1.3空间向量及其运算的坐标表示 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第一册 1.3 空间向量及其运算的坐标表示
一、单选题
1．已知向量是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则它在下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，若，则的值为（ ）
A． B． C．6 D．8
3．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则
A． B． C． D．
4．若平面，的法向量分别为，，则
A． B．与相交但不垂直
C． D．或与重合
5．已知，，那么向量（ ）.
A． B． C． D．
6．在正三棱台中，，是的中点，设与所成角分别为，则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，，且，则的值为（ ）.
A． B．2 C． D．
8．如图，在正四棱柱中，，，是侧面内的动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
9．空间有四点A、B、C、D，其中，且，则直线AB与CD（ ）
A．平行 B．重合 C．必定相交 D．必定垂直
10．已知，，，，则向量与之间的夹角为（ ）.
A． B． C． D．以上都不对
11．边长为的正方形沿对角线折成直二面角，、分别为、的中点，是正方形的中心，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
12．在空间直角坐标系中，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知空间中的点，，若，，则________．
14．已知向量，，若，则实数______．
15．已知点，，，，点在直线上运动，当取得最小值时，点的坐标为________________.
16．已知空间三点，，，在直线上有一点满足，则点的坐标为______．
三、解答题
17．如图，三棱锥各棱的棱长都是1，点D是棱AB的中点，点E在棱OC上，且，记，，．
(1)用向量，，表示向量；
(2)求的最小值．
18．已知点，，，向量.
(1)若，求实数的值；
(2)求向量在向量上上的投影向量.
19．在长方体中．，，，与相交于点P，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz．
（1）写出点C，，P的坐标；
（2）写出向量，的坐标．
20．是空间直角坐标系Oxyz中的一点，写出满足下列条件的点的坐标；
（1）与点M关于轴对称的点；
（2）与点M关于y轴对称的点；
（3）与点M关于z轴对称的点；
（4）与点M关于原点对称的点．
21．如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1，在底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点．
（1）求 的模；
（2）求cos〈，〉的值；
（3）求证：A1B⊥C1M.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【详解】
设向量在基底下的坐标为，
则，
所以解得
故在基底下的坐标为.
故选：C.
本题解题的关键是设向量在基底下的坐标为，进而根据向量相等列方程求解，考查运算求解能力，是基础题.
2．D
由，可得，则有，从而可求出的值，
【详解】
解：因为，所以，
因为，，
所以，解得，
故选：D
3．D
由题意，根据点关于平面的对称点，求得的坐标，利用向量的数量积的坐标运算，即求解.
【详解】
由题意，空间直角坐标系中，点关于平面的对称点，
所以,则，故选D.
本题主要考查了空间直角坐标系的应用，以及空间向量的数量积的坐标运算，其中解答中熟记空间向量数量积的坐标运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
4．A
可判断两个平面的法向量共线，根据法向量平行可知两平面平行．
【详解】
解：因为平面，的法向量分别为，
即，所以
所以
故选：A
本题考查了空间向量在立体几何中的应用问题，属于基础题．
5．B
利用向量即可得出．
【详解】
向量，5，，3，，2，，
故选：．
本题考查了向量三角形法则、空间向量的坐标运算，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6．D
设的中心分别为，所以垂直于上下底面， 是的中点，所以，取的中点，则，分别以为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，利用夹角公式可得答案.
【详解】
如图正三棱台中， 均为正三角形，设的中心分别为，所以垂直于上下底面， 是的中点，所以，取的中点，则，分别以为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，因为，所以 ，，取中点，则，因为为正三角形的中心，所以，所以，，作交于，则，，
所以，
所以，
所以，，，
，
所以，
，
，
综上所述，，.
故选：D.
本题考查了线线角的求法，关键点是建立空间直角坐标系，利用向量数量积公式求得答案，考查了学生的空间想象力和运算能力.
7．B
由，可得存在实数使得，利用向量相等即可得出．
【详解】
，4，，
，3，，
，
存在实数使得，
，解得，．
．
故选：．
本题考查了空间向量坐标运算性质、向量共线定理、空间向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
8．B
以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，设，3，，根据空间向量垂直的坐标表示求得，继而得的最小值，连接BP，由线面角的定义得 就是与平面所成的角，故而得的最大值.
【详解】
解：以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，则，，
设，3，，则，3，，，，，
，，
，，
，
连接BP，在正四棱柱中，面，所以 就是与平面所成的角，即 ，
，的最大值为．
故选：B．
9．D
结合向量的加法运算求出，然后验证，所以，即可得出结论.
【详解】
，由因为，所以，即，所以，
又因为，所以，
故选：D.
10．C
由，两边平方得到，然后再由，，整理求解.
【详解】
因为，
所以，
两边平方得：，
即，
所以，
因为，
所以.
故选：C
本题主要考查平面向量数量积的运算以及夹角的求法，属于基础题.
11．B
建立空间直角坐标系，以向量法去求的大小即可解决.
【详解】
由题意可得平面，，则两两垂直
以O为原点，分别以OB、OA、OC所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系
则，，，，
又，则
故选：B
12．B
求出，进而可得.
【详解】
依题意得，所以.
故选：B.
13．或．
由A，B坐标求出，再根据向量共线定理可求出.
【详解】
∵，，，
，∴存在，使得，
∴，解得，
∴或．
故答案为：或.
本题考查空间向量共线的问题，属于基础题.
14．
由题意可知，解方程，即可求出结果.
【详解】
因为，所以，所以.
故答案为：.
15．
，1，，点在直线上运动，设设，，，求出，由二次函数性质得最小值．从而参数值后得坐标．
【详解】
解：根据题意，点在直线上运动，，1，；
设，，，
，，，，
，
当时，取得最小值．
此时点的坐标是，，，
故答案为：
16．
根据，设可利用表示点坐标，再由，利用空间向量数量积的坐标表示列方程可求得的值，即可得点的坐标.
【详解】
因为，，，
所以，且点在直线上，
所以，所以存在实数使得
设，则，
所以，
可得，即，
又因为，所以，
因为，，
所以，可得，
所以点．
故答案为：．
17．(1)；(2).
(1)根据题意，连接，，利用空间向量的线性运算即可求解；(2)由三棱锥的各个面是边长为1的正三角形可得、，再利用余弦定理求出，由空间向量的运算法则可得||2＝||2，再结合空间向量的数量积公式和二次函数性质即可求解.
【详解】
(1)根据题意，连接OD，CD，点D是棱AB的中点，点E在棱OC上，如下图：
由题意可得，，记，，，
∴()＝.
(2)根据题意，点D是棱AB的中点，三棱锥的各个面是边长为1，
易得，，
在中，由余弦定理可得，，
，
当时，取得最小值，
则的最小值为．
18．(1)
(2)
（1）由计算可得；
（2）根据投影的定义计算出投影，再乘以同向的单位向量即可得．
(1)
，，
即，得；
(2)
，，向量在上的投影为，
与同向单位向量为，
则向量在向量上上的投影向量为.
19．（1）；（2），.
（1）根据条件可直接写出答案；
（2）根据坐标算出答案即可.
【详解】
（1）因为，，，
所以
（2）因为，
，
20．（1），（2），（3），（4）.
（1）根据空间直角坐标系的知识直接写出答案即可；
（2）根据空间直角坐标系的知识直接写出答案即可；
（3）根据空间直角坐标系的知识直接写出答案即可；
（4）根据空间直角坐标系的知识直接写出答案即可；
【详解】
若是空间直角坐标系Oxyz中的一点，则
（1）与点M关于轴对称的点为
（2）与点M关于y轴对称的点为
（3）与点M关于z轴对称的点为
（4）与点M关于原点对称的点为
21．（1）；（2）；（3）证明见解析.
（1）如图，以点C作为坐标原点O，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量的模长公式计算即可；
（2）利用坐标运算计算cos〈，〉的值；
（3）通过计算·＝0可得答案.
【详解】
（1）如图，以点C作为坐标原点O，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系. 由题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，
∴＝＝.
（2）由题意得A1(1，0，2)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，
∴＝(1，－1，2)，＝(0，1，2)，
·＝3，||＝，||＝，
∴cos〈，〉＝＝.
（3）由题意得C1(0，0，2)，M，＝(－1，1，－2)，＝，
∴·＝－＋＋0＝0，
∴⊥，即A1B⊥C1M.
答案第1页，共2页
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