5.1导数的概念及其意义 同步练习（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 5.1导数的概念及其意义 同步练习（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 655.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-07 11:53:20 | ||
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文档简介
人教A版（2019）选择性必修第二册 5.1导数的概念及其意义
一、单选题
1．已知M为抛物线上一点，C在点M处的切线交C的准线于点P，过点P向C再作另一条切线，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．若直线是函数的一条切线，则函数不可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数的图像开口向下，，则
A． B． C．2 D．-2
4．函数在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．曲线在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数，，当时，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数在x=0处的导数，函数的图象与轴恰有一个交点，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
8．函数在区间上的平均变化率等于（ ）．
A．4 B． C． D．
9．一个物体做直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，且这一物体在这段时间内的平均速度为，则实数的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．6
10．已知函数的图象在点处的切线方程是，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．若曲线在处的切线与直线平行，则a=（ ）
A． B．1 C．或1 D．或1
12．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．设曲线在点处的切线与直线平行，则等于______．
14．为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如下图所示．
给出下列四个结论：
① 在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；
② 在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；
③ 在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；
④ 在,两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同.
其中所有正确结论的序号是_____．
15．函数的图象在x=1处的切线斜率为2，则a=___________.
16．已知函数在点处的切线斜率为，则________．
三、解答题
17．已知函数.
（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；
（Ⅱ）当时，求证：；
（Ⅲ）设，记在区间上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值．
18．已知函数
（1）求与相切且斜率为1的直线方程；
（2）若，当时，恒成立，求的取值范围.
19．已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若有两个零点，求实数的取值范围.
20．已知，函数的导函数为．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）求的值．
21．已知，求函数的图象在处的切线方程．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
先根据C在点M处的切线，求出的值，再求得点，然后再求过点抛物线的切线方程.
【详解】
设 ，由题意知，，则，
C在点M处的切线，所以
所以 ，则，
将代入的方程可得，即
抛物线的准线方程为：
则.设与曲线C的切点为，
则，解得或（舍去），
则，所以的方程为.
故选：D
本题考查利用导数求曲线在某点和过某点的切线方程，属于中档题.
2．A
逐个利用导数的几何意义分析判断 ，先对函数求导，然后使，若方程有解，则直线可能是曲线的切线，否则不是，
【详解】
解：对于A，由得，令无解，故A正确；
对于B，由得，令，解得，故B错误；
对于C，由得，令，有解，故C错误；
对于D，由得，令，解得，故D错误．
故选：A
3．B
利用瞬时变化率的定义和导数求解.
【详解】
由题意，
由导数的定义可知，
解得，
又因为的图像开口向下，所以，
所以.
故选B
本题主要考查瞬时变化率和导数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
4．C
先求出导函数，代入可得切线斜率，再求出切点，进而可得切线方程.
【详解】
解：由已知，
则，
又时，，
则切线方程为.
故选：C.
本题考查利用导数求切线方程，是基础题.
5．A
利用切点和斜率求得切线方程.
【详解】
时，，故切点为，
，当时，，
所以切线方程为，即.
故选：A
6．B
经过恒等变形，原问题变成当时，恒成立，构造函数，利用导数的性质进行求解即可.
【详解】
由，
当时，上式可变形为：，问题转化为：
当时，恒成立，
设，，
，
因为，，所以，因此，
所以当时，单调递减，
当时，单调增，故，要想
当时，恒成立，只需，
设，，
，
当时，，所以函数单调递增，而，
显然当，成立，
故选：B
关键点睛：通过数学运算把问题转化为当时，恒成立，利用构造函数法，结合导数的性质是解题的关键.
7．A
利用定义求，再根据已知求得，最后应用基本不等式求的最小值，注意等号成立的条件即可.
【详解】
．
∵函数的图象与轴恰有一个交点，即，
∴，当且仅当，即时等号成立．故的最小值为2．
故选：A
8．B
由给定条件求出函数增量，再根据平均变化率的意义列式化简即得.
【详解】
因函数，则在区间上的函数增量有：
，于是有，
所以所求平均变化率等于.
故选：B
9．B
根据平均速度的定义有，结合已知函数模型求参数m即可.
【详解】
由已知，得，
∴，解得，
故选：B．
10．A
根据切线方程可得切点为，结合导数的几何意义求出，进而计算即可.
【详解】
易得切点，所以，，即.所以.
故选：A
11．A
利用曲线在切点处的导数为斜率求曲线的切线斜率；利用直线平行它们的斜率相等列方程求解．
【详解】
解：，于是切线的斜率，
切线与直线平行
，
，
时，，切点是，
切线的斜率，
故切线方程是：，
即和直线重合，
故，
故选：A．
12．D
设出两个切点坐标，求得两个曲线的导数，根据导数的几何意义可得切线方程，联立方程可分别求得答案得选项.
【详解】
设曲线上的点，，；
曲线上的点，，；
，
，，
．
故选：D．
方法点睛：本题主要考查利用导数的几何意义，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.
13．
利用导数求得曲线在点处切线的斜率，由此求得.
【详解】
对函数求导得，
由已知条件可得，
所以.
故答案为：
14．①③④
理解平均变化率和瞬时变换率的意义，结合图象，判断选项.
【详解】
①在时刻，为两图象的交点，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，故①正确；②甲、乙两人在时刻的切线的斜率不相等，即两人的不相同，所以甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，故②不正确；③根据平均变换率公式可知，甲、乙两人的平均变化率都是，故③正确；④在时间段，甲的平均变化率是，在时间段，甲的平均变化率是，显然不相等，故④正确.
故答案为：①③④
思路点睛：本题是一道识图的实际应用问题，判断的关键是理解两个概念，瞬时变化率和平均变化率，结合导数的几何意义可知瞬时变化率就是在此点处切线的斜率，平均变化率是.
15．-2
求导，根据f（x）在x=1处的切线斜率为-2，由求解.
【详解】
因为，
所以，
所以f（x）在x=1处的切线斜率k=，
解得a=-2
故答案为：-2
16．2
首先利用导数的定义求出得值，再利用点在上可计算的值，即可求解.
【详解】
由导数的定义可得：
，
因为，所以，
又因为，可得，
所以，
故答案为：
17．（Ⅰ）和.
（Ⅱ）见解析；
（Ⅲ）.
(Ⅰ)首先求解导函数，然后利用导函数求得切点的横坐标，据此求得切点坐标即可确定切线方程；
(Ⅱ)由题意分别证得和即可证得题中的结论；
(Ⅲ)由题意结合(Ⅱ)中的结论分类讨论即可求得a的值.
【详解】
（Ⅰ），令得或者.
当时，，此时切线方程为，即；
当时，，此时切线方程为，即；
综上可得所求切线方程为和.
（Ⅱ）设，，令得或者，所以当时，，为增函数；当时，，为减函数；当时，，为增函数；
而，所以，即；
同理令，可求其最小值为，所以，即，综上可得.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
所以是中的较大者，
若，即时，；
若，即时，；
所以当最小时，，此时.
本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程，利用导函数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
18．（1）；（2）.
（1）由函数的导数，结合切线的斜率求切点坐标，写出切线方程即可；
（2）由恒成立知：恒成立，令，只需上即可求a的范围.
【详解】
由题设，得：，
（1）∵直线斜率为1且与相切，
∴，即，解得，而，
∴切线方程为.
（2）∵在上恒成立，即恒成立，
∴恒成立，设，则等价于上，
又：在上，单调递增；
∴，即，解得.
关键点点睛：函数不等式恒成立问题，应用参变分离法变为形式，要求参数范围，只需在区间内有即可.
19．（1）；（2）.
（1）先对函数求导，从而可得切线的斜率，再利用点斜式可求出切线方程；
（2）有两个零点，等价于方程有两个不同的根，即关于的方程有两个不同的解，转化为与的图象有两个交点，利用导数求出函数的单调区间和极值，从而可求出实数的取值范围
【详解】
解：（1）当时，，.
所以，而
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）因为有两个零点，所以方程有两个不同的根，
即关于的方程有两个不同的解.
当时，方程不成立，所以.
令，则与的图象有两个交点，
且.
令，得或；令，得或.
所以在，上单调递增，在，上单调递减，
所以当时，取得极大值，
当时，取得极小值.
因为，且当时，，
所以的取值范围是.
关键点点睛：此题考查导数的应用，考查导数的几何意义，考查利用导数解决函数零点问题，解题的关键是将有两个零点，转化为关于的方程有两个不同的解，即与的图象有两个交点，然后利用导数求出的单调区间和极值即可，考查计算能力，属于中档题
20．（1）；（2）.
（1）根据，得到，对其求导，得出切线斜率，进而可求出切线方程；
（2）先对函数求导，分别计算，，，将所求式子化简整理，即可得出结果.
【详解】
（1）若，则，所以，
则，即曲线在点处的切线斜率为，
又，
所以所求切线方程为：；
（2）由得
，
所以，，，
因此
.
本题主要考查求曲线在某点的切线方程，考查导数的计算，属于常考题型.
21．．
直接根据导数的几何意义求解即可．
【详解】
解：∵，
∴，，
∴，
∴切线方程为，即．
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．已知M为抛物线上一点，C在点M处的切线交C的准线于点P，过点P向C再作另一条切线，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．若直线是函数的一条切线，则函数不可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数的图像开口向下，，则
A． B． C．2 D．-2
4．函数在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．曲线在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数，，当时，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数在x=0处的导数，函数的图象与轴恰有一个交点，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
8．函数在区间上的平均变化率等于（ ）．
A．4 B． C． D．
9．一个物体做直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，且这一物体在这段时间内的平均速度为，则实数的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．6
10．已知函数的图象在点处的切线方程是，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．若曲线在处的切线与直线平行，则a=（ ）
A． B．1 C．或1 D．或1
12．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．设曲线在点处的切线与直线平行，则等于______．
14．为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如下图所示．
给出下列四个结论：
① 在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；
② 在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；
③ 在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；
④ 在,两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同.
其中所有正确结论的序号是_____．
15．函数的图象在x=1处的切线斜率为2，则a=___________.
16．已知函数在点处的切线斜率为，则________．
三、解答题
17．已知函数.
（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；
（Ⅱ）当时，求证：；
（Ⅲ）设，记在区间上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值．
18．已知函数
（1）求与相切且斜率为1的直线方程；
（2）若，当时，恒成立，求的取值范围.
19．已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若有两个零点，求实数的取值范围.
20．已知，函数的导函数为．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）求的值．
21．已知，求函数的图象在处的切线方程．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
先根据C在点M处的切线，求出的值，再求得点，然后再求过点抛物线的切线方程.
【详解】
设 ，由题意知，，则，
C在点M处的切线，所以
所以 ，则，
将代入的方程可得，即
抛物线的准线方程为：
则.设与曲线C的切点为，
则，解得或（舍去），
则，所以的方程为.
故选：D
本题考查利用导数求曲线在某点和过某点的切线方程，属于中档题.
2．A
逐个利用导数的几何意义分析判断 ，先对函数求导，然后使，若方程有解，则直线可能是曲线的切线，否则不是，
【详解】
解：对于A，由得，令无解，故A正确；
对于B，由得，令，解得，故B错误；
对于C，由得，令，有解，故C错误；
对于D，由得，令，解得，故D错误．
故选：A
3．B
利用瞬时变化率的定义和导数求解.
【详解】
由题意，
由导数的定义可知，
解得，
又因为的图像开口向下，所以，
所以.
故选B
本题主要考查瞬时变化率和导数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
4．C
先求出导函数，代入可得切线斜率，再求出切点，进而可得切线方程.
【详解】
解：由已知，
则，
又时，，
则切线方程为.
故选：C.
本题考查利用导数求切线方程，是基础题.
5．A
利用切点和斜率求得切线方程.
【详解】
时，，故切点为，
，当时，，
所以切线方程为，即.
故选：A
6．B
经过恒等变形，原问题变成当时，恒成立，构造函数，利用导数的性质进行求解即可.
【详解】
由，
当时，上式可变形为：，问题转化为：
当时，恒成立，
设，，
，
因为，，所以，因此，
所以当时，单调递减，
当时，单调增，故，要想
当时，恒成立，只需，
设，，
，
当时，，所以函数单调递增，而，
显然当，成立，
故选：B
关键点睛：通过数学运算把问题转化为当时，恒成立，利用构造函数法，结合导数的性质是解题的关键.
7．A
利用定义求，再根据已知求得，最后应用基本不等式求的最小值，注意等号成立的条件即可.
【详解】
．
∵函数的图象与轴恰有一个交点，即，
∴，当且仅当，即时等号成立．故的最小值为2．
故选：A
8．B
由给定条件求出函数增量，再根据平均变化率的意义列式化简即得.
【详解】
因函数，则在区间上的函数增量有：
，于是有，
所以所求平均变化率等于.
故选：B
9．B
根据平均速度的定义有，结合已知函数模型求参数m即可.
【详解】
由已知，得，
∴，解得，
故选：B．
10．A
根据切线方程可得切点为，结合导数的几何意义求出，进而计算即可.
【详解】
易得切点，所以，，即.所以.
故选：A
11．A
利用曲线在切点处的导数为斜率求曲线的切线斜率；利用直线平行它们的斜率相等列方程求解．
【详解】
解：，于是切线的斜率，
切线与直线平行
，
，
时，，切点是，
切线的斜率，
故切线方程是：，
即和直线重合，
故，
故选：A．
12．D
设出两个切点坐标，求得两个曲线的导数，根据导数的几何意义可得切线方程，联立方程可分别求得答案得选项.
【详解】
设曲线上的点，，；
曲线上的点，，；
，
，，
．
故选：D．
方法点睛：本题主要考查利用导数的几何意义，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.
13．
利用导数求得曲线在点处切线的斜率，由此求得.
【详解】
对函数求导得，
由已知条件可得，
所以.
故答案为：
14．①③④
理解平均变化率和瞬时变换率的意义，结合图象，判断选项.
【详解】
①在时刻，为两图象的交点，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，故①正确；②甲、乙两人在时刻的切线的斜率不相等，即两人的不相同，所以甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，故②不正确；③根据平均变换率公式可知，甲、乙两人的平均变化率都是，故③正确；④在时间段，甲的平均变化率是，在时间段，甲的平均变化率是，显然不相等，故④正确.
故答案为：①③④
思路点睛：本题是一道识图的实际应用问题，判断的关键是理解两个概念，瞬时变化率和平均变化率，结合导数的几何意义可知瞬时变化率就是在此点处切线的斜率，平均变化率是.
15．-2
求导，根据f（x）在x=1处的切线斜率为-2，由求解.
【详解】
因为，
所以，
所以f（x）在x=1处的切线斜率k=，
解得a=-2
故答案为：-2
16．2
首先利用导数的定义求出得值，再利用点在上可计算的值，即可求解.
【详解】
由导数的定义可得：
，
因为，所以，
又因为，可得，
所以，
故答案为：
17．（Ⅰ）和.
（Ⅱ）见解析；
（Ⅲ）.
(Ⅰ)首先求解导函数，然后利用导函数求得切点的横坐标，据此求得切点坐标即可确定切线方程；
(Ⅱ)由题意分别证得和即可证得题中的结论；
(Ⅲ)由题意结合(Ⅱ)中的结论分类讨论即可求得a的值.
【详解】
（Ⅰ），令得或者.
当时，，此时切线方程为，即；
当时，，此时切线方程为，即；
综上可得所求切线方程为和.
（Ⅱ）设，，令得或者，所以当时，，为增函数；当时，，为减函数；当时，，为增函数；
而，所以，即；
同理令，可求其最小值为，所以，即，综上可得.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
所以是中的较大者，
若，即时，；
若，即时，；
所以当最小时，，此时.
本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程，利用导函数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
18．（1）；（2）.
（1）由函数的导数，结合切线的斜率求切点坐标，写出切线方程即可；
（2）由恒成立知：恒成立，令，只需上即可求a的范围.
【详解】
由题设，得：，
（1）∵直线斜率为1且与相切，
∴，即，解得，而，
∴切线方程为.
（2）∵在上恒成立，即恒成立，
∴恒成立，设，则等价于上，
又：在上，单调递增；
∴，即，解得.
关键点点睛：函数不等式恒成立问题，应用参变分离法变为形式，要求参数范围，只需在区间内有即可.
19．（1）；（2）.
（1）先对函数求导，从而可得切线的斜率，再利用点斜式可求出切线方程；
（2）有两个零点，等价于方程有两个不同的根，即关于的方程有两个不同的解，转化为与的图象有两个交点，利用导数求出函数的单调区间和极值，从而可求出实数的取值范围
【详解】
解：（1）当时，，.
所以，而
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）因为有两个零点，所以方程有两个不同的根，
即关于的方程有两个不同的解.
当时，方程不成立，所以.
令，则与的图象有两个交点，
且.
令，得或；令，得或.
所以在，上单调递增，在，上单调递减，
所以当时，取得极大值，
当时，取得极小值.
因为，且当时，，
所以的取值范围是.
关键点点睛：此题考查导数的应用，考查导数的几何意义，考查利用导数解决函数零点问题，解题的关键是将有两个零点，转化为关于的方程有两个不同的解，即与的图象有两个交点，然后利用导数求出的单调区间和极值即可，考查计算能力，属于中档题
20．（1）；（2）.
（1）根据，得到，对其求导，得出切线斜率，进而可求出切线方程；
（2）先对函数求导，分别计算，，，将所求式子化简整理，即可得出结果.
【详解】
（1）若，则，所以，
则，即曲线在点处的切线斜率为，
又，
所以所求切线方程为：；
（2）由得
，
所以，，，
因此
.
本题主要考查求曲线在某点的切线方程，考查导数的计算，属于常考题型.
21．．
直接根据导数的几何意义求解即可．
【详解】
解：∵，
∴，，
∴，
∴切线方程为，即．
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
答案第1页，共2页
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