7.1复数的概念 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 7.1 复数的概念 同步练习
一、单选题
1．已知复数为纯虚数那么（ ）
A． B．
C． D．
2．已知a、b∈R，那么在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点的位置关系是（ ）
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于原点对称
D．关于直线y＝x对称
3．设i虚数单位，复数，则（　　）
A． B．5 C．1 D．2
4．已知为实数，若复数为纯虚数，则复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
5．已知复数满足，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知关于x的方程（x2＋mx）＋2xi＝－2－2i（m∈R）有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于（　　）
A．3＋i B．3－i
C．－3－i D．－3＋i
7．已知复数（为虚部单位），则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知复数，，则“”是“为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为（ ）
A． B．2 C． D．
10．设，则
A． B． C． D．
11．设，且，则的最小值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
12．已知复数﹑满足，复数满足或者，且对任意成立，则正整数n的最大值为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
13．已知为虚数单位，复数，则以下命题为真命题的是（ ）
A．的共轭复数为 B．的虚部为
C． D．在复平面内对应的点在第一象限
14．欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有重要的地位.特别是当时，被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
15．复数的模为1，其中为虚数单位，，则这样的一共有（ ）个.
A．9 B．10 C．11 D．无数
二、填空题
16．复数的虚部是__________.
17．当实数______时，复数为纯虚数.
18．已知，，则______.
三、解答题
19．已知实数满足，求实数的值．
20．在复平面内点，对应的复数z，满足，且.求的最大值和最小值.
21．求实数取何值时，复数在复平面内对应的点；
(1)位于第二象限；
(2)位于第一或第三象限；
(3)在直线上．
22．已知，复数.
（1）当为何值时，复数为实数？
（2）当为何值时，复数为虚数？
（3）当为何值时，复数为纯虚数？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
根据纯虚数的概念即可得出选项.
【详解】
复数为纯虚数，
则.
故选：A
2．B
利用复数的几何意义求出复数对应点的坐标即可判断.
【详解】
在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点为(a，－b)和(－a，－b)关于y轴对称.
故选：B.
3．A
利用模的定义求解即可
【详解】
故选：A
4．D
根据复数为纯虚数，列方程求出的值，进而可得复数的虚部.
【详解】
由已知，解得，故，其虚部为，
故选：D.
本题考查复数的概念，注意纯虚数为实部为0，虚部不为0，是基础题.
5．C
本题可根据得出点的轨迹为以为圆心、以为半径的圆，即可得出结果.
【详解】
因为，所以复数在复平面内所对应的点到点的距离为，
则点的轨迹为以为圆心、以为半径的圆，
故的取值范围为，的最大值为，
故选：C.
6．B
根据复数相等得出的值，进而得出复数z.
【详解】
由题意知（n2＋mn）＋2ni＝－2－2i，
即，解得，
故选：B
7．C
由复数模的几何含义，知，即可求其最大值.
【详解】
由题意知：，
∴当时，的最大值为.
故选：C
8．A
根据纯虚数的定义求出的值，再由充分条件和必要条件的定义即可求解.
【详解】
若复数为纯虚数，
则，解得：或，
所以由可得出为纯虚数，
但由为纯虚数，得不出，
所以“”是“为纯虚数”的充分不必要条件，
故选：A.
9．B
先利用复数的乘法化简，再利用纯虚数的定义列出等式，即得解
【详解】
由题意，
若为纯虚数，则
故选：B
10．C
【详解】
分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后求解复数的模.
详解：
，
则，故选c.
点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
11．C
由复数模的几何意义求解．
【详解】
记，，，对应的点为，
则满足的点在线段的垂直平分线上，易知其方程为，即，
表示点到点的距离，由点到直线距离公式得．
故选：C．
12．C
用向量表示，根据题意，可得，因为或者，根据其几何意义可得的终点的轨迹，且满足条件的终点个数即为n，数形结合，即可得答案.
【详解】
用向量表示，
因为，所以，
又满足或者，
则可表示以O为起点，终点在以A为圆心，半径为r的圆上的向量，或终点在以B为圆心，半径为r的圆上的向量，则终点可能的个数即为n，
因为，所以在同一个圆上的两个点，形成的最小圆心角为，
如图所示，则最多有10个可能的终点，即n=10.
故选：C
解题的关键是根据所给条件的几何意义，得到的终点轨迹，根据条件，数形结合，即可得答案，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.
13．D
利用复数的除法运算，化简，利用共轭复数，虚部，模长的概念，运算求解，进行判断即可.
【详解】
，
的共扼复数为，的虚部为，
，在复平面内对应的点为，在第一象限.
故选：D.
本题考查了复数的四则运算，共轭复数，虚部，模长等概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.
14．B
由题得，即得解.
【详解】
由题得，
它对应的点为，在第二象限.
故选：B
15．C
先根据复数的模为1及复数模的运算公式，求得即，接下来分与两种情况进行求解，结合，求出的个数.
【详解】
，其中，所以，即，，当时，①，，所以，，因为，所以或；②，，所以，，因为，所以，，，，或；当时，①，，即，，因为，所以，②，，即，，因为，所以，，，，，综上：，，一共有11个.
故选：C
16．.
根据虚部的概念即可直接写出结果.
【详解】
复数的虚部是,
故答案为：.
17．4
由纯虚数的概念可得，求解即可.
【详解】
由为纯虚数，
∴，解得.
故答案为：4
18．10
先求出复数，再根据公式求模．
【详解】
解：∵，，
∴，
∴，
故答案为：10．
19．
由复数相等的定义，列出方程组，即得解
【详解】
由题意：
所以且，所以．
20．最大值6，最小值4.
根据复数的几何意义，结合向量不等式进行求解即可.
【详解】
解：因为，
所以.
因为，
所以，
即，当且仅当与所对应的向量反向（同向）时取得最小值（最大值）.
令，则，即.
所以当时，取得最大值6；当时，取得最小值4.
21．(1)或；
(2)或或；
(3)或.
（1）可得点的坐标为，然后可得，解出即可；
（2）可得或，解出即可；
（3）将点的坐标代入直线的方程求解即可.
(1)
复数在复平面内对应的点的坐标为
若点位于第二象限，则，解得或
(2)
若点位于第一或第三象限，则或
解得或或
(3)
若点在直线上，则
解得或
22．（1）；（2）且；（3）或.
（1）若复数z为实数,则虚部为0,由此可求得m的值；
（2）若复数z为虚数,则虚部不为0,由此可求得m的值；
（3）若复数z为纯虚数,则实部为0,且虚部不为0,由此可求得m的值.
【详解】
（1）要使为实数，
只需，解得：m=6；
（2）要使为虚数，
只需，解得：且；
（3）要使为纯虚数，
只需，解得：或.
答案第1页，共2页
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