第二章一元二次函数、方程和不等式 单元测试（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式
一、单选题
1．已知，，且，，，那么的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
2．设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．已知关于的方程有两个实数根，则的取值范围为（ ）
A． B．或
C．或 D．
4．已知不等式对任意的正整数k成立，则实数x的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5．在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为（ ）
A．{x|0C．{x|x<－2或x>1} D．{x|－16．已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
7．若，且，则的最小值是.
A． B．3 C．2 D．
8．已知，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
9．若，，则下列各是正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．设，则“”是“”的
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
11．下列函数中，最小值为2的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数对任意，都有，当，时，，则函数在，上的值域为（ ）
A．， B．， C．， D．，
二、填空题
13．已知实数x、y满足x2-xy=1，则y2 +3xy的最小值为_______
14．不等式的解集为_______．
15．已知x，y为正数，且，则的最小值为________.
16．函数的定义域为，则实数的取值范围为______．
三、解答题
17．已知不等式的解为或.
（1）求，的值；
（2）解关于的不等式：，其中是实数．
18．已知关于的不等式，
（1）若，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集为，求的取值范围．
19．函数．
（1）当时，恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当时，恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当时，恒成立，求实数x的取值范围．
20．已知关于x的不等式．
（1）当时，解关于x的不等式；
（2）当时，不等式恒成立，求x的取值范围．
21．已知且，试比较与的大小．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
根据题意，由基本不等式的性质可得，即可得答案.
【详解】
根据题意，，，，
则，当且仅当时等号成立，
即的最大值为1.
故选：
2．B
分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.
【详解】
化简不等式，可知 推不出；
由能推出，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选B．
本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件．
3．C
由一元二次方程存在两个实根，有判别式即可求的取值范围.
【详解】
由题意知：，解之得或，
故选：C
4．A
由题意转化条件得或对任意的正整数k成立，在同一直角坐标系内作出函数与的图象，并标出取正整数的点，数形结合即可得解.
【详解】
不等式对任意的正整数k成立，
或对任意的正整数k成立，
即或对任意的正整数k成立，
在同一直角坐标系内作出函数与的图象，并标出取正整数的点，如图：
数形结合可知，若要使或对任意的正整数k成立，
则.
故选：A.
本题考查了分式不等式的求解及二次函数图象的应用，考查了转化化归思想与数形结合思想，属于中档题.
5．B
根据定义可得(x＋2)(x－1)<0，结合一元二次不等式的解法即可选出正确答案.
【详解】
根据给出的定义得，x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，
又x⊙(x－2)<0，则(x＋2)(x－1)<0，故不等式的解集是{x|－2故选:B.
6．A
利用分段函数，将不等式化为具体不等式，即可得出结论．
【详解】
解：，
当时，，所以或；
当时，，所以，
所以不等式的解集是，，，
故选：A．
7．A
根据，将代入，即可求解.
【详解】
因为，
所以．
而，且
所以，当且仅当时等号成立.
本题主要考查了转化的思想及等式的变形，属于中档题.
8．D
先化简，由，结合基本不等式，求得，进而求得的最大值.
【详解】
由，可得，
又由，可得，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以，即的最大值为.
故选：D.
9．A
首先判断，再根据不等式的性质判断选项.
【详解】
，，，有可能是正数，负数，0，
，故A正确；
，，故B不正确；
,当时，，故C不正确；
当时，不正确，故D不正确.
故选：．
10．A
首先分别解不等式和，根据即可得到答案.
【详解】
由题知：，解得.
，解得.
因为，
所以“”是“” 必要不充分条件.
故选：A
本题主要考查必要不充分条件的判断，同时考查了二次不等式，属于简单题.
11．C
利用基本不等式逐一判断即可.
【详解】
对于A，，
当且仅当时，即，取等号，
显然等号成立的条件不存在，故A不正确；
对于B，，
当且仅当时，即时，取等号，显然等号成立的条件不存在，故B不正确；
对于C，，当且仅当时，
即时，取等号，故C正确；
对于D， ，
当且仅当时，即时，取等号，
显然等号成立的条件不存在，故D不正确；
故选：C
本题考查了基本不等式，注意验证等号成立的条件，属于基础题.
12．D
当，时，，利用，将区间的自变量利用加减转化到区间上，从而进行值域的求解
【详解】
当，时，，，
则当，时，即，，所以；
当，时，即，，
由，得，从而，；
当，时，即，，则，．
综上得函数在，上的值域为，．
故选：D．
13．-1
由已知条件求得关于的表达式，得到关于的函数表达式，整理化简后利用基本不等式求得最小值.
【详解】
,
当且仅当时取“=”，
∴的最小值为-1，
故答案为：-1.
14．
根据分式不等式解法的步骤：移项，通分，分式化整式来解.
【详解】
由移项通分，得，即，
不等式等价于，
所以不等式的解集为．
故答案为：.
15．7
由题设等式有，利用基本不等式可求的最小值，从而可得的最小值.
【详解】
，
由基本不等式有，当且仅当时等号成立，
故的最小值为即的最小值为.
故答案为：.
应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.
16．
函数的定义域为，等价于恒成立，然后分和两种情况讨论求解即可得答案
【详解】
函数的定义域为，等价于恒成立，
当时，显然成立；
当时，由，得．
综上，实数的取值范围为．
故答案为：
17．（1），；（2）答案见解析.
（1）利用不等式的解集与方程解之间的关系，可求，的值；
（2）根据不等式对应方程的两根的大小，进行分类讨论即可．
【详解】
解：（1）依题意，
（2）原不等式为：，即
①当，即时，原不等式的解集为；
②当，即时，原不等式的解集为；
③当，即时，原不等式的解集为
18．（1）；（2）
（1）将代入不等式，根据一元二次不等式的解法即可求解.
（2）根据关于的不等式的解集为．又因为 ，利用判别式法求解.
【详解】
（1）将代入不等式，可得，即
所以和1是方程的两个实数根，
所以不等式的解集为
即不等式的解集为．
（2）因为关于的不等式的解集为．
因为
所以，解得，
故的取值范围为．
19．（1）；（2） ；（3）
（1）当时，恒成立，利用判别式，求解即可；
（2）当时，恒成成立，令，该二次函数对称轴为，属于轴动区间定的问题，需分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别求，解不等式求实数a的取值范围；
（3）令，恒成立，即恒成立，函数是关于a的一次函数，只需，求解不等式得到实数x的取值范围.
【详解】
（1）当时，恒成立，即恒成立，
则，即，解得
所以实数a的取值范围是．
（2）当时，恒成成立，令，即，该二次函数对称轴为，分如下三种情况讨论：
①当，即时，函数在上单调递增，，解得，此时无解；
②当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，，解得，此时；
③当，即时，函数在上单调递减，，解得，此时；
综上可知，实数a的取值范围是．
（3）令，当时，恒成立，即恒成立，
函数是关于a的一次函数，其图像在上是单调的，所以要，只需，即，解得或
所以实数x的取值范围是
方法点睛：研究二次函数在区间上的最值，通常分为四种情况：（1）轴定区间定；（2）轴定区间动；（3）轴动区间定；（4）轴动区间动；这四种情况都需要按三个方向来研究函数的最值：对称轴在区间的左侧、中间、右侧，从而知道函数的单调性，即可求出函数的最值.
20．（1）答案见解析；（2）．
（1）不等式可化为，然后分，，，，五种情况求解不等式；
（2）不等式对恒成立，把看成自变量，构造函数，则可得，解不等式组可求出x的取值范围
【详解】
解：（1）不等式可化为，
当时，不等式化为，解得，
当时，不等式化为，
解得，或；
当时，不等式化为；
①时，，解不等式得，
②时，，解不等式得，
③时，，解不等式得．
综上，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为或，
时，不等式的解集为，
时，不等式的解集为，
时，不等式的解集为．
（2）由题意不等式对恒成立，
可设，，
则是关于a的一次函数，要使题意成立只需：
，
解得：，
所以x的取值范围是．
21．答案见解析
利用“作差法”，通过对分类讨论即可得出．
【详解】
．
①当时，，．
②当且时，，．
③当时，，．
综上所述，当时，；
当且时，；
当时，．
本题考查“作差法”比较两个数的大小、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于中档题．
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