6.4平面向量的应用 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 6.4 平面向量的应用
一、单选题
1．在中，角的对边分别为，且，，，则（ ）．
A． B． C． D．
2．如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于
A． B． C．－1 D．－1
3．岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼，江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”.其地处岳阳古城西门城墙之上，紧靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山.始建于东汉建安二十年(215年)，历代屡加重修，现存建筑沿袭清光绪六年(1880年)重建时的形制与格局.因北宋滕宗谅重修岳阳楼，邀好友范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.自古有"洞庭天下水，岳阳天下楼"之美誉.小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线，如图，测得，，米，则岳阳楼的高度约为(，)（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
4．在△ABC中，若(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，则A等于（ ）
A．90° B．60°
C．120° D．150°
5．在中，、、分别为内角、、所对的边，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．在中，，则一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
7．加强体育锻炼是青少年生活学习中重要组成部分，某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为500，则该学生的体重（单位：）约为（ ）（参考数据：取重力加速度大小为g=10，≈1.732）
A．81 B．87 C．89 D．91
8．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
9．在中，角的对边分别为，已知，且，点满足，，则的面积为
A． B． C． D．
10．的内角、、的对边分别为、、，已知，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
11．在△ABC中，若，则B＝（ ）
A． B． C．或 D．或
12．在中，、、分别为的内角、、的对边，，则角的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
13．在△中，，那么这个三角形的最大角是___________
14．在中，内角，，的对边分别是，，，若，，则________.
15．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式（其中、、、为三角形的三边和面积）表示.在中，、、分别为角、、所对的边，若，且，则面积的最大值为___________.
16．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，点O为其外接圆的圆心，已知，则当角C取到最大值时△ABC的面积为___________.
三、解答题
17．设a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，．
(1)求角A的大小；
(2)从下面两个问题中任选一个作答，两个都作答则按第一个记分．
①设角A的角平分线交BC边于点D，且，求面积的最小值．
②设点D为BC边上的中点，且，求面积的最大值．
18．在中，分别为角所对的边.在①；②；③这三个条件中任选一个，作出解答.
（1）求角的值；
（2）若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围.
19．的内角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求；
（2）若，，求的面积.
20．在中，，，，点，在边上且，.
（1）若，求的长；
（2）若，求的值.
21．已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a＝4，b＝6，cosA＝﹣．
（1）求c；
（2）求cos2B的值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
利用余弦定理可构造方程直接求得结果.
【详解】
在中，由余弦定理得：，
即，解得：或（舍），.
故选：B.
2．C
在ABC中，由正弦定理得AC＝100，再在ADC中，由正弦定理得解.
【详解】
在ABC中，由正弦定理得，
∴AC＝100．
在ADC中，，
∴cos θ＝sin(θ＋90°)＝.
故选：C
结论点睛：解一个三角形需要已知三个几何元素（边和角），且至少有一个为边长，对于未知的几何元素，放到其它三角形中求解.
3．B
在Rt△ADC中用CD表示AC，Rt△BDC中用CD表示BC，建立CD的方程求解即得.
【详解】
Rt△ADC中，，则，Rt△BDC中，，则，
由AC-BC=AB得，约为米.
故选：B
4．B
根据余弦定理，结合特殊角的余弦函数值进行求解即可.
【详解】
因为(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，所以b2＋c2－a2＝bc，所以.
因为A三角形的内角，所以A＝60°.
故选：B
5．C
求出角的大小，利用正弦定理可求得结果.
【详解】
由三角形的内角和定理可得，
由正弦定理可得.
故选：C.
6．C
由向量数量积的定义式可得，即可判断.
【详解】
∵，∴，
又∵为三角形内角，∴是钝角，即是钝角三角形.
故选：C.
7．B
可设两只胳膊的拉力分别为，，根据， 进行数量积的运算即可求出重力的值，进而可得出学生的体重的值．
【详解】
解：设两只胳膊的拉力分别为，，，，
，
，解得．
学生的体重约为．
故选：B．
8．C
根据给定条件可得，由此判断三角形形状得解.
【详解】
因，则有，即，可得，此时，有，
所以是等边三角形.
故选：C
9．D
运用正弦定理和余弦定理将角统一成边，再利用向量的数量积运算和三角形的面积公式结合求解.
【详解】
由，
可得，即.又，所以．
因为，所以点为的重心，
所以，所以，
两边平方得．
因为，所以，
于是，所以，
的面积为.
因为的面积是面积的倍.故的面积为．
本题关键在于运用向量的平方可以转化到向量的夹角的关系，再与三角形的面积公式相结合求解，属于难度题.
10．B
先由正弦定理边角互化，计算求得，再根据余弦定理求，最后计算面积.
【详解】
根据正弦定理有，
、、，则，，可得，
由余弦定理可得，则为锐角，所以，，
所以，，解得.
因此，.
故选：B.
方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.
11．A
由正弦定理化边为角，再由诱导公式，两角和的正弦公式变形可得．
【详解】
因为，由正弦定理得
因为，所以
因为，所以，所以，而B为三角形内角，故．
故选：A．
12．A
由正弦定理将角化边，即可得到，再由余弦定理，即可得到，再利用辅助角公式及基本不等式即可得到，即可得解；
【详解】
解：因为
由正弦定理可得，即，
又由余弦定理可知，
则，
则，即：，
，又，当且仅当时取等号，
∴，，，
故选：A.
解三角形的基本策：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
13．
根据正弦定理，通过比例设出边长，借助余弦定理计算即可．
【详解】
由正弦定理，，
设，
显然该三角形的最大角是角，
由余弦定理，可得，
因为，所以.
故答案为：.
本题考查正、余弦定理的综合运用，关键点在于找到最大角，记住“大边对大角”即可.
14．
由，根据正弦定理“边化角”，可得，根据余弦定理，结合已知联立方程组，即可求得角.
【详解】
，根据正弦定理：， ，
根据余弦定理：，又，
故可联立方程：，解得：.
故答案为：.
本题主要考查了求三角形的一个内角，解题关键是掌握由正弦定理“边化角”的方法和余弦定理公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
15．
由条件结合余弦定理可得出，然后利用二次函数的基本性质结合公式可求得面积的最大值.
【详解】
，则，
可得，
所以，.
当且仅当时，等号成立.
因此，面积的最大值为.
故答案为：.
方法点睛：求三角形面积的最值一种常见的类型，主要方法有两类：
（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式或二次函数的基本性质来求解；
（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.
16．
取AC的中点D，得到OD⊥AC，利用向量的数量积求解得到，用余弦定理和基本不等式得到的最小值，从而得到角C取到最大值时，再使用三角形面积公式进行求解出结果.
【详解】
设AC的中点为D，因为点O为其外接圆的圆心，所以OA=OB=OC，连接OD，由三线合一得：OD⊥AC，则即，所以，由知，角C为锐角，故，因为，所以由基本不等式得：，当且仅当，即时等号成立，此时角C取到最大值，，，△ABC的面积为.
故答案为：
17．(1)；
(2)①；②.
（1）利用正余弦定理即求；
（2）选①利用基本不等式及面积公式即求；选②利用余弦定理可得，然后利用基本不等式及面积公式即求.
(1)
∵且,
∴，即，
∴，又，
∴；
(2)
选①∵AD平分∠BAC，
∴，
∵，
∴，
即，
∴
由基本不等式可得：
，
∴，当且仅当时取“=”，
∴，
即的面积的最小值为；
②因为AD是BC边上的中线，
在中由余弦定理得，
在中由余弦定理得，
∵，
∴，
在中，，由余弦定理得，
∴
∴，
解得，当且仅当时取“=”，
所以，
即的面积的最大值为.
18．条件选择见解析；（1）；（2）.
（1）选择条件①，利用正弦定理化简已知条件，再利用两角和的正弦公式化简得，根据三角形内角性质得出且，即可求出角的值；选择条件②，根据向量的数量积公式以及三角形的面积公式，化简得出，即可求出角的值；选择条件③，根据两角和的正弦公式和辅助角公式，化简的出，从而可求出角的值；
（2）根据题意，利用正弦定理边角互化得出，，再根据三角形面积公式化简得出，由为锐角三角形，求出角的范围，从而得出的面积的取值范围.
【详解】
解：（1）选①，
由正弦定理得：，
∴，
∵，∴，∴，
∵，∴；
选②，
∴，
∴，
∵，∴，则，
∴；
选③，
得，
∴，
∴，
∵，∴，
∴，∴.
（2）已知为锐角三角形，且，
由正弦定理得：，
∴，，
∴，
∵为锐角三角形，
∴，
∴，∴.
关键点点睛：本题考查正弦定理的边角互化、两角和的正弦公式、辅助角公式、向量的数量积的应用，考查三角形的面积公式以及三角形内角的性质，根据三角函数的性质求区间内的最值从而求出三角形的面积的取值范围是解题的关键，考查转化思想和化简运算能力.
19．（1）；（2）.
(1)由正弦定理边角互化得,进而得;
(2)由余弦定理得,进而根据面积公式计算即可.
【详解】
解：（1）∵.
∴由正弦定理可得：，
∴解得：
（2）∵，，，
∴，∴，
∵ ,,
∴ ，
∴
20．（1）；（2）.
（1）先设，，根据题意，求出，，再由向量模的计算公式，即可得出结果；
（2）先由题意，得到，，再由向量数量积的运算法则，以及题中条件，得到，即可求出结果.
【详解】
（1）设，，
则，，因此，
所以，
，
（2）因为，所以，
同理可得，，
所以
，
∴，即，
同除以可得，.
本题主要考查用向量的方法求线段长，考查由向量数量积求参数，熟记平面向量基本定理，以及向量数量积的运算法则即可，属于常考题型.
21．（1）c＝2；（2）﹣．
（1）由余弦定理即可求得c的值；
（2）先由同角三角函数的平方关系求得sinA的值，再由正弦定理求出sinB的值，最后根据cos2B＝1﹣2sin2B，得解．
【详解】
解：（1）由余弦定理知，a2＝b2+c2﹣2bccosA，即48＝36+c2﹣2×6×c×（﹣），
整理得，c2+4c﹣12＝0，
解得c＝2或﹣6（舍负），
故c＝2．
（2）∵cosA＝﹣，且A∈(0，π），
∴sinA＝，
由正弦定理知，，即，
∴sinB＝，
∴cos2B＝1﹣2sin2B＝﹣．
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