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8.1 二元一次方程组
一、单选题
1．若xm﹣n﹣2ym+n﹣2＝2018．是关于x，y的二元一次方程，则m，n的值分别是（ ）
A．m＝1，n＝0 B．m＝0，n＝1 C．m＝2，n＝1 D．m＝2，n＝3
【答案】C
【解析】
解：根据题意得，
即，
解得：，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
2．下列方程中，为二元一次方程的是（ ）
A．2a+1＝0 B．3x+y＝2z C．x＝3y D．xy＝9
【答案】C
【解析】
解：A．是一元一次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
B．是三元一次方程，故本选项不符合题意；
C．是二元一次方程，故本选项符合题意；
D．是二元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了二元一次方程的定义，注意：含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次的整式方程，叫二元一次方程．
3．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
A．含有三个未知数，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
B．是二元一次方程组，故本选项符合题意；
C．第二个方程是二次方程，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
D．第二个方程是分式方程，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
故选：B．
4．学校计划用200元钱购买、两种奖品，种每个15元，B种每个25元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【答案】B
【解析】
设购买了种奖品个，种奖品个，
根据题意得：，
化简整理得：，得，
∵，为非负整数，
∴，，，
∴有3种购买方案：
方案1：购买了种奖品0个，种奖品8个；
方案2：购买了种奖品5个，种奖品5个；
方案3：购买了种奖品10个，种奖品2个.
故选：B.
5．下列说法中：①若点C（x，y）满足x+y＜0，xy＞0，则点C在第三象限；②二元一次方程2x+3y＝30的非负整数解有4组；③在同一平面内的三条直线，其中只有两条直线平行，则这三条直线的交点一定有两个；④若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行．正确的个数有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】
解：①∵xy＞0，
∴x，y同号，即同为正数或同为负数；
又∵x+y＜0，
∴x，y中至少有一个为负数，
∴只能是x＜0，y＜0，
所以点C在第三象限，正确，符合题意；
②2x+3y＝30，
∴x，
当y＝0时，x＝15；
当y＝2时，x＝12；
当y＝4时，x＝9；
当y＝6时，x＝6；
当y＝8时，x＝3；
当y＝10时，x＝0；
综上可知，二元一次方程2x+3y＝30的非负整数解有6组，
所以原说法错误，不符合题意；
③在同一平面内的三条直线，其中只有两条直线平行，则这三条直线的交点一定有两个，正确，符合题意；
④在同平面内，若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行，错误，不符合题意；
∴正确的有①③，
故选：C．
二、填空题
6．若是方程2x+y＝10的解，求6a+3b﹣4的值是 ___．
【答案】26
【解析】
解：∵是方程2x＋y＝10的解，
∴2a＋b＝10，
∴6a＋3b 4
＝3（2a＋b） 4
＝3×10 4
＝26．
故答案为：26．
7．若关于x，y的二元一次方程3x+ay＝1有一个解是，则a＝____．
【答案】-5
【解析】
解：由题意把x=2，y=1代入3x+ay＝1得，
6+a=1，解得a=-5.
故答案为：-5.
8．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则____________．
【答案】4
【解析】
解：把代入得：
，
①+②得：3a-2b=4，
故答案为：4．
9．清明小长假，重庆迎来了很多游客．除了解放碑，磁器口，洪崖洞等景点以外，美味的火锅底料，陈麻花和合川桃片也成为了炙手可热的伴手礼．根据游客的喜好，现推出踏青福袋和平安福袋两种包装，踏青福袋中有2袋火锅底料，2袋陈麻花；平安福袋中有1袋火锅底料，2袋陈麻花，3盒合川桃片，两种福袋的成本价分别为袋中物品的成本价之和，已知踏青福袋每袋的售价为96元，利润率为20%，每袋陈麻花的成本是每盒合川桃片的成本价的3倍．小长假期间，由于客流量较大，一天就卖出两种福袋共计156袋，工作人员在核算当日卖出福袋总成本的时候把火锅底料和麻花的成本看反了，后面发现如果不看反，那么当日卖出福袋的实际总成本比核算时的总成本少了1000元，则当日卖出福袋的实际总成本为_____元．
【答案】11480．
【解析】
解：设踏青福袋成本价格a元，根据题意，得
96﹣a＝20%a，
解得a＝80，
∵踏青福袋中有2袋火锅底料，2袋陈麻花；
∴2袋火锅底料，2袋陈麻花的成本价格为80元，
∴1袋火锅底料，1袋陈麻花的成本价格为40元，
设一袋火锅底料成本x元，一个袋陈麻花（40﹣x）元，则每盒合川桃片的成本价为（40﹣x）元，
踏青福袋m袋，平安福袋n袋，根据题意，得m+n＝156，
福袋的实际总成本为：80m+n[x+2（40﹣x）+3×（40﹣x）]＝80m+n[（40﹣x+2x+3×（40﹣x）] -1000，
80m+n[x+2（40﹣x）+3×（40﹣x）]=80m+80n-1000，
80m+n[x+2（40﹣x）+3×（40﹣x）]=80(m+n)-1000，
80m+n[x+2（40﹣x）+3×（40﹣x）]=80×156-1000=11480，
故答案为11480．
10．若是方程kx﹣3y＝1的一个解，则k＝_____．
【答案】﹣5
【解析】
解：由题意得：﹣2k﹣3×3＝1．
∴k＝﹣5．
故答案为：﹣5．
三、解答题
11．对于任意一个四位数，若千位上的数字与百位上的数字之和是十位上的数字与个位上的数字之和的2倍，则称是“2倍和数”．如，因为，所以3504是“2倍和数”；，因为，所以6824不是“2倍和数”．
(1)判断6423，4816是否为“2倍和数”？并说明理由；
(2)对于“2倍和数”，当百位上的数字是个位上的数字的3倍，且各数位上的数字之和能被9整除时，记．求的最大值和最小值．
【答案】(1)
，
∴6423是“2倍和数”，
，
∴4816不是“2倍和数”；
(2)
设的个位上的数字为，十位上的数字为，则百位上的数字为，
千位上的数字为，
，，，，为整数），
的各数位上的数字之和为，
各数位上的数字之和能被9整除，
能被3整除，
或，
，
，
，
的最大值是3117，最小值是1107．
【解析】
（1）根据定义进行判断即可
（2）设的个位上的数字为，十位上的数字为，则百位上的数字为，千位上的数字为，进而求得的各数位上的数字之和，根据，可得能被3整除，进而求二元一次方程的整数解即可，进而列出，即可求得的最大值和最小值．
12．已知二元一次方程组的解是，求的值．
【答案】
解：把代入二元一次方程组得，解得 ，
∴=9+18-4=23．
【解析】
把代入二元一次方程组得二元一次方程组解之可得．
本题考查了二元一次方程组的解，根据方程组解的概念得出关于a、b的方程组是解题的关键．
13．对每个数位数字均不为零且互不相等的一个三位正整数，若的百位数字与个位数字的和是十位数字的两倍，我们就称为“中间数”．把一个“中间数”的百位、十位、个位上的数字之和称为这个“中间数”的“核心数”，如321，因为，所以321是“中间数”，321的“核心数”为．
（1）判断402与357是不是“中间数”，若是“中间数”，请求出它的“核心数”，若不是，请说明理由；
（2）若一个“中间数”的“核心数”为9，求满足条件的所有“中间数”．
【答案】
解：（1）∵4+2≠2×0，∴402不是“中间数”；
∵3+7＝2×5，∴357是“中间数”；
∴357的“核心数”为3+5+7＝15；
（2）设的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，
根据题意可得，2b＝a+c，a+b+c＝9，
∴3b＝9，b＝3，
∴a+c＝6，
∴或或或或
∴满足条件的所有“中间数”为：135，234，333，432，531
【解析】
（1）根据“中间数”和“核心数”的定义解答即可；
（2）设的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，根据题意可得，2b＝a+c，a+b+c＝9，进而求出b的值，即可求出a、c可能的值．
本题考查了规律型 数字的变化类，二元一次方程的解，解决本题的关键是观察数字是变化，寻找规律．
14．我国古代民间把正月正、二月二、三月三、五月五、六月六、七月七、九月九这“七重”列为吉庆日；“七”在生活中表现为时间的阶段性，比如一周有“七天” ，在数的学习过程中，有一类自然数具有的特性也和“七”有关．
定义：对于四位自然数，若其千位数字与个位数字之和等于7，百位数字与十位数字之和也等于7，则称这个四位自然数为“七巧数”．
例如：3254是“七巧数”，因为，，所以3254是“七巧数”；1456不是“七巧数”，因为，但，所以1456不是“七巧数”．
(1)最大的“七巧数”是 ，最小的“七巧数”是 ；
(2)若将一个“七巧数” 的个位数字和千位数字交换位置，十位数字和百位数字交换位置得到一个新的“七巧数” ，并记，求证：无论取何值，为定值，并求出这个值；
(3)若是一个“七巧数”，且的百位数字加上个位数字的和，是千位数字减去十位数字的差的2倍，请求出满足条件的所有“七巧数” ．
【答案】(1)解：最大的“七巧数”是：7700，最小的“七巧数”是：1076，
故答案为：7700，1076；
(2)证明：设的个位数字为，十位数字为，则百位数字为，千位数字，
由题意得，，
，
，
．
故无论取何值，为定值，为7777；
(3)设的千位数字为，百位数字为，则十位数字为，个位数字为，
由题意得，，
即，
，，且，为整数，
当时，则，，
当时，则，，
当时，则，，
满足条件的所有“七巧数” 为：5612，6341，7070．
【解析】
（ 1）根据“七巧数”的定义即可求解；
（ 2）设的个位数字为，十位数字为，则百位数字为，千位数字，依此可求和，进一步可求；
（ 3）设的千位数字为，百位数字为，则十位数字为，个位数字为，根据的百位数字加上个位数字的和，是千位数字减去十位数字的差的2倍，依此可得，再根据方程正整数解进行讨论即可求解．
本题考查的是新定义情境下的整式的加减运算，二元一次方程的正整数解问题，理解新定义，准确的列出代数式并合并同类项，列出二元一次方程并求解其符合条件的正整数解都是解本题的关键.
15．我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”．
请根据上述规定解答下列问题：
（1）已知关于x的一元一次方程是“和解方程”，求m的值；
（2）已知关于x的一元一次方程是“和解方程”，并且它的解是，求，的值．
【答案】
解：（1）∵方程3x＝m是和解方程，
∴＝m＋3，
解得：m＝ ．
（2）∵关于x的一元一次方程 2x＝mn＋n是“和解方程”，并且它的解是x＝n，
∴ 2n＝mn＋n，且mn＋n 2＝n，
解得m＝ 3，n＝ ．
【解析】
（1）根据和解方程的定义即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）根据和解方程的定义即可得出关于m、n的二元一次方程组，解之即可得出m、n的值．
本题考查新定义，一元一次方程的解，理解“和解方程”的定义，解二元一次方程组，将所求问题转化为一元一次方程的解是解题的关键．
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8.1 二元一次方程组
一、单选题
1．若xm﹣n﹣2ym+n﹣2＝2018．是关于x，y的二元一次方程，则m，n的值分别是（ ）
A．m＝1，n＝0 B．m＝0，n＝1 C．m＝2，n＝1 D．m＝2，n＝3
2．下列方程中，为二元一次方程的是（ ）
A．2a+1＝0 B．3x+y＝2z C．x＝3y D．xy＝9
3．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
4．学校计划用200元钱购买、两种奖品，种每个15元，B种每个25元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
5．下列说法中：①若点C（x，y）满足x+y＜0，xy＞0，则点C在第三象限；②二元一次方程2x+3y＝30的非负整数解有4组；③在同一平面内的三条直线，其中只有两条直线平行，则这三条直线的交点一定有两个；④若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行．正确的个数有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
6．若是方程2x+y＝10的解，求6a+3b﹣4的值是 ___．
7．若关于x，y的二元一次方程3x+ay＝1有一个解是，则a＝____．
8．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则____________．
9．清明小长假，重庆迎来了很多游客．除了解放碑，磁器口，洪崖洞等景点以外，美味的火锅底料，陈麻花和合川桃片也成为了炙手可热的伴手礼．根据游客的喜好，现推出踏青福袋和平安福袋两种包装，踏青福袋中有2袋火锅底料，2袋陈麻花；平安福袋中有1袋火锅底料，2袋陈麻花，3盒合川桃片，两种福袋的成本价分别为袋中物品的成本价之和，已知踏青福袋每袋的售价为96元，利润率为20%，每袋陈麻花的成本是每盒合川桃片的成本价的3倍．小长假期间，由于客流量较大，一天就卖出两种福袋共计156袋，工作人员在核算当日卖出福袋总成本的时候把火锅底料和麻花的成本看反了，后面发现如果不看反，那么当日卖出福袋的实际总成本比核算时的总成本少了1000元，则当日卖出福袋的实际总成本为_____元．
10．若是方程kx﹣3y＝1的一个解，则k＝_____．
三、解答题
11．对于任意一个四位数，若千位上的数字与百位上的数字之和是十位上的数字与个位上的数字之和的2倍，则称是“2倍和数”．如，因为，所以3504是“2倍和数”；，因为，所以6824不是“2倍和数”．
(1)判断6423，4816是否为“2倍和数”？并说明理由；
(2)对于“2倍和数”，当百位上的数字是个位上的数字的3倍，且各数位上的数字之和能被9整除时，记．求的最大值和最小值．
12．已知二元一次方程组的解是，求的值．
13．对每个数位数字均不为零且互不相等的一个三位正整数，若的百位数字与个位数字的和是十位数字的两倍，我们就称为“中间数”．把一个“中间数”的百位、十位、个位上的数字之和称为这个“中间数”的“核心数”，如321，因为，所以321是“中间数”，321的“核心数”为．
（1）判断402与357是不是“中间数”，若是“中间数”，请求出它的“核心数”，若不是，请说明理由；
（2）若一个“中间数”的“核心数”为9，求满足条件的所有“中间数”．
14．我国古代民间把正月正、二月二、三月三、五月五、六月六、七月七、九月九这“七重”列为吉庆日；“七”在生活中表现为时间的阶段性，比如一周有“七天” ，在数的学习过程中，有一类自然数具有的特性也和“七”有关．
定义：对于四位自然数，若其千位数字与个位数字之和等于7，百位数字与十位数字之和也等于7，则称这个四位自然数为“七巧数”．
例如：3254是“七巧数”，因为，，所以3254是“七巧数”；1456不是“七巧数”，因为，但，所以1456不是“七巧数”．
(1)最大的“七巧数”是 ，最小的“七巧数”是 ；
(2)若将一个“七巧数” 的个位数字和千位数字交换位置，十位数字和百位数字交换位置得到一个新的“七巧数” ，并记，求证：无论取何值，为定值，并求出这个值；
(3)若是一个“七巧数”，且的百位数字加上个位数字的和，是千位数字减去十位数字的差的2倍，请求出满足条件的所有“七巧数” ．
15．我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”．
请根据上述规定解答下列问题：
（1）已知关于x的一元一次方程是“和解方程”，求m的值；
（2）已知关于x的一元一次方程是“和解方程”，并且它的解是，求，的值．
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数学（人教版）
七年级 下册
2022春人教版七下数学同步精品教学课件
8.1 二元一次方程组
第八章 二元一次方程组
学习目标
1、理解二元一次方程、二元一次方程组的概念；
2、理解二元一次方程的解及二元一次方程组的解概念 ；
3、并会检验一组未知数的值是否是方程的解或方程组的解及会进行简单的应用.
回顾旧知
1、什么是一元一次方程？“元”指什么？“次”指什么？
2、什么是一元一次方程的解？
含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程.
使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.
篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜1场得2分,负1场得1分。某队为了争取较好名次,想在全部22场比赛中得到40分,那么这个队胜负场数应分别是多少？
探究新知
解:设胜x场,则负(22-x)场,根据题意得方程
2x+(22-x) ×1=40
解得 x=18
22-18=4
答:这个队胜18场,只负4场.
解:设篮球队胜了 场，负了 场,得:
积分
场数
合计
负
胜
2x
探究新知
篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜1场得2分,负1场得1分。某队为了争取较好名次,想在全部22场比赛中得到40分,那么这个队胜负场数应分别是多少？
胜的场数＋负的场数＝总场数
胜场积分＋负场积分＝总积分
22
y
40
x＋y=22
2x＋y=40
探究新知
x+y=35 5x+y=28 x+y=8
2x+4y=94 x+5y=20 5x+3y=34
上面所列各方程含有几个未知数 含未知数的项的次数是多少
定义：含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程.
注意：（1）“一次”是指含未知数的项的次数是1，而不是未知数的次数；
（2）方程的左右两边都是整式.
探究新知
未知数x、y为哪些值时能使 x+y=35？
二元一次方程的解：使二元一次方程两边相等的两个未知数的值，叫二元一次方程的一组解.
小结：二元一次方程的解有无数组.
解的写法：上下摆放，左弧号连接，如：
x=30
y=5
合作探究
x+y=35 x-ｙ=2 x+ｙ=8
2x+4y=94 x+1=2（y-1） 5x+3y=34
方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组。
问题：（1）x＝6 , y＝2适合方程 x＋y＝8吗
x＝5 , y＝3呢
x＝4 , y＝4呢
你还能找到其他x , y的值适合方程x＋y＝8吗
(2) x＝5 , y＝3适合方程5x＋3y＝34吗
x＝2 , y＝8呢
合作探究
合作探究
依照题意，填写表格：
2x+3y=12 x 1 2 3 4 5
y
3x-2y=5 x 1 2 3 4 5
y
二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解.（二元一次方程组只有一组解）
是否有同时满足这两个方程的一组解？
1. 已知|m－1|x|m|＋y2n－1＝3是二元一次方程，则m＋n＝________．
解析：根据题意得|m|＝1且|m－1|≠0，2n－1＝1，解得m＝－1，n＝1，所以m＋n＝0.
0
方法技巧： 由方程是二元一次方程可知：
(1)未知数的系数不为0；
(2)未知数的项的次数都是1.
巩固提高
2. 下列方程组是二元一次方程组的是（ ）
A. B.
C. D.
B
小提示：
也是二元一次方程组.
含三个未知数
未知项的次数是2
未知数出现在分母中
√
巩固提高
巩固提高
2.二元一次方程组 的解是( )
A. B. C. D.
2x+y=5
3x-2y=4
x=1，
y=3
x=1，
y=2
x=2，
y=1
x=2，
y=-1
C
二元一次方程组
二元一次方程
方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.
二元一次方程组
方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组.
二元一次方程的解
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解.
二元一次方程
二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解.
课堂小结
1.下列方程中是二元一次方程的有哪些？
① 3x＋xy=1 ② y =3x ③x ＋ =3;
④ x＋ = ; ⑤ x - 2y2=2; ⑥ 3x＋4y .
当堂检测
2.已知:5x3m+7-2y2n-1=4是二元一次方程,则m= ，n = 。
3.若mxy+9x+3yn-1=7是关于x,y的二元一次方程,则m = ，n = 。
-2
1
0
2
当堂检测
D.
x=4，
y=3
x=3，
y=6
x=2，
y=4
x=4，
y=2
A.
B.
C.
4.二元一次方程组
的解是( )
x+2y=10，
y=2x
C
当堂检测
应用拓展
学校准备建设一个周长为60米的长方形游泳池，要求游泳池的长是宽的2倍，为了帮建筑工人计算出长和宽各是多少米请你列出相应的方程组 .
解:游泳池的长是x米，宽是y米,根据题意得方程
y=2x
2(x+y)=60
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
