4.3等比数列 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第二册 4.3等比数列 同步练习
一、单选题
1．记为数列的前项和，若，，且，则的值为（ ）
A．5050 B．2600 C．2550 D．2450
2．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，则“Sn+1>Sn”是“{an}单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数．它指的是，在自然情况下（没有外力介入，同时所有人都没有免疫力），一个感染到某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数它的简单计算公式是：确诊病例增长率×系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中，两例连续病例的间隔时间（单位：天）．根据统计，确诊病例的平均增长率为40%，两例连续病例的间隔时间的平均数5天，根据以上数据计算，若甲得这种传染病，则6轮传播后由甲引起的得病的总人数约为（ ）
A．243 B．248 C．363 D．1092
4．已知函数，则下列条件能使数列成等比数列的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知为等比数列，若，且与的等差中项为，则（ ）
A．35 B．33 C．16 D．29
6．等比数列中，若，，则（ ）
A．12 B．10 C．8 D．4
7．数列中，，对任意 ，若，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．《算法统宗》中有一个问题：“三百七十八里关，出行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，问第二天走了（ ）
A．192里 B．96里 C．48里 D．24里
9．著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”.音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的.我国明代的数学家、音乐理论家朱载填创立了十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如下表所示，其中表示这些半音的频率，它们满足.若某一半音与的频率之比为，则该半音为（ ）
频率
半音 C D E F G A B C（八度）
A． B．G C． D．A
10．已知等比数列的前项积为，若，，则当取最大值时，的值为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
11．已知正项等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则的最小值为( )
A． B． C． D．
12．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间段，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数的最小值为(参考数据：，)（ ）
A． B． C． D．
13．已知正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为（ ）
A．9 B． C． D．
14．某人于2020年6月1日去银行存款a元，存的是一年定期储蓄，2021年6月1日将到期存款的本息一起取出再加a元之后还存一年定期储蓄，此后每年的6月1日他都按照同样的方法在银行取款和存款．设银行定期储蓄的年利率r不变，则到2025年6月1日他将所有的本息全部取出时，取出的钱共有（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
15．已知等比数列{an}的首项为1，公比为2，则a12+a22+ +an2＝（　　）
A．（2n﹣1）2 B． C．4n﹣1 D．
二、填空题
16．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马、“马主曰：“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半，“打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还__________升粟.
17．记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝________．
18．若某政府增加环境治理费用亿元，每个受惠的居民会将50%的额外收入用于国内消费，经过10轮影响之后，最后的国内消费总额为400亿元，则______（最初政府支出也算是国内消费，结果精确到1）．
三、解答题
19．已知数列的前n项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前10项和.
20．已知数列{an}满足＝1，an＋1＝2an＋1，bn ＝an＋1(n∈N*)．
（1）求证：{ bn }是等比数列；
（2）求{ an }的通项公式．
21．等差数列中，分别是如表所示第一、二、三行中的某一个数，且其中的任意两个数不在表格的同一列.
第一列 第二列 第三列
第一行 5 8 2
第二行 4 3 12
第三行 16 6 9
(1)请选择一个可能的组合，并求数列的通项公式.
(2)记（1）中您选择的的前n项和为Sn，判断是否存在正整数k，使得成等比数列 若存在，请求出k的值;若不存在，请说明理由.
22．设是等差数列，是等比数列.已知.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足其中.
（i）求数列的通项公式；
（ii）求.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
讨论为奇数或偶数时，对应的数列通项，根据奇偶数项分组求和，即可求的值.
【详解】
当为奇数时，，数列是首项为1，公差为2的等差数列；
当为偶数时，，数列是首项为2，公差为0的等差数列，即常数列.
则.
故选：B.
2．D
由，举反例和即可得出结果
【详解】
，例如，但是数列不单调递增，故不充分；
数列单调递增，例如，但是，故不必要；
故选：D
3．D
可知每轮传播人数是等比数列，先求出传播指数RO，即可由等比数列前6项和得出．
【详解】
记第1轮感染人数为，第2轮感染人数为，…，第轮感染人数为，则数列是等比数列，公比为，
由题意，即，所以，
总人数为人.
故选：D．
本题考查数列的应用，解题关键是理解新概念“传播指数”，可以用数列表示该问题，传播指数就是等比数列的公比，从第一轮开始每轮传播的人数为数列的项，问题就是求等比数列的前6项和．
4．C
根据函数关系，逐个讨论，分别求出各个数列的通项公式，即可得解.
【详解】
由，
令，可得：，
故对A，有，非等比数列；
对B，，非等比数列；
对C，，为等比数列；
对D，，非等比数列.
故选：C.
本题考查了函数变量和自变量之间的关系，考查了等比数列的通项特征，整体难度不大，属于中档题.
5．C
设等比数列的公比为，结合题意和等比数列的性质可知，可得出，再根据等差中项的定义，可求出，进而可求出，最后由，即可求出的结果.
【详解】
解：设等比数列的公比为，
由等比数列的性质，知，所以，
由与的等差中项为，知，所以，
所以，则.
故选：C.
6．D
设等比数列的公比为，由，求得公比即可.
【详解】
设等比数列的公比为，
则，
解得，即，
所以，
故选：D.
7．C
取，可得出数列是等比数列，求得数列的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于的等式，由可求得的值.
【详解】
在等式中，令，可得，，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，
，
，则，解得.
故选：C.
本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，属于中等题.
8．B
由题可知每天走的里数形成公比为的等比数列，且，求出即可.
【详解】
设每天走的里数形成数列，则由题可得是公比为的等比数列，
且，即，解得，
则，即第二天走了96里.
故选：B.
9．B
利用对数与指数的转化，得到数列为等比数列，公比，然后求得所求半音对应的数列的项数，从而得到答案.
【详解】
依题意可知.
由于满足，则，
所以数列为等比数列，公比，对应的频率为，题目所求半音与的频率之比为，
所以所求半音对应的频率为，即对应的半音为.
故选：B.
本题考查等比数列的应用，涉及对数运算，等比数列的判定，等比数列的性质，属中档题.
10．D
设等比数列的公比为，由已知求得，写出通项公式，然后求得积，确定在为偶数时，计算出（），再说明且为偶数时，即得．
【详解】
解：设等比数列的公比为，则，解得，所以，
所以，所以当取得最大值时，可得为偶数，
而在上单调递减，；；，则，且，
当且为偶数时，，
，所以，所以时，取得最大值．
故选：D．
11．B
利用等比数列前项和的性质表示出，再表示成同一变量，然后利用基本不等式求出其最小值即可.
【详解】
因为是正项等比数列，
所以，，仍然构成等比数列，
所以.
又，，成等差数列，
所以，，
所以.
又是正项等比数列，
所以，，当且仅当时取等号.
故选：B.
12．C
根据规律可总结出第次操作去掉区间的长度和为，利用等比数列求和公式可求得去掉区间的长度总和，由此构造不等式求得结果.
【详解】
第一次操作去掉的区间长度为；
第二次操作去掉两个长度为的区间，长度和为；
第三次操作去掉四个长度为的区间，长度和为；
以此类推，第次操作去掉个长度为的区间，长度和为，
进行了第次操作后，去掉区间长度和，
由，即，，
又，的最小值为.
故选：C.
关键点点睛：本题解题关键是能够根据已知所给的规律总结出每次操作去掉的区间长度和成等比数列，并能得到等比数列通项公式.
13．B
利用等比数列的知识求出m与n的关系，再利用基本不等式求解出最值.
【详解】
因为，所以，解得或，
，
因为，所以，
因此依次代入得当时，取最小值.
故选：B.
在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.本题由于自变量范围为正整数，所以采取逐一代入法较为简单.
14．D
根据从2021年6月1日起，将到期存款的本息一起取出再加a元之后还存一年定期储蓄，即求解.
【详解】
设此人2020年6月1日存入银行的钱为元，2021年6月1日存入银行的钱为元，以此类推，
则2025年6月1日存入银行的钱为元，那么此人2025年6月1日从银行取出的钱有元．
由题意，得，，，……，
，
所以．
故选：D．
15．D
根据等比数列定义，求出，可证明是以1为首项，4为公比的等比数列，利用等比数列的求和公式，可得解
【详解】
由等比数列的定义，
故
由于
故是以1为首项，4为公比的等比数列
a12+a22+ +an2＝
故选：D
16．
设羊、马、牛的主人应偿还的量分别为，由题意可知其构成了公比为2的等比数列，且，从而利用等比数列的前项和公式求出，进而可求出的值.
【详解】
因为斗=升，设羊、马、牛的主人应偿还的量分别为，
由题意可知其构成了公比为2的等比数列，且
则，解得，
所以马主人要偿还的量为：，
故答案为：
此题考查了等比数列前项和的基本量计算，属于基础题.
17．
先求出，然后当时，由，得，两式相减化简后可得，从而可知数列是以2为公比，为首项的等比数列，进而可求出的值
【详解】
解：当时，，得，
当时，由，得，
两式相减，得，即，所以，
所以数列是以2为公比，为首项的等比数列，
所以，
故答案为：
此题考查由递推式证明等比数列，考查等比数列前项和公式的应用，属于基础题
18．200
由题意可知，国内消费额构成等比数列，由等比数列求和公式求解即可
【详解】
依题意可知，
，
解得．
故答案为：200
19．（1）；（2）.
（1）利用求解；
（2）由（1）得然后代入求解
【详解】
解：（1）当时，；
当时，，经验证满足上式；
所以的通项公式为.
（2）由（1）可知，其中，
故的前10项和为
.
20．（1）证明见解析；（2）an＝2n－1.
（1）由题意可得an＋1＋1＝2(an＋1)，利用等比数列的定义即可证明.
（2）利用等比数列的通项公式即可求解.
【详解】
（1）证明：∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，即bn＋1＝2bn，
∵b1＝＋1＝2≠0.∴bn≠0，∴＝2，∴{bn}是等比数列．
（2）由（1）知{bn}是首项b1＝2，公比为2的等比数列，
∴bn＝2×2n－1＝2n，即an＋1＝2n，∴an＝2n－1.
21．(1)答案见解析
(2)答案见解析.
（1）根据题意，满足的组合有和两种情况，进而选择一种，求解即可；
（2）结合（1）中的组合，求得，再根据等比中项求解方程即可.
(1)
解：由题意可知，有两种组合满足条件.
①，此时等差数列中，，公差d=4，
所以数列的通项公式为 .
②，此时等差数列中，，公差d=2，
所以数列的通项公式为.
(2)
解：若选择①，，
则 .
若成等比数列，则，
即，整理得，即
此方程无正整数解，故不存在正整数，使成等比数列.
若选择②，，
则.
若成等比数列，则，
即，整理得，
因为k为正整数，所以 .
故存在正整数 ，使得成等比数列.
22．（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）（ii）
(Ⅰ)由题意首先求得公比和公差，然后确定数列的通项公式即可；
(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论可得数列的通项公式，结合所得的通项公式对所求的数列通项公式进行等价变形，结合等比数列前n项和公式可得的值.
【详解】
(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为.
依题意得，解得，
故，.
所以，的通项公式为，的通项公式为.
(Ⅱ)(i).
所以，数列的通项公式为.
(ii)
.
本题主要考查等差数列 等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页