第五章一元函数的导数及其应用 单元练习（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 第五章一元函数的导数及其应用 单元练习（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 673.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-07 05:08:08 | ||
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文档简介
人教A版（2019）选择性必修第二册 第五章一元函数的导数及其应用
一、单选题
1．设，若为函数的极大值点，则（ ）
A． B． C． D．
2．若，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图是函数的导函数的图象，则函数的极小值点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．已知函数的图象在(1，f（1）)处的切线经过坐标原点，则函数y=f(x)的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
5．已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
6．函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
7．函数在处有极值，则的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
8．函数的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
9．函数在上的最大值与最小值分别为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，当自变量由1变为2时，函数的平均变化率为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
11．已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
12．在气象学中，通常把某时段内降雨量的平均变化率称为该时段内的降雨强度，它是反映降雨大小的一个重要指标．下表为一次降雨过程中记录的降雨量数据．
时间 0 10 20 30 40 50 60
降雨量 0 6 14 18 20 23 24
则下列四个时段降雨强度最小的是（ ）．A．到 B．到
C．到 D．到
二、填空题
13．已知函数在处取得最小值m，则___________.
14．已知定义在上的函数，则曲线在点处的切线方程是______．
15．函数在处的切线与直线垂直，则实数的值为______．
16．函数在区间（其中）上存在最小值，则实数的取值范围为______
三、解答题
17．已知函数及点，过点作直线与曲线相切.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求曲线过点的切线的斜率．
18．已知函数，从①是函数的一个极值点，②函数的图象在处的切线方程为这两个条件中任选一个作为已知条件，并回答下列问题．
（1）求a的值；
（2）求的单调区间．
19．如图，在半径为m的圆形O为圆心铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A，C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面不计剪裁和拼接损耗，设矩形的边长ABx m，圆柱的体积为V m3．
（1）写出体积V关于x的函数关系式，并指出定义域；
（2）当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大最大体积是多少
20．已知函数.
（1）求函数f(x)的单调递增区间；
（2）若函数f(x)有三个零点，求实数的取值范围.
21．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值
（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间
（2）若对，不等式恒成立，求c的取值范围.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项.
【详解】
若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.
有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的.
当时，由，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.
当时，由时，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.
综上所述，成立.
故选：D
本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.
2．A
由题意可得，，分析可得，构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，可得，结合函数的单调性可得出结论.
【详解】
由题意可知，，则，
构造函数，其中，则，
当且仅当时，等号成立，所以，函数在上单调递增，
由可得，所以，，则，
A对B错，无法判断CD选项的正误.
故选：A.
3．B
通过读图由取值符号得出函数的单调区间，从而求出函数的极值点，得出答案．
【详解】
由图象，设与轴的两个交点横坐标分别为、其中，
知在，上，
所以此时函数在，上单调递增，
在上，，此时在上单调递减，
所以时，函数取得极大值，时，函数取得极小值．
则函数的极小值点的个数为1．
故选: B
本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，考查数形结合思想，属于基础题．
4．C
利用导数的几何意义求出，从而可得，求出导函数，利用导数判断出函数的单调性，由单调性即可求出最值.
【详解】
函数，则
且，所以，
所以，解得，
所以，（）
，
令，即，解得，
令，即，解得，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
所以.
故选：C
5．D
求出函数的导数，问题转化为函数与x轴在上有交点，即求.
【详解】
函数的定义域为，，
令，
若在上不单调，则函数与x轴在上有交点，
又，
则，
解得，
故在上不单调的一个充分不必要条件是．
故选：D．
6．C
先求出函数的定义域，然后对函数求导，使导函数大于零，解不等式可得答案
【详解】
函数的定义域为；，
，
当时，函数单调递增，解得，
所以函数的单调递增区间是.
故选：C
此题考查导数的应用，利用导数求函数的单调区间，属于基础题.
7．D
求出函数的导函数,根据极值点处的导数为零,即可求得ab的长.
【详解】
,由,可得.
故选:D.
本题考查利用导数研究函数的极值问题,属基础题,主要根据极值点的必要条件求解即可.
8．A
先求导数，令求解不等式可得答案.
【详解】
由题可知，由，解得.
所以单调递减区间为.
故选：A.
9．A
利用导数法求解.
【详解】
解：因为函数，
所以，
令，得，
当或时，，当时，，
又，
所以在上的最大值与最小值分别为，
故选：A
10．C
由平均变化率的公式求解即可
【详解】
当自变量由1变为2时，函数的平均变化率为
，
故选：C
11．D
由题设，由已知得函数在R上单调递增，且，根据函数的单调性建立不等式可得选项.
【详解】
由题可设，因为，
则，
所以函数在R上单调递增，
又，不等式可转化为，
∴，
所以，解得，
所以不等式的解集为．
故选：D.
12．D
结合题意计算各个时间段的降雨强度，再比较大小即可．
【详解】
解：到的降雨强度为；
到的降雨强度为；
到的降雨强度为；
到的降雨强度为．
因为，所以四个时段中到的降雨强度最小．
故选：．
13．
先求解出，然后根据的正负判断出的单调性，由此得到取最小值时的取值即为的值，取到的最小值即为的值，则可求.
【详解】
因为，且，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以在处取最小值，所以，
所以，
故答案为：.
关键点点睛：解答本题的关键在于对于导函数的化简，通过对进行因式分解并结合三角函数的有界性能高效分析出的单调性和最值.
14．
利用导数的几何意义求出切线斜率，进而可得切线方程.
【详解】
令，得．对求导，得，
所以，故曲线在点处的切线方程为．
故答案为：.
15．
利用导数的几何意义求斜率，再根据两条直线垂直求参数.
【详解】
因为，，
所以在处的切线的斜率为3，
因为切线与直线互相垂直，，
所以，解得．
故答案为：
16．
对函数求导得，求得函数的极小值点，可得不等式解不等式可得答案；
【详解】
因为，所以，，
所以在单调递减，在单调递增，
因为在区间（其中）上存在最小值，
所以解得：，
故答案为：.
17．（1）；（2）或7.
（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，根据点斜式求出切线方程；
（2）利用导数的几何意义和斜率公式可解得结果.
【详解】
解：（1）因为，所以，
所以切线的斜率为，又，
所以切线方程为，即．
（2）设切点为，则，
整理得，解得或，
所以切线的斜率为或7.
18．（1）条件性选择见解析，；（2）单调递减区间为和，单调递增区间为．
（1）选①，求出函数的导函数，根据是函数的一个极值点，得函数在处得到函数值为0，即可得出答案；
选②，根据函数的图象在处的切线方程为，即函数在处得导数值为3，即可的解；
（2）由（1）得，求出函数得导函数，再根据导函数得符号即可得出答案.
【详解】
解：（1）选①．
由题意知，，
依题意得，，
即，经检验符合题意．
选②．
由题意知，，
因为函数的图象在处的切线方程为，
所以，得．
（2）由（1）得，
，
令得，或，
列表：
-1 3
- 0 + 0 -
所以的单调递减区间为和，单调递增区间为．
19．（1）且；（2）当x为m时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大体积是m3.
（1）连接OB，设圆柱底面半径为r，易得，进而写出体积V关于x的函数关系式及其定义域.
（2）由（1）得，根据的符号研究V的单调性，进而求其最大值及其对应的x值.
【详解】
（1）连接OB，在中，，则，
设圆柱底面半径为r，则，即，
，其中．
（2）由及，得，列表如下：
x
0
V 递增 极大值 递减
∴当时，V有极大值，也是最大值为．
答：当x为时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大体积是．
20．（1）(－∞，－1)和；（2）.
（1）求出导数，解不等式，求出单增区间；
（2）利用三次函数的特征，要使f(x)有三个零点，只需f(x)极大值×f(x)极小值<0，解不等式即可.
【详解】
解：(1)，则f′(x)＝3x2＋2x－1，
由f′(x)>0，得x<－1或x>，
所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和.
（2）由（1）知，在取得极大值，在取得极小值
函数f(x)有三个零点，解得实数的取值范围.
函数的单调性与导数的关系：
已知函数在某个区间内可导，
（1）如果>0，那么函数在这个区间内单调递增；如果<0，那么函数在这个区间内单调递减；
（2）函数在这个区间内单调递增，则有；函数在这个区间内单调递减，则有；
21．（1），单调递增区间为和 ，单调递减区间为；（2）或
（1）求出函数导数，由题可得即可求出；
（2）求出在的最大值即可建立关系求解.
【详解】
（1），，
在与时都取得极值，
，解得，
，
令可解得或；令可解得，
的单调递增区间为和 ，单调递减区间为；
（2），
由（1）可得当时，为极大值，而，
所以，
要使对恒成立，则，解得或.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．设，若为函数的极大值点，则（ ）
A． B． C． D．
2．若，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图是函数的导函数的图象，则函数的极小值点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．已知函数的图象在(1，f（1）)处的切线经过坐标原点，则函数y=f(x)的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
5．已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
6．函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
7．函数在处有极值，则的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
8．函数的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
9．函数在上的最大值与最小值分别为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，当自变量由1变为2时，函数的平均变化率为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
11．已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
12．在气象学中，通常把某时段内降雨量的平均变化率称为该时段内的降雨强度，它是反映降雨大小的一个重要指标．下表为一次降雨过程中记录的降雨量数据．
时间 0 10 20 30 40 50 60
降雨量 0 6 14 18 20 23 24
则下列四个时段降雨强度最小的是（ ）．A．到 B．到
C．到 D．到
二、填空题
13．已知函数在处取得最小值m，则___________.
14．已知定义在上的函数，则曲线在点处的切线方程是______．
15．函数在处的切线与直线垂直，则实数的值为______．
16．函数在区间（其中）上存在最小值，则实数的取值范围为______
三、解答题
17．已知函数及点，过点作直线与曲线相切.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求曲线过点的切线的斜率．
18．已知函数，从①是函数的一个极值点，②函数的图象在处的切线方程为这两个条件中任选一个作为已知条件，并回答下列问题．
（1）求a的值；
（2）求的单调区间．
19．如图，在半径为m的圆形O为圆心铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A，C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面不计剪裁和拼接损耗，设矩形的边长ABx m，圆柱的体积为V m3．
（1）写出体积V关于x的函数关系式，并指出定义域；
（2）当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大最大体积是多少
20．已知函数.
（1）求函数f(x)的单调递增区间；
（2）若函数f(x)有三个零点，求实数的取值范围.
21．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值
（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间
（2）若对，不等式恒成立，求c的取值范围.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项.
【详解】
若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.
有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的.
当时，由，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.
当时，由时，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.
综上所述，成立.
故选：D
本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.
2．A
由题意可得，，分析可得，构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，可得，结合函数的单调性可得出结论.
【详解】
由题意可知，，则，
构造函数，其中，则，
当且仅当时，等号成立，所以，函数在上单调递增，
由可得，所以，，则，
A对B错，无法判断CD选项的正误.
故选：A.
3．B
通过读图由取值符号得出函数的单调区间，从而求出函数的极值点，得出答案．
【详解】
由图象，设与轴的两个交点横坐标分别为、其中，
知在，上，
所以此时函数在，上单调递增，
在上，，此时在上单调递减，
所以时，函数取得极大值，时，函数取得极小值．
则函数的极小值点的个数为1．
故选: B
本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，考查数形结合思想，属于基础题．
4．C
利用导数的几何意义求出，从而可得，求出导函数，利用导数判断出函数的单调性，由单调性即可求出最值.
【详解】
函数，则
且，所以，
所以，解得，
所以，（）
，
令，即，解得，
令，即，解得，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
所以.
故选：C
5．D
求出函数的导数，问题转化为函数与x轴在上有交点，即求.
【详解】
函数的定义域为，，
令，
若在上不单调，则函数与x轴在上有交点，
又，
则，
解得，
故在上不单调的一个充分不必要条件是．
故选：D．
6．C
先求出函数的定义域，然后对函数求导，使导函数大于零，解不等式可得答案
【详解】
函数的定义域为；，
，
当时，函数单调递增，解得，
所以函数的单调递增区间是.
故选：C
此题考查导数的应用，利用导数求函数的单调区间，属于基础题.
7．D
求出函数的导函数,根据极值点处的导数为零,即可求得ab的长.
【详解】
,由,可得.
故选:D.
本题考查利用导数研究函数的极值问题,属基础题,主要根据极值点的必要条件求解即可.
8．A
先求导数，令求解不等式可得答案.
【详解】
由题可知，由，解得.
所以单调递减区间为.
故选：A.
9．A
利用导数法求解.
【详解】
解：因为函数，
所以，
令，得，
当或时，，当时，，
又，
所以在上的最大值与最小值分别为，
故选：A
10．C
由平均变化率的公式求解即可
【详解】
当自变量由1变为2时，函数的平均变化率为
，
故选：C
11．D
由题设，由已知得函数在R上单调递增，且，根据函数的单调性建立不等式可得选项.
【详解】
由题可设，因为，
则，
所以函数在R上单调递增，
又，不等式可转化为，
∴，
所以，解得，
所以不等式的解集为．
故选：D.
12．D
结合题意计算各个时间段的降雨强度，再比较大小即可．
【详解】
解：到的降雨强度为；
到的降雨强度为；
到的降雨强度为；
到的降雨强度为．
因为，所以四个时段中到的降雨强度最小．
故选：．
13．
先求解出，然后根据的正负判断出的单调性，由此得到取最小值时的取值即为的值，取到的最小值即为的值，则可求.
【详解】
因为，且，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以在处取最小值，所以，
所以，
故答案为：.
关键点点睛：解答本题的关键在于对于导函数的化简，通过对进行因式分解并结合三角函数的有界性能高效分析出的单调性和最值.
14．
利用导数的几何意义求出切线斜率，进而可得切线方程.
【详解】
令，得．对求导，得，
所以，故曲线在点处的切线方程为．
故答案为：.
15．
利用导数的几何意义求斜率，再根据两条直线垂直求参数.
【详解】
因为，，
所以在处的切线的斜率为3，
因为切线与直线互相垂直，，
所以，解得．
故答案为：
16．
对函数求导得，求得函数的极小值点，可得不等式解不等式可得答案；
【详解】
因为，所以，，
所以在单调递减，在单调递增，
因为在区间（其中）上存在最小值，
所以解得：，
故答案为：.
17．（1）；（2）或7.
（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，根据点斜式求出切线方程；
（2）利用导数的几何意义和斜率公式可解得结果.
【详解】
解：（1）因为，所以，
所以切线的斜率为，又，
所以切线方程为，即．
（2）设切点为，则，
整理得，解得或，
所以切线的斜率为或7.
18．（1）条件性选择见解析，；（2）单调递减区间为和，单调递增区间为．
（1）选①，求出函数的导函数，根据是函数的一个极值点，得函数在处得到函数值为0，即可得出答案；
选②，根据函数的图象在处的切线方程为，即函数在处得导数值为3，即可的解；
（2）由（1）得，求出函数得导函数，再根据导函数得符号即可得出答案.
【详解】
解：（1）选①．
由题意知，，
依题意得，，
即，经检验符合题意．
选②．
由题意知，，
因为函数的图象在处的切线方程为，
所以，得．
（2）由（1）得，
，
令得，或，
列表：
-1 3
- 0 + 0 -
所以的单调递减区间为和，单调递增区间为．
19．（1）且；（2）当x为m时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大体积是m3.
（1）连接OB，设圆柱底面半径为r，易得，进而写出体积V关于x的函数关系式及其定义域.
（2）由（1）得，根据的符号研究V的单调性，进而求其最大值及其对应的x值.
【详解】
（1）连接OB，在中，，则，
设圆柱底面半径为r，则，即，
，其中．
（2）由及，得，列表如下：
x
0
V 递增 极大值 递减
∴当时，V有极大值，也是最大值为．
答：当x为时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大体积是．
20．（1）(－∞，－1)和；（2）.
（1）求出导数，解不等式，求出单增区间；
（2）利用三次函数的特征，要使f(x)有三个零点，只需f(x)极大值×f(x)极小值<0，解不等式即可.
【详解】
解：(1)，则f′(x)＝3x2＋2x－1，
由f′(x)>0，得x<－1或x>，
所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和.
（2）由（1）知，在取得极大值，在取得极小值
函数f(x)有三个零点，解得实数的取值范围.
函数的单调性与导数的关系：
已知函数在某个区间内可导，
（1）如果>0，那么函数在这个区间内单调递增；如果<0，那么函数在这个区间内单调递减；
（2）函数在这个区间内单调递增，则有；函数在这个区间内单调递减，则有；
21．（1），单调递增区间为和 ，单调递减区间为；（2）或
（1）求出函数导数，由题可得即可求出；
（2）求出在的最大值即可建立关系求解.
【详解】
（1），，
在与时都取得极值，
，解得，
，
令可解得或；令可解得，
的单调递增区间为和 ，单调递减区间为；
（2），
由（1）可得当时，为极大值，而，
所以，
要使对恒成立，则，解得或.
答案第1页，共2页
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