第六章计数原理 单元练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第三册 第六章计数原理 同步练习
一、单选题
1．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）
A．120种 B．90种
C．60种 D．30种
2．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛、马和猴，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲乙丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有（ ）
A．50种 B．60种 C．70种 D．80种
3．的展开式中的系数是（ ）
A．60 B．80 C．84 D．120
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．在的展开式中，的系数为（ ）．
A． B．5 C． D．10
6．的二项展开式中，奇数项的系数和为（ ）
A． B． C． D．
7．已知2×1010＋a(0≤a<11)能被11整除，则实数a的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
8．已知的展开式中各项的二项式系数的和为512，则这个展开式中的常数项为（ ）
A．－34 B．－672 C．84 D．672
9．若的展开式中项的系数是，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
10．从1，2，3，4中任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标，则组成不同点的个数为（ ）
A．2 B．4 C．12 D．24
11．若，则（ ）
A．20 B． C．15 D．
12．某同学从3本不同的哲学图书 4本不同的自然科学图书 2本不同的社会科学图书中任选1本阅读，则不同的选法共有（ ）
A．24种 B．12种 C．9种 D．3种
二、填空题
13．在展开式中，含项的系数为________．（结果用数值表示）
14．有2辆不同的红色车和2辆不同的黑色车要停放在如图所示的六个车位中的四个内，要求相同颜色的车不在同一行也不在同一列，则共有______种不同的停放方法．（用数字作答）
15．的展开式中含的项的系数是______．
16．某企业有4个分厂，新培训了一批6名技术人员，将这6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少1人，则不同的分配方案种数为________.
三、解答题
17．（1）在的展开式中．
①求含的项；
②求各项系数和与各项二项式系数和的比值．
（2）①设有6个不同的小球，放入3个不同的盒子里，允许有盒子为空，有多少种不同的放法？
②设有6个不同的小球，放入3个不同的盒子里，盒子不允许为空，有多少种不同的放法？
18．如图，从左到右有5个空格.
（1）若向这5个格子填入0，1，2，3，4五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0，则一共有多少不同的填法？
（2）若给这5个空格涂上颜色，要求相邻格子不同色，现有红黄蓝3颜色可供使用，问一共有多少不同的涂法？
（3）若向这5个格子放入7个不同的小球，要求每个格子里都有球，问有多少种不同的放法？
19．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.
①第项的系数与第项的系数之比为；
②第项与倒数第项的二项式系数之和为；
③.
已知在的展开式中， .
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中含的项.
20．为响应绿色出行，某市推出新能源租赁汽车.每次租车的收费由两部分组成：①里程计费：1元/公里；②时间计费：0.12元/分.已知陈先生的家距离公司12公里，每天上下班租用该款汽车各一次.一次路上开车所用的时间记为t（分），现统计了50次路上开车所用时间，在各时间段内频数分布情况如下表所示.
时间t（分）
次数 12 28 8 2
将各时间段发生的频率视为概率，一次路上开车所用的时间视为用车时间，范围为.
(1)估计陈先生一次租用新能源汽车所用的时间不低于30分钟的概率；
(2)求陈先生一次路上开车所用的时间t（分）的分布列和数学期望（同一区间内的值都看作该区间的中点值）；
(3)若公司每月发放800元的交通补助，请估计是否足够陈先生一个月上下班租用新能源汽车（每月按22天计算），并说明理由.
21．的展开式一共有16项.
（1）求展开式中二项式系数之和；
（2）求展开式中的常数项.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.
【详解】
首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；
然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；
最后剩下的名同学去丙场馆.
故不同的安排方法共有种.
故选：C
本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.
2．D
根据题意，按甲的选择不同分成2种情况讨论，求出确定乙，丙的选择方法，即可得每种情况的选法数目，由分类加法计数原理，即可求出答案.
【详解】
解：根据题意，按甲的选择不同分成2种情况讨论：
若甲选择牛，此时乙的选择有2种，丙的选择有10种，
此时有种不同的选法；
若甲选择马或猴，此时甲的选法有2种，乙的选择有3种，丙的选择有10种，
此时有种不同的选法；
则一共有种不同的选法.
故选：D.
3．D
的展开式中的系数是，借助组合公式：，逐一计算即可.
【详解】
的展开式中的系数是
因为且，所以，
所以，
以此类推，.
故选：D.
本题关键点在于使用组合公式：，以达到简化运算的作用.
4．A
令，可得，可得出，利用展开式通项可知当为奇数时，，当为偶数时，，然后令可得出的值.
【详解】
令，可得，则，
二项式的展开式通项为，则.
当为奇数时，，当为偶数时，，
因此，.
故选：A.
结论点睛：一般地，若.
（1）；
（2）展开式各项系数和为；
（3）奇数项系数之和为；
（4）偶数项系数之和为.
5．C
首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定的系数即可.
【详解】
展开式的通项公式为：，
令可得：，则的系数为：.
故选：C.
二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
6．C
设，令、计算即可求解.
【详解】
设，
令可得，
令可得，
两式相加可得：，
所以奇数项系数之和为，
故选：C.
7．C
根据二项式定理将多项式进行展开，利用整除的性质即可得到结论.
【详解】
，
∵能被11整除，
∴要使能被11整除，则能被11整除，
∵，∴，则，解得，
故选：C.
8．B
由二项式系数公式求得，再根据通项公式令指数为0解出参数然后代回公式求得常数项.
【详解】
由已知，，则，所以.
令，得，所以常数项为，
故选：B．
【点晴】
方法点晴：求二项式展开式的指定项问题，一般由通项公式建立方程求参数，再代回公式求解.
9．A
根据二项式的通项及特定项系数求参数值.
【详解】
二项展开式的通项为，
令，解得，
则，，
解得，
故选：A.
10．C
11．B
先将写成，然后根据展开式的通项求解出项的系数即为.
【详解】
因为，所以展开式的通项为，
令，则，所以，
故选：B.
12．C
利用分类加法计数原理直接求出答案即可.
【详解】
解：由分类加法计数原理知，不同的选法种数为.
故选：C.
13．
展开式中，通项公式：，依题意，只需考虑时，即只需中项的系数，利用其展开式中通项公式即可得出．
【详解】
展开式中，
通项公式：，
依题意，只需考虑时，即只需中项的系数，
其展开式中通项．
令，解得．
.
故答案为：70．
14．
首先在第一行停放一辆红色车与一辆黑色车，再在第二行分类讨论停放剩下车，最后利用分步计数原理即可得出结果.
【详解】
因为要求相同颜色的车不在同一行也不在同一列，所以第一行只能停放一辆红色车与一辆黑色车，共有种停法,
再在第二行分类讨论停放剩下车,第二辆红车如果停在第一辆黑车下方，则第二辆黑车有2种方法，如果第二辆红车不停在第一辆黑车下方，则第二辆黑车有1种方法，共有3种情况，
因此共有种情况；
故答案为：.
关键点睛：通过已知条件得出同色车必停在斜线的位置，用列举法把满足题意的情况列举出来是解决本题的关键.
15．70
由，求得展开式中含项的系数．
【详解】
∵，
又的展开式的一次项为，二次项为
∴的展开式中含项的系数为，
故答案为：70．
16．1560
先把6名技术人员分成4组，每组至少一人，有两种情况：（1）4个组的人数按3,1,1,1分配，（2）4个组的人数为2,2,1,1，求出所有的分组方法，然后再把4个组的人分给4个分厂，从而可求得答案
【详解】
先把6名技术人员分成4组，每组至少一人.
（1）若4个组的人数按3,1,1,1分配，
则不同的分配方案有 (种).
（2）若4个组的人数为2,2,1,1，
则不同的分配方案有 (种).
故所有分组方法共有20＋45＝65(种).
再把4个组的人分给4个分厂，不同的方法有 (种).
故答案为：1560
17．（1）①，②128；（2）①729，②540
（1）①写出展开式通项公式，求出所在项数，从而可得结论；②令得各项系数和，由二项式系数性质得二项式系数和，然后求比值；
（2）①用分步乘法原理求解：依次把6个球放入盒子，每个球有3种放法，由此可得；
②把6个球分成3组，再分别放入一个盒子，即先分组再排列．
【详解】
解：（1）在的展开式中，通项公式为，
令，求得，可得①含的项为；
②∵各项系数和为，与各项二项式系数和为，
故各项系数和与各项二项式系数和的比值为．
（2）①设有6个不同的小球，放入3个不同的盒子里，允许有盒子为空，
由于每一个小球有3种放法，故不同的放法共计种．
②设有6个不同的小球，放入3个不同的盒子里，盒子不允许为空，
分成三类：；；．先分组再排列．
第一类：；
第二类：；
第三类：，
根据分类计数原理共有种．
18．（1）；（2）；（3）
（1）直接利用排除法计算得到答案.
（2）根据乘法原理计算得到答案.
（3）将情况分为的组和的组，计算得到答案.
【详解】
（1）利用排除法：种.
（2）根据乘法原理得到：共有种涂法.
（3）若分成的组，则共有种分法；
若分成的组，则共有种分法，
故共有种放法.
本题考查了排列组合的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.
19．（1）；（2）.
无论选择①②③，均结合展开式的通项公式和组合数的运算求得；
（1）由二项式系数的性质可知第项的二项式系数最大，代入可得结果；
（2）令可求得，代入通项公式可得结果.
【详解】
若选①，展开式通项公式为，
则第项的系数为，第项的系数为，，解得：（舍）或；
若选②，第项与倒数第项的二项式系数分别为和，
，解得：（舍）或；
若选③，由得：；
的展开式通项公式为；
（1）当时，若取得最大值，则，即第项的二项式系数最大，
展开式中二项式系数最大的项为；
（2）令，解得：，
展开式中含的项为.
20．(1)
(2)分布列见解析，期望35
(3)足够，理由见解析
（1）要求“陈先生一次租用新能源租赁汽车所用的时间不低于30分钟的概率”，可以利用“陈先生一次租用新能源租赁汽车所用的时间低于30分钟的概率”求解；
（2）时间t（分）可取的值有25，35，45，55， 根据概率公式求出分布列，再通过期望公式求期望即可；
（3）求出每次租用新能源租赁汽车的平均费用，则每个月的费用可求.
(1)
设“陈先生一次租用新能源租赁汽车的时间不低于30分钟”的时间为A，
则所求的概率为，
所以陈先生一次租用新能源租赁汽车的时间不低于30分钟的概率为；
(2)
由已知时间t（分）可取的值有，
则，
，
，
陈先生一次路上开车所用的时间t（分）的分布列为
25 35 45 55
则数学期望为
(3)
每次租用新能源租赁汽车的平均费用为1×12＋0.12×35＝16.2，
每个月的费用为16.2×2×22＝712.8，
712.8＜800，
因此公司补贴足够上下班租用新能源汽车．
21．（1）；（2）.
（1）先由的展开式一共有16项得，即可求得展开式中二项式系数之和；
（2）根据展开式的通项，令，即可求出常数项.
【详解】
（1）由的展开式一共有16项得，
得展开式中二项式系数之和为：；
（2）由得展开式的通项为：
，
令，得，
展开式中的常数项为.
本题考查二项式定理及其应用，其中的展开式通项的熟练运用是关键，是基础题.
答案第1页，共2页
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