6.3平面向量基本定理及坐标表示 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 6.3 平面向量基本定理及坐标表示
一、单选题
1．已知 是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
2．设向量，，，且与平行，则实数的值是（ ）
A．4 B． C． D．不存在
3．已知平面向量，，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，则下列说法不正确的是（ ）
A．若，则的值为 B．若，则的值为2
C．的最小值为1 D．若与的夹角为钝角，则的取值范围是
5．若向量，则的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（0，3）
C．（0，1） D．（3，5）
6．若向量与非零向量方向相同，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，使得
C．，与的夹角小于 D．，使得
8．在等边△ABC中，D为BC的中点，点P为△ACD内一点（含边界），若，则的取值（ ）
A． B． C． D．
9．已知，分别是的边和的中点，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
10．我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若，，，则=（ ）
A． B．
C． D．
11．已知，，则下列结论中正确的个数为（ ）
①与同向共线的单位向量是
②与的夹角余弦值为
③向量在向量上的投影向量为
④
A．个 B．个 C．个 D．个
12．设向量，，且，则=（ ）.
A． B． C． D．
13．设向量，，则与一定不是（ ）
A．平行向量 B．垂直向量 C．相等向量 D．相反向量
14．已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
15．在边长为1的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E是BC的中点，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．已知向量，，，若，则实数______．
17．已知，，若，b的夹角为钝角，则x的取值范为__________．
18．设向量，若向量与向量共线，则实数________.
三、解答题
19．设向量，，.
(1)求；
(2)若，，求的值；
(3)若，，，求证：A，，三点共线.
20．如图，四边形是以向量，为边的平行四边形，又，，试用、表示、、.
21．如图，在△中，为中线上一点，且，过点的直线与边，分别交于点，.
(1)用向量，表示；
(2)设向量，，求的值.
22．已知向量＝（1，2），＝（－3，k）．
(1)若∥，求 的值；
(2)若⊥（＋2），求实数k的值；
(3)若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
逐一判断选项中的向量是否共面，可得选项.
【详解】
对于A，有，则，，共面，不能作为基底，故A不正确；
对于B，因为，所以，，共面，不能作为基底，故B不正确；
对于D，因为，所以 ，，共面，不能作为基底，故D不正确，
对于C，设（为不同时为0的实数），解得与题意不符，所以，，不共面，可以作为基底，故C正确，
故选：C.
2．A
利用向量共线的条件即可求得.
【详解】
因为，，所以.
又，，且与平行，
所以，
解得：=4.
故选：A.
3．B
由，得到，结合向量的数量积的坐标运算，列出方程，即可求解.
【详解】
由，可得，
整理得，可得，
又由平面向量，，可得，解得.
故选：B.
4．D
根据向量平行、模、夹角等知识确定说法不正确的选项.
【详解】
A选项，若，则，A选项说法正确.
B选项，若，两边平方并化简得，即，B选项说法正确.
C选项，，当时，有最小值为，C选项说法正确.
D选项，若与的夹角为钝角，则，D选项说法不正确.
故选：D
5．B
直接根据向量加法的坐标运算法则计算可得；
【详解】
解：因为，所以
故选：B
6．A
设，（），则可得，进而可得结果.
【详解】
依题意设，（），则，所以.
故选：A.
7．A
由平面向量的模的坐标公式，平行的坐标表示，夹角的坐标表示，及垂直的坐标表示，依次判断各选项即可得出结果.
【详解】
因为，，
又，
所以.故正确；
，若，则，
解得，即当时，，故错误；
设与的夹角为，则，
当时，，夹角为，故C错误；
因为，
所以不存在，使得，故D错误.
故选：.
8．D
过AB靠近A的四等分点作AC的平行线分别交AD，BC于点E，F，过E，F分别作AB的平行线交AC于M，N，求出，，即得解.
【详解】
解；过AB靠近A的四等分点作AC的平行线分别交AD，BC于点E，F，
由题意知，点P在线段EF上，
过E，F分别作AB的平行线交AC于M，N（如图所示），
由题得，即，.
所以.
故选：D.
9．D
根据向量的基底表示与线性运算计算.
【详解】
如图，因为，分别是的边和的中点，
.
故选：D
10．B
根据给定图形，利用平面向量的加法法则列式求解作答.
【详解】
因“弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，且，，，
则
，解得，所以.
故选：B
11．C
根据单位向量、向量夹角的余弦值、投影以及向量垂直的定义逐个验证即可.
【详解】
解：，故①正确；
，故②错误；
向量在向量上的投影向量为，故③正确；
，故④正确；
故选:C.
12．A
由得，建立方程求解即可.
【详解】
，
，解得.
故选：A.
本题考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.
13．C
根据已知向量的坐标，结合、、、的坐标表示判断参数是否存在，即可确定正确选项.
【详解】
假设，即，，
假设，即，，
假设，即，无解，
假设，即，，
故选：C．
14．B
计算出和的坐标，利用向量的模长公式可得出关于实数的等式，进而可求得结果.
【详解】
已知向量，，则，，
由可得，解得.
故选：B.
15．D
建系，根据菱形确定点的坐标，计算数量积即可.
【详解】
建立如图平面直角坐标系，
则
∴E点坐标为，
.
故选：D
16．2
由题可得，再利用数量积的坐标公式即求.
【详解】
因为，，
所以．又，，
所以，解得．
故答案为：2.
17．
依题意可得，且与不共线，即可得到不等式组，解得即可；
【详解】
解：因为，，若，b的夹角为钝角，则，且与不共线，所以，解得且，故
故答案为：
18．2
求得，根据，列出方程，即可求解.
【详解】
由题意，向量，可得，
因为向量与向量共线，所以，解得.
故答案为：.
19．(1)1
(2)2
(3)证明见解析
（1）先求，进而求；（2）列出方程组，求出，进而求出；（3）求出，从而得到，得到结果.
(1)
，；
(2)
，所以，解得：，所以；
(3)
因为，所以，所以A，，三点共线.
20．；；
利用向量的线性运算，结合图形，即可得到结论．
【详解】
解：，，，
．
．
，，
．
．
本题考查向量的线性运算，考查学生的计算能力，考查数形结合的数学思想，属于基础题．
21．(1)；
(2).
（1）根据，结合向量的线性运算，再用，表达即可；
（2）用，表达，结合三点共线即可求得.
(1)
∵为中线上一点，且，
∴
；
(2)
∵，，，
∴，又，，三点共线，
∴，解得，故的值为.
22．(1)3；
(2)k＝；
(3)k＜且k≠－6.
（1）解方程1×k－2×＝0即得解；
（2）解方程1×＋2×＝0即得解；
（3）解不等式1×＋2×k＜0且k≠－6，即得解.
(1)
解：因为向量＝（1，2），＝（－3，k），且∥，
所以1×k－2×＝0，解得k＝－6，
所以＝＝3．
(2)
解：因为＋2＝，且⊥，
所以1×＋2×＝0，解得k＝．
(3)
解：因为与的夹角是钝角，则＜0且与不共线．
即1×＋2×k＜0且k≠－6，所以k＜且k≠－6．
答案第1页，共2页
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