(共20张PPT)
数学(人教版)
七年级 下册
2022春人教版七下数学同步精品教学课件
第八章 二元一次方程组
8.4 三元一次方程组的解法
学习目标
1.熟练掌握解三元一次方程组的方法与步骤,会解简单的三元一次方程组.
2.会用三元一次方程组的解法解决实际问题.
(1)这是几元几次方程组?
(2)求解的思想是什么?
(3)用什么方法消元可以解这个方程?
①
消元
二元一次方程组
加减法或代入法
解方程组:
②
回顾旧知
探究新知
已知甲、乙、丙三数的和是23,甲数比乙数大1,甲数的两倍与乙数的和比丙数大20,求这三个数.
解:上述问题中,设甲数为x,乙数为y,丙数为z,由题意可得到方程组:
x+y+z=23
x-y=1
2x+y-z=20
(甲、乙、丙三数的和是23)
(甲数比乙数大1)
(甲数的两倍与乙数的和比丙数大20)
这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系?
在这个方程组中:
(1)方程组中含有三个未知数;
(2)每个方程中含有未知数得项的次数都为1;
(3)方程组中一共有三个方程。
像这样含有三个未知数,每个方程中含未知数的项的次数都是1,并且一共有三个方程,像这样的方程组叫做三元一次方程组。.
三元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个三元一次方程组的解.
总结归纳
我们能解这个三元一次方程组吗?
探究新知
x+y+z=23 ①
x-y=1 ②
2x+y-z=20 ③
能不能像以前一样“消元”,把“三元”化成“二元”呢?
解上面的方程组时,你能先消去未知数y(或z),从而得到方程组的解吗?
(先独立思考,再进行小组讨论,由学生代表回答思考所获)
解:由方程②得 x=y+1 ④
把④分别代入①③得
2y+z=22 ⑤
3y-z=18 ⑥
解由⑤⑥组成的二元一次方程组,得
y=8,z=6
把y=8代入④,得x=9
所以原方程的解是
x=9
y=8
z=6
类似二元一次方程组的“消元”,把“三元”化成“二元”.
探究新知
解方程组
①
③
②
解: ③ - ②,得
① + ④,得
∴
④
所以,原方程组的解是
把 x=1 代入方程①、③,分别得
小试牛刀
解三元一次方程组的基本思路是:通过“代入”或“加减”进行 ,把 转化为 ,使解三元一次方程组转化为解 ,进而再转化为解 .
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
消元
消元
消元
“三元”
“二元”
二元一次方程组
一元一次方程
总结归纳
巩固提高
用你学到的方法解方程:
观察(2),此方程组与前面不一样,三个方程都不缺“谁”,消谁好,用什么方法消?
x+y+z=26 ①
2x-y+z=18 ②
x-y=1 ③
x+y+z=10 ①
2x+3y+z=17 ②
3x+2y-z=8 ③
(2)
(1)
例1 在等式 y=ax2+bx+c中,当x=-1时,y=0;当x=2时,y=3;当x=5时,y=60. 求a,b,c的值.
解:根据题意,得三元一次方程组
a-b+c= 0, ①
4a+2b+c=3, ②
25a+5b+c=60. ③
②-①, 得 a+b=1 ④
③-①,得 4a+b=10 ⑤
④与⑤组成二元一次方程组
a+b=1,
4a+b=10.
合作探究
a+b=1,
4a+b=10.
a=3,
b=-2.
解这个方程组,得
把 代入①,得
a=3,
b=-2
c=-5,
a=3,
b=-2,
c=-5.
因此
合作探究
例2 一个三位数,十位上的数字是个位上的数字的 ,百位上的数字与十位上的数字之和比个位上的数字大1.将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原三位数大495,求原三位数.
解:设原三位数百位、十位、个位上的数字
分别为x、y、z.由题意,得
解得
原三位数是368.
课堂小结
解三元一次方程组的基本思路是:
通过“代入”或“加减”进行 消元
三元
一次方程组
二元
一次方程组
一元
一次方程
消元
消元
1. 下列方程组中,是三元一次方程组的是( )
D
A.
B.
C.
D.
当堂检测
2.解下列三元一次方程组 .
当堂检测
3.已知单项式-8a3x+y-zb12cx+y+z与2a2b2x-yc6是同类项,则x=________,y=________,z=________.
4
-4
6
4. 若|a-b-1|+(b-2a+c)2+|2c-b|=0,求a,b,c的值。
解:因为三个非负数的和等于0,所以每个非负数都为0.
可得方程组
解得
当堂检测
小明手头有12张面额分别是1元、2元和5元的纸币,共计22元,其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍。求1元、2元和5元的纸币各多少张?
解:设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、z张,由题意可得方程组
解方程组得
x=8
y=2
z=2
答:1元、2元、5元的纸币分别为8张、2张、2张.
当堂检测
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php中小学教育资源及组卷应用平台
8.4 三元一次方程组的解法
一、单选题
1.如果方程组的解使代数式,则的值( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
解:
①-②得:x-z=2④,
③+④得:2x=6,
解得:x=3,
将x=3代入④得:z=1,
将z=1代入②得:y=5,
解得
代入中得:
解得:
故选:C
2.下列方程组是三元一次方程组的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
A、满足三元一次方程组的定义,故A选项正确;
B、含未知数项的次数为2次,∴不是三元一次方程,故B选项错误;
C、未知数的次数为2次,∴不是三元一次方程,故C选项错误;
D、含有四个未知数,不满足三元一次方程组的定义,故D选项错误;
故选:A
3.解三元一次方程组要使解法较为简便,首先应进行的变形为( )
A.①+② B.①﹣② C.①+③ D.②﹣③
【答案】A
【解析】
解:解三元一次方程组要使解法较为简便,首先应进行的变形为①②.
故选:.
4.设,,…,是从1,0,-1这三个数中取值的一列数,若,,则,,…,中有( )个0.
A.163 B.164 C.170 D.171
【答案】D
【解析】
解:(a1+1)2+(a2+1)2+…+(a2020+1)2=4007,
a12+2a1+1+a22+2a2+1+…+a20202+2a2020+1=4007,
(a12+a22+…+a20202)+2(a1+a2+…+a2020)+2020=4007,
∵a1+a2+…+a2020=69,
∴a12+a22+…+a20202=1849,
设a1,a2,…,a2020中1有x个、0有y个,-1有z个,
根据题意可得:1 x+0 y+(-1) z=69,12 x+02 y+(-1)2 z=1849,
即,解得:,
则y=2020-959-890=171,即0有171个,
故选:D.
5.已知是方程组的解,则、间的关系是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
解:把代入方程组可得:
,
②×2-①×3得:;
故选A.
二、填空题
6.在代数式中,当,1,2时,代数式的值依次是4,2,4,则当时,代数式的值等于______.
【答案】8
【解析】
解:由题意得,
②﹣①得2b=﹣2,
解得:b=﹣1,
③﹣①得3a+3b=0,
即:a+b=0,
把b=﹣1代入a+b=0,得:a=1,
把a=1,b=﹣1代入①得:c=2,
∴ax2+bx+c=x2﹣x+2,
当x=﹣2时,
x2﹣x+2=(﹣2)2﹣(﹣2)+2
=4+2+2
=8,
故答案为:8.
7.在等式中,当时,;当时,;当与时,的值相等,则______.
【答案】31
【解析】
解:根据题意得:
,
解得:a=6,b=-11,c=3.
∴a-2b+c=31.
故答案为:31.
8.方程组的解满足,则___________.
【答案】
【解析】
解:∵x+y=0,
∴x= y,代入方程组得: ,
解方程组得: .
故答案是: 5.
9.三个有理数从小到大排列为a、b、c,每两个数相加,和为﹣1、3、6,则a=_____.
【答案】-2
【解析】
解:根据题意得:
,
三式相加得2a+2b+2c=8,
解得a+b+c=4④,
④-③得,a=-2.
故答案为:-2.
10.为迎接“五一节”的到来,某水果店推出了A、B、C三类礼包,已知这三类礼包均由苹果、芒果、草莓三种水果搭配而成,每袋礼包的成本均为苹果、芒果、草莓三种水果成本之和.每袋A类礼包有5斤苹果、2斤芒果、8斤草莓;每袋C类礼包有7斤苹果、1斤芒果、4斤草莓.已知A每袋成本是该袋中苹果成本的3倍,利润率为,每袋B的成本是其售价的,利润是每袋A利润的;每袋C礼包利润率为.若该网店12月12日当天销售A、B、C三种礼包袋数之比为4:6:5,则当天该水果店销售总利润率为__________.
【答案】25%
【解析】
解:设每袋苹果、芒果、草莓三种水果的成本分别为x、y、z,依题意得:
5x+2y+8z=15x,
∴5x=y+4z,
由甲礼包的利润率为30%,则甲礼包的售价为15x =9.5x,成本15x;
∵每袋乙的成本是其售价的,利润是每袋A利润的,
可知每袋乙礼包的利润是4.5x×=2x,
则乙礼包的售价为12x,成本为10x;
由丙礼包的组成可知,丙礼包的成本为7x+y+4z=12x,
∵每袋丙礼包利润率为25%,
∴丙礼包的售价为15x,成本为12x;
∵甲、乙、丙三种礼包袋数之比为4:6:5,
∴,
∴总利润率是25%,
故答案为25%.
三、解答题
11.解方程组:.
【答案】
解:
①+②得,解得,
③-①得,即,解得,
将代入①得,
解得,
故方程组的解为.
【解析】
本题主要考查了解三元一次方程组,熟知解三元一次方程的方法是解题的关键.
12.阅读材料:我们把多元方程(组)的非负整数解叫做这个方程(组)的“好解”.例如:就是方程3x+y=11的一组“好解”;是方程组的一组“好解”.
(1)求方程x+2y=5的所有“好解”;
(2)关于x,y,k的方程组有“好解”吗?若有,请求出对应的“好解”;若没有,请说明理由.
【答案】(1)
解:当y=0时,x=5;
当y=1时,x+2=5,解得x=3;
当y=2时,x+4=5,解得x=1,
所以方程x+2y=5的所有“好解”为或或;
(2)
解:有.
,
②﹣①得4y+2k=12,则k=6﹣2y,
①×3﹣②得2x﹣2y=18,则x=9+y,
∵x、y、k为非负整数,
∴6﹣2y≥0,解得y≤3,
∴y=0、1、2,3,
当y=0时,x=9,k=6;当y=1,x=10,k=4;当y=2时,x=11,k=2,当y=3时,x=12,k=0,
∴关于x,y,k的方程组的“好解”为或或或.
【解析】
(1)“好解”就是方程的非负整数解,使y=0,y=1,y=2分别去求的值,由于时,的值为负,不符合要求,不需要再求;
(2)通过消元的方法得出k=6﹣2y和x=9+y,因为“好解”就是方程的非负整数解,所以x、y、k为非负整数,解不等式可得出满足条件的解.
13.在我校艺术节的各项比赛中,七年级(1)班同学取得了优秀的成绩,为了表彰同学们,林老师特意到瑞安书城买书给学生作为奖励,书城二楼专设8折售书架,销售文教类图书,部分书籍和标价如下表:
原价(元)
中国历史故事 50
名人名言 20
幻夜 25
(1)若林老师在书城买了《中国历史故事》和《名人名言》一共20本,共付了440元钱,请求出这两种书林老师各买了多少本?
(2)若林老师买了以上三种书(每种都有)20本,共付了360元钱,其中《名人名言》书买了 本.(直接写出答案)
【答案】
解:(1)设《中国历史故事》买了x本,《名人名言》买了y本,
由题意得,
解得.
答:《中国历史故事》买了5本,《名人名言》买了15本;
(2)设三种书分别是x本、y本、z本,由题意得
消去z得20x﹣4y=﹣40
∴y=5x+10
∵x、y都是正整数,
∴.
故答案是:15.
【解析】
(1)设《中国历史故事》买了x本,《名人名言》买了y本,等量关系有两个:《中国历史故事》和《名人名言》一共20本,共付了440元钱;
(2)设三种书分别是x本、y本、z本,依据等量关系:三种书(每种都有)20本,共付了360元钱,列方程即可.
14.小明从家到学校的路程为3.3千米,其中有一段上坡路,平路,和下坡路.如果保持上坡路每小时行3千米.平路每小时行4千米,下坡路每小时行5千米.那么小明从家到学校用一个小时,从学校到家要44分钟,求小明家到学校上坡路、平路、下坡路各是多少千米?
【答案】
解:设去时上坡路是x千米,平路是y千米,下坡路是z千米.依题意得:
,
解得.
答:上坡路2.25千米、平路0.8千米、下坡路0.25千米.
【解析】
本题中需要注意的一点是:去时的上坡和下坡路与回来时的上坡和下坡路正好相反,平路路程不变.题中的等量关系是:从家到学校的路程为3.3千米;去时上坡时间+下坡时间+平路时间=1小时;回时上坡时间+下坡时间+平路时间=44分,据此可列方程组求解。本题考查了三元一次方程组的应用,本题有三个未知量,还需注意去时是上坡路回时是下坡路,回来时恰好相反,平路不变.
15.阅读理解:已知实数x,y满足3x﹣y=5…①,2x+3y=7…②,求x﹣4y和7x+5y的值.仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系,本题可以通过适当变形整体求得代数式的值,如由①﹣②可得x﹣4y=﹣2,由①+②×2可得7x+5y=19.这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.利用“整体思想”,解决下列问题:
(1)已知二元一次方程组 ,则x﹣y= ,x+y= ;
(2)买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元,买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元,求购买5支铅笔、5块橡皮5本日记本共需多少元?
(3)对于实数x,y,定义新运算:x*y=ax+by+c,其中a,b,c是常数,等式右边是实数运算.已知3*5=15,4*7=28,求1*1的值.
【答案】
解:(1).
由①②可得:,
由①②可得:.
故答案为:;5.
(2)设铅笔的单价为元,橡皮的单价为元,日记本的单价为元,
依题意,得:,
由①②可得,
.
答:购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元.
(3)依题意,得:,
由①②可得:,
即.
故答案为:.
【解析】
(1)利用①②可得出的值,利用①②可得出的值;
(2)设铅笔的单价为元,橡皮的单价为元,日记本的单价为元,根据“买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元,买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元”,即可得出关于,,的三元一次方程组,由①②可得除的值,再乘5即可求出结论;
(3)根据新运算的定义可得出关于,,的三元一次方程组,由①②可得出的值,即的值.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
8.4 三元一次方程组的解法
一、单选题
1.如果方程组的解使代数式,则的值( )
A. B. C. D.
2.下列方程组是三元一次方程组的是( )
A. B. C. D.
3.解三元一次方程组要使解法较为简便,首先应进行的变形为( )
A.①+② B.①﹣② C.①+③ D.②﹣③
4.设,,…,是从1,0,-1这三个数中取值的一列数,若,,则,,…,中有( )个0.
A.163 B.164 C.170 D.171
5.已知是方程组的解,则、间的关系是( )
A. B. C. D.
二、填空题
6.在代数式中,当,1,2时,代数式的值依次是4,2,4,则当时,代数式的值等于______.
7.在等式中,当时,;当时,;当与时,的值相等,则______.
8.方程组的解满足,则___________.
9.三个有理数从小到大排列为a、b、c,每两个数相加,和为﹣1、3、6,则a=_____.
10.为迎接“五一节”的到来,某水果店推出了A、B、C三类礼包,已知这三类礼包均由苹果、芒果、草莓三种水果搭配而成,每袋礼包的成本均为苹果、芒果、草莓三种水果成本之和.每袋A类礼包有5斤苹果、2斤芒果、8斤草莓;每袋C类礼包有7斤苹果、1斤芒果、4斤草莓.已知A每袋成本是该袋中苹果成本的3倍,利润率为,每袋B的成本是其售价的,利润是每袋A利润的;每袋C礼包利润率为.若该网店12月12日当天销售A、B、C三种礼包袋数之比为4:6:5,则当天该水果店销售总利润率为__________.
三、解答题
11.解方程组:.
12.阅读材料:我们把多元方程(组)的非负整数解叫做这个方程(组)的“好解”.例如:就是方程3x+y=11的一组“好解”;是方程组的一组“好解”.
(1)求方程x+2y=5的所有“好解”;
(2)关于x,y,k的方程组有“好解”吗?若有,请求出对应的“好解”;若没有,请说明理由.
13.在我校艺术节的各项比赛中,七年级(1)班同学取得了优秀的成绩,为了表彰同学们,林老师特意到瑞安书城买书给学生作为奖励,书城二楼专设8折售书架,销售文教类图书,部分书籍和标价如下表:
原价(元)
中国历史故事 50
名人名言 20
幻夜 25
(1)若林老师在书城买了《中国历史故事》和《名人名言》一共20本,共付了440元钱,请求出这两种书林老师各买了多少本?
(2)若林老师买了以上三种书(每种都有)20本,共付了360元钱,其中《名人名言》书买了 本.(直接写出答案)
14.小明从家到学校的路程为3.3千米,其中有一段上坡路,平路,和下坡路.如果保持上坡路每小时行3千米.平路每小时行4千米,下坡路每小时行5千米.那么小明从家到学校用一个小时,从学校到家要44分钟,求小明家到学校上坡路、平路、下坡路各是多少千米?
15.阅读理解:已知实数x,y满足3x﹣y=5…①,2x+3y=7…②,求x﹣4y和7x+5y的值.仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系,本题可以通过适当变形整体求得代数式的值,如由①﹣②可得x﹣4y=﹣2,由①+②×2可得7x+5y=19.这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.利用“整体思想”,解决下列问题:
(1)已知二元一次方程组 ,则x﹣y= ,x+y= ;
(2)买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元,买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元,求购买5支铅笔、5块橡皮5本日记本共需多少元?
(3)对于实数x,y,定义新运算:x*y=ax+by+c,其中a,b,c是常数,等式右边是实数运算.已知3*5=15,4*7=28,求1*1的值.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)