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数学（人教版）
七年级 下册
2022春人教版七下数学同步精品教学课件
第八章 二元一次方程组
8.2 消元—解二元一次方程组
第一课时
学习目标
2.能体会“代入法”解二元一次方程组的基本思路，体会化归思想。
1.会用代入消元法解一些简单的二元一次方程组。
由两个一次方程组成并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组
方程组里各个方程的公共解叫做这个方程组的解
二元一次方程组中各个方程的解一定是方程组的解 （ ）
方程组的解一定是组成这个方程组的每一个方程的解 （ ）
判
断
错
对
回顾旧知
1、指出 三对数值分别是下面哪一
个方程组的解.
x =1，
y = 2，
x = 2，
y = -2，
x = -1，
y = 2，
① ② ③
y + 2x = 0
x + 2y = 3
x – y = 4
x + y = 0
y = 2x
x + y = 3
解：
①（ ）是方程组（ ）的解；
②（ ）是方程组（ ）的解；
③（ ）是方程组（ ）的解；
x =1，
y = 2，
y = 2x
x + y = 3
x = 2，
y = -2，
x – y = 4
x + y = 0
x = -1，
y = 2，
y + 2x = 0
x + 2y = 3
回顾旧知
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分. 某队为了争取较好名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场 数应分别是多少？
探究新知
设篮球队胜了x场,负了y场.根据题意得方程组
x＋y = 22
2x＋y = 40
①
②
由①得，
y = 4
③
把③ 代入② ，得
2x+ (22-x) = 40
解这个方程，得
x=18
把 x=18 代入③ ，得
所以这个方程组的解是
y = 22－x
x=18
y = 4.
这样的形式叫做“用 x 表示 y”. 记住啦！
探究新知
代入消元法解二元一次方程组.
1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程.我们就可以求出一个未知数，然后在求另一个未知数.这种将未知数的个数由多转化为少、逐一解决的思想，叫做消元思想.
2.代入消元法概念：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法，简称代入法.
总结归纳
③回代求解（把求得的未知数的值代入到变形的方程中，求出另一个未知数的值）；
④写解（用的形式写出方程组的解）。
总结归纳
代入法解二元一次方程组的一般步骤：
①变形（选择其中一个方程，把它变形为用含有一个未知数的代数式表示另一个代数式）；
②代入求解（把变形后的方程代入到另一个方程中，消元后求出未知数的值）；
把下列方程改写成用含x的式子表示y的形式：
（1）
巩固提高
例1 用代入法解方程组
x－y=3 ①
3x－8y=14 ②
解:由①得
y=x－3 ③
解这个方程得:x=2
把③代入②得
3x－8(x－3)=14
把x=2代入③得:y=－1
所以这个方程组的解为:
y=－1
x=2
巩固提高
例2 解方程组
3x – 2y = 19
2x + y = 1
解：
①
②
3x – 2y = 19
2x + y = 1
由②得：
y = 1 – 2x
③
把③代入①得：
3x – 2（1 – 2x）= 19
3x – 2 + 4x = 19
3x + 4x = 19 + 2
7x = 21
x = 3
把x = 3代入③，得
y = 1 – 2x
= 1 - 2×3
= - 5
∴
x = 3
y = - 5
1、将方程组里的一个方程变形，用含有一个未知数的一次式表示另一个未知数(变形）
2、用这个一次式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值（代入求解）
3、把这个未知数的值再代入一次式，求得另一个未知数的值（再代求解）
4、写出方程组的解（写解）
用代入法解二元一次方程组的一般步骤
【例3】小明上超市买饮料，他看中了盒装牛奶和冰茶，他买了3盒牛奶和4瓶冰茶，共花了29元，已知一盒牛奶和一瓶冰茶价格和为8.5元．一盒牛奶和一瓶冰茶分别需要多少元？
合作探究
【讲解】设一盒牛奶x元，一瓶冰茶y元，根据题意可得，3盒牛奶+4瓶冰茶=29元，一盒牛奶+一瓶冰茶=8.5元，据此列方程组由②，得x=8.5-y，③.
把③代入①，得3(8.5-y)+4y=29，解这个方程得，y=3.5.把y=3.5代入③，得x=5.所以这个方程组的解是
答：一盒牛奶5元，一瓶冰茶3.5元.
合作探究
1、将方程组里的一个方程变形，用含有一个未知数的一次式表示另一个未知数(变形）
2、用这个一次式代替另一个方程中的相应未知数，得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值（代入）
3、把这个未知数的值代入一次式，求得另一个未知数的值（再代）
4、写出方程组的解（写解）
用代入法解二元一次方程组的一般步骤
解二元一次方程组
用代入法
课堂小结
1.方程x+5y+4=0，若用含有x的代数式表示_____________；若用含有y的代数式表示x为______________.
2.用代入法解方程组：（1）（2）
-5y-4
当堂检测
３、若方程
是关于x、y的二元一次方程，
求 的值。
当堂检测
4.已知|a+b-8|+（a-3b）2=0，求a、b.
答案：解：依题意得：由②，得a=3b，③.把③代入①，得3b+b-8=0.解这个方程，得b=2.把b=2代入③，得a=6.所以这个方程组的解为。
讲评：本题可根据非负数的性质“两个非负数相加和为0，这两个非负数的值都为0”，解出a、b的值.
当堂检测
5.在等式y=kx+b中，当x=1时，y=2，当x=-1时，y=-4，求当x=-2时，y的值.
答案：依题意得：，解这个方程组得：，所以等式为y=3x-1，当x=-2时，y=3×（-2）-1=-7，答：y的值为-7．
当堂检测
讲评：本题考查了解二元一次方程组的应用，主要考查学生的计算能力.先代入得出方程组，求出方程组的解，得出等式，最后把x=-2代入求出即可.
第二课时
学习目标
2.仔细观察二元一次方程组的特征，选择合适的方法进行消元，训练学生的运算技巧。
1.掌握加减消元法的基本步骤，熟练运用加减消元法解二元一次方程组。
中国古算题：鸡兔同笼
今有鸡兔同笼
上有三十五头
下有九十四足
问鸡兔各几何
解：设鸡有x只，兔有y只,列出二元一次方程组
x＋y＝35
2x＋4y＝94
情景导入
除了代入消元法外，还有用其他方法进行求解呢？
x＋y＝35
2x＋4y＝94
x＋y＝35
x＝35y ③
式③代入式 得 :
2( 35y )＋4y＝94
y＝12
解：
回顾旧知
x＋y＝35
2x＋4y＝94
2x＋2y＝70 ③
式③ 得 :
2y＝24
y＝12
解：
x＋y＝35
探究新知
认真观察此方程组中各个未知数
的系数有什么特点，并分组讨论看
还有没有其它的解法.并尝试一下能
否求出它的解
联系上面的解法，想一想怎样解方程组
4x+5y=3 ①
2x+5y=－1 ②
探究新知
加减消元法
两个二元一次方程中同一未知数的系数互为相反数或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.
①
②
由①+②得: 5x=10
2x-5y=7 ①
2x+3y=-1 ②
由 ②－①得:8y＝－8
探究新知
利用加减消元法解方程组时,在方程组的两个方程中:
(1)某个未知数的系数互为相反数，则可以直接
消去这个未知数;
(2)如果某个未知数系数相等，则可以直接
消去这个未知数 .
把这两个方程中的两边分别相加，
把这两个方程中的两边分别相减,
总结归纳
⑴
3x-2y=5 ①
X+3y=9 ②
⑵
6x+5y=25 ①
3x +4y=20 ②
(3)
3s+4t=7 ①
3t-2s=1 ②
(4)
2x+3y=-1 ①
4x -9y=8 ②
巩固提高
选择你喜欢的方法解下列方程组
②
②
巩固提高
用加减消元法解方程组：
解：①×6，得
2x+3y=4 ③
②×4，得
2x - y=8 ④
由③-④得: y= -1
∴原方程组的解是
把y= -1代入② ，得
①
②
合作探究
1、加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，
2、加减消元法解方程组的主要步骤：
加减
消去一个元
求解
分别求出两个未知数的值
变形
同一个未知数的系
数相同或互为相反数
写解
写出方程组的解
课堂小结
分别相加
y
1.已知方程组
x+3y=17
2x-3y=6
两个方程
就可以消去未知数
分别相减
2.已知方程组
25x-7y=16
25x+6y=10
两个方程
就可以消去未知数
x
只要两边
只要两边
②
②
填空题
当堂检测
选择题
1. 用加减法解方程组
6x+7y=-19①
6x-5y=17②
应用（ ）
A.①-②消去y
B.①-②消去x
C. ②- ①消去常数项
D. 以上都不对
B
2.方程组
3x+2y=13
3x-2y=5
消去y后所得的方程是（ ）
B
A.6x=8
B.6x=18
C.6x=5
D.x=18
②
当堂检测
方程组的最简便的解法是（ ）.
C
A. 由①式得x=+4y，再代入②式
B. 由②式得y=，再代入①式
C. ①×3得③式，再将③式与②式相减
D. 由②式得9x=10y-25，再代入①式
当堂检测
若单项式与的和仍是单项式，则m=_____，n=_________.
-5
-2
当堂检测
用合适的方法解方程组：(1)(2)
答案：（1） (代入法） （2）（加减法）
当堂检测
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8.2 消元—解二元一次方程组
一、单选题
1．若是二元一次方程组的解，则x＋2y的算术平方根为（ ）
A．3 B．－3 C． D．
【答案】C
【解析】
解：将代入二元一次方程中，
得到：，
①②得：
所有方程组的解是：
∴的算术平方根为，
故选：C．
2．若关于x、y的二元一次方程的解，也是方程的解，则m的值为（ ）
A．-3 B．-2 C．2 D．无法计算
【答案】C
【解析】
解：，
得：，
解得：，
将代入①可得：，
解得：，
∴方程组的解为：，
∵方程组的解也是方程的解，
代入可得，
解得，
故选：C．
3．方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
解：
①+②得，
解得，
把代入①得，
解得，
所以，方程组的解为
故选：D
4．若为都是方程ax＋by＝1的解，则a＋b的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】
解： 为都是方程ax＋by＝1的解，
解②得：
把代入①得：
故选C
5．方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
解：，
①＋②得：4x＝8，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：2＋2y＝3，
解得：y＝，
则方程组的解为．
故选：B．
二、填空题
6．已知关于x的方程＝1+中，a、b、k为常数，若无论k为何值，方程的解总是x＝1，则a+b的值为 ___．
【答案】
【解析】
解：将代入方程＝1+得
由题意可得：，解得
则
故答案为：
7．已知二元一次方程，用含的代数式示，则________．
【答案】
【解析】
解：
方程，
解得：，
∴．
故答案为：．
8．已知x、y满足方程组，则的值为__________．
【答案】1
【解析】
解：
①得： ③
③－②得：
把代入①：
所以方程组的解是：
故答案为：
9．已知（m为常数），则_____．
【答案】
【解析】
解：将原方程组标上序号，
①+②得：，
∴，
∴，
故答案为：．
10．已知x、y满足方程则x＋y的值为______．
【答案】1
【解析】
解：
①+②得：2x+2y=2，
2（x+y）=2，
x+y=1．
故答案为：1．
三、解答题
11．解方程组：．
【答案】
解：，
①×3+②，得5x＝35，
解得x＝7，
把x＝7代入①，得y＝3，
故原方程组的解为．
【解析】
根据加减消元法消去y即可解方程．
本题考查二元一次方程的解法，熟练根据加减消元法或者代入消元法去掉一个未知数是解题的关键．
12．已知，求的立方根．
【答案】
解：，
，
解得，
，
的立方根为3．
【解析】
先根据，求得，的值，进而得到 的立方根．
本题主要考查了立方根以及非负数的性质的应用，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．根据上述的性质可列出方程求出未知数的值．
13．解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
①＋②得，
解得
将代入②得
解得
原方程组的解为
(2)
①×2＋②得，
解得
将代入①得，
解得
原方程组的解为
【解析】
（1）直接根据加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）将①×2＋②消去，进而求得，再将的值代入①求解即可
14．已知与互为相反数，求的平方根．
【答案】
解：∵与互为相反数，
∴+=0，
∴2x+y=2，x-y=-3，
解方程组，得，
∴，
∴的平方根是．
【解析】
根据相反数的定义得到2x+y=2，x-y=-3，解方程组得到x、y的值，根据平方根的定义求出结果．
此题考查了相反数的应用，解二元一次方程组，求一个数的平方根，综合掌握各知识点是解题的关键．
15．阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x、y满足①，②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组，则________，________；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
（3）对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么________．
【答案】
（1）
①-②，得x-y=-1
①+②，得3x+3y=15
∴x+y=5
故答案为：-1，5
（2）设每支铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元，则
①×2，得40x+6y+4z=64③
③-②，得x+y+z=6
∴5(x+y+z)=30
∴购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元
答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元
（3）∵
∴①，②，
∴②-①，得③
∴④
①+②，得⑤
⑤-④，得
∴
故答案为：-11
【解析】
（1）已知，利用解题的“整体思想”，①-②即可求得x-y，①+②即可求得x+y的值；
（2）设每支铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元，根据题意列出方程组，根据（1）中“整体思想”，即可求解；
（3）根据，可得，，，根据“整体思想”，即可求得的值．
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8.2 消元—解二元一次方程组
一、单选题
1．若是二元一次方程组的解，则x＋2y的算术平方根为（ ）
A．3 B．－3 C． D．
2．若关于x、y的二元一次方程的解，也是方程的解，则m的值为（ ）
A．-3 B．-2 C．2 D．无法计算
3．方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
4．若为都是方程ax＋by＝1的解，则a＋b的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．已知关于x的方程＝1+中，a、b、k为常数，若无论k为何值，方程的解总是x＝1，则a+b的值为 ___．
7．已知二元一次方程，用含的代数式示，则________．
8．已知x、y满足方程组，则的值为__________．
9．已知（m为常数），则_____．
10．已知x、y满足方程则x＋y的值为______．
三、解答题
11．解方程组：．
12．已知，求的立方根．
13．解方程组：
(1)
(2)
14．已知与互为相反数，求的平方根．
15．阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x、y满足①，②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组，则________，________；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
（3）对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么________．
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