上海市奉贤区青溪中学2021-2022学年八年级下学期4月阶段测试数学试卷（word，含答案）

上海市奉贤区清溪中学2021-2022学年八年级下学4月阶段测试数学试卷（含答案与解析）
一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分）
1．（3分）下列函数一定是一次函数的是（　　）
A．y＝x2+2 B．y＝+1
C．y＝+1 D．y＝kx+b （k、b为常数）
2．（3分）若一次函数y＝2x+b的图象不经过第二象限，则b的取值范围为（　　）
A．b＜0 B．b≤0 C．b≥0 D．b＞0
3．（3分）下列方程中，有实数解的方程是（　　）
A．+1＝0 B．2x4﹣1＝0 C．x2+3x+6＝0 D．＝
4．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．x2＝0是二项方程 B．是分式方程
C．x2+y＝1是二元二次方程 D．x2+x＝0是无理方程
5．（3分）矩形的两条对角线所成的钝角为120°，若一条对角线的长是2，那么它的周长是（　　）
A．6 B．2 C．2（1+） D．1+
6．（3分）对于①等边三角形，②菱形，③平行四边形，④矩形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．①②④ B．③ C．③④ D．②④
二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．（2分）一次函数y＝x﹣3的截距为 　 　．
8．（2分）已知函数y＝x+1，当y＝2时，那么x的值是 　 　．
9．（2分）如果把直线y＝x﹣1沿y轴向上平移3个单位，那么得到的直线的表达式为　 　．
10．（2分）方程＝的解是 　 　．
11．（2分）已知一次函数的图象经过两点A（﹣7，7）、B（11，﹣24），那么这个函数的函数值y随x的增大而　 　．（填“增大”或“减小”或“不变”）
12．（2分）已知方程+＝0，如果设＝y，那么原方程可以变形为关于y的整式方程是 　 　．
13．（2分）方程（x+3）＝0的解是　 　．
14．（2分）一个n边形，它的内角和等于五边形内角和的2倍，那么n的值是 　 　．
15．（2分）已知菱形有一个内角为60°，较短的一条对角线长为8，那么菱形的边长为 　 　．
16．（2分）某工厂计划用三年时间把原产量从100台增加到500台，已知每年产量增长的百分率相同．设每年产量增长的百分率为x，可列出的方程为 　 　．
17．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，E是AB上一点，将矩形ABCD沿CE折叠后，点B落在AD边的点F上，则AF的长为　 　．
18．（2分）如图，在 ABCD中，∠A＝70°，将 ABCD绕顶点B顺时针旋转到 A1BC1D1，当C1D1首次经过顶点C时，旋转角∠ABA1＝　 　．
三、简答题：（本大题共4题，19、20每题5分，第21-23每题6分，满分28分）
19．（5分）解关于x的方程：（3a﹣2）x＝2（3﹣x）．
20．（5分）解方程：
21．（6分）解方程3﹣2﹣＝x．
22．（6分）解方程组：．
23．（6分）已知：一次函数y＝kx+b的图象经过点A（1，3）且与直线y＝﹣3x+2平行．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）求在这个一次函数的图象上且位于x轴上方的所有点的横坐标的取值范围．
四、解答题：（本大题共3题，第24-25题每题6分，第26题8分，第27题10分，满分30分）
24．（6分）2021第四届届中国国际进口博览会，于2021年11月5日到10日在上海举行，小明一家共7人从家里出发去进博会游览．小明提议：让爸爸开车载着爷爷、奶奶、外公、外婆去，自己和妈妈坐公交车去，最后在进博会门口汇合．图中l1，l2分别表示公交车与小轿车在行驶中的路程（千米）与时间（分钟）的关系，试观察图象并回答下列问题；
（1）公交车在途中行驶的平均速度为 　 　千米/分钟；公交车行驶的路程是 　 　千米．
（2）写出小轿车在行驶过程中s与t的函数关系式：　 　，定义域为 　 　．
（3）小明和妈妈乘坐的公交车出发 　 　分钟后被爸爸的小轿车追上了．
25．（6分）2020年春以来，在党和政府的领导下，我国人民进行了一场抗击“新型冠状病毒”战役．为了控制疫情的蔓延，某卫生材料厂接到上级下达赶制19.2万只“医用口罩”的任务，为使口罩早日到达防疫第一线，工厂开工后每天比原计划多加工0.4万只，结果提前4天完成任务．请问该厂原计划每天加工多少万只口罩？
26．（8分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，点G、H分别在边AB、CD上，且AG＝CH．
（1）求证：△AGE≌△CHF；
（2）若∠AEG+∠BFG＝90°，求证：四边形EGFH是矩形．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+3与x轴、y轴分别相交于点A、B两点，与直线CD相交于点C（1，m），直线CD与x轴交于点D（3，0）．
（1）联结BD，CD，求△BCD的面积．
（2）在平面内是存在一点E，使得以A、C、D、E为四个顶点的四边形是平行四边形，直接写出点E的坐标．
（3）设点F是x轴上一个动点，当∠CDB＝∠FBD时，求点F的坐标．
上海市奉贤区清溪中学2021-2022学年八年级下学4月阶段测试数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分）
1．（3分）下列函数一定是一次函数的是（　　）
A．y＝x2+2 B．y＝+1
C．y＝+1 D．y＝kx+b （k、b为常数）
【分析】根据一次函数的定义，逐一分析四个选项，此题得解．
【解答】解：A、该函数是二次函数，故本选项不合题意；
B、该函数符合一次函数的定义，故本选项符合题意；
C、该函数是反比例函数，故本选项不合题意；
D、当k＝0时，该函数不是一次函数，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】考查了一次函数的定义，解题关键是掌握一次函数的定义条件：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
2．（3分）若一次函数y＝2x+b的图象不经过第二象限，则b的取值范围为（　　）
A．b＜0 B．b≤0 C．b≥0 D．b＞0
【分析】根据题意可知：图象经过一三象限或一三四象限，可得b＝0或b＜0，再解不等式可得答案．
【解答】解：一次函数y＝2x+b的图象不经过第二象限，
则可能是经过一三象限或一三四象限，
经过一三象限时，b＝0；
经过一三四象限时，b＜0．
故b≤0，
故选：B．
【点评】此题主要考查了一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限；k＜0时，直线必经过二、四象限；b＞0时，直线与y轴正半轴相交；b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
3．（3分）下列方程中，有实数解的方程是（　　）
A．+1＝0 B．2x4﹣1＝0 C．x2+3x+6＝0 D．＝
【分析】逐个对每一项进行分析解答，通过分析解答每一项的方程来了解它们有无实数解．
【解答】解：A．原方程移项得＝﹣1，而≥0，所以方程没有实数解；
B．对于2x4﹣1＝0，根的判别式Δ＝8＞0，所以方程有实数解；
C．对弈x2+3x+6＝0，根的判别式Δ＝9﹣24＜0，所以方程没有实数解；
D．解分式方程，得 x＝1，为增根，所以方程没有实数解；
故选：B．
【点评】本题主要考查解无理方程和分式方程，关键在于熟练掌握解无理方程和分式方程的方法．
4．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．x2＝0是二项方程 B．是分式方程
C．x2+y＝1是二元二次方程 D．x2+x＝0是无理方程
【分析】根据无理方程，分式方程，高次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．x2＝0是一元二次方程，不是二项方程，故本选项不符合题意；‘
B．不是方程，也不是分式方程，故本选项不符合题意；
C．x2+y＝1是二元二次方程，故本选项符合题意；
D．x2+x＝0是有理方程，不是无理方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了无理方程、分式方程和高次方程的定义等知识点，能熟记无理方程、分式方程、高次方程的定义是解此题的关键，注意：①根号内含有未知数的方程，叫无理方程，分母中含有未知数的方程，叫分式方程．
5．（3分）矩形的两条对角线所成的钝角为120°，若一条对角线的长是2，那么它的周长是（　　）
A．6 B．2 C．2（1+） D．1+
【分析】首先根据题意画出图形，由矩形的两条对角线所成的钝角为120°，可得△AOB是等边三角形，即可求得AB的长，然后由勾股定理求得AD的长，继而求得它的周长．
【解答】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝2，AO＝OC＝AC，OB＝DO＝BD，
∴OA＝OB＝1，
∵∠AOB＝180°﹣120°＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AO＝OB＝AB＝1，
∴AD＝＝，
∴CD＝AB＝1，BC＝AD＝，
∴它的周长是：2（1+）．
故选：C．
【点评】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
6．（3分）对于①等边三角形，②菱形，③平行四边形，④矩形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．①②④ B．③ C．③④ D．②④
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合几何图形的特点进行判断．
【解答】解：菱形，矩形既是轴对称图形又是中心对称图形；
等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；
平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形．
故既是轴对称图形又是中心对称图形的是②④．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．（1）如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．（2）如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．（2分）一次函数y＝x﹣3的截距为 　﹣3　．
【分析】代入x＝0求出y值，此题得解．
【解答】解：当x＝0时，y＝x﹣3＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记截距的定义是解题的关键．
8．（2分）已知函数y＝x+1，当y＝2时，那么x的值是 　2　．
【分析】将y＝2代入函数解析式，即可求出x．
【解答】解：∵函数y＝x+1，
当y＝2时，代入函数解析式，
得2＝x+1，
解得x＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了一次函数上点的坐标特征，熟练运用函数解析式是解题的关键．
9．（2分）如果把直线y＝x﹣1沿y轴向上平移3个单位，那么得到的直线的表达式为　y＝x+2　．
【分析】根据上加下减，左加右减的法则可得出答案．
【解答】解：y＝x﹣1沿y轴向上平移3个单位得到直线：y＝x﹣1+3＝x+2，
故答案是：y＝x+2．
【点评】本题考查一次函数的图象变换，注意上下移动改变的是y，左右移动改变的是x，规律是上加下减，左加右减．
10．（2分）方程＝的解是 　x＝0　．
【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：＝，
x2＝7x，
解得：x＝0或x＝7，
检验：当x＝0时，x﹣7≠0，
当x＝7时，x﹣7＝0，
∴x＝7是原方程的增根，
∴x＝0是原方程的根，
故答案为：x＝0．
【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
11．（2分）已知一次函数的图象经过两点A（﹣7，7）、B（11，﹣24），那么这个函数的函数值y随x的增大而　减小　．（填“增大”或“减小”或“不变”）
【分析】先用待定系数法求出解析式中的k，再根据解析式中的k值即可得到其增减性从而得到答案．
【解答】解：设一次函数解析式为：y＝kx+b，
将A（﹣7，7）、B（11，﹣24）代入得：，
解得k＝﹣，
∵k＝﹣＜0，
∴这个一次函数的函数值y随x的增大而减小，
故答案为：减小．
【点评】本题考查一次函数的增减性，解题的关键是用待定系数法求出k的值．
12．（2分）已知方程+＝0，如果设＝y，那么原方程可以变形为关于y的整式方程是 　1+3y2＝0　．
【分析】设＝y，则原方程化为+3y＝0，再方程两边都乘y即可．
【解答】解：+＝0，
设＝y，则原方程化为：
+3y＝0，
即1+3y2＝0，
故答案为：1+3y2＝0．
【点评】本题考查了用换元法解分式方程，能正确换元是解此题的关键．
13．（2分）方程（x+3）＝0的解是　x＝2　．
【分析】因为（x+3）＝0可以得出x+3＝0，x﹣2＝0且x﹣2≥0，由此求得原方程的解即可．
【解答】解：∵（x+3）＝0，
∴x+3＝0，x﹣2＝0且x﹣2≥0，
解得x＝﹣3，x＝2且x≥2，
∴x＝2．
故答案为：x＝2．
【点评】此题考查解无理方程，注意被开方数必须大于或等于0，求此类方程的解必须满足这一条件．
14．（2分）一个n边形，它的内角和等于五边形内角和的2倍，那么n的值是 　八　．
【分析】然后根据多边形的内角和定理即可列方程求解．
【解答】解：这个多边形的边数是n，则180（n﹣2）＝2×（5﹣2）×180，
解得：n＝8．
故答案是：八．
【点评】本题考查多边形的内角和公式、方程的思想．关键是记住多边形的一个内角和公式．
15．（2分）已知菱形有一个内角为60°，较短的一条对角线长为8，那么菱形的边长为 　8　．
【分析】先画出图形，根据菱形的性质，可得△ABC为等边三角形，即可解答．
【解答】解：由题意得，∠ABC＝60°，AC＝8，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BA＝BC，AC⊥BD，AO＝OC，BO＝OD，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了菱形的性质，解答本题的关键是熟练掌握菱形的四边相等、对角线互相垂直且平分的性质．
16．（2分）某工厂计划用三年时间把原产量从100台增加到500台，已知每年产量增长的百分率相同．设每年产量增长的百分率为x，可列出的方程为 　100（1+x）3＝500　．
【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果平均每年增长的百分率为x，根据“某工厂计划用三年时间把原产量从100台增加到500台”，根据题意可得出方程．
【解答】解：设平均每年增长的百分率为x，
根据题意可得出：100（1+x）3＝500．
故答案是：100（1+x）3＝500．
【点评】本题考查了高次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
17．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，E是AB上一点，将矩形ABCD沿CE折叠后，点B落在AD边的点F上，则AF的长为　4　．
【分析】由翻折的性质可得到FC＝10，然后在△FDC中，依据勾股定理可求得DF的长，最后依据AF＝AD﹣DF求解即可．
【解答】解：∵ABCD为矩形，
∴CD＝AB＝8，AD＝BC＝10．
由翻折的性质可知：FC＝BC＝10．
在Rt△DFC中，由勾股定理可知：DF＝6．
∴AF＝AD﹣DF＝10﹣6＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查的是翻折的性质、矩形的性质、勾股定理，求得DF的长是解题的关键．
18．（2分）如图，在 ABCD中，∠A＝70°，将 ABCD绕顶点B顺时针旋转到 A1BC1D1，当C1D1首次经过顶点C时，旋转角∠ABA1＝　40°　．
【分析】由旋转的性质可知： ABCD全等于 A1BC1D1，所以BC＝BC1，所以∠BCC1＝∠C1，又因为旋转角∠∠ABA1＝∠CBC1，根据等腰三角形的性质计算即可．
【解答】解：∵ ABCD绕顶点B顺时针旋转到 A1BC1D1，
∴BC＝BC1，
∴∠BCC1＝∠C1，
∵∠A＝70°，
∴∠C＝∠C1＝70°，
∴∠BCC1＝∠C1，
∴∠CBC1＝180°﹣2×70°＝40°，
∴∠ABA1＝40°，
故答案为：40°．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理，解题的关键是证明三角形CBC1是等腰三角形．
三、简答题：（本大题共4题，19、20每题5分，第21-23每题6分，满分28分）
19．（5分）解关于x的方程：（3a﹣2）x＝2（3﹣x）．
【分析】方程去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可．
【解答】解：（3a﹣2）x＝2（3﹣x），
去括号，得3ax﹣2x＝6﹣2x，
移项，得3ax﹣2x+2x＝6，
合并同类项，得3ax＝6，
系数化为1，得x＝．
【点评】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤是解答本题的关键．
20．（5分）解方程：
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x+x﹣1＝x2+2x﹣3，
整理得：x2﹣x﹣2＝0，即（x﹣2）（x+1）＝0，
解得：x＝2或x＝﹣1，
经检验x＝2与x＝﹣1都为分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
21．（6分）解方程3﹣2﹣＝x．
【分析】整理后得出1﹣x＝，方程两边平方得出1﹣2x+x2＝2x﹣1，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：3﹣2﹣＝x，
即1﹣x＝，
方程两边平方，得1﹣2x+x2＝2x﹣1，
即x2﹣4x+2＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×2＝8＞0，
∴x＝＝2±，
经检验x＝2+不是原方程的解，x＝2﹣是原方程的解，
所以原方程的解是x＝2﹣．
【点评】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键．
22．（6分）解方程组：．
【分析】由①得出x2﹣xy＝0，求出x＝0或x﹣y＝0③，由②和③组成两个二元二次方程组，再求出两个方程组的解即可．
【解答】解：，
由①，得x2﹣xy＝0，
x（x﹣y）＝0，
即x＝0或x﹣y＝0③，
由②和③组成两个二元二次方程组或，
解得：，，，，
所以原方程组的解是，，，．
【点评】本题考查了解高次方程组，能把解高次方程组转化成二元二次方程组是解此题的关键．
23．（6分）已知：一次函数y＝kx+b的图象经过点A（1，3）且与直线y＝﹣3x+2平行．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）求在这个一次函数的图象上且位于x轴上方的所有点的横坐标的取值范围．
【分析】（1）设一次函数的表达式为y＝kx+b，由于它的图象与直线y＝﹣3x+2平行，可知k＝﹣3，再由图象过点A（1，3），可求出b，从而可求表达式；
（2）根据题意得到﹣3x+6＞0，解得即可．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象与直线y＝﹣3x+2平行，
∴k＝﹣3，
∴一次函数解析式为y＝﹣3x+b，
∵图象经过点A（1，3），
∴﹣3×1+b＝3，
解得：b＝6，
∴该一次函数的解析式为y＝﹣3x+6；
（2）∵所求的点在这个一次函数的图象上且位于x轴上方，
∴﹣3x+6＞0，
解得x＜2，
即所有点的横坐标的取值范围是x＜2．
【点评】此题主要考查了两条直线平行问题，关键是掌握若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
四、解答题：（本大题共3题，第24-25题每题6分，第26题8分，第27题10分，满分30分）
24．（6分）2021第四届届中国国际进口博览会，于2021年11月5日到10日在上海举行，小明一家共7人从家里出发去进博会游览．小明提议：让爸爸开车载着爷爷、奶奶、外公、外婆去，自己和妈妈坐公交车去，最后在进博会门口汇合．图中l1，l2分别表示公交车与小轿车在行驶中的路程（千米）与时间（分钟）的关系，试观察图象并回答下列问题；
（1）公交车在途中行驶的平均速度为 　5　千米/分钟；公交车行驶的路程是 　36　千米．
（2）写出小轿车在行驶过程中s与t的函数关系式：　s＝t﹣5　，定义域为 　5≤t≤41　．
（3）小明和妈妈乘坐的公交车出发 　25　分钟后被爸爸的小轿车追上了．
【分析】（1）由图象可得公交车在途中行驶的平均速度为4÷5＝（千米/分钟），公交车行驶的路程是45×＝36（千米）；
（2）设小轿车在行驶过程中s与t的函数关系式为s＝kt+b，用待定系数法即可得s＝t﹣5，由图象可得5≤t≤41；
（3）可得l1的解析式为s＝t，解t＝t﹣5，即得答案．
【解答】解：（1）由图象可得公交车在途中行驶的平均速度为4÷5＝（千米/分钟），
公交车行驶的路程是45×＝36（千米），
故答案为：，36；
（2）设小轿车在行驶过程中s与t的函数关系式为s＝kt+b，将（5，0），（41，36）代入得：
，
解得，
∴小轿车在行驶过程中s与t的函数关系式为s＝t﹣5，
由图象可得5≤t≤41，
故答案为：s＝t﹣5，5≤t≤41，
（3）由公交车在途中行驶的平均速度为千米/分钟可得：l1的解析式为s＝t，
根据题意可得t＝t﹣5，
解得t＝25，
故答案为：25．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图．
25．（6分）2020年春以来，在党和政府的领导下，我国人民进行了一场抗击“新型冠状病毒”战役．为了控制疫情的蔓延，某卫生材料厂接到上级下达赶制19.2万只“医用口罩”的任务，为使口罩早日到达防疫第一线，工厂开工后每天比原计划多加工0.4万只，结果提前4天完成任务．请问该厂原计划每天加工多少万只口罩？
【分析】求的是原计划的工效，工作总量明显，一定是根据工作时间来列等量关系，本题的关键描述语是：提前4天完成任务，等量关系为：原计划所用时间﹣实际所用时间＝4，列出方程可求解．
【解答】解：设原计划每天加工x万只口罩，
根据题意，得＝4，
整理，得x2+0.4x﹣1.92＝0，
解得x1＝1.2，x2＝﹣1.6，
经检验可知x1，x2都是原方程的解，因x2＜0不合题意，应舍去．
答：该厂原计划每天加工1.2万只口罩．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
26．（8分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，点G、H分别在边AB、CD上，且AG＝CH．
（1）求证：△AGE≌△CHF；
（2）若∠AEG+∠BFG＝90°，求证：四边形EGFH是矩形．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到∠A＝∠C，AD＝BC，根据线段中点的定义得到AE＝AD，CF＝BC，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据平行四边形的性质得到B＝∠D，AD＝BC，AB＝CD，求得DE＝AD，BF＝BC，得到DE＝BF，求得BG＝DH，根据全等三角形的性质得到FG＝EH，EG＝FH，∠AEG＝∠CFH，根据矩形的判定定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AD＝BC，AB＝CD，
∵点E、F分别是AD、BC的中点，
∴AE＝AD，CF＝BC，
∴AE＝DE＝BF＝CF，
∵AG＝CH，
∴AB﹣AG＝CD﹣CH，
即BG＝DH
在△AGE与△CHF中，
，
∴△AGE≌△CHF（SAS）；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，AD＝BC，AB＝CD，
∵点E、F分别是AD、BC的中点，
∴DE＝AD，BF＝BC，
∴DE＝BF，
∵AG＝CH，
∴AB﹣AG＝CD﹣CH，
即BG＝DH，
∴△BFG≌△DEH（SAS）；
∴FG＝EH，
由（1）知△AGE≌△CHF，
∴EG＝FH，∠AEG＝∠CFH，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∵∠AEG+∠BFG＝90°，
∴∠CFH+∠BFG＝90°，
∴∠GFH＝90°，
∴四边形EGFH是矩形．
【点评】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+3与x轴、y轴分别相交于点A、B两点，与直线CD相交于点C（1，m），直线CD与x轴交于点D（3，0）．
（1）联结BD，CD，求△BCD的面积．
（2）在平面内是存在一点E，使得以A、C、D、E为四个顶点的四边形是平行四边形，直接写出点E的坐标．
（3）设点F是x轴上一个动点，当∠CDB＝∠FBD时，求点F的坐标．
【分析】（1）先求出点A，点B，点C坐标，由面积和差关系可求解；
（2）分三种情况讨论，由平行四边形的性质可求解；
（3）分两种情况讨论，利用平行线的性质和等腰三角形的性质求出直线BF的解析式，即可求解．
【解答】解：（1）如图1，
∵点C在直线y＝x+3的图象上，
∴y＝1+3＝4，
∴点C（1，4），
∵直线y＝x+3与x轴、y轴分别相交于点A、B两点，
∴点B（0，3），点A（﹣3，0），
∴AD＝6，
∴S△BCD＝×6×4﹣×6×3＝3；
（2）如图2，
当以AC与AD为边时，∵四边形ACED是平行四边形时，
∴CE∥AD，CE＝AD＝6，
∴点E（7，4）；
当CD与AD为边时，∵四边形ADCE'是平行四边形时，
∴CE'∥AD，CE'＝AD＝6，
∴点E'（﹣5，4）；
当AC与CD为边时，设点E''（x，y），
∵四边形ACDE''是平行四边形，
∴AD与CE''互相平分，
∴，，
∴x＝﹣1，y＝﹣4，
∴点E''（﹣1，﹣4），
综上所述：点E（﹣1，﹣4）或（7，4）或（﹣5，4）；
（3）如图3，点F在点D左侧时，
设直线CD解析式为y＝kx+b，过点C（1，4），点D（3，0），
∴，
解得：，
∴直线CD解析式为y＝﹣2x+6，
∵∠CDB＝∠FBD，
∴BF∥CD，
∴BF解析式为y＝﹣2x+3，
∴点F坐标为（，0）；
当点F'在点D右侧时，设直线BF'与CD交于点H，
设点H（t，﹣2t+6），
∵∠CDB＝∠FBD，
∴BH＝DH，
∴（t﹣3）2+（（﹣2t+6﹣0）2＝（t﹣0）2+（﹣2t+6﹣3）2，
∴t＝2，
∴点H（2，2），
∴直线BF'的解析式为y＝﹣x+3，
∴点F'（6，0），
综上所述：点F坐标为（，0）或（6，0）．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，平行四边形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．