5.4三角函数的图象与性质 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第一册 5.4 三角函数的图象与性质
一、单选题
1．下列函数是奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数，当取得最小值时，等于（ ）
A．1 B． C． D．
3．下列函数中，以为最小正周期，且在上单调递减的为（ ）
A． B． C． D．
4．在①，②，③，④中，最小正周期为的所有函数为（ ）
A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①③
5．函数的部分图象是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知是实数，则函数的图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数在上是单调函数，其图象的一条对称轴方程为，则的值不可能是（ ）
A． B． C．1 D．
9．已知函数，，若函数的所有零点依次记为，且，则（ ）
A． B． C． D．
10．若函数与在上的图象没有交点，其中，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．若函数的最小正周期为，则（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数（，），若的图像的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．关于函数有如下四个命题：
①的图象关于轴对称.
②的图象关于原点对称.
③的图象关于直线对称.
④的图象关于点对称.
其中所有真命题的序号是__________.
14．函数的单调递增区间是______．
15．已知函数的最大值为3，的图象与y轴的交点坐标为，其相邻两条对称轴间的距离为，则_____．
16．已知函数，给出下列结论：
①是周期函数；
②在区间上是增函数；
③若，则；
④函数在区间上有且仅有1个零点．
其中正确结论的序号是______．（将你认为正确的结论序号都填上）
17．若，，且，则______（提示：在上严格增函数）
三、解答题
18．用五点法作出函数在内的图像.
19．函数在上的最大值和最小值分别为和，求a，b的值．
20．函数的定义域为，对于区间，如果存在，，使得，则称区间为函数的“区间”．
（1）判断是否是函数的“区间”，并说明理由；
（2）设为正实数，若是函数的“区间”，求的取值范围．
21．已知函数，，，在同一周期内，当时，取得最大值4；当时，取得最小值．
（1）求函数的解析式；
（2）若时，函数有两个零点，求实数的取值范围．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
根据奇函数的定义判断即可.
【详解】
选项A，，所以不是奇函数.
选项B，，显然，所以为偶函数，不是奇函数.
选项C，，所以是奇函数.
选项D，，所以不是奇函数.
故选：C.
2．A
由正弦函数的性质，先求出当取得最小值时x的取值，从而求出.
【详解】
函数，当取得最小值时，有，故，．
，．
故选：A．
3．B
A. 利用正切函数的性质判断； B.作出的图象判断； C.作出的图象判断； D.作出的图象判断.
【详解】
A. 是以为最小正周期，在上单调递增，故错误；
B. 如图所示： ，由图象知：函数是以为最小正周期，在上单调递减，故正确；
C. 如图所示：，由图象知：是以为最小正周期，在上单调递增，故错误；
D. 如图所示：，由图象知：是以为最小正周期，在上单调递增，故错误；
故选：B
4．C
根据正弦函数，余弦函数，正切函数的周期以及周期公式即可解出．
【详解】
最小正周期为的所有函数为②③，函数的最小正周期为，函数的最小正周期为．
故选：C．
5．D
先判断的奇偶性，排除A、B；再取特殊值，排除C，即可得到正确答案.
【详解】
定义域为R.
∵，
∴为奇函数，其图像关于原点对称，排除A、B；
对于CD，令，解得：，即有三个零点，如图示，
取，有，
∵，∴.
排除C；
故选：D
思路点睛：函数图像的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图像的左右位置；从函数的值域，判断图像的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图像的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图像的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图像．
6．D
根据分类讨论，结合的性质可得．
【详解】
由题知，．若，选项C满足；
若，，，其中，，函数周期，选项A满足；若，，，其中，，函数周期，选项B满足；
若，则，且周期为．而选项D不满足以上四种情况，故图象不可能是D．
故选：D．
7．D
函数解析式可化为，判断奇偶性，再讨论、时值的变化趋势，即可排除错误选项.
【详解】
由且，
∴，即为奇函数，排除A；
当时，，，所以，排除B；
当时，，，所以在0附近摆动，随x的增大幅度越来越小，排除C；
故选：D.
8．B
先根据一条对称轴方程为可得，再由单调区间的长度小于等于半周期，解不等式即可得到答案；
【详解】
由题意得：
故选：B.
9．C
由题意先求对称轴方程，在给定区间上有9条对称轴，由中点坐标公式可知x1+x2＝×2，以此类推，最后两个零点加和等于对称轴的二倍，各式相加，就可得出答案．
【详解】
令＝，可得，
即函数的对称轴方程为，
令，可得，所以函数在上有9条对称轴．
根据正弦函数的性质可知，，
（最后一条对称轴为函数的最大值点，应取前一条对应的对称轴），
将以上各式相加得，
故选：C．
本题考查函数零点和方程根的关系，考查正弦函数图像的性质和对称性的应用，属于中档题.
10．A
利用三角函数图象的平移即可求解.
【详解】
解：是周期为的正弦函数，
，是由向左平移个单位得到
①当时，如下图所示，
此时函数与在上有交点，不符合题意
②当时，如下图所示
此时函数与在上无交点，符合题意
③当，如下图所示
此时函数与在上无交点，符合题意
综上所述，，
故的取值范围是
故选：A.
关键点睛：本题的关键是通过对三角函数平移的过程利用数形结合找到相交的临界位置.
11．C
先求得，求得函数在上单调递增，结合，，利用单调性作出比较，即可求解.
【详解】
由题意，函数的最小正周期为，
可得，解得，即，
令，即，
当时，，即函数在上单调递增，
又由，
又由，所以.
故选：C.
本题主要考查了正切函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记正切函数的图象与性质，合理应用函数的单调性进行比较是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
12．C
由已知得，，且，解之讨论k，可得选项.
【详解】
因为的图像的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间，所以，所以，故排除A，B；
又，且，解得，
当时，不满足，
当时，符合题意，
当时，符合题意，
当时，不满足，故C正确，D不正确，
故选：C.
关键点睛：本题考查根据正弦型函数的对称性求得参数的范围，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于的不等式组，解之讨论可得选项.
13．①④
根据余弦函数的性质，由题中条件，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
对于①，定义域为，显然关于原点对称，
且，所以的图象关于y轴对称，命题①正确；
对于②，，，则，所以的图象不关于原点对称，命题②错误；
对③，，，则，所以的图象不关于对称，命题③错误；
对④，，，
则，命题④正确.
故答案为：①④.
本题主要考查判定与三角函数有关命题的真假，熟记熟记余弦函数的性质即可，属于常考题型.
14．，
结合函数函数的单调递增区间得到，进而可求出结果.
【详解】
因为函数的单调递增区间为，
所以，即，
所以函数的单调递增区间是，，
故答案为：，.
15．
利用二倍角公式可得，由函数的最大值可求出，由相邻两条对称轴间的距离可求出周期，再利用周期公式可求出，将点代入解析式可求出，从而可得函数的解析式，即可求出的值.
【详解】
，
因为函数的最大值为，所以，所以，
由函数相邻两条对称轴间的距离为，可得周期，
所以，所以,
所以，又的图象与y轴的交点坐标为，
所以，所以，又，所以，
所以，
所以.
故答案为：
本题主要考查求三角函数的图象与性质，二倍角的余弦公式，诱导公式，属于中档题.
16．①③
先求出解析式，再对①②③④一一验证：
对于①：利用周期的定义验证；
对于②：取特殊数值排除；
对于③：利用三角函数的有界性进行计算，即可判断；
对于④：可以求出零点，进行判断.
【详解】
解：函数，
对于①：由所以函数的最小正周期为，故①正确；
对于②：由于，，，，
故函数在上不是单调增函数，故②错误；
对于③：函数）的最大值为1，若，
则，
所以，，，
故则；故③正确；
对于④：当时，，
由于，即，解得或，
所以函数有两个零点，故④错误．
故答案为：①③．
要证明一个命题为真命题，需要严格的证明；要判断一个命题为假命题，举一个反例就可以了.
17．1
根据已知条件先分析的单调性和奇偶性，然后将已知等式变形可得，根据单调性奇偶性可知的关系，则结果可求.
【详解】
因为，所以，
所以，所以且，
设，在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，
又因为，定义域关于原点对称，
所以为奇函数，
由可知，所以，
所以，所以，所以，
故答案为：.
思路点睛：利用函数单调性和奇偶性解形如的等式的思路：
（1）利用奇偶性将等式变形为；
（2）根据单调性得到与的等量关系；
（3）结合函数定义域完成相关计算.
18．见解析
取，列表得的值，再描点可得函数图像.
【详解】
列表：
0
1 0 －1 0 1
5 3 1 3 5
描点得在内的图像（如图所示）：
本题主要考查了五点法做三角函数图像，属于基础题.
19．
根据在上单调递增或单调递减，可代入区间端点值，列出关于的等式再求解即可.
【详解】
当时，在上单调递增，故 ，即，解得.
当时，在上单调递减，故 ，即，解得.
故
本题主要考查了根据正切型函数的单调性与最值求解参数的问题，属于基础题.
20．（1）不是，理由见解析；（2）.
(1)根据函数值的范围可判定不是函数的“区间”；
(2)根据新定义和余弦函数的性质可得存在k，，使得，再分类讨论即可求出的取值范围.
【详解】
(1) 不是函数的“区间”.理由如下：
因为，
所以对于任意的，，都有，
所以不是函数的“区间”.
(2)因为是函数的“区间”，
所以存在，，使得.
所以
所以存在，使得
不妨设，又因为，
所以，所以.
即在区间内存在两个不同的偶数.
①当时，区间的长度，
所以区间内必存在两个相邻的偶数，故符合题意.
②当时，有，
所以.
当时，有，即.
所以也符合题意.
当时，有，即.
所以符合题意.
当时，有，此式无解.
综上所述，的取值范围是.
21．（1）；（2）.
（1）根据正弦型函数的性质得出，由周期公式得出，由函数的最大值得出，结合，整理得出该函数的解析式；
（2）将函数的零点转化为方程在区间上有两个实根，由得出，结合函数在区间上的单调性，确定的范围，整理得出实数t的取值范围.
【详解】
（1）由题意知，，得周期，∴
当时，取得最大值4，即，得，
得，得，
又，当时，，
即．
（2）由已知在区间上有两个实根，即方程在区间上有两个实根.
，，，
由于函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又当时，，当时，
当时，，当时，，如图所示：
又方程有两个实根，∴或
得或，
即实数的取值范围是：
易错点睛：本题主要考查了由正弦函数的性质求函数的解析式以及由函数零点个数求参数的范围，考查运算求解能力，注意零点问题，区间端点开闭问题，是易错题，属于中档题.
答案第1页，共2页
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