6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 同步练习（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 同步练习（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 307.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-07 05:08:55 | ||
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文档简介
人教A版（2019）选择性必修第三册 6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
一、单选题
1．设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动方案有a种，这4名学生在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b种，则（a，b）为（ ）
A．（34，34） B．（43，34） C．（34，43） D．（A43，A43）
2．某省专家组为评审某市是否达到“生态园林城市”的标准，从包含甲、乙两位专家在内的8人中选出4人组成评审委员会，若甲、乙两位专家已经被邀请，则组成该评审委员会的不同方式共有（ ）
A．30种 B．15种 C．20种 D．25种
3．用0，1，2，3组成没有重复数字的四位数，其中奇数有（ ）
A．8个 B．10个 C．18个 D．24个
4．7个人排成一排准备照一张合影，其中甲、乙要求相邻，丙、丁要求分开，则不同的排法有（ ）
A．480种 B．720种 C．960种 D．1200种
5．已知，则可表示不同的值的个数为（ ）
A．10 B．6
C．8 D．9
6．车马理论也称霍姆斯马车理论，是指各种资源都得到最合理配置和使用充分均匀的一种理论．管理学家经常将霍姆斯马车理论引申为：一个富有效率的团队，不需要每一个人都是最有能力的，而在于每个人的能力都能得到最合理的发挥．某班一小队共10名同学，编号分别为1，2，…，9，10，要均分成两个学习小组（学习小组没有区别），其中1，2号同学必须组合在一起，3，4号同学也必须组合在一起，其余同学可以随意搭配，就能达到最佳效果，那么不同的分组方式的种数为（ ）
A．26 B．46 C．52 D．126
7．今年我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没．“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方，若某医生从“三药三方”中随机选出2种，则恰好选出1药1方的方法种数为（ ）
A．15 B．30 C．6 D．9
8．某旅行社共有名专业导游，其中人会英语，人会日语，若在同一天要接待个不同的外国旅游团，其中有个旅游团要安排会英语的导游，个旅游团要安排会日语的导游，则不同的安排方法种数有（ ）
A． B． C． D．
9．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，如图，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为（ ）
A． B． C． D．
10．是全面实现小康社会目标的一年，也是全面打赢脱贫攻坚战的一年.复旦大学团委发起了“跟着驻村第一书记去扶贫”的实践活动，其中学生小明与另外名学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙个贫困村参与扶贫工作，若每个村至少分配名学生，则小明恰好分配到甲村的方法数是（ ）
A． B． C． D．
11．算盘是中国古代的一项重要发明．现有一种算盘（如图1），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字，梁下五珠，上拨一珠记作数字（如图2中算盘表示整数）．如果拨动图1算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为（ ）
A． B． C． D．
12．已知集合，若A，B是P的两个非空子集，则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对(A,B)的个数为（ ）
A．49 B．48 C．47 D．46
二、填空题
13．中国体育彩票坚持“公益体彩乐善人生”公益理念，为支持中国体育事业发展做出了贡献，其中“大乐透”是群众特别喜欢购买的一种体育彩票，其规则是从前区1到35的号码中选5个，后区1到12的号码中选2个组成一注彩票.其中复式玩法允许从前区选5个以上，后区选2个以上号码，那么从前区1到35的号码中选7个号码，从后区1到12的号码中选3个，组成的彩票注数为___________.
14．2020年是我国脱贫攻坚决战决胜之年，某县农业局为支持该县的扶贫工作，决定派出8名农技人员（5男3女），并分成两组，分配到2个贫困村进行扶贫工作，若每组至少3人，且每组都有男农技人员，则不同的分配方案共有______种（用数字填写答案）．
15．回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为：“回文数”.如44，585，2662等，那么用数字0，1，2，3，4，5可以组成5位“回文数”的个数为______.
16．直线方程Ax＋By＝0，若从0，1，2，3，5，7这六个数字中每次取两个不同的数作为系数A，B的值，则方程表示不同直线的条数是________．
17．南昌花博会期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有________种．
三、解答题
18．一个商店销售某种型号的电视机，其中本地的产品有4种，外地的产品有7种．要买1台这种型号的电视机，有多少种不同的选法？
19．某校“数学俱乐部”有高一学生10人，高二学生8人，高三学生7人.
(1)从中选出1人担任总干事，有多少种不同的选法？
(2)从每一个年级各选1人担任本年级的组长，有多少种不同的选法？
20．现有4个数学课外兴趣小组，其中一、二、三、四组分别有7人、8人、9人、10人.
（1）选1人为负责人，有多少种不同的选法？
（2）每组选1名组长，有多少种不同的选法？
（3）推选2人发言，这2人需来自不同的小组，有多少种不同的选法？
21．某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．
（1）任选1个班的学生参加社会实践活动，有多少种不同的选法？
（2）三个年级各选1个班的学生参加社会实践活动，有多少种不同的选法？
（3）选2个班的学生参加社会实践活动，要求这2个班不同年级，有多少种不同的选法？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
本题是一个分步乘法问题，每名学生报名有3种选择，有4名学生根据分步计数原理知共有34种选择，同理三项冠军的结果数也有类似的做法．
【详解】
由题意知本题是一个分步乘法问题，
首先每名学生报名有3种选择，
有4名学生根据分步计数原理知共有34种选择，
每项冠军有4种可能结果，
3项冠军根据分步计数原理知共有43种可能结果.
故选：C．
2．B
根据题意只需再从除甲、乙两位专家外的6人中选2人即可.
【详解】
解：由题意知，甲、乙已经被邀请，相当于只需再从6人中选2人，
则有种不同的组成方式.
故选：B．
3．A
先确定个位数字，再确定千位，最后把剩下的2个数字排在十位和百位上，然后由分步计数原理求解.
【详解】
先确定个位数字为奇数，有2种方法；再确定千位，有2种方法；
十位和百位没有限制，把剩下的2个数字排在十位和百位上，有种方法.
由分步计数原理得四位奇数有个，
故选：A.
4．C
甲、乙要求相邻，则把甲和乙看成一个元素，与除去丙和丁以外的共4个元素进行全排列，其中甲和乙之间还有一个排列，根据丙和丁不相邻，把形成的五个空选两个排列丙和丁．得到结果．
【详解】
解：由题意知，
甲、乙要求相邻，则把甲和乙看成一个元素，
与除去丙和丁以外的共4个元素进行全排列，其中甲和乙之间还有一个排列，
把形成的五个空选两个排列丙和丁，
根据分步计数原理知共有A44A22A52＝960种．
故选：C．
5．D
采用分步乘法计数原理进行分析，第一步先从集合中取一个值，得到对应的情况数，第二步再从集合中取一个值，得到对应的情况数，两次的情况数相乘并分析结果，由此可知可表示不同的值的个数.
【详解】
解析：因为从集合中任取一个值共有个不同的值，从集合中任取一个值共有个不同的值，
故可表示个不同的乘法计算，且经检验计算结果均不相同，
所以可表示不同的值有个．
故选：D.
6．A
根据题意分为两类：（1）当1，2号同学与3，4号同学在同一个小组，（2）当1，2号同学与3，4号同学在不同的小组，即可求解.
【详解】
由题意，可分为两类：
（1）若1，2号与3，4号在同一个小组，那么该小组还差1人，有种分组方式；
（2）若1，2号与3，4号在不同的小组，则这两个小组均还差3人，有种分组方式，
所以共有种分组方式．
故选：A．
7．D
根据题意，分析“1药”和“1方”的取法数目，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】
解：根据题意，某医生从“三药三方”中随机选出2种，恰好选出1药1方，
则1药的取法有3种，1方的取法也有3种，
则恰好选出1药1方的方法种数为；
故选：．
本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．
8．C
分析可知有名导游既会英语又会日语，记甲为既会英语又会日语的导游，按照甲是否被安排到需要会英语的旅游团可分为两类，先确定甲所安排的旅行团，再确定其他团的人员，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.
【详解】
由题意知有名导游既会英语又会日语，记甲为既会英语又会日语的导游，按照甲是否被安排到需要会英语的旅游团可分为两类：
第一类，甲被安排到需要会英语的旅游团，则可分两步进行：
第一步，从会英语的另外人中选出人，有种选法，将选出的人和甲安排到个需要会英语的旅游团，有种安排方法，所以有种安排方法；
第二步，从会日语的另外人中选出人安排到需要会日语的旅游团，共种选法.
故此时共有种安排方法；
第二类，甲没有被安排到需要会英语的旅游团，则可分两步进行：
第一步，将会英语的另外人安排到需要会英语的旅游团，有种安排方法；
第二步，从会日语的人（包括甲）中选出人安排到需要会日语的旅游团，有种选法.
故此时共有种选法．
综上，不同的安排方法种数为．
故选：C．
9．C
分两步,先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用乘法原理可求解.
【详解】
分两步,先将四棱锥一侧面三顶点染色,然后再分类考虑另外两顶点的染色数,用乘法原理可求解，由题设，四棱锥S - ABCD的顶点S, A, B所染的颜色互不相同,它们共有种染色方法；
当染好时，不妨设所染颜色依次为1, 2, 3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4,则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法,即当S, A, B染好时，C, D还有7种染法.
故不同的染色方法有种.
故选：C
10．C
对甲村分配的学生人数进行分类讨论，结合分类加法计数原理可求得结果.
【详解】
若甲村只分配到名学生，则该学生必为小明，此时分配方法数为种；
若甲村分配到名学生，则甲村除了分配到小明外，还应从其余名学生中挑选名学生分配到该村，此时分配方法数为种.
综上所述，不同的分配方法种数为种.
故选：C.
方法点睛：不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．
11．C
分四种情况讨论：①个位拨动三枚；②十位拨动一枚，个位拨动两枚；③十位拨动两枚，个位拨动一枚；④十位拨动三枚.分别列举出每种情况下对应的数字，利用分类加法计数原理可得结果.
【详解】
由题意，拨动三枚算珠，有种拨法：
①个位拨动三枚，有种结果：、；
②十位拨动一枚，个位拨动两枚，有种结果：、、、；
③十位拨动两枚，个位拨动一枚，有种结果：、、、；
④十位拨动三枚，有种结果：、．
综上，拨动题图1算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为．
故选：C.
12．A
利用分类计数法，当A中的最大数分别为1、2、3、4时确定A的集合数量，并得到对应的集合个数，它们在各情况下个数之积，最后加总即为总数量.
【详解】
集合知：
1、若A中的最大数为1时，B中只要不含1即可：的集合为，
而有 种集合，集合对(A,B)的个数为15；
2、若A中的最大数为2时，B中只要不含1、2即可：
的集合为，而B有种，
集合对(A,B)的个数为；
3、若A中的最大数为3时，B中只要不含1、2、3即可：
的集合为，而B有种，
集合对(A,B)的个数为；
4、若A中的最大数为4时，B中只要不含1、2、3、4即可：
的集合为，
而B有种，集合对(A,B)的个数为；
∴一共有个，
故选：A
本题考查了分类计数原理，按集合最大数分类求出各类下集合对的数量，应用加法原理加总，属于难题.
13．63
由题意分两步，第一步从前区所选7个号码中任选5个号码，第二步从后区所选3个号码中任选2个号码，再由由分步计数乘法原理求解.
【详解】
第一步从前区所选7个号码中任选5个号码有（种）情况，
第二步从后区所选3个号码中任选2个号码有（种）情况，
由分步计数乘法原理，组成的彩票注数为（注）.
故答案为：63
14．180
分为两类：第一类是一组3人，另一组5人，第二类是两组均为4人，然后根据人数分组，再进行排列即可.
【详解】
分配的方案有两类，
第一类：一组3人，另一组5人，有种；
第二类：两组均为4人，有种，
所以共有种不同的分配方案．
故填：180
本题考查了分类计数原理和分步计数原理以及排列组合数的计算，属于中档题目，解题中需要注意分组的条件要充分考虑到，防止重复和遗漏.
15．180
分5位“回文数”中间是0时、5位“回文数”第二位和第四位数字是0、5位“回文数”中间3位数字都是0、5位“回文数”没有0讨论计算可得答案.
【详解】
由题意知：组成5位“回文数”有以下几种情况：
当5位“回文数”中间是0时，又分余下的四个位置数字完全相同有5种和余下的四个位置数字2组相同有种，一共有25种；
当5位“回文数”第二位和第四位数字是0时，又分余下的3个位置数字完全相同有5种和不同有种，一共有25种；
当5位“回文数”中间3位数字都是0时，只有余下的首末两个位置位数字完全相同有5种，一共有5种；
当5位“回文数”没有0时，又分5位“回文数”完全相同有5种、第一位第二位第四位第五位数字相同与第三位数字不同共有种 、第一位第二位第三位数字不同有种，一共有125种；
综上所述，一共有种.
故答案为：.
16．22
对A，B能否取0进行讨论后分类求解.
【详解】
解析：若A＝0，则B从1,2,3,5,7中任取一个，均表示直线y＝0；
同理，当B＝0时，均表示直线x＝0；
当A≠0且B≠0时，能表示5×4＝20(条)不同的直线．
故方程表示直线的条数是1＋1＋20＝22.
故答案为：22.
计数问题解题要先区分：1、先分步还是先分类.2、是排列还是组合．
17．156
根据题意，用间接法分析，先分4步进行不受限制的排法数目，再排除计算其中小李和小王在一起的排法数目，从而可得答案
【详解】
解：根据题意，设剩下的2个展区为丙展区和丁展区，用间接法分析：
先计算小李和小王不受限制的排法数学：先在6位志愿者中任选1个，安排在甲展区，有种情况，再在剩下的5个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有种情况，最后将剩下的4个志愿者平均分成2组，全排列后安排到剩下的2个展区，有种情况，
所以小李和小王不受限制的排法有种，
若小李和小王在一起，则两人去丙展区或丁展区，有2种情况：
在剩下的4位志愿者中任选1个，安排到甲展区，有种情况，
再在剩下的3个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有种情况，
最后安排2个安排到剩下的展区，有1种情况，
则小李和小王在一起的排法有种，
所以小李和小不在一起的排法有种，
故答案为：156
18．11种
由分类加法计数原理计算即可得解.
【详解】
由题意，购买本地产品的选法有4种，购买外地产品的选法有7种，
所以购买1台这种型号的电视机，共有种不同的选法.
19．(1)25；
(2)560.
（1）从所有人中选出1人担任总干事，根据分类加法计数原理即可得出结果；
（2）从每一个年级各选1人担任本年级的组长，根据分步乘法计数原理即可得出结果.
(1)
解：由题可知，该“数学俱乐部”有高一学生10人，高二学生8人，高三学生7人，
从中选出1人担任总干事，则共有10+8+7=25种选法.
(2)
解：每一个年级各选1人担任本年级的组长，
则共有种.
20．（1）34；（2）5040；（3）431
（1）根据分类计数原理即可得到答案；
（2）根据分步计数原理即可得到答案；
（3）根据题根据分步分类计数原理可得答案．
【详解】
（1）分四类：第一类，从一组中选1人，有7种选法；
第二类，从二组中选1人，有8种选法；
第三类，从三组中选1人，有9种选法；
第四类，从四组中选1人，有10种选法.
所以不同的选法共有（种）；
（2）分四步：第一、二、三、四步分别为从一、二、三、四组中选1名组长，所以不同的选法共有（种）；
（3）分六类：从一、二组中各选1人，有种不同的选法；
从一、三组中各选1人，有种不同的选法；
从一、四组中各选1人，有种不同的选法；
从二、三组中各选1人，有种不同的选法；
从二、四组中各选1人，有种不同的选法；
从三、四组中各选1人，有种不同的选法.
所以不同的选法共有（种）.
21．（1）21；（2）336；（3）146.
(1)根据条件利用分类加法计数原理即可计算得解；
(2)根据条件利用分步乘法计数原理即可计算得解；
(3)先分三类，再将每一类分两步用分步乘法计数原理求出对应结果，然后将各类的计算结果相加即得.
【详解】
（1）分三类：第一类，从高一年级选1个班，有6种不同的选法；第二类，从高二年级
选1个班，有7种不同的选法；第三类，从高三年级选1个班，有8种不同的选法，
由分类加法计数原理，知共有种不同的选法；
（2）分三步：第一步，从高一年级选1个班，有6种不同的选法；第二步，从高二年级
选1个班，有7种不同的选法；第三步，从高三年级选1个班，有8种不同的选法，
由分步乘法计数原理，知共有种不同的选法；
（3）分三类，每类又分两步：第一类，从高一，高二两个年级中各选1个班，有种不同的选法，
第二类，从高一、高三两个年级中各选1个班，有种不同的选法，
第三类，从高二，高三两个年级中各选1个班，有种不同的选法，
由分类加法计数原理，知共有种不同的选法．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动方案有a种，这4名学生在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b种，则（a，b）为（ ）
A．（34，34） B．（43，34） C．（34，43） D．（A43，A43）
2．某省专家组为评审某市是否达到“生态园林城市”的标准，从包含甲、乙两位专家在内的8人中选出4人组成评审委员会，若甲、乙两位专家已经被邀请，则组成该评审委员会的不同方式共有（ ）
A．30种 B．15种 C．20种 D．25种
3．用0，1，2，3组成没有重复数字的四位数，其中奇数有（ ）
A．8个 B．10个 C．18个 D．24个
4．7个人排成一排准备照一张合影，其中甲、乙要求相邻，丙、丁要求分开，则不同的排法有（ ）
A．480种 B．720种 C．960种 D．1200种
5．已知，则可表示不同的值的个数为（ ）
A．10 B．6
C．8 D．9
6．车马理论也称霍姆斯马车理论，是指各种资源都得到最合理配置和使用充分均匀的一种理论．管理学家经常将霍姆斯马车理论引申为：一个富有效率的团队，不需要每一个人都是最有能力的，而在于每个人的能力都能得到最合理的发挥．某班一小队共10名同学，编号分别为1，2，…，9，10，要均分成两个学习小组（学习小组没有区别），其中1，2号同学必须组合在一起，3，4号同学也必须组合在一起，其余同学可以随意搭配，就能达到最佳效果，那么不同的分组方式的种数为（ ）
A．26 B．46 C．52 D．126
7．今年我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没．“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方，若某医生从“三药三方”中随机选出2种，则恰好选出1药1方的方法种数为（ ）
A．15 B．30 C．6 D．9
8．某旅行社共有名专业导游，其中人会英语，人会日语，若在同一天要接待个不同的外国旅游团，其中有个旅游团要安排会英语的导游，个旅游团要安排会日语的导游，则不同的安排方法种数有（ ）
A． B． C． D．
9．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，如图，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为（ ）
A． B． C． D．
10．是全面实现小康社会目标的一年，也是全面打赢脱贫攻坚战的一年.复旦大学团委发起了“跟着驻村第一书记去扶贫”的实践活动，其中学生小明与另外名学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙个贫困村参与扶贫工作，若每个村至少分配名学生，则小明恰好分配到甲村的方法数是（ ）
A． B． C． D．
11．算盘是中国古代的一项重要发明．现有一种算盘（如图1），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字，梁下五珠，上拨一珠记作数字（如图2中算盘表示整数）．如果拨动图1算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为（ ）
A． B． C． D．
12．已知集合，若A，B是P的两个非空子集，则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对(A,B)的个数为（ ）
A．49 B．48 C．47 D．46
二、填空题
13．中国体育彩票坚持“公益体彩乐善人生”公益理念，为支持中国体育事业发展做出了贡献，其中“大乐透”是群众特别喜欢购买的一种体育彩票，其规则是从前区1到35的号码中选5个，后区1到12的号码中选2个组成一注彩票.其中复式玩法允许从前区选5个以上，后区选2个以上号码，那么从前区1到35的号码中选7个号码，从后区1到12的号码中选3个，组成的彩票注数为___________.
14．2020年是我国脱贫攻坚决战决胜之年，某县农业局为支持该县的扶贫工作，决定派出8名农技人员（5男3女），并分成两组，分配到2个贫困村进行扶贫工作，若每组至少3人，且每组都有男农技人员，则不同的分配方案共有______种（用数字填写答案）．
15．回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为：“回文数”.如44，585，2662等，那么用数字0，1，2，3，4，5可以组成5位“回文数”的个数为______.
16．直线方程Ax＋By＝0，若从0，1，2，3，5，7这六个数字中每次取两个不同的数作为系数A，B的值，则方程表示不同直线的条数是________．
17．南昌花博会期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有________种．
三、解答题
18．一个商店销售某种型号的电视机，其中本地的产品有4种，外地的产品有7种．要买1台这种型号的电视机，有多少种不同的选法？
19．某校“数学俱乐部”有高一学生10人，高二学生8人，高三学生7人.
(1)从中选出1人担任总干事，有多少种不同的选法？
(2)从每一个年级各选1人担任本年级的组长，有多少种不同的选法？
20．现有4个数学课外兴趣小组，其中一、二、三、四组分别有7人、8人、9人、10人.
（1）选1人为负责人，有多少种不同的选法？
（2）每组选1名组长，有多少种不同的选法？
（3）推选2人发言，这2人需来自不同的小组，有多少种不同的选法？
21．某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．
（1）任选1个班的学生参加社会实践活动，有多少种不同的选法？
（2）三个年级各选1个班的学生参加社会实践活动，有多少种不同的选法？
（3）选2个班的学生参加社会实践活动，要求这2个班不同年级，有多少种不同的选法？
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
本题是一个分步乘法问题，每名学生报名有3种选择，有4名学生根据分步计数原理知共有34种选择，同理三项冠军的结果数也有类似的做法．
【详解】
由题意知本题是一个分步乘法问题，
首先每名学生报名有3种选择，
有4名学生根据分步计数原理知共有34种选择，
每项冠军有4种可能结果，
3项冠军根据分步计数原理知共有43种可能结果.
故选：C．
2．B
根据题意只需再从除甲、乙两位专家外的6人中选2人即可.
【详解】
解：由题意知，甲、乙已经被邀请，相当于只需再从6人中选2人，
则有种不同的组成方式.
故选：B．
3．A
先确定个位数字，再确定千位，最后把剩下的2个数字排在十位和百位上，然后由分步计数原理求解.
【详解】
先确定个位数字为奇数，有2种方法；再确定千位，有2种方法；
十位和百位没有限制，把剩下的2个数字排在十位和百位上，有种方法.
由分步计数原理得四位奇数有个，
故选：A.
4．C
甲、乙要求相邻，则把甲和乙看成一个元素，与除去丙和丁以外的共4个元素进行全排列，其中甲和乙之间还有一个排列，根据丙和丁不相邻，把形成的五个空选两个排列丙和丁．得到结果．
【详解】
解：由题意知，
甲、乙要求相邻，则把甲和乙看成一个元素，
与除去丙和丁以外的共4个元素进行全排列，其中甲和乙之间还有一个排列，
把形成的五个空选两个排列丙和丁，
根据分步计数原理知共有A44A22A52＝960种．
故选：C．
5．D
采用分步乘法计数原理进行分析，第一步先从集合中取一个值，得到对应的情况数，第二步再从集合中取一个值，得到对应的情况数，两次的情况数相乘并分析结果，由此可知可表示不同的值的个数.
【详解】
解析：因为从集合中任取一个值共有个不同的值，从集合中任取一个值共有个不同的值，
故可表示个不同的乘法计算，且经检验计算结果均不相同，
所以可表示不同的值有个．
故选：D.
6．A
根据题意分为两类：（1）当1，2号同学与3，4号同学在同一个小组，（2）当1，2号同学与3，4号同学在不同的小组，即可求解.
【详解】
由题意，可分为两类：
（1）若1，2号与3，4号在同一个小组，那么该小组还差1人，有种分组方式；
（2）若1，2号与3，4号在不同的小组，则这两个小组均还差3人，有种分组方式，
所以共有种分组方式．
故选：A．
7．D
根据题意，分析“1药”和“1方”的取法数目，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】
解：根据题意，某医生从“三药三方”中随机选出2种，恰好选出1药1方，
则1药的取法有3种，1方的取法也有3种，
则恰好选出1药1方的方法种数为；
故选：．
本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．
8．C
分析可知有名导游既会英语又会日语，记甲为既会英语又会日语的导游，按照甲是否被安排到需要会英语的旅游团可分为两类，先确定甲所安排的旅行团，再确定其他团的人员，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.
【详解】
由题意知有名导游既会英语又会日语，记甲为既会英语又会日语的导游，按照甲是否被安排到需要会英语的旅游团可分为两类：
第一类，甲被安排到需要会英语的旅游团，则可分两步进行：
第一步，从会英语的另外人中选出人，有种选法，将选出的人和甲安排到个需要会英语的旅游团，有种安排方法，所以有种安排方法；
第二步，从会日语的另外人中选出人安排到需要会日语的旅游团，共种选法.
故此时共有种安排方法；
第二类，甲没有被安排到需要会英语的旅游团，则可分两步进行：
第一步，将会英语的另外人安排到需要会英语的旅游团，有种安排方法；
第二步，从会日语的人（包括甲）中选出人安排到需要会日语的旅游团，有种选法.
故此时共有种选法．
综上，不同的安排方法种数为．
故选：C．
9．C
分两步,先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用乘法原理可求解.
【详解】
分两步,先将四棱锥一侧面三顶点染色,然后再分类考虑另外两顶点的染色数,用乘法原理可求解，由题设，四棱锥S - ABCD的顶点S, A, B所染的颜色互不相同,它们共有种染色方法；
当染好时，不妨设所染颜色依次为1, 2, 3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4,则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法,即当S, A, B染好时，C, D还有7种染法.
故不同的染色方法有种.
故选：C
10．C
对甲村分配的学生人数进行分类讨论，结合分类加法计数原理可求得结果.
【详解】
若甲村只分配到名学生，则该学生必为小明，此时分配方法数为种；
若甲村分配到名学生，则甲村除了分配到小明外，还应从其余名学生中挑选名学生分配到该村，此时分配方法数为种.
综上所述，不同的分配方法种数为种.
故选：C.
方法点睛：不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．
11．C
分四种情况讨论：①个位拨动三枚；②十位拨动一枚，个位拨动两枚；③十位拨动两枚，个位拨动一枚；④十位拨动三枚.分别列举出每种情况下对应的数字，利用分类加法计数原理可得结果.
【详解】
由题意，拨动三枚算珠，有种拨法：
①个位拨动三枚，有种结果：、；
②十位拨动一枚，个位拨动两枚，有种结果：、、、；
③十位拨动两枚，个位拨动一枚，有种结果：、、、；
④十位拨动三枚，有种结果：、．
综上，拨动题图1算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为．
故选：C.
12．A
利用分类计数法，当A中的最大数分别为1、2、3、4时确定A的集合数量，并得到对应的集合个数，它们在各情况下个数之积，最后加总即为总数量.
【详解】
集合知：
1、若A中的最大数为1时，B中只要不含1即可：的集合为，
而有 种集合，集合对(A,B)的个数为15；
2、若A中的最大数为2时，B中只要不含1、2即可：
的集合为，而B有种，
集合对(A,B)的个数为；
3、若A中的最大数为3时，B中只要不含1、2、3即可：
的集合为，而B有种，
集合对(A,B)的个数为；
4、若A中的最大数为4时，B中只要不含1、2、3、4即可：
的集合为，
而B有种，集合对(A,B)的个数为；
∴一共有个，
故选：A
本题考查了分类计数原理，按集合最大数分类求出各类下集合对的数量，应用加法原理加总，属于难题.
13．63
由题意分两步，第一步从前区所选7个号码中任选5个号码，第二步从后区所选3个号码中任选2个号码，再由由分步计数乘法原理求解.
【详解】
第一步从前区所选7个号码中任选5个号码有（种）情况，
第二步从后区所选3个号码中任选2个号码有（种）情况，
由分步计数乘法原理，组成的彩票注数为（注）.
故答案为：63
14．180
分为两类：第一类是一组3人，另一组5人，第二类是两组均为4人，然后根据人数分组，再进行排列即可.
【详解】
分配的方案有两类，
第一类：一组3人，另一组5人，有种；
第二类：两组均为4人，有种，
所以共有种不同的分配方案．
故填：180
本题考查了分类计数原理和分步计数原理以及排列组合数的计算，属于中档题目，解题中需要注意分组的条件要充分考虑到，防止重复和遗漏.
15．180
分5位“回文数”中间是0时、5位“回文数”第二位和第四位数字是0、5位“回文数”中间3位数字都是0、5位“回文数”没有0讨论计算可得答案.
【详解】
由题意知：组成5位“回文数”有以下几种情况：
当5位“回文数”中间是0时，又分余下的四个位置数字完全相同有5种和余下的四个位置数字2组相同有种，一共有25种；
当5位“回文数”第二位和第四位数字是0时，又分余下的3个位置数字完全相同有5种和不同有种，一共有25种；
当5位“回文数”中间3位数字都是0时，只有余下的首末两个位置位数字完全相同有5种，一共有5种；
当5位“回文数”没有0时，又分5位“回文数”完全相同有5种、第一位第二位第四位第五位数字相同与第三位数字不同共有种 、第一位第二位第三位数字不同有种，一共有125种；
综上所述，一共有种.
故答案为：.
16．22
对A，B能否取0进行讨论后分类求解.
【详解】
解析：若A＝0，则B从1,2,3,5,7中任取一个，均表示直线y＝0；
同理，当B＝0时，均表示直线x＝0；
当A≠0且B≠0时，能表示5×4＝20(条)不同的直线．
故方程表示直线的条数是1＋1＋20＝22.
故答案为：22.
计数问题解题要先区分：1、先分步还是先分类.2、是排列还是组合．
17．156
根据题意，用间接法分析，先分4步进行不受限制的排法数目，再排除计算其中小李和小王在一起的排法数目，从而可得答案
【详解】
解：根据题意，设剩下的2个展区为丙展区和丁展区，用间接法分析：
先计算小李和小王不受限制的排法数学：先在6位志愿者中任选1个，安排在甲展区，有种情况，再在剩下的5个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有种情况，最后将剩下的4个志愿者平均分成2组，全排列后安排到剩下的2个展区，有种情况，
所以小李和小王不受限制的排法有种，
若小李和小王在一起，则两人去丙展区或丁展区，有2种情况：
在剩下的4位志愿者中任选1个，安排到甲展区，有种情况，
再在剩下的3个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有种情况，
最后安排2个安排到剩下的展区，有1种情况，
则小李和小王在一起的排法有种，
所以小李和小不在一起的排法有种，
故答案为：156
18．11种
由分类加法计数原理计算即可得解.
【详解】
由题意，购买本地产品的选法有4种，购买外地产品的选法有7种，
所以购买1台这种型号的电视机，共有种不同的选法.
19．(1)25；
(2)560.
（1）从所有人中选出1人担任总干事，根据分类加法计数原理即可得出结果；
（2）从每一个年级各选1人担任本年级的组长，根据分步乘法计数原理即可得出结果.
(1)
解：由题可知，该“数学俱乐部”有高一学生10人，高二学生8人，高三学生7人，
从中选出1人担任总干事，则共有10+8+7=25种选法.
(2)
解：每一个年级各选1人担任本年级的组长，
则共有种.
20．（1）34；（2）5040；（3）431
（1）根据分类计数原理即可得到答案；
（2）根据分步计数原理即可得到答案；
（3）根据题根据分步分类计数原理可得答案．
【详解】
（1）分四类：第一类，从一组中选1人，有7种选法；
第二类，从二组中选1人，有8种选法；
第三类，从三组中选1人，有9种选法；
第四类，从四组中选1人，有10种选法.
所以不同的选法共有（种）；
（2）分四步：第一、二、三、四步分别为从一、二、三、四组中选1名组长，所以不同的选法共有（种）；
（3）分六类：从一、二组中各选1人，有种不同的选法；
从一、三组中各选1人，有种不同的选法；
从一、四组中各选1人，有种不同的选法；
从二、三组中各选1人，有种不同的选法；
从二、四组中各选1人，有种不同的选法；
从三、四组中各选1人，有种不同的选法.
所以不同的选法共有（种）.
21．（1）21；（2）336；（3）146.
(1)根据条件利用分类加法计数原理即可计算得解；
(2)根据条件利用分步乘法计数原理即可计算得解；
(3)先分三类，再将每一类分两步用分步乘法计数原理求出对应结果，然后将各类的计算结果相加即得.
【详解】
（1）分三类：第一类，从高一年级选1个班，有6种不同的选法；第二类，从高二年级
选1个班，有7种不同的选法；第三类，从高三年级选1个班，有8种不同的选法，
由分类加法计数原理，知共有种不同的选法；
（2）分三步：第一步，从高一年级选1个班，有6种不同的选法；第二步，从高二年级
选1个班，有7种不同的选法；第三步，从高三年级选1个班，有8种不同的选法，
由分步乘法计数原理，知共有种不同的选法；
（3）分三类，每类又分两步：第一类，从高一，高二两个年级中各选1个班，有种不同的选法，
第二类，从高一、高三两个年级中各选1个班，有种不同的选法，
第三类，从高二，高三两个年级中各选1个班，有种不同的选法，
由分类加法计数原理，知共有种不同的选法．
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