7.2离散型随机变量及其分布列 同步练习（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 7.2离散型随机变量及其分布列 同步练习（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 308.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-07 05:11:15 | ||
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文档简介
人教A版（2019）选择性必修第三册 7.2 离散型随机变量及其分布列
一、单选题
1．把一枚骰子连续抛掷两次，记事件为“两次所得点数均为奇数”，为“至少有一次点数是5”，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知随机变量的分布列是
1 2 3
则（ ）A． B． C．1 D．
3．“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化史 思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值.为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动.某班有4位同学参赛，每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同.比赛时，若这4位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读，则抽到自己准备的书的人数的均值为（ ）
A． B．1 C． D．2
4．将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是（ ）
A．两次掷得的点数
B．两次掷得的点数之和
C．两次掷得的最大点数
D．第一次掷得的点数减去第二次掷得的点数的差
5．抛掷两枚质地均匀的骰子一次，X为第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差，则X的所有可能取值为（ ）
A．0≤X≤5，X∈N B．－5≤X≤0，X∈Z
C．1≤X≤6，X∈N D．－5≤X≤5，X∈Z
6．若随机变量ξ的分布列：
ξ 1 2 4
P 0.4 0.3 0.3
那么E(5ξ+4)等于A．15 B．11 C．2.2 D．2.3
7．2021年世界园艺博览会于2021年4月到10月在江苏省扬州市举行，“花艺园”的某个部位摆放了10盆牡丹花，编号分别为0，1，2，3，……，9，若从任取1盆，则编号“大于5”的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P(X2)等于
A． B．
C． D．1
9．已知离散型随机变量的分布列，则等于（ ）
1 2 3 4
A． B． C． D．
10．下列随机试验的结果，不能用离散型随机变量表示的是( )
A．将一枚均匀正方体骰子掷两次，所得点数之和
B．某篮球运动员6次罚球中投进的球数
C．电视机的使用寿命
D．从含有3件次品的50件产品中，任取2件，其中抽到次品的件数
11．已知随机变量和，其中，且，若的分布列如下表，则的值为
ξ 1 2 3 4
P m n
A． B． C． D．
12．下列选项中的随机变量不服从两点分布的是（ ）
A．抛掷一枚骰子，所得点数
B．某射击手射击一次，击中目标的次数
C．从装有除颜色外其余均相同的5个红球，3个白球的袋中任取1个球，设
D．某医生做一次手术，手术成功的次数
二、填空题
13．下面给出三个变量:
（1）2013年地球上发生地震的次数ξ.
（2）在一段时间间隔内某种放射性物质发生的α粒子数η.
（3）在一段时间间隔内某路口通过的宝马车的辆数X.
其中是随机变量的是____.
14．已知X的分布列为
X －1 0 1
P a
设，则E(Y)的值为________
15．若随机变量X的概率分布如表，则表中a的值为______．
X 1 2 3 4
P 0.2 0.3 0.3 a
16．一个袋子里装有个红球和个黑球，从袋中取个球，取到个红球得分，取到个黑球得分．设总得分为随机变量，则_______．
三、解答题
17．在某项体能测试中，跑1km时间不超过4min为优秀．某位同学跑1km所花费的时间X是离散型随机变量吗？如果只关心该同学是否能够取得优秀成绩，应该如何定义随机变量？
18．袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字．
(1)求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
(2)求随机变量的分布列．
19．已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．
(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．
①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列；
②设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．
20．设离散型随机变量X的概率分布为，k=1，2，3，4，5．求，．
21．甲乙参加英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行考试，至少答对2道题才算合格．
(1)若一次考试中甲答对的题数是，求的概率分布列，并求甲合格的概率；
(2)若答对1题得5分，答错1题扣5分，记为乙所得分数，求的概率分布列．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
根据条件概率公式转化为，分别求解事件和实际包含的基本事件的个数，代入求解.
【详解】
事件为“两次所得点数均为奇数”，则事件为，，，，，，，，，故；为“至少有一次点数是5”，则事件为，，，，，，所以.
故选：B.
2．A
直接根据离散型随机变量的分布列的性质求解即可得答案.
【详解】
解：根据离散型随机变量的分布列的概率和为得：，
所以.
故选：A.
本题考查分布列的性质，是基础题.
3．B
抽到自己准备的书的学生数可能值为0，1，2，4，结合概率公式求出每个值的概率，再利用数学期望计算公式即可．
【详解】
记抽到自己准备的书的学生数为，则可能值为0，1，2，4
，，
，，
则．
故选：B
4．A
根据随机变量为一个变量判断.
【详解】
因为随机变量为一个变量，
而A中两次掷得的点数的取值是一个数对，不是一个数，
所以不能作为随机变量，
故选A.
5．D
根据第一枚的最小值和第二枚的最大值的差求得的最小值，根据第一枚的最大值和第二枚的最小值的差求得的最大值，从而得出正确选项.
【详解】
第一枚的最小值为，第二枚的最大值为，差为
第一枚的最大值为，第二枚的最小值为，差为
故的取值范围是
故选：D.
6．A
由已知条件求出Eξ=2.2，再由E(5ξ+4)=5E(ξ)+4，能求出结果.
【详解】
由已知，得：Eξ=1×0.4+2×0.3+4×0.3=2.2，
∴E(5ξ+4)=5E(ξ)+4=5×2.2+4=15.
故选：A.
本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题.
7．B
设编号为随机变量，结合题设可得其各可能值的对应概率，再应用互斥事件概率的加法公式求即可.
【详解】
设任取1盆的编号为随机变量，
∴的可能取值为0，1，2，……，9，且，
∴．
故选：B.
8．C
根据超几何分布的概率公式计算各种可能的概率，得出结果
【详解】
由题意，知X取0，1，2，X服从超几何分布，
它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，
即P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，
于是P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝
故选C
本题主要考查了运用超几何分布求概率，分别求出满足题意的情况，然后相加，属于中档题．
9．A
由即可得解.
【详解】
.
故选：A
本题考查离散型随机变量分布列，属于基础题.
10．C
【详解】
分析： 直接利用离散型随机变量的定义逐一判断即可.
详解：随机取值的变量就是随机变量，随机变量分为离散型随机变量与连续型随机变量两种，随机变量的函数仍为随机变量，有些随机变量，它全部可能取到的不相同的值是有限个或可列无限多个,这种随机变量称为“离散型随机变量”，题目中都属于离散型随机变量，而电视机的使用寿命属于连续型随机变量，故选C.
点睛：随机取值的变量就是随机变量，随机变量分为离散型随机变量与连续型随机变量两种（变量分为定性和定量两类，其中定性变量又分为分类变量和有序变量；定量变量分为离散型和连续型），随机变量的函数仍为随机变量，本题考的离散型随机变量.
11．A
根据随机变量和的关系得到，概率和为1，联立方程组解得答案.
【详解】
且，则
即
解得
故答案选A
本题考查了随机变量的数学期望和概率，根据随机变量和的关系得到是解题的关键.
12．A
根据两点分布的概念结合题意即可求解.
【详解】
对于选项A，抛掷一枚骰子，所得点数的取值范围为{1，2，3，4，5，6}，所以A中的随机变量不服从两点分布；
对于选项B，射击手射击一次，有击中或者不击中目标两种可能的结果，B中的随机变量服从两点分布；
对于选项C，袋中只有红球和白球，取出1个球，可能取到红球或者白球，C中的随机变量服从两点分布；
对于选项D，医生做一次手术，手术可能成功，也可能失败，D中的随机变量服从两点分布.
故选A.
13．（2）（3）
（1）因2013年地球上发生地震的次数是确定的，据此判定（1）是否是随机变量；
（2）某种放射性物质发生的α粒子数η是变化的，有限的，据此判定（2）是否是随机变量；
（3）通过的宝马车的辆数也是变化的，据此判定（3）是否是随机变量.
【详解】
（1）2013年地球上发生地震的次数ξ是确定的，故不是随机变量;（2）发出的α粒子数η是变化的，是随机变量;（3）通过的宝马车的辆数X是变化的，是随机变量.
故答案为：（2）（3）
14．
先利用频率之和为求出的值，利用分布列求出，然后利用数学期望的性质得出可得出答案．
【详解】
由随机分布列的性质可得，得，
，因此，.
故答案为.
本题考查随机分布列的性质、以及数学期望的计算与性质，灵活利用这些性质和相关公式是解题的关键，属于基础题．
15．0.2
利用概率和为1，即可求参数a的值．
【详解】
由随机变量X的概率分布表得：，解得．
故答案为：0.2
16．
列出取出的4个球中红球的个数及对应的黑球个数，即可得可能出现的分值，利用排列组合知识列出概率计算公式从而求出概率.
【详解】
取出的4个球中红球的个数可能为4，3，2，1个，黑球相应个数为0，1，2，3个，
其分值为，.
故答案为：
本题考查离散型随机变量分布列，古典概型概率计算公式，排列组合计数原理，属于基础题.
17．答案见解析.
根据离散型随机变量的定义进行问题的分析.
【详解】
若随机变量只取有限多个或可列无限多个值，则称为离散型随机变量，
在某项体能检测中，跑时间不超过为优秀，某同学跑所花的时间是连续的，
所以某同学跑所花费的时间不是离散型随机变量，而是连续型随机变量；
如果只关心是否优秀，只需要定义一个两点随机变量就可以了，如下：
，此时是离散型随机变量，它仅有两个取值，其中表示优秀，表示不优秀.
18．(1)
(2)分布列见解析
（1）利用古典概型的概率公式和对立事件的概率公式可求出结果；
（2）先求出的可能取值为2，3，4，5．在求出的每个取值的概率即可得解.
(1)
“取出的3个小球上的数字互不相同”记为事件，
则为“取出的3个小球上有2个数字相同”，∴，∴．
(2)
由题意可知的可能取值为2，3，4，5，
，，
，．
可得的分布列如表所示．
2 3 4 5
19．(1)3人，2人，2人；
(2)①答案见解析；②．
【详解】
（1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．
（2）①随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．P（X=k）=（k=0，1，2，3）．
所以，随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
②设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；
事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，
则A=B∪C，且B与C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，
故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=．所以，事件A发生的概率为．
20．，
由，，2，3，4，5，知，及．再利用期望方差的运算性质求解求，
【详解】
∵，
，
，
∴，
．
21．(1)分布列见解析，；
(2)分布列见解析.
（1）求出的所有可能值，利用组合及古典概率公式求出各个值对应的概率，列出分布列，求出甲合格的概率作答.
（2）分析并求出乙得分的所有可能值，再求出各个值对应的概率列出分布列作答.
(1)
依题意，的可能取值为0，1，2，3，
，，，，
的分布列：
0 1 2 3
所以甲合格的概率.
(2)
依题意，乙答3题，答对题数可能为1，2，3，则的可能取值为-5，5，15，
，，，
的分布列：
-5 5 15
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．把一枚骰子连续抛掷两次，记事件为“两次所得点数均为奇数”，为“至少有一次点数是5”，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知随机变量的分布列是
1 2 3
则（ ）A． B． C．1 D．
3．“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化史 思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值.为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动.某班有4位同学参赛，每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同.比赛时，若这4位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读，则抽到自己准备的书的人数的均值为（ ）
A． B．1 C． D．2
4．将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是（ ）
A．两次掷得的点数
B．两次掷得的点数之和
C．两次掷得的最大点数
D．第一次掷得的点数减去第二次掷得的点数的差
5．抛掷两枚质地均匀的骰子一次，X为第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差，则X的所有可能取值为（ ）
A．0≤X≤5，X∈N B．－5≤X≤0，X∈Z
C．1≤X≤6，X∈N D．－5≤X≤5，X∈Z
6．若随机变量ξ的分布列：
ξ 1 2 4
P 0.4 0.3 0.3
那么E(5ξ+4)等于A．15 B．11 C．2.2 D．2.3
7．2021年世界园艺博览会于2021年4月到10月在江苏省扬州市举行，“花艺园”的某个部位摆放了10盆牡丹花，编号分别为0，1，2，3，……，9，若从任取1盆，则编号“大于5”的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P(X2)等于
A． B．
C． D．1
9．已知离散型随机变量的分布列，则等于（ ）
1 2 3 4
A． B． C． D．
10．下列随机试验的结果，不能用离散型随机变量表示的是( )
A．将一枚均匀正方体骰子掷两次，所得点数之和
B．某篮球运动员6次罚球中投进的球数
C．电视机的使用寿命
D．从含有3件次品的50件产品中，任取2件，其中抽到次品的件数
11．已知随机变量和，其中，且，若的分布列如下表，则的值为
ξ 1 2 3 4
P m n
A． B． C． D．
12．下列选项中的随机变量不服从两点分布的是（ ）
A．抛掷一枚骰子，所得点数
B．某射击手射击一次，击中目标的次数
C．从装有除颜色外其余均相同的5个红球，3个白球的袋中任取1个球，设
D．某医生做一次手术，手术成功的次数
二、填空题
13．下面给出三个变量:
（1）2013年地球上发生地震的次数ξ.
（2）在一段时间间隔内某种放射性物质发生的α粒子数η.
（3）在一段时间间隔内某路口通过的宝马车的辆数X.
其中是随机变量的是____.
14．已知X的分布列为
X －1 0 1
P a
设，则E(Y)的值为________
15．若随机变量X的概率分布如表，则表中a的值为______．
X 1 2 3 4
P 0.2 0.3 0.3 a
16．一个袋子里装有个红球和个黑球，从袋中取个球，取到个红球得分，取到个黑球得分．设总得分为随机变量，则_______．
三、解答题
17．在某项体能测试中，跑1km时间不超过4min为优秀．某位同学跑1km所花费的时间X是离散型随机变量吗？如果只关心该同学是否能够取得优秀成绩，应该如何定义随机变量？
18．袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字．
(1)求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
(2)求随机变量的分布列．
19．已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．
(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．
①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列；
②设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．
20．设离散型随机变量X的概率分布为，k=1，2，3，4，5．求，．
21．甲乙参加英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行考试，至少答对2道题才算合格．
(1)若一次考试中甲答对的题数是，求的概率分布列，并求甲合格的概率；
(2)若答对1题得5分，答错1题扣5分，记为乙所得分数，求的概率分布列．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
根据条件概率公式转化为，分别求解事件和实际包含的基本事件的个数，代入求解.
【详解】
事件为“两次所得点数均为奇数”，则事件为，，，，，，，，，故；为“至少有一次点数是5”，则事件为，，，，，，所以.
故选：B.
2．A
直接根据离散型随机变量的分布列的性质求解即可得答案.
【详解】
解：根据离散型随机变量的分布列的概率和为得：，
所以.
故选：A.
本题考查分布列的性质，是基础题.
3．B
抽到自己准备的书的学生数可能值为0，1，2，4，结合概率公式求出每个值的概率，再利用数学期望计算公式即可．
【详解】
记抽到自己准备的书的学生数为，则可能值为0，1，2，4
，，
，，
则．
故选：B
4．A
根据随机变量为一个变量判断.
【详解】
因为随机变量为一个变量，
而A中两次掷得的点数的取值是一个数对，不是一个数，
所以不能作为随机变量，
故选A.
5．D
根据第一枚的最小值和第二枚的最大值的差求得的最小值，根据第一枚的最大值和第二枚的最小值的差求得的最大值，从而得出正确选项.
【详解】
第一枚的最小值为，第二枚的最大值为，差为
第一枚的最大值为，第二枚的最小值为，差为
故的取值范围是
故选：D.
6．A
由已知条件求出Eξ=2.2，再由E(5ξ+4)=5E(ξ)+4，能求出结果.
【详解】
由已知，得：Eξ=1×0.4+2×0.3+4×0.3=2.2，
∴E(5ξ+4)=5E(ξ)+4=5×2.2+4=15.
故选：A.
本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题.
7．B
设编号为随机变量，结合题设可得其各可能值的对应概率，再应用互斥事件概率的加法公式求即可.
【详解】
设任取1盆的编号为随机变量，
∴的可能取值为0，1，2，……，9，且，
∴．
故选：B.
8．C
根据超几何分布的概率公式计算各种可能的概率，得出结果
【详解】
由题意，知X取0，1，2，X服从超几何分布，
它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，
即P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，
于是P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝
故选C
本题主要考查了运用超几何分布求概率，分别求出满足题意的情况，然后相加，属于中档题．
9．A
由即可得解.
【详解】
.
故选：A
本题考查离散型随机变量分布列，属于基础题.
10．C
【详解】
分析： 直接利用离散型随机变量的定义逐一判断即可.
详解：随机取值的变量就是随机变量，随机变量分为离散型随机变量与连续型随机变量两种，随机变量的函数仍为随机变量，有些随机变量，它全部可能取到的不相同的值是有限个或可列无限多个,这种随机变量称为“离散型随机变量”，题目中都属于离散型随机变量，而电视机的使用寿命属于连续型随机变量，故选C.
点睛：随机取值的变量就是随机变量，随机变量分为离散型随机变量与连续型随机变量两种（变量分为定性和定量两类，其中定性变量又分为分类变量和有序变量；定量变量分为离散型和连续型），随机变量的函数仍为随机变量，本题考的离散型随机变量.
11．A
根据随机变量和的关系得到，概率和为1，联立方程组解得答案.
【详解】
且，则
即
解得
故答案选A
本题考查了随机变量的数学期望和概率，根据随机变量和的关系得到是解题的关键.
12．A
根据两点分布的概念结合题意即可求解.
【详解】
对于选项A，抛掷一枚骰子，所得点数的取值范围为{1，2，3，4，5，6}，所以A中的随机变量不服从两点分布；
对于选项B，射击手射击一次，有击中或者不击中目标两种可能的结果，B中的随机变量服从两点分布；
对于选项C，袋中只有红球和白球，取出1个球，可能取到红球或者白球，C中的随机变量服从两点分布；
对于选项D，医生做一次手术，手术可能成功，也可能失败，D中的随机变量服从两点分布.
故选A.
13．（2）（3）
（1）因2013年地球上发生地震的次数是确定的，据此判定（1）是否是随机变量；
（2）某种放射性物质发生的α粒子数η是变化的，有限的，据此判定（2）是否是随机变量；
（3）通过的宝马车的辆数也是变化的，据此判定（3）是否是随机变量.
【详解】
（1）2013年地球上发生地震的次数ξ是确定的，故不是随机变量;（2）发出的α粒子数η是变化的，是随机变量;（3）通过的宝马车的辆数X是变化的，是随机变量.
故答案为：（2）（3）
14．
先利用频率之和为求出的值，利用分布列求出，然后利用数学期望的性质得出可得出答案．
【详解】
由随机分布列的性质可得，得，
，因此，.
故答案为.
本题考查随机分布列的性质、以及数学期望的计算与性质，灵活利用这些性质和相关公式是解题的关键，属于基础题．
15．0.2
利用概率和为1，即可求参数a的值．
【详解】
由随机变量X的概率分布表得：，解得．
故答案为：0.2
16．
列出取出的4个球中红球的个数及对应的黑球个数，即可得可能出现的分值，利用排列组合知识列出概率计算公式从而求出概率.
【详解】
取出的4个球中红球的个数可能为4，3，2，1个，黑球相应个数为0，1，2，3个，
其分值为，.
故答案为：
本题考查离散型随机变量分布列，古典概型概率计算公式，排列组合计数原理，属于基础题.
17．答案见解析.
根据离散型随机变量的定义进行问题的分析.
【详解】
若随机变量只取有限多个或可列无限多个值，则称为离散型随机变量，
在某项体能检测中，跑时间不超过为优秀，某同学跑所花的时间是连续的，
所以某同学跑所花费的时间不是离散型随机变量，而是连续型随机变量；
如果只关心是否优秀，只需要定义一个两点随机变量就可以了，如下：
，此时是离散型随机变量，它仅有两个取值，其中表示优秀，表示不优秀.
18．(1)
(2)分布列见解析
（1）利用古典概型的概率公式和对立事件的概率公式可求出结果；
（2）先求出的可能取值为2，3，4，5．在求出的每个取值的概率即可得解.
(1)
“取出的3个小球上的数字互不相同”记为事件，
则为“取出的3个小球上有2个数字相同”，∴，∴．
(2)
由题意可知的可能取值为2，3，4，5，
，，
，．
可得的分布列如表所示．
2 3 4 5
19．(1)3人，2人，2人；
(2)①答案见解析；②．
【详解】
（1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．
（2）①随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．P（X=k）=（k=0，1，2，3）．
所以，随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
②设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；
事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，
则A=B∪C，且B与C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，
故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=．所以，事件A发生的概率为．
20．，
由，，2，3，4，5，知，及．再利用期望方差的运算性质求解求，
【详解】
∵，
，
，
∴，
．
21．(1)分布列见解析，；
(2)分布列见解析.
（1）求出的所有可能值，利用组合及古典概率公式求出各个值对应的概率，列出分布列，求出甲合格的概率作答.
（2）分析并求出乙得分的所有可能值，再求出各个值对应的概率列出分布列作答.
(1)
依题意，的可能取值为0，1，2，3，
，，，，
的分布列：
0 1 2 3
所以甲合格的概率.
(2)
依题意，乙答3题，答对题数可能为1，2，3，则的可能取值为-5，5，15，
，，，
的分布列：
-5 5 15
答案第1页，共2页
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