1.2空间向量基本定理 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第一册 1.2 空间向量基本定理 同步练习
一、单选题
1．已知是一个空间的基底，向量，，，，若则x，y，z分别为（ ）．
A．，， B．，1，
C．，1， D．，1，
2．如图，已知空间四边形，其对角线为分别是的中点，点在线段上，且使，用向量表示向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知向量，，是空间的一个单位正交基底，向量，，是空间的另一个基底，若向量在基底，，下的坐标为，则在，，下的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在四面体中，，，，D为BC的中点，E为AD的中点，则可用向量，，表示为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，已知三棱锥，点分别是的中点，点为线段上一点，且，若记,则（ ）
A． B．
C． D．
6．如图所示，在正方体中，点是侧面的中心，若，求（ ）
A．1 B． C．2 D．
7．如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，，，，M是A1D1的中点，点N是CA1上的点，且CN∶NA1=1∶4，用 ， ， 表示向量的结果是（ ）
A． B．
C． D．
8．在平行六面体中，是面的中心，若．给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，在长方体中，是线段上一点，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在三棱柱中，为的中点，若，，，则可表示为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在三棱锥中，点，，分别是，，的中点，设，， ，则（ ）
A． B．
C． D．
12．已知向量和在基底下的坐标分别为(3，4，5)和(0，2，1)，若＝，则向量在基底下的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
13．空间四边形OABC中，，，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
14．如图，正方体的棱长为，对角线和相交于点，则（ ）．
A． B．
C． D．
15．如图所示，在四面体ABCD中，为等边三角形，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．在四面体ABCD中，点O是的重心，可以用、、表示为______．
17．已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且，现用基底{}表示向量，有=x+y+z，则x，y，z的值分别为____．
18．空间向量，，，，，，且，，若点P满足，且，，，，则动点P的轨迹所形成的空间区域的体积为__________.
三、解答题
19．已知空间向量，，，，若存在实数组和，满足，，且，求证：向量，，共面．
20．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外任一点O，满足条件，判断点P与A，B，C是否共面．
21．如图，在正方体中，，分别是，的中点，求证：平面.
22．已知是空间的一组基，且，，，．
（1）能否构成空间的一组基？若能，试用这一组基向量表示；若不能，请说明理由．
（2）判断，，，四点是否共面．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
利用空间向量的基本定理即可求解.
【详解】
，
，解得,
故选：A
2．A
结合空间向量的加法、减法和数乘运算，把向量逐步向基底靠拢，再结合点的位置关系可得答案.
【详解】
.
因为分别为的中点，
所以
所以.
故选：A.
3．C
可设向量，，，由此把向量，，分别用坐标表示，列方程组解出x，y，z，即可得到的坐标．
【详解】
不妨设向量，，；
则向量，，．
设，
即，
∴解得
即在，，下的坐标为．
故选：C．
向量类问题的常用处理方法——向量坐标化，利用坐标运算比较简单．
4．B
利用空间向量的基本定理，用，，表示向量．
【详解】
因为是的中点，是的中点，
，．
故选：B
5．C
根据所给的图形，在图形中看出要求的向量可以怎么得到，用减法把向量先变化成已知向量的差的形式，再利用向量的加法法则，得到结果．
【详解】
，．
，
故选：．
本题考查空间向量的加减法，本题解题的关键是在已知图形中尽量的应用几何体的已知棱表示要求的结果，属于基础题．
6．C
利用空间向量的加减法运算用来表示，即得结果.
【详解】
，
故，，，则．
故选：C.
7．D
根据图形，利用向量线性运算，即可求解.
【详解】
由题意可得，=-
=-(+).
∵，，
∴.
故选：D.
8．D
根据空间向量的线性运算表示向量，可得各数值，逐一判断即可.
【详解】
如图所示：
，
即，，，
所以，①正确；
，②正确；
，③正确；
，④正确；
，⑤错误；
故选：D.
9．A
将利用、、表示，再利用空间向量的加法可得出关于、、的表达式，进而可求得的值.
【详解】
连接、，
因为，
因为是线段上一点，且，则，
因此，
因此，.
故选：A.
10．C
结合图形，根据空间向量的线性运算即可得到答案.
【详解】
故选：C.
11．D
利用空间向量的线性运算、三角形的中位线及线段中点的向量表示进行化简求解.
【详解】
如图，连接，
因为点，分别是，的中点，
所以.
因为点是的中点，
所以
.
因为点是的中点，
所以，
则.
故选：D.
12．A
根据向量的加减法运算可求得，再由＝可求得，由此可得选项.
【详解】
解：因为＝－
所以，所以向量在基底下的坐标是，
故选：A．
13．A
结合图形以及空间向量的线性运算即可求出结果.
【详解】
，
故选：A.
14．C
以为一组基底，利用空间向量的数量积运算逐项验证即可.
【详解】
以为一组基底，
则A. ，故错误；
B. ，故错误；
C.，故正确；
D. ，故错误；
故选：C
本题主要考查空间向量定理及运算，属于基础题.
15．D
由空间向量的加法可得出，利用空间向量数量积的运算可求得的值.
【详解】
依题意，，
因为为等边三角形，，，，，
所以，，，
，
所以，
.
故选：D.
16．
延长交于点，连接，根据空间向量线性运算的计算法则计算可得；
【详解】
解：延长交于点，连接，则为的中点，
因为点O是的重心，所以，
所以
故答案为：
17．x=，y=，z=．
利用向量的加法公式得出=+=+，再用表示出，即可求出x，y，z的值.
【详解】
∵=+=+=+
+=
∴x=，y=，z=．
故答案为：x=，y=，z=．
18．
先分析若，，，时，点在图中的点，
由，，，可得，，，可以得出点在三棱锥内，计算三棱锥的体积即可求解.
【详解】
因为，，，，
当，，时，点在图中的点，
因为，当，时，
同理，，
，，，
由知点在内，
而，，，，
所以点在三棱锥内，
且，，，
过作平面的垂线，垂足为，
由三余弦定理可得：，即，
所以，所以，
，
所以三棱锥的体积为，
故答案为：.
关键点点睛：本题解题的关键是由可得是以为邻边所成的平行六面体的体对角线，关键点是分析出，，，得出点在三棱锥内.
19．详见解析.
利用空间向量共面定理证明.
【详解】
因为，，
所以，
因为，
所以，
故向量，，共面．
20．共面，理由见解析
由可得，从而可判断四点共面.
【详解】
，
故，故点P与A，B，C共面.
21．证明见解析.
设，，，作为一组基底，分别表示向量，证明，即可.
【详解】
设，，，则.
则，
.
∴.
∴，即.
同理.∵，
∴平面.
本题主要考查空间向量法证明线面垂直问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
22．（1）可以构成空间的一组基；；（2） ，，，四点不共面．
（1）假设向量，，共面，则存在实数，，使，
即，列出关于的方程组，方程组无解则不共面，由已知把都用表示，代入即得；
（2）假设，，，四点共面，则存在实数，，，使，且，但（1）中结论不满足，从而得不共面．
【详解】
（1）假设向量，，共面，则存在实数，，使，
即，
所以，方程组无解，所以向量，，不共面，
因此可以构成空间的一组基．
令，，，
由，得，
所以
．
（2）假设，，，四点共面，则存在实数，，，使，且．
由（1）知，但，故，，，四点不共面．
答案第1页，共2页
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