E，△ABD的周长为13cm，AC=5cm，求△ABC的周长．
【答案】解：∵DE是边AC的垂直平分线，
∴AD=CD，
∵△ABD的周长为13cm，AC6=5m，
△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+CD+BD=AB+BC=13cm，
所以，△ABC的周长=AB+BC+AC=13+5=18cm
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=CD，再根据DE是AB的垂直平分线可得AE=CE求出AC的长度，然后根据三角形的周长公式整理即可得解．
23．如图，△ABC中，∠CAB的平分线与BC的垂直平分线相交于D，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，求证：BE=CF．
【答案】证明：∵∠CAB的平分线与BC的垂直平分线DG相交于D，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴BD=CD，DE=DF．
在Rt△CDF和Rt△BDE中
，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL）．
∴BE=CF．
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质，得BD=CD，根据角平分线的性质，得DE=DF，再根据HL即可证明Rt△CDF≌Rt△BDE，由全等三角形的性质即可证得BE=CF．
四、综合题
24．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F．
（1）若BC=10，求△AEF周长．
（2）若∠BAC=128°，求∠FAE的度数．
【答案】（1）解：∵在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，
∴AE=BE，AF=CF，
∵BC=10，
∴△AEF周长为：AE+EF+AF=BE+EF+CF=BC=10
（2）解：∵AE=BE，AF=CF，
∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAF，
∵∠BAC=128°，
∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=52°，
∴∠BAE+∠CAF=∠B+∠C=52°，
∴∠FAE=∠BAC﹣（∠BAE+∠CAF）=76°
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）由在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，易得AE=BE，AF=CF，即可得△AEF周长=BC；（2）由∠BAC=128°，可求得∠B+∠C的值，即可得∠BAE+∠CAF的值，继而求得答案．
25．（2017八上·双台子期末）如图，点E是∠AOB平分线上的点，EC⊥OA于点C，ED⊥OB于点D，连接CD，求证：
（1）∠ECD=∠EDC；
（2）OE是线段CD的垂直平分线．
【答案】（1）解：∵OE是∠AOB的平分线，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴EC=ED，
∴∠ECD=∠EDC；
（2）解：在Rt△ODE和Rt△OCE中，
∵ ，
∴Rt△ODE≌Rt△OCE（HL），
∴OC=OD，
又∵DE=CE，
∴OE是CD的垂直平分线．
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）由角平分线的性质即可得证；（2）根据“HL”证Rt△ODE≌Rt△OCE，得OC=OD，由DE=CE可得OE是CD的垂直平分线．
1 / 1人教版数学八年级上册第13章 13.1.2线段的垂直平分线的性质 同步练习
一、单选题
1．如图，在△ABC中，AC=5，BC=8，BC的中垂线交AB、BC于D、E，DE=3，连CD，当∠ACD=90°时，则AD的长是（ ）
A．6 B．5 C．5 D．8
2．如图，已知直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=8，AB的垂直平分线DE交BC于点D，AD=5，则AC的长为（ ）
A．3 B．4 C．12 D．13
3．如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个农贸市场，使农贸市场到三个小区的距离均相等，则超市应建在（ ）
A．在三个内角角平分线的交点处 B．在三条高线的交点处
C．在三条中线的交点处 D．在三条边垂直平分线的交点处
4．如图，锐角三角形ABC中，直线l为BC的中垂线，直线m为∠ABC的角平分线，l与m相交于P点．若∠BAC=60°，∠ACP=24°，则∠ABP是（ ）
A．24° B．30° C．32° D．36°
5．已知如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于D，△ABC和△DBC的周长分别是60cm和38cm，则△ABC的腰和底边长分别为（ ）
A．24cm和12cm B．16cm和22cm C．20cm和16cm D．22cm和16cm
6．（2017八上·上杭期末）和三角形三个顶点的距离相等的点是（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三边中线的交点
C．三边上高所在直线的交点 D．三边的垂直平分线的交点
7．如图，在△ABC中，点O是∠ABC的平分线与线段BC的垂直平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB．垂足分别为D、E、F，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．OB=OC B．OD=OF C．OA=OB=OC D．BD=DC
8．如图，AC=AD，BC=BD，则有（ ）
A．CD垂直平分AB B．AB与CD互相垂直平分
C．AB垂直平分CD D．CD平分∠ACB
9．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（ ） cm．
A．13 B．15 C．17 D．19
10．下列说法正确的是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形
B．平行四边形的对角线互相垂直平分
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
11．如图，在△ABC中，AB=BC，∠B=30°，DE垂直平分BC，则∠ACD的度数为（ ）
A．30° B．45° C．55° D．75°
12．（2015八上·宜昌期中）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
二、填空题
13．在△ABC中，BC=12cm，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，且DE=4cm，则AD+AE= cm．
14．已知，△ABC三条边的垂直平分线的交点在△ABC的一条边上，那么△ABC的形状是 ．
15．在△ABC中，∠C=90°，∠B=∠22.5°，DE垂直平分AB交BC于E，BC=2+2 ，则AC= ．
16．如图，在△ABC中，AB和AC的垂直平分线分别交BC于E、F，若∠BAC=130°，则∠EAF= ．
17．（2017八上·北海期末）如图，△ABC中，AC=6，BC=4，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为 ．
18．（2017八上·双台子期末）如图：△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为 ．
三、解答题
19．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点D，△ABC和△DBC的周长分别是60cm和38cm，求AB，BC．
20．如图△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线交AB于E，交AC于F求证：AF=ED．
21．在Rt△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，且∠BAD：∠BAC=1：3，求∠B的度数．
22．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于D，垂足为E，△ABD的周长为13cm，AC=5cm，求△ABC的周长．
23．如图，△ABC中，∠CAB的平分线与BC的垂直平分线相交于D，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，求证：BE=CF．
四、综合题
24．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F．
（1）若BC=10，求△AEF周长．
（2）若∠BAC=128°，求∠FAE的度数．
25．（2017八上·双台子期末）如图，点E是∠AOB平分线上的点，EC⊥OA于点C，ED⊥OB于点D，连接CD，求证：
（1）∠ECD=∠EDC；
（2）OE是线段CD的垂直平分线．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵BC的中垂线交AB、BC于D、E，
∴CD=BD，CE= BC= ×8=4，∠CED=90°，
∵DE=3，
∴CD= =5，
∵AC=5，∠ACD=90°，
∴AD= =5 ．
故选C．
【分析】由BC的中垂线交AB、BC于D、E，DE=3，BC=8，即可求得CD的长，又由AC=5，∠ACD=90°，即可求得答案．
2．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴DB=DA=5，
∴CD=BC﹣BD=3，
∴AC= =4，
故选：B．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB=DA=5，根据勾股定理计算即可．
3．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：作线段BC、AB的垂直平分线OD、OE，二者相交于O．
因为AO=BO，
CO=BO，
所以AO=CO．
于是AO=BO=CO．
即点O到A、B、C三点的距离相等．
根据垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，
AC的垂直平分线过点O．
故点O为三边垂直平分线的交点．
故选D．
【分析】要使超市到三个小区的距离相等，分别作出线段BC、AB的垂直平分线，二者交点O即为广场位置．
4．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠CBP，
∵直线l是线段BC的垂直平分线，
∴BP=CP，
∴∠CBP=∠BCP，
∴∠ABP=∠CBP=∠BCP，
∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，∠A=60°，∠ACP=24°，
∴3∠ABP+24°+60°=180°，
解得：∠ABP=32°．
故选：C．
【分析】根据角平分线定义求出∠ABP=∠CBP，根据线段的垂直平分线性质得出BP=CP，求出∠CBP=∠BCP，根据三角形内角和定理得出方程3∠ABP+24°+60°=180°，求出方程的解即可．
5．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AB的垂直平分线交AC于D，
∴AD=BD，
∴△DBC的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC，
∵△ABC和△DBC的周长分别是60cm和38cm，
∴AB=60﹣38=22cm，
∴BC=38﹣22=16cm，
即△ABC的腰和底边长分别为22cm和16cm．
故选D．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，然后求出△DBC的周长=AC+BC，再根据两个三角形的周长求出AB，然后BC的值，从而得解．
6．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：根据线段垂直平分线的性质可得：三角形三个顶点的距离相等的点是三边的垂直平分线的交点．
故选D．
【分析】三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．
7．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵点O是∠ABC的平分线与线段BC的垂直平分线的交点，
∴OB=OC，故（A）成立；
又∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴OD=OF，故（B）成立；
∵OD垂直平分BC，
∴BD=CD，故（D）成立；
∵点E和点F不一定是AC和AB的中点，
即OF不一定垂直平分AB，
∴OA=OB=OC不一定成立．
故选C.
【分析】垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．角的平分线上的点到角的两边的距离相等．据此判断即可．
8．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AC=AD，BC=BD，
∴点A在CD的垂直平分线上，点B在CD的垂直平分线上，
∴AB垂直平分线CD，
故选C
【分析】垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．
9．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，AC=2AE=6cm，
又∵△ABD的周长=AB+BD+AD=13cm，
∴AB+BD+CD=13cm，
即AB+BC=13cm，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19cm．
故选：D．
【分析】由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到AD=CD，AC=2AE，结合周长，进行线段的等量代换可得答案．
10．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；轴对称图形
【解析】【解答】解：
A、平行四边形不一定是轴对称图形，故A不正确；
B、只有菱形的对角线才互相垂直平分，但一般平行四边形不具有，故B不正确；
C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能为等腰梯形，故C不正确；
D、由平行四边形的判定可知两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故D正确；
故选D．
【分析】分别利用平行边形形的性质和判定逐项判断即可．
11．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=BC，∠B=30°，
∴∠A=∠ACB=75°，
∵DE垂直平分BC，
∴BD=CD，
∴∠DCE=∠B=30°，
∴∠ACD=∠ACB=∠DCB=45°，
故选B．
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ACB=75°，根据线段垂直平分线的性质得到BD=CD，求得∠DCE=∠B=30°，即可得到结论．
12．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE=CE
∴∠EAC=∠C，
又∵∠B=90°，∠BAE=10°，
∴∠AEB=80°，
又∵∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，
∴∠C=40°．
故选：B．
【分析】利用线段的垂直平分线的性质计算．通过已知条件由∠B=90°，∠BAE=10° ∠AEB，∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C．
13．【答案】8或16
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，
∴AD=BD，AE=CE，
∴AD+AE=BD+CE，
∵BC=12cm，DE=4cm，
∴如图1，AD+AE=BD+CE=BC﹣DE=12﹣4=8cm，
如图2，AD+AE=BD+CE=BC+DE=12+4=16cm，
综上所述，AD+AE=8cm或16cm．
故答案为：8或16．
【分析】作出图形，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，AE=CE，然后分两种情况讨论求解．
14．【答案】直角三角形
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC的三边的垂直平分线交点在△ABC的边上，
∴△ABC的形状为直角三角形．
故答案为：直角三角形．
【分析】由△ABC的三边的垂直平分线交点在△ABC的边上，可得△ABC的形状为直角三角形；若在内部，则为锐角三角形，若在外部，则为钝角三角形，即可求得答案．
15．【答案】2
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∵∠B=∠22.5°，
∴∠BAE=∠B=∠22.5°，
∴∠AEC=∠BAE+∠E=45°，
∵在△ABC中，∠C=90°，
∴AE= AC，AC=CE，
∴BE= AC，
∴BC=CE+BE=AC+ AC=2+2 ，
∴AC=2．
故答案为：2．
【分析】由DE垂直平分AB，可得AE=BE，又由在△ABC中，∠C=90°，∠B=∠22.5°，易得△ACE是等腰直角三角形，继而可得BC=（ +1）AC，则可求得答案．
16．【答案】80°
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB和AC的垂直平分线分别交BC于E、F，
∴AE=BE，AF=CF，
∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAF，
∵∠BAC=130°，
∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=50°，
∴∠BAE+∠CAF=50°，
∴∠EAF=∠BAC﹣（∠BAE+∠CAF）=130°﹣50°=80°．
故答案为：80°．
【分析】由在△ABC中，AB和AC的垂直平分线分别交BC于E、F，易得∠B=∠BAE，∠C=∠CAF，又由∠BAC=130°，可求得∠B+∠C的度数，继而求得答案．
17．【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，
则△BCE的周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=10，
故答案为：10．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，根据三角形的周长公式计算即可．
18．【答案】19
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，AC=2AE=6cm，
又∵△ABD的周长=AB+BD+AD=13cm，
∴AB+BD+CD=13cm，
即AB+BC=13cm，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19cm．
故答案为19．
【分析】由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到AD=CD，AC=2AE，结合周长，进行线段的等量代换可得答案．
19．【答案】解：∵AB的垂直平分线交AC于点D，
∴AD=BD，即BD+CD=AC，
∵C△ABC=AB+AC+BC=60cm，C△DBC=BD+CD+BC=AC+BC=38cm，
∴AB=60﹣38=22cm，
∵AB=AC，
∴AC=22cm，
∴BC=38﹣22=16cm
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】 【分析】先根据AB的垂直平分线交AC于点D得出AD=BD，即BD+CD=AC，再根据△ABC和△DBC的周长分别是60cm和38cm即可得出AB的长，再由AB=AC得出AC的长，故可得出BC的长．
20．【答案】证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AD的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，
∴AE=DE，∠AOE=∠AOF=90°，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∴AF=ED
【知识点】线段垂直平分线的性质；角平分线的定义
【解析】 【分析】先根据AD平分∠BAC，AD的垂直平分线交AB于E，求得AE=DE，且∠AEF=∠AFE，最后得出AE=AF．
21．【答案】解：∵∠BAD：∠BAC=1：3，
设∠BAD=x°，则∠BAC=3x°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠DAB=∠B=x°，
∵∠C=90°，
∴∠BAC+∠B=90°，
∴3x+x=90，
解得：x=22.5，
∴∠B=22.5°
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】由∠BAD：∠BAC=1：3，即可设∠BAD=x°，则∠BAC=3x°，又由DE是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，即可求得∠B=∠BAD=x°，又由在Rt△ABC中，∠C=90°，根据直角三角形中两锐角互余，即可得方程，解方程即可求得答案．
22．【答案】解：∵DE是边AC的垂直平分线，
∴AD=CD，
∵△ABD的周长为13cm，AC6=5m，
△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+CD+BD=AB+BC=13cm，
所以，△ABC的周长=AB+BC+AC=13+5=18cm
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=CD，再根据DE是AB的垂直平分线可得AE=CE求出AC的长度，然后根据三角形的周长公式整理即可得解．
23．【答案】证明：∵∠CAB的平分线与BC的垂直平分线DG相交于D，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴BD=CD，DE=DF．
在Rt△CDF和Rt△BDE中
，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL）．
∴BE=CF．
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质，得BD=CD，根据角平分线的性质，得DE=DF，再根据HL即可证明Rt△CDF≌Rt△BDE，由全等三角形的性质即可证得BE=CF．
24．【答案】（1）解：∵在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，
∴AE=BE，AF=CF，
∵BC=10，
∴△AEF周长为：AE+EF+AF=BE+EF+CF=BC=10
（2）解：∵AE=BE，AF=CF，
∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAF，
∵∠BAC=128°，
∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=52°，
∴∠BAE+∠CAF=∠B+∠C=52°，
∴∠FAE=∠BAC﹣（∠BAE+∠CAF）=76°
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）由在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，易得AE=BE，AF=CF，即可得△AEF周长=BC；（2）由∠BAC=128°，可求得∠B+∠C的值，即可得∠BAE+∠CAF的值，继而求得答案．
25．【答案】（1）解：∵OE是∠AOB的平分线，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴EC=ED，
∴∠ECD=∠EDC；
（2）解：在Rt△ODE和Rt△OCE中，
∵ ，
∴Rt△ODE≌Rt△OCE（HL），
∴OC=OD，
又∵DE=CE，
∴OE是CD的垂直平分线．
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）由角平分线的性质即可得证；（2）根据“HL”证Rt△ODE≌Rt△OCE，得OC=OD，由DE=CE可得OE是CD的垂直平分线．
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