7.5正态分布 同步练习（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 7.5正态分布 同步练习（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 547.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-07 11:55:58 | ||
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文档简介
人教A版（2019）选择性必修第三册 7.5 正态分布 同步练习
一、单选题
1．设随机变量X服从标准正态分布，已知P(X≤1.88)＝0.97，则P(|X|≤1.88)＝（ ）
A．0.94 B．0.97 C．0.06 D．0.03
2．在某次学科知识竞赛中（总分100分），若参赛学生成绩服从(>0)，若在(70，90)内的概率为0.7，则落在[90，100]内的概率为（ ）
A．0.2 B．0.15 C．0.1 D．0.05
3．2020年8月11日，国家主席习近平同志对制止餐饮浪费行为作出重要指示，他指出，餐饮浪费现象，触目惊心，令人痛心!“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，某中学制订了“光盘计划”，面向该校师生开展了一次问卷调查，目的是了解师生们对这一倡议的关注度和支持度，得到参与问卷调查中的2000人的得分数据.据统计此次问卷调查的得分（满分：100分）服从正态分布，则（ ）
若随机变量，则，
A．0.34135 B．0.8186 C．0.6827 D．0.47725
4．下列说法不正确的是（ ）
A．某辆汽车一年中发生事故的次数是一个离散型随机变量
B．正态分布随机变量等于一个特定实数的概率为0
C．公式E(X)＝np可以用来计算离散型随机变量的均值
D．从一副扑克牌中随机抽取5张，其中梅花的张数服从超几何分布
5．设某地胡柚（把胡柚近似看成球体）的直径（单位：服从正态分布，则在随机抽取的1000个胡柚中，直径在，内的个数约为
附：若，则，．
A．134 B．136 C．817 D．819
6．已知随机变量，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知随机变量服从二项分布，其期望，随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．某同学进行3分投篮训练，若该同学投中的概率为，他连续投篮n次至少得到3分的概率大于0.9，那么n的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．某工厂有甲乙两条生产线生产同一型号的机械零件，产品的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，，，其正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性
B．甲生产线产品的稳定性低于乙生产线产品的稳定性
C．甲生产线的产品尺寸平均值大于乙生产线的产品尺寸平均值
D．甲生产线的产品尺寸平均值小于乙生产线的产品尺寸平均值
10．某地市在一次测试中，高三学生数学成绩服从正态分布，已知，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从100分以上的试卷中抽取（ ）
A．10份 B．15份 C．20份 D．30份
11．已知随机变量，且，，则为（ ）
A．0.1358 B．0.1359 C．0.2716 D．0.2718
12．2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟等科学家成功构建光子的量子计算原型机“九章”，求解数学算法“高斯玻色取样”只需要秒，而目前世界最快的超级计算机要用亿年，这一突破使我国成为全球第二个实现“量子优越性”的国家.“九章”求得的问题名叫“高斯玻色取样”，通俗的可以理解为量子版本的高尔顿钉板，但其实际情况非常复杂.高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子.如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口放进一个白球，则其落在第③个格子的概率为
A． B． C． D．
13．已知随机变量，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
14．某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（ ）
A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大
B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等
15．“学习强国”是一个网络学习平台，给人们提供了丰富的学习素材．某单位为了鼓励职工加强学习，组织了200名职工对“学习强国”中的内容进行了测试，并统计了测试成绩（单位：分）．若测试成绩服从正态分布，且成绩在区间内的人数占总人数的，则此次测试成绩不低于130分的职工人数大约为（ ）
A．10 B．32 C．34 D．37
二、填空题
16．在产品质量检测中，已知某产品的一项质量指标，且质量指标在内的产品数量为5436，请估计该批次检测的产品数量为________.
17．设随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是______.（填序号）
①；
②；
③；
④.
18．设，若的概率为0.45，则的概率为___________.
三、解答题
19．在某市举办的“中华文化艺术节”知识大赛中，大赛分预赛与复赛两个环节．预赛有4000人参赛．先从预赛学生中随机抽取100人成绩得到如下频率分布直方图：
（1）若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机抽取2人，求至少1人成绩不低于80分的概率；
（2）由频率分布直方图可以认为该市全体参加预赛的学生成绩Z服从正态分布，其中可以近似为100名学生的预赛平均成绩，，试估计全市参加预赛学生中成绩不低于91分的人数；
（3）预赛成绩不低于91分的学生可以参加复赛．复赛规则如下：①每人复赛初始分均为100分；②参赛学生可在开始答题前自行选择答题数量，每答一题需要扣掉一定分数来获取答题资格，规定回答第题时扣掉分；③每答对一题加2分，答错既不加分也不扣分；④答完n题后参赛学生的最后分数即为复赛分数．已知学生甲答对每题的概率为0.75，且各题答对与否相互独立，若甲期望得到最佳复赛成绩，则他的答题数量n应为多少？
（参考数据，若，则，，）．
20．设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率.
21．某工厂为了提高某产品的生产质量引进了一条年产量为100万件的生产线.已知该产品的质量以某项指标值k为衡量标准，为估算其经济效益，该厂先进行了试生产，并从中随机抽取了100件该产品，统计了每个产品的质量指标值k，并分成以下5组，其统计结果如下表所示：
质量指标值
频数 16 30 40 10 4
试利用该样本的频率分布估计总体的概率分布，并解决下列问题：（注：每组数据取区间的中点值）
(1)由频率分布表可认为，该产品的质量指标值k近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差s，并已求得，记X表示某天从生产线上随机抽取的10件产品中质量指标值k在区间之外的个数，求及X的数学期望（精确到0.001）；
(2)已知每个产品的质量指标值k与利润y（单位：万元）的关系如下表所示
质量指标值k
利润y t
假定该厂所生产的该产品都能销售出去，且这一年的总投资为500万元，问：该厂能否在一年之内通过销售该产品收回投资？试说明理由.
参考数据：若随机变量，则，.
22．某市教育科学研究院为了对今后所出试题的难度有更好的把握，提高命题质量，对该市高三联考理综试卷的得分情况进行了调研.从全市参加考试的考生中随机抽取了100名考生的理综成绩，将数据分成7组：[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300].并整理得到如图所示的频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图，求直方图中x的值；
（2）用频率估计概率，从该市所有高三考生的理综成绩中随机抽取3个，记理综成绩位于区间[220，260）内的个数为y，求y的分布列及数学期望E（y）；
（3）若变量S满足P（μ﹣σ＜S≤μ+σ）≈0.6827，且P（μ﹣2σ＜S≤μ+2 σ）≈0.9545，则称S近似服从正态分布N（μ，σ2），若该市高三考生的理综成绩近似服从正态分布N（225，225），则给予这套试卷好评，否则差评，试问：这套试卷得到好评还是差评？
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
根据正态分布的对称性P(|X|≤1.88)＝1－2 P(X>1.88)，而P(X>1.88)=0.03，即可求P(|X|≤1.88).
【详解】
∵标准正态曲线关于x＝0对称，
∴P(X>1.88)＋P(X<－1.88)＝0.03＋0.03＝0.06，
∴P(|X|≤1.88)＝1－0.06＝0.94，
故选：A.
2．B
由参赛学生成绩服从(>0)，可知平均数，结合在概率密度曲线中的意义，即可计算得解.
【详解】
由参赛学生成绩服从(>0)，
可知平均数，
则正态分布的概率密度曲线关于对称，
因为在(70，90)内的概率为0.7，
所以在内的概率为0.35，
所以在[90，100]内的概率为0.5-0.35=0.15.
故选：B.
本题考查了正态分布，考查了利用正态分布概率密度曲线的特征求概率，关键是理解平均数的含义，属于中档题.
3．B
根据正态分布的对称性与原则求解即可.
【详解】
解：因为得分（满分：100分）服从正态分布，
所以，
所以
故选：B
4．C
利用离散型随机变量定义判断A;利用正态分布性质判断B;利用二项分布性质判断C;利用超几何分布判断D
【详解】
某辆汽车一年中发生事故的次数可一一列举，故是一个离散型随机变量，正确；
正态分布随机变量等于一个特定实数的概率为0；正确；
公式E(X)＝np并不适用于所有的离散型随机变量的均值的计算，适用于二项分布的均值的计算.故错误
从一副扑克牌中随机抽取5张，其中梅花的张数服从超几何分布，正确
故选：C.
本题考查离散型随机变量，正态分布，二项分布及超几何分布的特点，重在基本概念的理解，是基础题
5．B
由题意可得，，则，再由与原则求解．
【详解】
解：由题意，，，
则
．
故直径在，内的个数约为．
故选：．
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
6．B
根据随机变量可知，再根据，，可求出，利用，建立方程，即可求出结果.
【详解】
因为随机变量，所以，
因为，，所以，即，
又
所以，即.
故选：B.
7．D
由得到p，根据正态分布的性质再由得到及可得答案.
【详解】
由，则，则，则，
故选：D.
本题考查二项分布的期望与正态分布的概率，属于基础题 。
8．B
先计算一次都不中的概率，再求至少中一次的概率，列关系求解即可.
【详解】
由题意可知，该同学连投n次，一次都不中的概率为：，
故n次投篮至少得到3分即至少中一次的概率为，得，∴.
故选：B.
本题考查了n次独立重复实验至少有一次发生的概率和指数不等式，属于基础题.
9．A
根据正态分布密度曲线的对称轴为，图像越瘦高数据越稳定可得.
【详解】
由图知甲乙两条生产线的平均值相等，甲的正态分布密度曲线较瘦高，所以甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性.
故选：A
10．C
根据正态分布概率密度曲线的图像与性质，先求得，所以，利用概率即可得解.
【详解】
可知正态曲线的对称轴为，
得，
，
应从100分以上的试卷中抽取.
故选：C
11．B
由随机变量可知，利用正态分布的对称性求解即可
【详解】
由随机变量知，，
所以，，
所以，
故选：B
12．C
小球从起点到第③个格子一共跳了7次，其中要向右边跳动2次，由二项分布概率即可求解.
【详解】
小球从起点到第③个格子一共跳了7次，其中要向左边跳动5次，向右边跳动2次，而向左或向右的概率均为，则向右的次数服从二项分布，所以所求的概率为
故答案为：C.
本题的解题关键是判断小球向右边跳动的次数服从二项分布.
13．B
利用正态分布密度曲线的对称性可求得，代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值.
【详解】
因为随机变量，且，则，可得，
，
当且仅当时，等号成立，所以，的最小值为.
故选：B.
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
14．D
利用正态分布曲线的特点以及曲线所表示的意义对四个选项逐一分析判断即可．
A：越小，概率越集中在对称轴左右；根据对称性即可判断BCD.
【详解】
因为某物理量的测量结果服从正态分布，
所以测量的结果的概率分布关于10对称，且方差越小，则分布越集中，
对于A，越小，概率越集中在10左右，则该物理量一次测量结果落在内的概率越大，故选项A正确；
对于B，不管取何值，测量结果大于10的概率均为0.5，故选项B正确；
对于C，由于概率分布关于10对称，所以测量结果大于10.01的概率等于小于9.99的概率，故选项C正确；
对于D，由于概率分布是集中在10附近的，分布在10附近的区域大于分布在10附近的区域，故测量结果落在内的概率大于落在内的概率，故选项D错误．
故选：D．
15．B
设测试成绩为，则，先求出对应的概率，进而可求出结果.
【详解】
设测试成绩为，则，
又，
所以，
所以成绩不低于130分的职工人数大约为．
故选：B．
本题主要考查正态分布中求指定区间的概率，属于基础题型.
16．40000
根据正态分布的原则得，进而.
【详解】
由，可知，，
所以，
所以估计该批次检测的产品数量为.
故答案为：40000
17．②④##④②
随机变量服从正态分布，根据概率和正态曲线的性质，即可得到答案.
【详解】
因为，所以①不正确；
因为
，
所以②正确，③不正确；
因为，所以，所以④正确.
故答案为：②④.
18．
由正态分布曲线的对称性求得概率．
【详解】
∵，
∴，，
∴．
故答案为：0.95．
19．（1），（2），（3）若学生甲期望获得最佳复赛成绩，则他的答题量应该是7．
（1）求出样本中成绩不低于60分的学生共有40人，其中成绩不低于80分的人数为15人，由此能求出至少有1人成绩不低于80分的概率．
（2）样本中的100名学生预赛成绩的平均值为：，则，由，得，从而，由此能求出估计全市参加参赛的全体学生中成绩不低于91分的人数．
（3）以随机变量表示甲答对的题数，则，求出，记甲答完题所加的分数为随机变量，则，求出，为了获取答题的资格，甲需要扣掉的分数为：，设甲答完题的分数为，则，由此能求出学生甲期望获得最佳复赛成绩的答题量的值．
【详解】
解：（1）样本成绩不低于60分的学生有人
其中成绩不低于80分的有人
则至少有1人成绩不低于80分的概率
（2）由题意知样本中100名学生成绩平均分为，所以，，所以
所以，则
故全市参加预赛学生中成绩不低于91分的人数为人
（3）以随机变量表示甲答对的题数，则，且，
记甲答完题所加的分数为随机变量，则，
，
依题意为了获取答题的资格，甲需要扣掉的分数为：
，
设甲答完题的分数为，
则，
由于，当时，取最大值，即复赛成绩的最大值为．
若学生甲期望获得最佳复赛成绩，则他的答题量应该是7．
本题考查概率、频数、数学期望的求法及应用，考查频率分布直方图、二项分布等基础知识，考查运算求解能力．
20．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
(Ⅰ)由题意可知分布列为二项分布，结合二项分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二项分布的期望公式求解数学期望即可；
(Ⅱ)由题意结合独立事件概率公式计算可得满足题意的概率值.
【详解】
(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为，
故，从面.
所以，随机变量的分布列为：
0 1 2 3
随机变量的数学期望.
(Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为，则.
且.
由题意知事件与互斥，
且事件与，事件与均相互独立，
从而由(Ⅰ)知：
.
本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.
21．(1)；
(2)能，理由见解析.
（1）首先求出样本的平均数，然后根据正态分布求出质量指标k在区间之内的概率，从而得到质量指标k在区间之外的概率；然后根据二项分布即可求出答案.
（2）首先求出每件产品的平均利润，然后再求平均利润的最大值，从而可求出该生产线的年盈利的最大值，把年利润的最大值与进行比较即可得出答案.
(1)
由题意知，样本的平均数为，
所以，
.
所以质量指标k在区间之外的概率为.
因为，
则，
所以.
(2)
由题意知，每件产品的平均利润为，，
易知函数的对称轴为，且二次函数开口向下，
所以当时，取得最大值，且
因为该生产线的年产量为100万个，
所以该生产线的年盈利的最大值为万元，因为845500，
所以该厂能在一年之内通过销售该产品收回投资.
22．（1）0.0075；（2）分布列见解析，；（3）得到差评.
（1）由频率和为1可得答案；
（2）可得从该市所有高三考生的理综成绩中随机抽取1个，理综成绩位于[220，260）内的概率为0.4，所以随机变量y服从二项分布B～（3，0.4）；
（3）记该市高三考生的理综成绩为z，计算出P（210＜z＜240）≤P（200＜z＜240）＝0.47＜0.6827，P（195＜z＜255）≤P（180＜z＜260）＝0.81＜0.9545，可得答案.
【详解】
（1）由（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20＝1，
解得x＝0.0075；
（2）用频率估计概率，可得从该市所有高三考生的理综成绩中随机抽取1个，理综成绩位于[220，260）内的概率为（0.0125+0.0075）×20＝0.4，
所以随机变量y服从二项分布B～（3，0.4），
故P（y＝k）＝C3k0.4k0.63﹣k，k＝0，1，2，3，
故y的分布列为
y 0 1 2 3
P 0.216 0.432 0.288 0.064
则E（y）＝3×0.4＝1.2；
（3）记该市高三考生的理综成绩为z，
由题意可知，P（210＜z＜240）≤P（200＜z＜240）＝20×（0.011+0.0125）＝0.47＜0.6827，
P（195＜z＜255）≤P（180＜z＜260）＝20×（0.0095+0.011+0.0125+0.0075）＝0.81＜0.9545，
所以z不近似服从正态分布N（225，225），所以这套试卷得到差评.
本题考查了频率分布直方图、二项分布、正态分布，解题的关键点是熟练掌握相关知识点并能解题，考查了学生分析数据能力及分析问题、解决问题的能力.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．设随机变量X服从标准正态分布，已知P(X≤1.88)＝0.97，则P(|X|≤1.88)＝（ ）
A．0.94 B．0.97 C．0.06 D．0.03
2．在某次学科知识竞赛中（总分100分），若参赛学生成绩服从(>0)，若在(70，90)内的概率为0.7，则落在[90，100]内的概率为（ ）
A．0.2 B．0.15 C．0.1 D．0.05
3．2020年8月11日，国家主席习近平同志对制止餐饮浪费行为作出重要指示，他指出，餐饮浪费现象，触目惊心，令人痛心!“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，某中学制订了“光盘计划”，面向该校师生开展了一次问卷调查，目的是了解师生们对这一倡议的关注度和支持度，得到参与问卷调查中的2000人的得分数据.据统计此次问卷调查的得分（满分：100分）服从正态分布，则（ ）
若随机变量，则，
A．0.34135 B．0.8186 C．0.6827 D．0.47725
4．下列说法不正确的是（ ）
A．某辆汽车一年中发生事故的次数是一个离散型随机变量
B．正态分布随机变量等于一个特定实数的概率为0
C．公式E(X)＝np可以用来计算离散型随机变量的均值
D．从一副扑克牌中随机抽取5张，其中梅花的张数服从超几何分布
5．设某地胡柚（把胡柚近似看成球体）的直径（单位：服从正态分布，则在随机抽取的1000个胡柚中，直径在，内的个数约为
附：若，则，．
A．134 B．136 C．817 D．819
6．已知随机变量，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知随机变量服从二项分布，其期望，随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．某同学进行3分投篮训练，若该同学投中的概率为，他连续投篮n次至少得到3分的概率大于0.9，那么n的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．某工厂有甲乙两条生产线生产同一型号的机械零件，产品的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，，，其正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性
B．甲生产线产品的稳定性低于乙生产线产品的稳定性
C．甲生产线的产品尺寸平均值大于乙生产线的产品尺寸平均值
D．甲生产线的产品尺寸平均值小于乙生产线的产品尺寸平均值
10．某地市在一次测试中，高三学生数学成绩服从正态分布，已知，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从100分以上的试卷中抽取（ ）
A．10份 B．15份 C．20份 D．30份
11．已知随机变量，且，，则为（ ）
A．0.1358 B．0.1359 C．0.2716 D．0.2718
12．2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟等科学家成功构建光子的量子计算原型机“九章”，求解数学算法“高斯玻色取样”只需要秒，而目前世界最快的超级计算机要用亿年，这一突破使我国成为全球第二个实现“量子优越性”的国家.“九章”求得的问题名叫“高斯玻色取样”，通俗的可以理解为量子版本的高尔顿钉板，但其实际情况非常复杂.高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子.如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口放进一个白球，则其落在第③个格子的概率为
A． B． C． D．
13．已知随机变量，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
14．某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（ ）
A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大
B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等
15．“学习强国”是一个网络学习平台，给人们提供了丰富的学习素材．某单位为了鼓励职工加强学习，组织了200名职工对“学习强国”中的内容进行了测试，并统计了测试成绩（单位：分）．若测试成绩服从正态分布，且成绩在区间内的人数占总人数的，则此次测试成绩不低于130分的职工人数大约为（ ）
A．10 B．32 C．34 D．37
二、填空题
16．在产品质量检测中，已知某产品的一项质量指标，且质量指标在内的产品数量为5436，请估计该批次检测的产品数量为________.
17．设随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是______.（填序号）
①；
②；
③；
④.
18．设，若的概率为0.45，则的概率为___________.
三、解答题
19．在某市举办的“中华文化艺术节”知识大赛中，大赛分预赛与复赛两个环节．预赛有4000人参赛．先从预赛学生中随机抽取100人成绩得到如下频率分布直方图：
（1）若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机抽取2人，求至少1人成绩不低于80分的概率；
（2）由频率分布直方图可以认为该市全体参加预赛的学生成绩Z服从正态分布，其中可以近似为100名学生的预赛平均成绩，，试估计全市参加预赛学生中成绩不低于91分的人数；
（3）预赛成绩不低于91分的学生可以参加复赛．复赛规则如下：①每人复赛初始分均为100分；②参赛学生可在开始答题前自行选择答题数量，每答一题需要扣掉一定分数来获取答题资格，规定回答第题时扣掉分；③每答对一题加2分，答错既不加分也不扣分；④答完n题后参赛学生的最后分数即为复赛分数．已知学生甲答对每题的概率为0.75，且各题答对与否相互独立，若甲期望得到最佳复赛成绩，则他的答题数量n应为多少？
（参考数据，若，则，，）．
20．设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率.
21．某工厂为了提高某产品的生产质量引进了一条年产量为100万件的生产线.已知该产品的质量以某项指标值k为衡量标准，为估算其经济效益，该厂先进行了试生产，并从中随机抽取了100件该产品，统计了每个产品的质量指标值k，并分成以下5组，其统计结果如下表所示：
质量指标值
频数 16 30 40 10 4
试利用该样本的频率分布估计总体的概率分布，并解决下列问题：（注：每组数据取区间的中点值）
(1)由频率分布表可认为，该产品的质量指标值k近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差s，并已求得，记X表示某天从生产线上随机抽取的10件产品中质量指标值k在区间之外的个数，求及X的数学期望（精确到0.001）；
(2)已知每个产品的质量指标值k与利润y（单位：万元）的关系如下表所示
质量指标值k
利润y t
假定该厂所生产的该产品都能销售出去，且这一年的总投资为500万元，问：该厂能否在一年之内通过销售该产品收回投资？试说明理由.
参考数据：若随机变量，则，.
22．某市教育科学研究院为了对今后所出试题的难度有更好的把握，提高命题质量，对该市高三联考理综试卷的得分情况进行了调研.从全市参加考试的考生中随机抽取了100名考生的理综成绩，将数据分成7组：[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300].并整理得到如图所示的频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图，求直方图中x的值；
（2）用频率估计概率，从该市所有高三考生的理综成绩中随机抽取3个，记理综成绩位于区间[220，260）内的个数为y，求y的分布列及数学期望E（y）；
（3）若变量S满足P（μ﹣σ＜S≤μ+σ）≈0.6827，且P（μ﹣2σ＜S≤μ+2 σ）≈0.9545，则称S近似服从正态分布N（μ，σ2），若该市高三考生的理综成绩近似服从正态分布N（225，225），则给予这套试卷好评，否则差评，试问：这套试卷得到好评还是差评？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
根据正态分布的对称性P(|X|≤1.88)＝1－2 P(X>1.88)，而P(X>1.88)=0.03，即可求P(|X|≤1.88).
【详解】
∵标准正态曲线关于x＝0对称，
∴P(X>1.88)＋P(X<－1.88)＝0.03＋0.03＝0.06，
∴P(|X|≤1.88)＝1－0.06＝0.94，
故选：A.
2．B
由参赛学生成绩服从(>0)，可知平均数，结合在概率密度曲线中的意义，即可计算得解.
【详解】
由参赛学生成绩服从(>0)，
可知平均数，
则正态分布的概率密度曲线关于对称，
因为在(70，90)内的概率为0.7，
所以在内的概率为0.35，
所以在[90，100]内的概率为0.5-0.35=0.15.
故选：B.
本题考查了正态分布，考查了利用正态分布概率密度曲线的特征求概率，关键是理解平均数的含义，属于中档题.
3．B
根据正态分布的对称性与原则求解即可.
【详解】
解：因为得分（满分：100分）服从正态分布，
所以，
所以
故选：B
4．C
利用离散型随机变量定义判断A;利用正态分布性质判断B;利用二项分布性质判断C;利用超几何分布判断D
【详解】
某辆汽车一年中发生事故的次数可一一列举，故是一个离散型随机变量，正确；
正态分布随机变量等于一个特定实数的概率为0；正确；
公式E(X)＝np并不适用于所有的离散型随机变量的均值的计算，适用于二项分布的均值的计算.故错误
从一副扑克牌中随机抽取5张，其中梅花的张数服从超几何分布，正确
故选：C.
本题考查离散型随机变量，正态分布，二项分布及超几何分布的特点，重在基本概念的理解，是基础题
5．B
由题意可得，，则，再由与原则求解．
【详解】
解：由题意，，，
则
．
故直径在，内的个数约为．
故选：．
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
6．B
根据随机变量可知，再根据，，可求出，利用，建立方程，即可求出结果.
【详解】
因为随机变量，所以，
因为，，所以，即，
又
所以，即.
故选：B.
7．D
由得到p，根据正态分布的性质再由得到及可得答案.
【详解】
由，则，则，则，
故选：D.
本题考查二项分布的期望与正态分布的概率，属于基础题 。
8．B
先计算一次都不中的概率，再求至少中一次的概率，列关系求解即可.
【详解】
由题意可知，该同学连投n次，一次都不中的概率为：，
故n次投篮至少得到3分即至少中一次的概率为，得，∴.
故选：B.
本题考查了n次独立重复实验至少有一次发生的概率和指数不等式，属于基础题.
9．A
根据正态分布密度曲线的对称轴为，图像越瘦高数据越稳定可得.
【详解】
由图知甲乙两条生产线的平均值相等，甲的正态分布密度曲线较瘦高，所以甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性.
故选：A
10．C
根据正态分布概率密度曲线的图像与性质，先求得，所以，利用概率即可得解.
【详解】
可知正态曲线的对称轴为，
得，
，
应从100分以上的试卷中抽取.
故选：C
11．B
由随机变量可知，利用正态分布的对称性求解即可
【详解】
由随机变量知，，
所以，，
所以，
故选：B
12．C
小球从起点到第③个格子一共跳了7次，其中要向右边跳动2次，由二项分布概率即可求解.
【详解】
小球从起点到第③个格子一共跳了7次，其中要向左边跳动5次，向右边跳动2次，而向左或向右的概率均为，则向右的次数服从二项分布，所以所求的概率为
故答案为：C.
本题的解题关键是判断小球向右边跳动的次数服从二项分布.
13．B
利用正态分布密度曲线的对称性可求得，代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值.
【详解】
因为随机变量，且，则，可得，
，
当且仅当时，等号成立，所以，的最小值为.
故选：B.
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
14．D
利用正态分布曲线的特点以及曲线所表示的意义对四个选项逐一分析判断即可．
A：越小，概率越集中在对称轴左右；根据对称性即可判断BCD.
【详解】
因为某物理量的测量结果服从正态分布，
所以测量的结果的概率分布关于10对称，且方差越小，则分布越集中，
对于A，越小，概率越集中在10左右，则该物理量一次测量结果落在内的概率越大，故选项A正确；
对于B，不管取何值，测量结果大于10的概率均为0.5，故选项B正确；
对于C，由于概率分布关于10对称，所以测量结果大于10.01的概率等于小于9.99的概率，故选项C正确；
对于D，由于概率分布是集中在10附近的，分布在10附近的区域大于分布在10附近的区域，故测量结果落在内的概率大于落在内的概率，故选项D错误．
故选：D．
15．B
设测试成绩为，则，先求出对应的概率，进而可求出结果.
【详解】
设测试成绩为，则，
又，
所以，
所以成绩不低于130分的职工人数大约为．
故选：B．
本题主要考查正态分布中求指定区间的概率，属于基础题型.
16．40000
根据正态分布的原则得，进而.
【详解】
由，可知，，
所以，
所以估计该批次检测的产品数量为.
故答案为：40000
17．②④##④②
随机变量服从正态分布，根据概率和正态曲线的性质，即可得到答案.
【详解】
因为，所以①不正确；
因为
，
所以②正确，③不正确；
因为，所以，所以④正确.
故答案为：②④.
18．
由正态分布曲线的对称性求得概率．
【详解】
∵，
∴，，
∴．
故答案为：0.95．
19．（1），（2），（3）若学生甲期望获得最佳复赛成绩，则他的答题量应该是7．
（1）求出样本中成绩不低于60分的学生共有40人，其中成绩不低于80分的人数为15人，由此能求出至少有1人成绩不低于80分的概率．
（2）样本中的100名学生预赛成绩的平均值为：，则，由，得，从而，由此能求出估计全市参加参赛的全体学生中成绩不低于91分的人数．
（3）以随机变量表示甲答对的题数，则，求出，记甲答完题所加的分数为随机变量，则，求出，为了获取答题的资格，甲需要扣掉的分数为：，设甲答完题的分数为，则，由此能求出学生甲期望获得最佳复赛成绩的答题量的值．
【详解】
解：（1）样本成绩不低于60分的学生有人
其中成绩不低于80分的有人
则至少有1人成绩不低于80分的概率
（2）由题意知样本中100名学生成绩平均分为，所以，，所以
所以，则
故全市参加预赛学生中成绩不低于91分的人数为人
（3）以随机变量表示甲答对的题数，则，且，
记甲答完题所加的分数为随机变量，则，
，
依题意为了获取答题的资格，甲需要扣掉的分数为：
，
设甲答完题的分数为，
则，
由于，当时，取最大值，即复赛成绩的最大值为．
若学生甲期望获得最佳复赛成绩，则他的答题量应该是7．
本题考查概率、频数、数学期望的求法及应用，考查频率分布直方图、二项分布等基础知识，考查运算求解能力．
20．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
(Ⅰ)由题意可知分布列为二项分布，结合二项分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二项分布的期望公式求解数学期望即可；
(Ⅱ)由题意结合独立事件概率公式计算可得满足题意的概率值.
【详解】
(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为，
故，从面.
所以，随机变量的分布列为：
0 1 2 3
随机变量的数学期望.
(Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为，则.
且.
由题意知事件与互斥，
且事件与，事件与均相互独立，
从而由(Ⅰ)知：
.
本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.
21．(1)；
(2)能，理由见解析.
（1）首先求出样本的平均数，然后根据正态分布求出质量指标k在区间之内的概率，从而得到质量指标k在区间之外的概率；然后根据二项分布即可求出答案.
（2）首先求出每件产品的平均利润，然后再求平均利润的最大值，从而可求出该生产线的年盈利的最大值，把年利润的最大值与进行比较即可得出答案.
(1)
由题意知，样本的平均数为，
所以，
.
所以质量指标k在区间之外的概率为.
因为，
则，
所以.
(2)
由题意知，每件产品的平均利润为，，
易知函数的对称轴为，且二次函数开口向下，
所以当时，取得最大值，且
因为该生产线的年产量为100万个，
所以该生产线的年盈利的最大值为万元，因为845500，
所以该厂能在一年之内通过销售该产品收回投资.
22．（1）0.0075；（2）分布列见解析，；（3）得到差评.
（1）由频率和为1可得答案；
（2）可得从该市所有高三考生的理综成绩中随机抽取1个，理综成绩位于[220，260）内的概率为0.4，所以随机变量y服从二项分布B～（3，0.4）；
（3）记该市高三考生的理综成绩为z，计算出P（210＜z＜240）≤P（200＜z＜240）＝0.47＜0.6827，P（195＜z＜255）≤P（180＜z＜260）＝0.81＜0.9545，可得答案.
【详解】
（1）由（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20＝1，
解得x＝0.0075；
（2）用频率估计概率，可得从该市所有高三考生的理综成绩中随机抽取1个，理综成绩位于[220，260）内的概率为（0.0125+0.0075）×20＝0.4，
所以随机变量y服从二项分布B～（3，0.4），
故P（y＝k）＝C3k0.4k0.63﹣k，k＝0，1，2，3，
故y的分布列为
y 0 1 2 3
P 0.216 0.432 0.288 0.064
则E（y）＝3×0.4＝1.2；
（3）记该市高三考生的理综成绩为z，
由题意可知，P（210＜z＜240）≤P（200＜z＜240）＝20×（0.011+0.0125）＝0.47＜0.6827，
P（195＜z＜255）≤P（180＜z＜260）＝20×（0.0095+0.011+0.0125+0.0075）＝0.81＜0.9545，
所以z不近似服从正态分布N（225，225），所以这套试卷得到差评.
本题考查了频率分布直方图、二项分布、正态分布，解题的关键点是熟练掌握相关知识点并能解题，考查了学生分析数据能力及分析问题、解决问题的能力.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页