5.7三角函数的应用 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第一册 5.7 三角函数的应用
一、单选题
1．音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器（如图1），各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音.敲击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点P离开平衡位置的位移与时间的函数关系为.图2是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定的值为（ ）
A．200 B．400 C． D．
2．把函数的图像向右平移个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图像.则函数的一个解析式为（ ）
A． B． C． D．
3．已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
4．若将函数的图象向右平移个单位长度后为奇函数，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
5．已知简谐振动的振幅是，图象上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点，则该简谐振动的频率和初相是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．如图，某大楼AB旁有一山坡，其斜坡CD的坡度（或坡比），山坡坡面上点E处有一休息亭.某数学兴趣小组测得山坡坡脚C与大楼水平距离米，与休息亭距离米，并从E点测得大楼顶部点的仰角为，点A，B，C，D，E在同一平面内，则大楼AB的高度约为（ ）
（结果精确到0.1米；参考数据：，，）
A．89.0米 B．74.2米 C．74.0米 D．59.2米
7．为了得到函数的图象，可将的图象（ ）
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
8．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为米.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系为.则盛水筒出水后到达最高点的最少时间为（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数的最小正周期为，将其图象向右平移个单位后得函数的图象，则函数的图象
A．关于直线对称 B．关于直线对称
C．关于点对称 D．关于点对称
10．若函数的图象向右平移个单位得到的图象对应的函数为，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于对称 B．在上有2个零点
C．在区间上单调递减 D．在上的值域为
11．如图，一个摩天轮的半径为10m，轮子的最低处距离地面2m．如果此摩天轮按逆时针匀速转动，每30分钟转一圈，且当摩天轮上某人经过点（点与摩天轮天轮中心的高度相同）时开始计时，在摩天轮转动的一圈内，此人相对于地面的高度不小于17m的时间大约是（ ）
A．8分钟 B．10分钟 C．12分钟 D．14分钟
12．如图为一直径为m的水轮,水轮圆心距水面m,已知水轮每分钟转2圈,水轮上的点到水面的距离（m）与时间（s）满足关系是表示表示在水面下,则有（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点)开始计时，则点P第一次到达最高点需要___________秒.
14．函数y＝sinωx(ω＞0)的部分图象如图所示，点A，B是最高点，点C是最低点，若△ABC是直角三角形，则ω的值为____.
15．海水受日月的引カ，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节某天的时间与水深值（单位：m）记录表．
时刻 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00
水深值 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
试用一个三角函数来近似地描述这个港口的水深值y与时间的函数关系，则这个函数关系式是________．
16．某星星的亮度变化周期为10天，此星星的平均亮度为3.8星等，最高亮度距离平均亮度0.2星等，则可近似地描述此星星的亮度与时间之间关系的一个三角函数为________．
17．在电流强度与时间的关系中，要使t在任意的时间内电流强度I能取得最大值A与最小值，则正整数的最小值为________.
三、解答题
18．当我们所处的北半球为冬季的时候，新西兰的惠灵顿市恰好是盛夏，因此北半球的人们冬天愿意去那里旅游，下面是一份惠灵顿机场提供的月平均气温统计表.
（月份） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
17.3 17.9 17.3 15.8 13.7 11.6 10.06 9.5 10.06 11.6 13.7 15.8
（1）根据这个统计表提供的数据，为惠灵顿市的月平均气温作出一个函数模型；
（2）当自然气温不低于13.7℃时，惠灵顿市最适宜旅游，试根据你所确定的函数模型，确定惠灵顿市的最佳旅游时间.
19．如图所示，莱蒙都会小区为美化环境，准备在小区内草坪的一侧修建一条直路OC，另一侧修建一条休闲大道．休闲大道的前一段OD是函数的图像的一部分，后一段DBC是函数，（，，，）的图像，图像的最高点为，且，垂足为点.
（1）求函数，（，，，）的解析式；
（2）若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园 (阴影部分)，点P在曲线OD上，其横坐标为，点在上，求儿童乐园的面积．
20．如图，某海港一天从的水位高度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数．
（1）求该函数的解析式；
（2）若该海港在水位高度不低于时为轮船最佳进港时间，那么该海港在，轮船最佳进港时间总共多少小时？
21．一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移S(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是S＝6sin.
（1）画出它的图象；
（2）回答以下问题：
①小球开始摆动(即t＝0)，离开平衡位置是多少？
②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？
③小球来回摆动一次需要多少时间？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
根据函数图像，确定函数周期，从而可得的值.
【详解】
由图像可得，，，即，则.
故选：D.
本题主要考查三角函数的应用，考查正弦型函数的周期性，属于基础题型.
2．B
将函数的图像所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度即得解.
【详解】
解：将函数的图像所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到，再把函数的图象向左平移个单位长度，得到.
故选：B
3．D
【详解】
把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，
故选D．
点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言. 函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.
4．C
先由平移公式得出平移后的函数为，由该函数为奇函数可得答案.
【详解】
函数的图象向右平移个单位长度后可得
由题意为奇函数，则
所以，
对照分析答案，当时，
故选：C
5．C
根据正弦型函数的图象与性质求出振幅、周期，再由过点求出初相即可得解.
【详解】
由题意可知，A＝，32＋2＝52，
则T＝8，ω＝＝，
y＝sin.
由sin φ＝，得sin φ＝.
∵|φ|＜，
∴φ＝.
因此频率是，初相为.
故选：C
6．A
过点分别作底面，，然后根据题意分别求出，最后相加即可求出答案.
【详解】
如图，过点作底面垂线，于，
因为斜坡CD的坡度，所以
设，，在中，，即，
解得，则，
所以，
因为在E点测得大楼顶部点的仰角为，
所以
,
故选：A
7．A
将函数化为，根据图象平移变换可得结果.
【详解】
由题意得：
向右平移个单位即可得到的图象
故选：A.
该题考查的是三角函数的平移变换问题，关键是能够理解平移的量是自变量本身的变化量，属于基础题目.
8．D
由已知可得、、、的值，得到函数解析式，取求得的值即可．
【详解】
解：筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，，
则，振幅为筒车的半径，即，，
由题意，时，，，即，
，．
则，
由，得，，
，，得，．
当时，取最小值为．
故选：．
9．D
【详解】
由题意得，故，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴选项A,B不正确．
又，
，
∴选项C,不正确，选项D正确．选D．
10．B
求出的解析式，并整理后，根据正弦函数性质判断．
【详解】
由题意，
不是函数的最值，不是对称轴，A错；
由，，，其中是上的零点，B正确；
由得，，因此在是递减，在上递增，C错；
时，，，D错．
故选：B．
本题考查三角函数图象变换，考查三角函数的性质．掌握正弦函数性质是解题关键．
11．B
由题可得此人相对于地面的高度与时间的关系是，再令求出的范围即可得出.
【详解】
设时间为时，此人相对于地面的高度为，
则由题可得当时，，
在时间时，此人转过的角为，
此时此人相对于地面的高度，
令，则，
所以，解得，
故在摩天轮转动的一圈内，此人相对于地面的高度不小于17m的时间大约是.
故选：B.
本题考查三角函数的实际应用，解题的关键是得出高度与时间的关系，再解三角函数不等式即可.
12．A
根据题意可得出的值,以及该函数的最小正周期,利用周期公式可求得的值,进而得出结论.
【详解】
由题意可知为水轮的半径3,又水轮每分钟转2圈,故该函数的最小正周期为,所以.
故选：A.
本题考查三角函数解析式中参数的计算,考查计算能力,属于基础题.
13．20
根据题意，计算弧占圆周的比例即可得答案.
【详解】
如图，根据题意得，
所以在中，，
所以，故弧的长为三分之一的圆周长，
又因为水轮每60秒逆时针转动一圈，
所以当水轮上点P从水中浮现时(图中点P)开始计时，则点P第一次到达最高点需要20秒.
故答案为：20
14．
可得△ABC为等腰直角三角形，进而可得AB＝2CD＝4，还可得AB，解方程可得ω的值．
【详解】
解：由题意结合三角函数的对称性可知△ABC为等腰直角三角形，且∠ACB为直角，
取AB的中点为D，由三角函数的最大值和最小值为1和﹣1，可得CD＝1﹣（﹣1）＝2
故AB的长度为2CD＝4，又AB为函数的一个周期的长度，
故可得2，解之可得ω
故答案为．
本题考查三角函数的参数的意义，得出AB的两种表示方法是解决问题的关键，属中档题．
15．
设与之间的函数关系式为，根据表中数列可得周期和函数的最值，从而可求出，再利用最大值可求，故可求解析式.
【详解】
设与之间的函数关系式为，
则由表中数据可得，且，
故且，所以
因为当时，，所以，
解得，故，其中.
故答案为：.
16．
利用周期计算公式求出，由最高亮度距离平均亮度0.2星等可求出A，由平均亮度可求出b，即可写出三角函数模型.
【详解】
设所求函数为，由题意得，即，，，故．
故答案为：
本题考查模型在实际问题中的应用，属于基础题.
17．629
由题意得，代入正弦型函数的周期计算公式可求得，即可得解.
【详解】
由题意得，即，
∴，
∴正整数的最小值为629.
故答案为：629
本题考查正弦型函数的周期性，属于基础题.
18．（1）；（2）每年的十一月初至第二年的四月末
（1）作出散点图，得到曲线后，根据周期变化特点可考虑用余弦型函数模型；结合图象可求得解析式；
（2）令可求得的取值，从而可确定最佳旅游时间.
【详解】
（1）以月份为横轴，气温为纵轴作出散点图，并以光滑的曲线连接各散点，得到如图所示的曲线
由于各地月平均气温是以个月为周期变化的，故依散点图所绘制的图象，可以考虑用来模拟
由最高气温为，最低气温为得：，
又
又时，y取最大值，则
为惠灵顿市的常年气温函数模型
（2）当时，或
说明在每年的十一月初至第二年的四月末气温不低于，是惠灵顿市的最佳旅游时间
本题考查三角函数的实际应用问题，关键是能够建立起合适的函数模型，进而通过三角函数图象求解析式的方法求得拟合的函数模型.
19．（1）；（2）.
（1）根据图象，结合三角函数的性质，得到和的值，再由最大值点，得出结果；
（2）根据题意，得到曲线的方程，求出的坐标，进而可求出四边形的面积.
【详解】
（1）由图象，可知，，
将代入中，
得，即.
∵，∴，故；
（2）在中，令，得，
从而得曲线的方程为，则，
∴矩形的面积为，即儿童乐园的面积为.
20．（1），；（2）．
（1）由图可得，，，再由周期公式可求出，再把将，代入可求出的值，从而可求得函数的解析式；
（2）由可求出结果
【详解】
（1）由图可知，，．
∵，∴，解得，
∴．
将，代入上式，解得，，
∵，∴，
故该曲线的函数解析式为，．
（2）由题意得，即，解得，，即，．
∵，∴当时，即，
∴该海港在的轮船最佳进港时间总共为．
21．（1）图象见解析；（2）①3cm；②6cm；③1s．
（1）计算出周期为1，在一个周期内，结合“五点法”中五点及区间端点，列表描点连线作出图象；
（2）根据解析式作答．①令计算出即可；②即为函数的最大值；③即为函数的周期．
【详解】
解：（1）周期T＝＝1(s)．
列表：
t 0 1
2πt＋ π 2π 2π＋
3 6 0 －6 0 3
描点画图：
（2）①小球开始摆动(即t＝0)，离开平衡位置为3 cm.
②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 cm.
③小球来回摆动一次需要1 s(即周期)．
本题考查三角函数的应用，解题关键是正确认识函数式S＝6sin.由解析式研究函数的性质、画出函数的图象．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页