第二课时 数列的递推公式

第二课时　数列的递推公式
课标要求 素养要求
1.理解数列的递推公式是数列的表示方法的一种形式.2.掌握由数列的递推公式求数列的通项公式的方法. 通过由数列的递推公式归纳或者推导数列的通项公式，提升学生的数学运算素养和逻辑推理素养.
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新知探究
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历史上有一个有名的关于兔子的问题：假设有一对兔子(一雄一雌)，长两个月它们就算长大成年了.然后每个月都会生出1对兔子，生下来的兔子也都是长两个月就算成年，然后每个月也都会生出1对兔子.这里假设兔子不会死，且每次都是只生1对兔子.
第一个月，只有1对兔子；
第二个月，小兔子还没长成年，还是只有1对兔子；
第三个月，兔子长成年了，同时生了1对小兔子，因此有两对兔子；
第四个月，成年兔子又生了1对兔子，加上自己及上月生的小兔子，共有3对兔子；
第五个月，成年兔子又生了1对兔子，第三月生的小兔子现在已经长成年了且生了1对小兔子，加上本身两只成年兔子及上月生的小兔子，共5对兔子；
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问题1　过了一年之后，会有多少对兔子？
提示　我们可以把这些兔子的数量以对为单位列出数字就能得到一组数字：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233.所以，过了一年之后，总共会有233对兔子.
问题2　兔子的对数所组成的数列为1，1，2，3，5，8，13，…这个数列的第n项an，第n＋1项an＋1，第n＋2项an＋2有何关系？
提示　an＋an＋1＝an＋2.
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1.数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
2.数列的前n项和
(1)数列{an}的前n项和：把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.
(2)数列的前n项和公式：如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.
3.an与Sn的关系式
an＝
拓展深化
[微判断]
1.数列{an}中，若an＋1＝2an，n∈N*，则a2＝2a1.(√)
2.利用an＋1＝2an，n∈N*可以确定数列{an}.(×)
提示　只有给出a1的值，才可以确定数列{an}.
3.设数列{an}的前n项和为Sn，则an＝Sn－Sn－1.(×)
提示　an＝
[微训练]
1.已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝2an＋1，则数列的第5项a5＝________，由此归纳出{an}的一个通项公式为________，可以求得a8＝________.
解析　∵a1＝3，∴a2＝2a1＋1＝7，a3＝2a2＋1＝15，a4＝2a3＋1＝31，a5＝2a4＋1＝63，∴a5＝63.可以看出an＝2n＋1－1，∴a8＝29－1＝511.
答案　63　an＝2n＋1－1　511
2.设数列{an}的前n项和为Sn＝2n－3，则an＝________.
解析　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－3)－[2(n－1)－3]＝2，又a1＝S1＝2×1－3＝－1，故an＝
答案　
[微思考]
1.利用数列的递推公式确定一个数列，必须给出哪些条件？
提示　(1)“基础”，即第1项(或前几项)；
(2)递推关系，即递推公式.
2.数列的递推公式与其通项公式有何异同？
提示　
相同点 不同点
通项公式 均可确定一个数列，求出数列中的任意一项 给出n的值，可求出数列中的第n项an
递推公式 由前一项(或前几项)，通过一次(或多次)运算，可求出第n项an
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题型一　由数列的递推公式求数列的项
【例1】　若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，n∈N*，求a2 021.
解　a2＝＝＝－3，
a3＝＝＝－，
a4＝＝＝，
a5＝＝＝2＝a1，
∴{an}是周期为4的数列，
∴a2 021＝a4×505＋1＝a1＝2.
规律方法　递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项.若项数很大，则应考虑数列是否具有规律.
【训练1】　(多选题)已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝－，能使an＝3的n可以为(　　)
A.22 B.24
C.26 D.28
解析　由a1＝3，an＋1＝－，得a2＝－，a3＝－，a4＝3.
所以数列{an}是周期为3的数列，故a22＝a28＝3.
答案　AD
题型二　由递推公式求数列的通项
【例2】　(1)对于任意数列{an}，等式：a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N*)都成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1－an＝2，n∈N*，求通项an；
(2)若数列{an}中各项均不为零，则有a1···…·＝an(n≥2，n∈N*)成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列{an}满足：a1＝1，＝(n≥2，n∈N*)，求通项an.
解　(1)当n≥2时，
an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
a1＝1也符合上式，
所以数列{an}的通项公式是an＝2n－1，n∈N*.
(2)当n≥2时，an＝a1···…·
＝1×××…×＝.
a1＝1也符合上式，
所以数列{an}的通项公式是an＝，n∈N*.
规律方法　形如an＋1－an＝f(n)的递推公式，可以利用a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N*)求通项公式；形如＝f(n)的递推公式，可以利用a1···…·＝an(n≥2，n∈N*)求通项公式.以上方法分别叫累加法和累乘法.
【训练2】　设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a－na＋an＋1an＝0(n∈N*)，则它的通项公式an＝________.
解析　法一　(累乘法)：把(n＋1)a－na＋an＋1an＝0分解因式，得[(n＋1)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0.
∵an＞0，∴an＋1＋an＞0，
∴(n＋1)an＋1－nan＝0，
∴＝，∴···…·
＝×××…×，
∴＝.又∵a1＝1，∴an＝a1＝.
法二　(迭代法)：同法一，得＝，
∴an＋1＝an，
∴an＝·an－1＝··an－2
＝···an－3
…
＝···…·a1＝a1.
又∵a1＝1，∴an＝.
法三　(构造特殊数列法)：同法一，得＝，
∴(n＋1)an＋1＝nan，∴数列{nan}是常数列，
∴nan＝1·a1＝1，∴an＝.
答案　
题型三　由Sn与an的关系求an
【例3】　已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n，求这个数列的通项公式.
解　根据Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an可知
Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n>1，n∈N*)，
当n>1时，
an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－
＝2n－，　　①
当n＝1时，a1＝S1＝12＋×1＝，也满足①式.
∴数列{an}的通项公式为an＝2n－，n∈N*.
【迁移1】　把例3中数列{an}的前n项和改为Sn＝n2＋n＋1，求数列{an}的通项公式.
解　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝－
＝2n－.①
当n＝1时，a1＝S1＝12＋＋1＝不符合①式.
∴an＝
【迁移2】　把例3中数列{an}的前n项和改为Sn＝2n－1，求数列{an}的通项公式.
解　∵Sn＝2n－1，∴当n＝1时，a1＝S1＝2－1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1.
当n＝1时，a1＝1符合上式，∴an＝2n－1.
规律方法　已知前n项和Sn求通项an，先由n＝1时，a1＝S1求得a1，再由n≥2时，an＝Sn－Sn－1求得an，最后验证a1是否符合an，若符合则统一用一个解析式表示，不符合则分段表示.
【训练3】　已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n2＋n＋3，求数列{an}的通项公式.
解　∵Sn＝2n2＋n＋3，∴当n＝1时，a1＝S1＝2×12＋1＋3＝6；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋n＋3－[2(n－1)2＋(n－1)＋3]＝4n－1.
当n＝1时，a1不符合上式，
∴an＝
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一、素养落地
1.通过学习由数列的递推公式求数列的项或通项公式，提升逻辑推理素养和数学运算素养.
2.由数列的递推公式求数列的通项公式的方法有：(1)归纳法；(2)累加法；(3)累乘法；(4)迭代法.
3.利用an与Sn的关系求通项所应用公式为an＝注意其步骤有三：①求n＝1时的项，即a1；②求n≥2时an的表达式；③验证a1是否满足n≥2时的表达式.
二、素养训练
1.已知数列{an}中的首项a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的第三项是(　　)
A.1 B.
C. D.
解析　由题知a2＝×1＋＝1，a3＝×1＋＝.
答案　C
2.数列2，4，6，8，10，…的递推公式是(　　)
A.an＝an－1＋2(n≥2)
B.an＝2an－1(n≥2)
C.a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2)
D.a1＝2，an＝2an－1(n≥2)
解析　A，B中没有说明某一项，无法递推；D中a1＝2，a2＝4，a3＝8，不合题意.
答案　C
3.已知数列{an}中，an＋1＝2an对 n∈N*成立，且a3＝12，则a1＝________.
解析　∵a3＝2a2＝12，∴a2＝6，a2＝2a1＝6，∴a1＝3.
答案　3
4.已知数列{an}的首项a1＝1，an＋1＝(n＝1，2，3，…)，则a4＝________，猜想其通项公式是________.
解析　∵数列{an}的首项a1＝1，an＋1＝(n＝1，2，3，…)，∴a2＝＝，同理可得a3＝，a4＝.猜想其通项公式是an＝.
答案　　an＝
5.设数列{an}的前n项和为Sn＝3n，求an.
解　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－3(n－1)＝3，
又a1＝S1＝3，所以an＝3.
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基础达标
一、选择题
1.在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2，n∈N*)，则a5＝(　　)
A. B.
C. D.
解析　由题知，a1＝1，a2＝2，a3＝，a4＝3，a5＝.
答案　D
2.已知数列{an}，a2＝1，an＋an＋1＝2n，n∈N*，则a1＋a3的值为(　　)
A.4 B.5
C.6 D.8
解析　由a2＝1，an＋an＋1＝2n，n∈N*，可得a1＋a2＝2，a2＋a3＝4，解得a1＝1，a3＝3，a1＋a3＝4.
答案　A
3.已知数列{an}满足a1＝a，an＋1＝eq \f(a－2,an＋1)(n∈N*).若数列{an}是常数列，则a＝(　　)
A.－2 B.－1
C.0 D.(－1)n
解析　∵数列{an}满足a1＝a，an＋1＝eq \f(a－2,an＋1)(n∈N*)，
∴a2＝.∵数列{an}是常数列，∴a＝，解得a＝－2.故选A.
答案　A
4.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，则a2＋a18等于(　　)
A.36 B.35
C.34 D.33
解析　a2＝S2－S1＝(22－2×2)－(12－2×1)＝1，a18＝S18－S17＝182－2×18－(172－2×17)＝33，a2＋a18＝34.
答案　C
5.设Sn为数列{an}的前n项和.若2Sn＝3an－3，则a4＝(　　)
A.27 B.81
C.93 D.243
解析　根据2Sn＝3an－3，可得2Sn＋1＝3an＋1－3，两式相减得2an＋1＝3an＋1－3an，即an＋1＝3an.当n＝1时，2S1＝3a1－3，解得a1＝3，则a4＝3a3＝32a2＝33a1＝81.
答案　B
二、填空题
6.数列{an}中，a1＝2，an＝an＋1－3，则14是{an}的第________项.
解析　a1＝2，a2＝a1＋3＝5，a3＝a2＋3＝8，a4＝a3＋3＝11，a5＝a4＋3＝14.
答案　5
7.已知数列{an}中，a1a2…an＝n2(n∈N*)，则a9＝________.
解析　a1a2…a8＝82，①
a1a2…a9＝92，②
②÷①得，a9＝＝.
答案　
8.数列{an}中，a1＝2，an＝2an－1(n∈N*，2≤n≤10)，则数列{an}的最大项为________.
解析　∵a1＝2，an＝2an－1，
∴an≠0，∴＝2>1，
∴an>an－1，即{an}单调递增，
∴{an}的最大项为a10＝2a9＝4a8＝…＝29·a1＝29×2＝210＝1 024.
答案　1 024
三、解答题
9.根据下列条件，写出数列的前四项，并归纳猜想它的通项公式.
(1)a1＝0，an＋1＝an＋2n－1(n∈N*)；
(2)a1＝1，an＋1＝an＋(n∈N*)；
(3)a1＝－1，an＋1＝an＋(n∈N*).
解　(1)a1＝0，a2＝1，a3＝4，a4＝9.
猜想an＝(n－1)2(n∈N*).
(2)a1＝1，a2＝，a3＝＝2，a4＝.
猜想an＝(n∈N*).
(3)a1＝－1，a2＝－，a3＝－，a4＝－.
猜想an＝－(n∈N*).
10.已知数列{an}的前n项和为Sn，求数列{an}的通项公式.
(1)Sn＝3n＋2；(2)Sn＝n2－n.
解　(1)当n＝1时，a1＝S1＝5；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2)－(3n－1＋2)
＝2·3n－1，
故an＝
(2)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－n)－[(n－1)2－(n－1)]＝2n－2，又a1＝0满足an＝2n－2，故an＝2n－2.
能力提升
11.已知各项不为0的数列{an}满足a1＝，anan－1＝an－1－an(n≥2，n∈N*)，则an＝________.
解析　∵anan－1＝an－1－an，且各项均不为0，
∴－＝1.
∴当n≥2时，
＝＋＋＋…＋
＝2＋1＋1＋1＋…＋1(n－1)个1 ＝n＋1.
∴＝n＋1，∴当n≥2时，an＝.
∵a1＝也符合上式，∴an＝(n∈N*).
答案　
12.已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋－，n∈N*，求数列的通项公式an.
解　∵an＋1－an＝－，
∴a2－a1＝－，
a3－a2＝－，
a4－a3＝－，
…，
an－an－1＝－(n≥2)，将以上n－1个式子相加，得
∴(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)
＝＋＋…＋，
即an－a1＝1－(n≥2，n∈N*).
∴an＝a1＋1－＝－1＋1－＝－(n≥2，n∈N*)，
又当n＝1时，a1＝－1也符合上式.
∴an＝－，n∈N*.
创新猜想
13.(多选题)已知数列{xn}满足x1＝a，x2＝b，xn＋1＝xn－xn－1(n≥2)，则下列结论正确的是(　　)
A.x2 020＝a
B.x2 022＝a－b
C.x11＝x2 021
D.x1＋x2＋…＋x2 020＝2b－a
解析　x1＝a，x2＝b，x3＝x2－x1＝b－a，
x4＝x3－x2＝－a，x5＝x4－x3＝－b，x6＝x5－x4＝a－b，
x7＝x6－x5＝a＝x1，x8＝x7－x6＝b＝x2，
∴{xn}是周期数列，周期为6，
∴x2 020＝x4＝－a，A不正确；
x2 022＝x6＝a－b，B正确；
x2 021＝x5＝x11，C正确；
x1＋x2＋…＋x2 020＝x1＋x2＋x3＋x4＝2b－a，D正确.
答案　BCD
14.(多选题)已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝若a4＝4，则m所有可能的取值为(　　)
A.4 B.5
C.21 D.32
解析　若a3为奇数，则3a3＋1＝4，a3＝1，若a2为奇数，则3a2＋1＝1，a2＝0(舍去)，
若a2为偶数，则＝1，a2＝2.
若a1为奇数，则3a1＋1＝2，a1＝(舍去)，
若a1为偶数，则＝2，a1＝4；
若a3为偶数，则＝4，a3＝8；
若a2为奇数，则3a2＋1＝8，a2＝(舍去).
若a2为偶数，则＝8，a2＝16.
若a1为奇数，则3a1＋1＝16，a1＝5.
若a1为偶数，则＝16，a1＝32.
故m所有可能的取值为4，5，32.
答案　ABD