第二课时 等差数列的性质及实际应用
文档属性
| 名称 | 第二课时 等差数列的性质及实际应用 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 274.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-08 08:16:25 | ||
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文档简介
第二课时 等差数列的性质及实际应用
课标要求 素养要求
1.能根据等差数列的定义推出等差数列的性质，并能运用这些性质简化运算.2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题. 通过推导等差数列的性质及其应用，提升学生的数学抽象和逻辑推理素养，通过利用等差数列的相关公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养.
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新知探究
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请同学们思考以下问题：
若等差数列{an}为1，3，5，7，…，2n－1，则数列{an＋2}，{2an}是等差数列吗？
提示 因为等差数列的通项为an＝2n－1，则an＋2＝2n－1＋2＝2n＋1，2an＝2(2n－1)＝4n－2，可判断数列{an＋2}，{2an}都是等差数列，一般地，若{an}为等差数列，则{an＋c}，{can}也是等差数列，你还知道等差数列的其他性质吗？
INCLUDEPICTURE"新知梳理.tif" INCLUDEPICTURE "新知梳理.tif" \* MERGEFORMAT
1.等差数列通项公式的变形及推广
(1)an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，
(2)an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，
(3)d＝(m，n∈N*，且m≠n).
2.若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有
数列 结论
{c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数)
{c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数)
{an＋an＋k} 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*)
{pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)
3.等差数列的项的对称性
在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….
4.下标性质
在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.特别的，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有am＋an＝2ap.
拓展深化
[微判断]
1.等差数列{an}中，必有a10＝a1＋a9.(×)
提示 反例：an＝n－1，a10＝9，a1＋a9＝8，不满足a10＝a1＋a9.
2.若数列a1，a2，a3，a4，…是等差数列，则数列a1，a3，a5，…也是等差数列.(√)
3.若数列a1，a3，a5，…和a2，a4，a6…都是公差为d的等差数列，则a1，a2，a3…也是等差数列.(×)
提示 反例：设两数列为1，3，5，…，4，6，8，…，显然1，4，3，6，5，8，…不是等差数列.
4.若数列{an}为等差数列，则an＋1＝an－1＋2d，n>1，且n∈N*.(√)
[微训练]
1.在等差数列{an}中，a10＝18，a2＝2，则公差d＝( )
A.－1 B.2
C.4 D.6
解析 由题意知a10－a2＝8d，即8d＝16，d＝2.
答案 B
2.已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有( )
A.a1＋a101>0 B.a2＋a101<0
C.a3＋a99＝0 D.a51＝51
解析 ∵a1＋a2＋…＋a101＝0，
又∵a1＋a101＝a2＋a100＝a3＋a99＝…＝2a51，∴101a51＝0，∴a51＝0，a3＋a99＝2a51＝0.
答案 C
3.在等差数列{an}中，若a2＋a8＝－3，a4＝－2，则a6＝________.
解析 由a2＋a8＝a4＋a6得a6＝－1.
答案 －1
[微思考]
1.在等差数列{an}中，ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是等差数列吗？若是，公差是多少？
提示 是.若{an}的公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…的公差为md.
2.在等差数列{an}中，若m，n，p，q，…成等差数列，那么am，an，ap，aq，…也成等差数列吗？若成等差数列，公差是什么？
提示 成等差数列，若{an}的公差为d，则am，an，ap，aq，…的公差为(n－m)d.
INCLUDEPICTURE"课堂互动.TIF" INCLUDEPICTURE "课堂互动.TIF" \* MERGEFORMAT
题型一 an＝am＋(n－m)d的应用
【例1】 在等差数列{an}中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式.
解 因为a8＝a2＋(8－2)d，所以17＝5＋6d，解得d＝2.
又因为an＝a2＋(n－2)d，所以an＝5＋(n－2)×2＝2n＋1，n∈N*.
规律方法 灵活利用等差数列的性质，可以减少运算.令m＝1，an＝am＋(n－m)d即变为an＝a1＋(n－1)d，可以减少记忆负担.
【训练1】 已知{bn}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，则b8＝________.
解析 法一 ∵{bn}为等差数列，∴可设其公差为d，
则d＝＝＝2，
∴bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8.
∴b8＝2×8－8＝8.
法二 由＝＝d，得b8＝·5＋b3
＝2×5＋(－2)＝8.
答案 8
题型二 等差数列性质的应用
【例2】 已知数列{an}为等差数列，且公差为d.
(1)若a15＝8，a60＝20，求a105的值；
(2)若a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2a5＝52，求公差d.
解 (1)法一 由题意得解得
故a105＝a1＋104d＝＋104×＝32.
法二 ∵{an}为等差数列，∴d＝＝，
∴a105＝a60＋45×＝32.
法三 ∵{an}为等差数列，
∴a15，a60，a105也成等差数列，
则2a60＝a15＋a105，
∴a105＝2×20－8＝32.
(2)由a2＋a3＋a4＋a5＝34，得2(a2＋a5)＝34，
∴a2＋a5＝17.
由解得或
∴d＝＝＝3或d＝＝＝－3.
规律方法 等差数列运算的两条常用思路
(1)根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量.
(2)利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar.
【训练2】 (1)在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________.
(2)已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9＝________.
解析 (1)3a5＋a7＝2a5＋(a5＋a7)＝2a5＋2a6＝2(a3＋a8)＝20.
(2)法一 由性质可知，数列a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9是等差数列，所以2(a2＋a5＋a8)＝(a1＋a4＋a7)＋(a3＋a6＋a9)，则a3＋a6＋a9＝2×33－39＝27.
法二 设等差数列{an}的公差为d，则(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝(a2－a1)＋(a5－a4)＋(a8－a7)＝3d＝－6，
解得d＝－2，所以a3＋a6＋a9＝a2＋d＋a5＋d＋a8＋d＝27.
答案 (1)20 (2)27
题型三 等差数列的设法与求解
【例3】 已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列.
解 设四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则
又因为是递增数列，所以d>0，
所以解得a＝±，d＝，
此等差数列为－1，2，5，8或－8，－5，－2，1.
【迁移】 已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{an}的通项公式.
解 法一 根据题意，设等差数列{an}的前三项分别为a1，a1＋d，a1＋2d，则
即解得或
因为数列{an}为单调递增数列，所以从而等差数列{an}的通项公式为an＝4n－1.
法二 由于数列{an}为等差数列，所以可设前三项分别为a－d，a，a＋d，由题意得即解得或
由于数列{an}为单调递增数列，
所以从而an＝4n－1.
规律方法 等差数列项的常见设法
(1)通项法：设数列的通项公式，即设an＝a1＋(n－1)d.
(2)对称项设法：当等差数列{an}的项数为奇数时，可设中间一项为a，再以公差为d向两边分别设项：…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当等差数列{an}的项数为偶数时，可设中间两项分别为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，….
对称项设法的优点是：若有n个数构成等差数列，利用对称项设法设出这个数列，则其各项和为na.
【训练3】 已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数.
解 法一 设此等差数列的首项为a1，公差为d.
根据题意，得
化简得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝26，,a＋3a1d＋2d2＝40，))解得或
所以这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2.
法二 设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则由题意得
即解得或所以所求四个数为2，5，8，11或11，8，5，2.
题型四 等差数列的实际应用
【例4】 中国历法推测遵循以算为主、以测为辅的原则.例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的.下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中115.1寸表示115寸1分(1寸＝10分).
节气 冬至 小寒(大雪) 大寒(小雪) 立春(立冬) 雨水(霜降) 惊蛰(寒露) 春分(秋分)
晷影长/寸 135.0 125. 115.1 105.2 95.3 85.4 75.5
节气 清明(白露) 谷雨(处暑) 立夏(立秋) 小满(大暑) 芒种(小暑) 夏至
晷影长/寸 65.5 55.6 45.7 35.8 25.9 16.0
已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中小寒与清明之间的晷影长之差为( )
A.105.6寸 B.48寸
C.57.6寸 D.67.2寸
解析 设晷影长构成等差数列{an}，公差为d，则a1＝130.0，a13＝14.8，d＝＝－9.6，故小寒与清明之间的晷影长之差即为a2－a8＝－(a8－a2)＝－6d＝57.6.
答案 C
规律方法 解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点(1)解答数列实际应用问题的基本步骤：①审题，即仔细阅读材料，认真理解题意；②建模，即将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题；③判型，即判断该数列是否为等差数列；④求解，即求出该问题的数学解；⑤还原，即将所求结果还原到实际问题中.
(2)在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题.
【训练4】 假设某市2020年新建住房400万平方米，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米.那么该市在________年新建住房的面积开始大于820万平方米.
解析 设n年后该市新建住房的面积为an万平方米.由题意，得{an}是等差数列，首项a1＝450，公差d＝50，所以an＝a1＋(n－1)d＝400＋50n.令400＋50n>820，解得n>.由于n∈N*，则n≥9.所以该市在2 029年新建住房的面积开始大于820万平方米.
答案 2 029
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一、素养落地
1.通过学习等差数列的性质解决等差数列问题，培养逻辑推理及数学运算素养，通过利用等差数列解决实际问题，提升数学建模素养.
2.在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为am＝an＋(m－n)d.
3.等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列.
4.等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)，特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.
二、素养训练
1.在等差数列{an}中，已知a3＝10，a8＝－20，则公差d等于( )
A.3 B.－6
C.4 D.－3
解析 由等差数列的性质得a8－a3＝(8－3)d＝5d，所以d＝＝－6.
答案 B
2.在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7等于( )
A.5 B.8
C.10 D.14
解析 法一 设等差数列的公差为d，则a3＋a5＝2a1＋6d＝4＋6d＝10，所以d＝1，a7＝a1＋6d＝2＋6＝8.
法二 由等差数列的性质可得a1＋a7＝a3＋a5＝10，又a1＝2，所以a7＝8.
答案 B
3.在等差数列{an}中，a1＋a5＝2，a3＋a7＝8，则a11＋a15＝________.
解析 (a3＋a7)－(a1＋a5)＝4d＝6，则d＝，则a11＋a15＝(a1＋a5)＋20d＝2＋20×＝32.
答案 32
4.在等差数列{an}中，已知5是a3和a6的等差中项，则a1＋a8＝________.
解析 由题意知a3＋a6＝10，故a1＋a8＝a3＋a6＝10.
答案 10
5.三个数成等差数列，这三个数的和为6，三个数之积为－24，求这三个数.
解 设这三个数分别为a－d，a，a＋d.
由题意可得
解得或
∴所求三个数为－2，2，6或6，2，－2.
INCLUDEPICTURE"课后作业.TIF" INCLUDEPICTURE "课后作业.TIF" \* MERGEFORMAT
基础达标
一、选择题
1.在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－a8的值为( )
A.4 B.6
C.8 D.10
解析 由a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，∴a6＝16，
∴a7－a8＝(2a7－a8)＝(a6＋a8－a8)＝a6＝8.
答案 C
2.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m为( )
A.12 B.8
C.6 D.4
解析 由等差数列性质得，
a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)
＝2a8＋2a8＝4a8＝32，
∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8.
答案 B
3.在等差数列{an}中，a2 018＝log27，a2 022＝log2，则a2 020＝( )
A.0 B.7
C.1 D.49
解析 a2 020＝(a2 018＋a2 022)＝(log27＋log2)＝log2 1＝0.
答案 A
4.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均输章》有如下问题：“今有五人分六钱，令前三人所得与后二人等，各人所得均增，问各得几何？”其意思是：“已知A，B，C，D，E五人个分重量为6钱(‘钱’是古代的一种重量单位)的物品，A，B，C三人所得钱数之和与D，E二人所得钱数之和相同，且A，B，C，D，E每人所得钱数依次成递增等差数列，问五个人各分得多少钱的物品？”在这个问题中，C分得物品的钱数是( )
A. B.
C. D.
解析 设5个人分得的物品的钱数为等差数列中的项a1，a2，a3，a4，a5，则a1＋a2＋a3＝a4＋a5，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝6＝5a3，a3＝.
答案 C
5.等差数列{an}中，a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝( )
A.10 B.20 C.40 D.2＋log25
解析 因为2a1·2a2·…·2a10＝2a1＋a2＋…＋a10＝25(a5＋a6)＝25×4＝220，所以原式＝log2220＝20.
答案 B
二、填空题
6.在等差数列{an}中，若a＋2a2a8＋a6a10＝16，则a4a6＝________.
解析 ∵等差数列{an}中，a＋2a2a8＋a6a10＝16，
∴a＋a2(a6＋a10)＋a6a10＝16，
∴(a2＋a6)(a2＋a10)＝16，∴2a4·2a6＝16，∴a4a6＝4.
答案 4
7.已知数列{an}是等差数列.若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77，且ak＝13，则k＝________.
解析 设数列{an}的公差为d，∵a4＋a7＋a10＝3a7＝17，∴a7＝.∵a4＋…＋a14＝11a9＝77，∴a9＝7，d＝.∴ak－a9＝(k－9)d，即13－7＝(k－9)×，解得k＝18.
答案 18
8.已知等差数列{an}中，a1＋a3＋a8＝，那么cos(a3＋a5)＝________.
解析 在等差数列{an}中，由a1＋a3＋a8＝，得
a1＋(a1＋2d)＋(a1＋7d)＝，
∴3a1＋9d＝，即a1＋3d＝a4＝，
∴a3＋a5＝2a4＝，
则cos(a3＋a5)＝cos＝－.
答案 －
三、解答题
9.已知三个数成单调递增等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，求这三个数.
解 设这三个数分别为a－d，a，a＋d，且d>0.
由题意可得
解得或
∵d>0，∴a＝6，d＝2.
∴这三个数是4，6，8.
10.已知数列{an}满足an＋1＝(n∈N*)，且a1＝0.
(1)求a2，a3；
(2)是否存在一个实常数λ，使得数列为等差数列，请说明理由.
解 (1)因为a1＝0，an＋1＝(n∈N*)，
所以a2＝＝，a3＝＝.
(2)假设存在一个实常数λ，使得数列为等差数列，所以＝＋，即＝＋，解得λ＝1.
因为－＝－
＝－＝＝－，
又＝－1，所以存在一个实常数λ＝1，使得数列是首项为－1，公差为－的等差数列.
能力提升
11.下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个结论：p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列.
其中正确的为( )
A.p1，p2 B.p3，p4
C.p2，p3 D.p1，p4
解析 设等差数列首项a1，d>0，则an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，
∴数列{an}递增，p1正确；
nan＝dn2＋(a1－d)n，当n<时，不递增，p2错误；＝d＋，当a1－d>0时，不递增，p3错误；
[an＋1＋3(n＋1)d]－(an＋3nd)＝an＋1－an＋3d＝4d>0，{an＋3nd}递增，p4正确，故选D.
答案 D
12. 有一批电视机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，以此类推，每多买一台则所购买各台的单价均减少20元，但每台最少不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售.某单位需购买一批此类电视机，则去哪一家商场购买花费较少？
解 设某单位需购买电视机n台.
在甲商场购买时，所买电视机的售价构成等差数列{an}，
an＝780＋(n－1)×(－20)＝－20n＋800，
由an＝－20n＋800≥440，得n≤18，
即购买台数不超过18台时，每台售价(800－20n)元；
购买台数超过18台时，每台售价440元.
到乙商场购买时，每台售价为800×75%＝600(元).
比较在甲、乙两家家电商场的费用
(800－20n)n－600n＝20n(10－n).
当n＜10时，(800－20n)n＞600n，到乙商场购买花费较少；
当n＝10时，(800－20n)n＝600n，到甲、乙商场购买花费相同；
当10＜n≤18时，(800－20n)n＜600n，到甲商场购买花费较少；
当n＞18时，440n＜600n，到甲商场购买花费较少.
因此，当购买电视机台数少于10台时，到乙商场购买花费较少；当购买电视机10台时，到两家商场购买花费相同；当购买电视机台数多于10台时，到甲商场购买花费较少.
创新猜想
13.(多选题)已知等差数列{an}中，a1＝3，公差为d(d∈N*)，若2021是该数列的一项，则公差d不可能是( )
A.2 B.3
C.4 D.5
解析 由2021是该数列的一项，即2021＝3＋(n－1)d，所以n＝＋1，因为d∈N*，所以d是2 018的约数，故d不可能是3，4和5.
答案 BCD
14.(多空题)已知两个等差数列{an}：5，8，11，…与{bn}：3，7，11，…，它们的公共项组成数列{cn}，则数列{cn}的通项公式cn＝________；若数列{an}和{bn}的项数均为100，则{cn}的项数是________.
解析 由于数列{an}和{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列，且公差为3×4＝12，又c1＝11，故cn＝11＋12(n－1)＝12n－1.又a100＝302，b100＝399，由解得1≤n≤25.25，故{cn}的项数为25.
答案 12n－1 25
课标要求 素养要求
1.能根据等差数列的定义推出等差数列的性质，并能运用这些性质简化运算.2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题. 通过推导等差数列的性质及其应用，提升学生的数学抽象和逻辑推理素养，通过利用等差数列的相关公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养.
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新知探究
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请同学们思考以下问题：
若等差数列{an}为1，3，5，7，…，2n－1，则数列{an＋2}，{2an}是等差数列吗？
提示 因为等差数列的通项为an＝2n－1，则an＋2＝2n－1＋2＝2n＋1，2an＝2(2n－1)＝4n－2，可判断数列{an＋2}，{2an}都是等差数列，一般地，若{an}为等差数列，则{an＋c}，{can}也是等差数列，你还知道等差数列的其他性质吗？
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1.等差数列通项公式的变形及推广
(1)an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，
(2)an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，
(3)d＝(m，n∈N*，且m≠n).
2.若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有
数列 结论
{c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数)
{c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数)
{an＋an＋k} 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*)
{pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)
3.等差数列的项的对称性
在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….
4.下标性质
在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.特别的，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有am＋an＝2ap.
拓展深化
[微判断]
1.等差数列{an}中，必有a10＝a1＋a9.(×)
提示 反例：an＝n－1，a10＝9，a1＋a9＝8，不满足a10＝a1＋a9.
2.若数列a1，a2，a3，a4，…是等差数列，则数列a1，a3，a5，…也是等差数列.(√)
3.若数列a1，a3，a5，…和a2，a4，a6…都是公差为d的等差数列，则a1，a2，a3…也是等差数列.(×)
提示 反例：设两数列为1，3，5，…，4，6，8，…，显然1，4，3，6，5，8，…不是等差数列.
4.若数列{an}为等差数列，则an＋1＝an－1＋2d，n>1，且n∈N*.(√)
[微训练]
1.在等差数列{an}中，a10＝18，a2＝2，则公差d＝( )
A.－1 B.2
C.4 D.6
解析 由题意知a10－a2＝8d，即8d＝16，d＝2.
答案 B
2.已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有( )
A.a1＋a101>0 B.a2＋a101<0
C.a3＋a99＝0 D.a51＝51
解析 ∵a1＋a2＋…＋a101＝0，
又∵a1＋a101＝a2＋a100＝a3＋a99＝…＝2a51，∴101a51＝0，∴a51＝0，a3＋a99＝2a51＝0.
答案 C
3.在等差数列{an}中，若a2＋a8＝－3，a4＝－2，则a6＝________.
解析 由a2＋a8＝a4＋a6得a6＝－1.
答案 －1
[微思考]
1.在等差数列{an}中，ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是等差数列吗？若是，公差是多少？
提示 是.若{an}的公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…的公差为md.
2.在等差数列{an}中，若m，n，p，q，…成等差数列，那么am，an，ap，aq，…也成等差数列吗？若成等差数列，公差是什么？
提示 成等差数列，若{an}的公差为d，则am，an，ap，aq，…的公差为(n－m)d.
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题型一 an＝am＋(n－m)d的应用
【例1】 在等差数列{an}中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式.
解 因为a8＝a2＋(8－2)d，所以17＝5＋6d，解得d＝2.
又因为an＝a2＋(n－2)d，所以an＝5＋(n－2)×2＝2n＋1，n∈N*.
规律方法 灵活利用等差数列的性质，可以减少运算.令m＝1，an＝am＋(n－m)d即变为an＝a1＋(n－1)d，可以减少记忆负担.
【训练1】 已知{bn}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，则b8＝________.
解析 法一 ∵{bn}为等差数列，∴可设其公差为d，
则d＝＝＝2，
∴bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8.
∴b8＝2×8－8＝8.
法二 由＝＝d，得b8＝·5＋b3
＝2×5＋(－2)＝8.
答案 8
题型二 等差数列性质的应用
【例2】 已知数列{an}为等差数列，且公差为d.
(1)若a15＝8，a60＝20，求a105的值；
(2)若a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2a5＝52，求公差d.
解 (1)法一 由题意得解得
故a105＝a1＋104d＝＋104×＝32.
法二 ∵{an}为等差数列，∴d＝＝，
∴a105＝a60＋45×＝32.
法三 ∵{an}为等差数列，
∴a15，a60，a105也成等差数列，
则2a60＝a15＋a105，
∴a105＝2×20－8＝32.
(2)由a2＋a3＋a4＋a5＝34，得2(a2＋a5)＝34，
∴a2＋a5＝17.
由解得或
∴d＝＝＝3或d＝＝＝－3.
规律方法 等差数列运算的两条常用思路
(1)根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量.
(2)利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar.
【训练2】 (1)在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________.
(2)已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9＝________.
解析 (1)3a5＋a7＝2a5＋(a5＋a7)＝2a5＋2a6＝2(a3＋a8)＝20.
(2)法一 由性质可知，数列a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9是等差数列，所以2(a2＋a5＋a8)＝(a1＋a4＋a7)＋(a3＋a6＋a9)，则a3＋a6＋a9＝2×33－39＝27.
法二 设等差数列{an}的公差为d，则(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝(a2－a1)＋(a5－a4)＋(a8－a7)＝3d＝－6，
解得d＝－2，所以a3＋a6＋a9＝a2＋d＋a5＋d＋a8＋d＝27.
答案 (1)20 (2)27
题型三 等差数列的设法与求解
【例3】 已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列.
解 设四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则
又因为是递增数列，所以d>0，
所以解得a＝±，d＝，
此等差数列为－1，2，5，8或－8，－5，－2，1.
【迁移】 已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{an}的通项公式.
解 法一 根据题意，设等差数列{an}的前三项分别为a1，a1＋d，a1＋2d，则
即解得或
因为数列{an}为单调递增数列，所以从而等差数列{an}的通项公式为an＝4n－1.
法二 由于数列{an}为等差数列，所以可设前三项分别为a－d，a，a＋d，由题意得即解得或
由于数列{an}为单调递增数列，
所以从而an＝4n－1.
规律方法 等差数列项的常见设法
(1)通项法：设数列的通项公式，即设an＝a1＋(n－1)d.
(2)对称项设法：当等差数列{an}的项数为奇数时，可设中间一项为a，再以公差为d向两边分别设项：…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当等差数列{an}的项数为偶数时，可设中间两项分别为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，….
对称项设法的优点是：若有n个数构成等差数列，利用对称项设法设出这个数列，则其各项和为na.
【训练3】 已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数.
解 法一 设此等差数列的首项为a1，公差为d.
根据题意，得
化简得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝26，,a＋3a1d＋2d2＝40，))解得或
所以这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2.
法二 设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则由题意得
即解得或所以所求四个数为2，5，8，11或11，8，5，2.
题型四 等差数列的实际应用
【例4】 中国历法推测遵循以算为主、以测为辅的原则.例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的.下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中115.1寸表示115寸1分(1寸＝10分).
节气 冬至 小寒(大雪) 大寒(小雪) 立春(立冬) 雨水(霜降) 惊蛰(寒露) 春分(秋分)
晷影长/寸 135.0 125. 115.1 105.2 95.3 85.4 75.5
节气 清明(白露) 谷雨(处暑) 立夏(立秋) 小满(大暑) 芒种(小暑) 夏至
晷影长/寸 65.5 55.6 45.7 35.8 25.9 16.0
已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中小寒与清明之间的晷影长之差为( )
A.105.6寸 B.48寸
C.57.6寸 D.67.2寸
解析 设晷影长构成等差数列{an}，公差为d，则a1＝130.0，a13＝14.8，d＝＝－9.6，故小寒与清明之间的晷影长之差即为a2－a8＝－(a8－a2)＝－6d＝57.6.
答案 C
规律方法 解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点(1)解答数列实际应用问题的基本步骤：①审题，即仔细阅读材料，认真理解题意；②建模，即将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题；③判型，即判断该数列是否为等差数列；④求解，即求出该问题的数学解；⑤还原，即将所求结果还原到实际问题中.
(2)在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题.
【训练4】 假设某市2020年新建住房400万平方米，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米.那么该市在________年新建住房的面积开始大于820万平方米.
解析 设n年后该市新建住房的面积为an万平方米.由题意，得{an}是等差数列，首项a1＝450，公差d＝50，所以an＝a1＋(n－1)d＝400＋50n.令400＋50n>820，解得n>.由于n∈N*，则n≥9.所以该市在2 029年新建住房的面积开始大于820万平方米.
答案 2 029
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一、素养落地
1.通过学习等差数列的性质解决等差数列问题，培养逻辑推理及数学运算素养，通过利用等差数列解决实际问题，提升数学建模素养.
2.在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为am＝an＋(m－n)d.
3.等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列.
4.等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)，特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.
二、素养训练
1.在等差数列{an}中，已知a3＝10，a8＝－20，则公差d等于( )
A.3 B.－6
C.4 D.－3
解析 由等差数列的性质得a8－a3＝(8－3)d＝5d，所以d＝＝－6.
答案 B
2.在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7等于( )
A.5 B.8
C.10 D.14
解析 法一 设等差数列的公差为d，则a3＋a5＝2a1＋6d＝4＋6d＝10，所以d＝1，a7＝a1＋6d＝2＋6＝8.
法二 由等差数列的性质可得a1＋a7＝a3＋a5＝10，又a1＝2，所以a7＝8.
答案 B
3.在等差数列{an}中，a1＋a5＝2，a3＋a7＝8，则a11＋a15＝________.
解析 (a3＋a7)－(a1＋a5)＝4d＝6，则d＝，则a11＋a15＝(a1＋a5)＋20d＝2＋20×＝32.
答案 32
4.在等差数列{an}中，已知5是a3和a6的等差中项，则a1＋a8＝________.
解析 由题意知a3＋a6＝10，故a1＋a8＝a3＋a6＝10.
答案 10
5.三个数成等差数列，这三个数的和为6，三个数之积为－24，求这三个数.
解 设这三个数分别为a－d，a，a＋d.
由题意可得
解得或
∴所求三个数为－2，2，6或6，2，－2.
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基础达标
一、选择题
1.在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－a8的值为( )
A.4 B.6
C.8 D.10
解析 由a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，∴a6＝16，
∴a7－a8＝(2a7－a8)＝(a6＋a8－a8)＝a6＝8.
答案 C
2.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m为( )
A.12 B.8
C.6 D.4
解析 由等差数列性质得，
a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)
＝2a8＋2a8＝4a8＝32，
∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8.
答案 B
3.在等差数列{an}中，a2 018＝log27，a2 022＝log2，则a2 020＝( )
A.0 B.7
C.1 D.49
解析 a2 020＝(a2 018＋a2 022)＝(log27＋log2)＝log2 1＝0.
答案 A
4.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均输章》有如下问题：“今有五人分六钱，令前三人所得与后二人等，各人所得均增，问各得几何？”其意思是：“已知A，B，C，D，E五人个分重量为6钱(‘钱’是古代的一种重量单位)的物品，A，B，C三人所得钱数之和与D，E二人所得钱数之和相同，且A，B，C，D，E每人所得钱数依次成递增等差数列，问五个人各分得多少钱的物品？”在这个问题中，C分得物品的钱数是( )
A. B.
C. D.
解析 设5个人分得的物品的钱数为等差数列中的项a1，a2，a3，a4，a5，则a1＋a2＋a3＝a4＋a5，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝6＝5a3，a3＝.
答案 C
5.等差数列{an}中，a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝( )
A.10 B.20 C.40 D.2＋log25
解析 因为2a1·2a2·…·2a10＝2a1＋a2＋…＋a10＝25(a5＋a6)＝25×4＝220，所以原式＝log2220＝20.
答案 B
二、填空题
6.在等差数列{an}中，若a＋2a2a8＋a6a10＝16，则a4a6＝________.
解析 ∵等差数列{an}中，a＋2a2a8＋a6a10＝16，
∴a＋a2(a6＋a10)＋a6a10＝16，
∴(a2＋a6)(a2＋a10)＝16，∴2a4·2a6＝16，∴a4a6＝4.
答案 4
7.已知数列{an}是等差数列.若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77，且ak＝13，则k＝________.
解析 设数列{an}的公差为d，∵a4＋a7＋a10＝3a7＝17，∴a7＝.∵a4＋…＋a14＝11a9＝77，∴a9＝7，d＝.∴ak－a9＝(k－9)d，即13－7＝(k－9)×，解得k＝18.
答案 18
8.已知等差数列{an}中，a1＋a3＋a8＝，那么cos(a3＋a5)＝________.
解析 在等差数列{an}中，由a1＋a3＋a8＝，得
a1＋(a1＋2d)＋(a1＋7d)＝，
∴3a1＋9d＝，即a1＋3d＝a4＝，
∴a3＋a5＝2a4＝，
则cos(a3＋a5)＝cos＝－.
答案 －
三、解答题
9.已知三个数成单调递增等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，求这三个数.
解 设这三个数分别为a－d，a，a＋d，且d>0.
由题意可得
解得或
∵d>0，∴a＝6，d＝2.
∴这三个数是4，6，8.
10.已知数列{an}满足an＋1＝(n∈N*)，且a1＝0.
(1)求a2，a3；
(2)是否存在一个实常数λ，使得数列为等差数列，请说明理由.
解 (1)因为a1＝0，an＋1＝(n∈N*)，
所以a2＝＝，a3＝＝.
(2)假设存在一个实常数λ，使得数列为等差数列，所以＝＋，即＝＋，解得λ＝1.
因为－＝－
＝－＝＝－，
又＝－1，所以存在一个实常数λ＝1，使得数列是首项为－1，公差为－的等差数列.
能力提升
11.下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个结论：p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列.
其中正确的为( )
A.p1，p2 B.p3，p4
C.p2，p3 D.p1，p4
解析 设等差数列首项a1，d>0，则an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，
∴数列{an}递增，p1正确；
nan＝dn2＋(a1－d)n，当n<时，不递增，p2错误；＝d＋，当a1－d>0时，不递增，p3错误；
[an＋1＋3(n＋1)d]－(an＋3nd)＝an＋1－an＋3d＝4d>0，{an＋3nd}递增，p4正确，故选D.
答案 D
12. 有一批电视机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，以此类推，每多买一台则所购买各台的单价均减少20元，但每台最少不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售.某单位需购买一批此类电视机，则去哪一家商场购买花费较少？
解 设某单位需购买电视机n台.
在甲商场购买时，所买电视机的售价构成等差数列{an}，
an＝780＋(n－1)×(－20)＝－20n＋800，
由an＝－20n＋800≥440，得n≤18，
即购买台数不超过18台时，每台售价(800－20n)元；
购买台数超过18台时，每台售价440元.
到乙商场购买时，每台售价为800×75%＝600(元).
比较在甲、乙两家家电商场的费用
(800－20n)n－600n＝20n(10－n).
当n＜10时，(800－20n)n＞600n，到乙商场购买花费较少；
当n＝10时，(800－20n)n＝600n，到甲、乙商场购买花费相同；
当10＜n≤18时，(800－20n)n＜600n，到甲商场购买花费较少；
当n＞18时，440n＜600n，到甲商场购买花费较少.
因此，当购买电视机台数少于10台时，到乙商场购买花费较少；当购买电视机10台时，到两家商场购买花费相同；当购买电视机台数多于10台时，到甲商场购买花费较少.
创新猜想
13.(多选题)已知等差数列{an}中，a1＝3，公差为d(d∈N*)，若2021是该数列的一项，则公差d不可能是( )
A.2 B.3
C.4 D.5
解析 由2021是该数列的一项，即2021＝3＋(n－1)d，所以n＝＋1，因为d∈N*，所以d是2 018的约数，故d不可能是3，4和5.
答案 BCD
14.(多空题)已知两个等差数列{an}：5，8，11，…与{bn}：3，7，11，…，它们的公共项组成数列{cn}，则数列{cn}的通项公式cn＝________；若数列{an}和{bn}的项数均为100，则{cn}的项数是________.
解析 由于数列{an}和{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列，且公差为3×4＝12，又c1＝11，故cn＝11＋12(n－1)＝12n－1.又a100＝302，b100＝399，由解得1≤n≤25.25，故{cn}的项数为25.
答案 12n－1 25