4.3等比数列 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第二册 4.3等比数列 同步练习
一、单选题
1．明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑．其中有一段著述“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一．”注：“倍加增”意为“从塔顶到塔底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”，则该塔从塔底数第二层灯的盏数为（ ）
A． B． C． D．
2．已知数列，，…，…是首项为1，公比为2的等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知等比数列的前项积为，若，，则当取最大值时，的值为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
4．在等比数列中，是方程的根，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
5．已知各项均为正数的等比数列中，，，成等差数列，则（ ）
A．27 B．3 C．1或3 D．1或27
6．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，，即此数列第1项是，接下来2项是，，再接下来3项是，，，，设是数列的前项和，则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知等比数列的项和，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数．它指的是，在自然情况下（没有外力介入，同时所有人都没有免疫力），一个感染到某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数它的简单计算公式是：确诊病例增长率×系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中，两例连续病例的间隔时间（单位：天）．根据统计，确诊病例的平均增长率为40%，两例连续病例的间隔时间的平均数5天，根据以上数据计算，若甲得这种传染病，则6轮传播后由甲引起的得病的总人数约为（ ）
A．243 B．248 C．363 D．1092
9．方程的两根的等比中项是（ ）
A．和2 B．1和4 C．2和4 D．2和1
10．已知是公差不为0的等差数列，是与的等比中项，则（ ）
A．－9 B．0 C．9 D．无法确定
11．我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问次日织几问 其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，请问第二天织布的尺数是（ ）
A． B． C． D．
12．已知等比数列中，，，则（ ）
A．1 B．2 C．±1 D．±2
13．已知正项等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
14．设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
15．设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列．已知数列的前项和，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．已知数列和满足，，，.则＝_______.
17．对于数列，定义数列为数列的“差数列”，若，的“差数列”的通项公式为，数列的前项和为，则的最大值为________．
18．在等比数列{an}中，已知，则的值为_____．
三、解答题
19．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知公差不为0的等差数列的前项和为，是与的等比中项，______．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
20．已知等比数列的前n项和为，，且，，成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和
21．已知各项均不相等的等差数列的前项和为，且 是等比数列的前项.
（1）求，；
（2）设，求的前项和.
22．已知等比数列的前项和为，且.
（1）求与；
（2）记，求数列的前项和.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
题意说明从塔顶到塔底，每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，设塔顶灯盏数为，由前项和公式求得，再由通项公式计算得选项．
【详解】
根据题意，可知从塔顶到塔底，每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，设塔顶灯盏数为，则有，解得，从塔底数第二层灯的盏数为，
故选：C.
2．D
根据题意，求得，再利用累乘法即可求得，再结合对数运算，即可求得结果.
【详解】
由题设有，
而，
当时，也满足该式，故，
所以，
故选：D.
本题考查利用累乘法求数列的通项公式，涉及对数运算，属综合基础题.
3．D
设等比数列的公比为，由已知求得，写出通项公式，然后求得积，确定在为偶数时，计算出（），再说明且为偶数时，即得．
【详解】
解：设等比数列的公比为，则，解得，所以，
所以，所以当取得最大值时，可得为偶数，
而在上单调递减，；；，则，且，
当且为偶数时，，
，所以，所以时，取得最大值．
故选：D．
4．B
根据是方程的根，利用韦达定理得到，再利用等比数列的性质求解.
【详解】
因为在等比数列中，是方程的根，
所以，
所以，
由等比数列的性质得，
所以，
所以，
故选：B
5．A
根据，，成等差数列，由，求得公比即可.
【详解】
设等比数列的公比为q，
因为，，成等差数列，
所以，
所以，
化简得，
所以（不合题意，舍去），
所以.
故选：A.
6．A
结合分组求和法、等比数列前项和公式求得.
【详解】
分组：第1组有1项为；第2组有2项，为，；……；第组有项，为，，…，.
根据等比数列的前项和公式得每组各项和分别为，，，…，.∵前63组共有（项），
∴.
故选：A.
7．D
由与的关系可求得，进而可判断出数列也为等比数列，确定该数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式可求得所化简所求代数式.
【详解】
已知等比数列的项和.
当时，；
当时，.
由于数列为等比数列，则满足，所以，，解得，
，则，，且，
所以，数列为等比数列，且首项为，公比为，
因此，.
故选：D.
方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：
（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式或进行求解；
（2）前项和法：根据进行求解；
（3）与的关系式法：由与的关系式，类比出与的关系式，然后两式作差，最后检验出是否满足用上面的方法求出的通项；
（4）累加法：当数列中有，即第项与第项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法；
（5）累乘法：当数列中有，即第项与第项的商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；
（6）构造法：①一次函数法：在数列中，（、均为常数，且，）.
一般化方法：设，得到，，可得出数列是以的等比数列，可求出；
②取倒数法：这种方法适用于（、、为常数，），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于的式子；
⑦（、为常数且不为零，）型的数列求通项，方法是在等式的两边同时除以，得到一个型的数列，再利用⑥中的方法求解即可.
8．D
可知每轮传播人数是等比数列，先求出传播指数RO，即可由等比数列前6项和得出．
【详解】
记第1轮感染人数为，第2轮感染人数为，…，第轮感染人数为，则数列是等比数列，公比为，
由题意，即，所以，
总人数为人.
故选：D．
本题考查数列的应用，解题关键是理解新概念“传播指数”，可以用数列表示该问题，传播指数就是等比数列的公比，从第一轮开始每轮传播的人数为数列的项，问题就是求等比数列的前6项和．
9．A
先根据韦达定理求出两根之积，再结合等比中项公式计算即可.
【详解】
由一元二次方程根与系数的关系可知方程的两根之积为4，
又因为，故方程的两根的等比中项是．
故选：A
10．B
由得出，代入可得答案.
【详解】
设的公差为d，因为是与的等比中项，
所以，即，可得，
所以.
故选：B.
11．C
根据等比数列求和公式求出首项即可得解.
【详解】
由题可得该女子每天织布的尺数成等比数列，设其首项为，公比为，
则，解得
所以第二天织布的尺数为.
故选：C
12．B
根据等比数列通项公式列方程计算即可.
【详解】
等比数列中，，，
则，解得，
故选：B．
13．C
由等比数列的性质得出，由前项和的定义得，从而可求得公比和首项，再由前项和公式计算．
【详解】
是等比数列，公比为，由，得，
又，所以，，所以，由解得，
所以，，，
所以．
故选：C．
关键点点睛：本题考查求等比数列的前项和，解题关键是由等比数列性质求得，然后可用基本量法求得首项，公比，再由前项和公式得结论．
14．C
由已知可求得，再根据等比数列求和公式即可求出.
【详解】
设等比数列的公比为，则，
.
故选：C.
15．A
设数列和的前项和分别为，然后利用分求出，再利用列方程，由对应项的系数相等可求出结果
【详解】
设数列和的前项和分别为，则
（），
若，则，则，显然没有出现，所以，
所以，
由两边的对应项相等可得，
解得，
所以.
故选：A
16．
求出，推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，求出，进一步推导出数列为等差数列，确定该等差数列的首项和公差，可求得的通项公式，进一步求出和，由此可求得结果.
【详解】
，，且，，则，
由可得，代入可得，
，且，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，
在等式两边同时除以可得，
所以，数列为等差数列，且首项为，公差为，
所以，，，
则，
因此，.
故答案为：.
数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：
①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；
②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．
17．
根据差数列的通项公式，用累加法求出，然后由等比数列前项和公式求得，求出的最小值后可得结论．
【详解】
由题意得，则，，，．．．．．．，，
将以上各式相加，得，
∴，也适合，，．
则的最大值为．
故答案为：．
关键点点睛：本题考查数列新定义，理解新定义是解题基础．本题新定义提供了数列递推关系的另一种表示形式，利用累加法求数列的通项公式，考查等比数列前项和公式，数列的最值，对数函数的性质，本题属于中档题．
18．100
根据等比数列的性质即可求出．
【详解】
，
故答案为：100．
19．(1)
(2)
（1）选条件①：由等比中项的定义和等差数列的通项公式求出的首项和公差，代入等差数列的通项公式中，得的通项公式．
选条件②：由等比中项的定义和等差数列的前项和公式求出的首项和公差，代入等差数列的通项公式中，得的通项公式．
选条件③：由是与的等比中项，判断，由，可得，只需利用等比中项的定义和等差数列的前项和公式，求出的首项和公差，代入等差数列的通项公式中，得的通项公式．
（2）先求出，进而可得，利用裂项相消法即可求得数列的前项和．
(1)
选条件①．
设等差数列的公差为，
则依题意得，，所以，得，
所以数列的通项公式为；
选条件②．
设等差数列的公差为，
则依题意得，，所以，得，
所以数列的通项公式为．
选条件③．
因为是与的等比中项，所以，
由，可得，
设等差数列的公差为，
则依题意得，，所以，得，
所以数列的通项公式为．
(2)
由（1）可得．
因为，所以，
.
20．（1）；（2）.
（1）设等比数列的公比为，由等比数列的通项公式可得，进而可得，再由等差数列的性质、等比数列的知识列方程可得，即可得解；
（2）由，结合等比数列前n项和公式、裂项相消法及分组求和法即可得解.
【详解】
（1）在比数列中，设等比数列的公比为，由，
得，∴，
∵，，成等差数列，∴，
从而有，得，
∴；
（2）由，且，
得，
∴，
.
本题考查了等差等比数列的综合应用，数列求和的方法技巧有：
（ 1）倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．
（ 2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
（ 3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
（ 4）裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和.
21．（1）；（2）.
（1）设数列的公差为，由题意列关于首项与公差的方程，联立求得首项与公差，则，可求；
（2）把（1）中求得的通项公式代入，分组后利用等比数列前n项和与裂项相消法求解数列的前项和.
【详解】
解：（1）设数列的公差为，
由题意，，①
又∵成等比数列，∴，
即，得，②
联立①②可得，
∴ ，；
（2）∵，
∴
＝.
∴数列的前项和为.
本题考查等差等比数列基本量的计算，等比数列求和公式，裂项求和，分组求和法等，考查运算求解能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于先根据分组求和，转化为等比数列的和与的和，进而利用裂项求和求解.
22．（1），；（2）.
（1）利用可得数列的递推式，得其为等比数列，易得通项公式、求和；
（2）由（1）得，用错位相减法求和．
【详解】
（1）由，得，
当时，，得；
当时，，得，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以.
所以.
（2）由（1）可得，
则，
，
两式相减得，
所以
.
（1）错位相减法适用于数列是由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积构成的数列的求和，求解的方法是等式两边乘等比数列的公比再错位相减，错位相减后化归为一个等比数列的求和；
（2）用错位相减法求和时，应注意两点：一是要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；二是在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“”的表达式.
答案第1页，共2页
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