2.4圆的方程 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第一册 2.4 圆的方程 同步练习
一、单选题
1．方程x2+y2﹣kx+2y+k2﹣2＝0表示圆的一个充分不必要条件是（ ）
A．k∈(﹣∞，﹣2)∪(2，+∞) B．k∈(2，+∞)
C．k∈(﹣2，2) D．k∈(0，1]
2．已知实数x，y满足，则x的最大值是（ ）
A．3 B．2 C．-1 D．-3
3．已知圆的圆心在直线上，则该圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．函数的图象是（ ）
A．一条射线 B．一个圆
C．两条射线 D．半圆弧
5．已知点，圆上的两个不同的点、满足，则的最大值为（ ）
A．12 B．18 C．60 D．
6．以点为圆心，且与轴相切的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．如果方程表示圆，则的取值范围是
A． B． C． D．
8．过点A（1，1），B（-3，5），且圆心在直线上的圆的半径是（ ）
A．2 B．3 C． D．10
9．若为圆的弦的中点，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
10．已知M、N分别是圆和圆上的两个动点，点P在直线上，则的最小值是（ ）
A． B．10 C． D．12
11．圆关于点对称的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
12．已知圆的圆心到直线的距离为，若，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知分别是，上的两个动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为_____________.
14．与圆同圆心且过点的圆的方程是_____________．
15．已知直线与圆相交于A，B两点，则线段的长为___________.
16．过,圆心在轴上的圆的标准方程为_________．
17．已知圆O：x2+y2=1，A(3，3)，点P在直线l：x﹣y=2上运动，则|PA|+|PO|的最小值为___________.
三、解答题
18．已知圆经过点，并且直线平分圆，求圆的方程.
19．已知圆的标准方程为.
（1）若点在圆上，求半径；
（2）若点与有一点在圆内，另一点在圆外，求实数的取值范围.
20．已知椭圆的焦距为，短轴长为.
（1）求的方程；
（2）若直线与相交于、两点，求以线段为直径的圆的标准方程.
21．已知的顶点坐标为，，．
(1)求边的中垂线所在直线的方程；
(2)试求半径最小的的外接圆的标准方程．
试卷第1页，共3页
试卷第2页，共2页
参考答案：
1．D
化x2+y2﹣kx+2y+k2﹣2＝0为，
由0求得k的范围，然后逐一核对四个选项得答案.
【详解】
由x2+y2﹣kx+2y+k2﹣2＝0，得，
若方程x2+y2﹣kx+2y+k2﹣2＝0表示圆，则0，即﹣2＜k＜2.
∴A，B为方程x2+y2﹣kx+2y+k2﹣2＝0表示圆的既不充分也不必要条件，C为充要条件，
而（0，1] （﹣2，2），则D为充分不必要条件.
故选：D.
本题主要考查了圆的一般方程，充分条件，必要条件，属于中档题.
2．C
首先确定圆的圆心和半径，再确定的最大值.
【详解】
方程变形为，圆心，半径，则的最大值是.
故选：C
3．A
配方得出圆心坐标，代入直线方程求得参数值，然后可得圆半径、面积．
【详解】
圆的方程可化为，其圆心为.依题意得，，解得，圆的半径为，面积为，
故选：A.
4．D
将函数化为，即可得出结论.
【详解】
解：可化为，所以的图象是半圆弧．
故选：D.
5．C
根据给定条件求出弦AB中点的轨迹，再求出这个轨迹上的点到直线的距离最大值即可推理计算作答.
【详解】
因，则点A，P，B共线，即过点P的直线AB与圆交于不同的两点A，B，
表示点、到直线的距离和的5倍，
设弦AB中点，则有
于是得：，
圆的圆心，显然点P在此圆内，即过点P的任意直线与圆都相交，
当点M与点P，Q都不重合时，由圆的性质知，，有，
当点M与点P，Q之一重合时，也成立，于是得，
又，从而得，即点M的轨迹是以原点为圆心的单位圆，
圆的圆心到直线的距离，
则圆上的点到直线的距离的最大值为，
所以的最大值为60.
故选：C
6．C
根据题中条件，得到圆的半径，进而可得圆的方程.
【详解】
以点为圆心且与轴相切的圆的半径为，
故圆的标准方程是.
故选：C.
7．B
利用，解不等式即可得结果.
【详解】
因为方程表示圆，
所以，解得，
即的取值范围是，
故选B.
本题主要考查圆的方程，属于基础题.
8．C
用待定系数法设出圆的标准方程，由题意构建关系的方程组，求解即可得到答案
【详解】
设圆的标准方程为，
因为圆过点A（1，1），B（-3，5），且圆心在直线上，
则有，解得，
所以圆的半径是
故选：C
9．A
由得出直线的斜率，进而写出直线方程.
【详解】
圆的圆心为，则.因为，所以，故直线的方程为.
故选：A
10．C
计算圆心关于直线的对称点为，计算，得到最值.
【详解】
圆的圆心为，圆的圆心为，
关于直线的对称点为，，
故的最小值是.
故选：C.
本题考查了点关于直线对称，与圆相关的距离的最值，意在考查学生的计算能力和应用能力，转化能力.
11．A
求出圆心关于的对称点，即为对称圆的圆心，对称圆的半径为1.
【详解】
圆的圆心为，
因为点关于点对称的点为，
所以对称圆的圆心为，
又因为半径不变，
所以所求圆的标准方程为.
故选：A
本题主要考查了圆的标准方程，点关于点的对称点的求法，圆关于点的对称圆，属于中档题.
12．D
本题目考察圆的一般方程的圆心坐标，以及点到直线的距离公式，通过点到直线的距离公式可以求出参数的值，最后是基本不等式中“1”的代入的应用，已知分式为定值，可以求得整式的最小值
【详解】
由题意，知圆心坐标为(1，4)，
圆心到直线的距离为，则，解得或
因为，所以
所以，且，则，当且仅当时取“="，即的最小值为．
故选：D
13．5
运用数形结合思想，画图确定最值位置，再求解最小值即可.
【详解】
如图，圆是圆关于直线 的对称圆，
所以圆的方程为，圆心为 ，且由图知，
五点共线时， 有最小值，
此时，
所以的最小值为5.
故答案为：5.
14．
利用圆心相同，设出圆的方程，再代入点，求出半径即可
【详解】
圆的圆心为，设所求圆的方程为，由点在圆上可知，解得．故所求圆的方程为．
故答案为：
15．
根据题意,求出直线经过定点，以及由圆的方程分析圆的圆心与半径,结合直线与圆的位置关系分析可得答案.
【详解】
直线恒过点，
圆的圆心，半径为，
直线恒过圆的圆心，所以直线交圆的弦长为直径，所以线段的长为.
故答案为：.
本题考查了直线与圆的弦长问题.对于这类问题,一般有两种方法,一是联立直线和圆的方程,利用弦长公式 进行求解；另外还可利用几何的方法,求出圆心到直线的距离,求出圆的半径,根据勾股定理可求出弦长.
16．
【详解】
设圆心坐标为，由题意可得：，
即：，
求解关于实数的方程可得：，
则圆心坐标为，圆的半径为：，
据此可得：圆的标准方程为.
17．
首先作点关于直线的对称点，由图象可知|PA|+|PO|=|PA|+|PO′|≥|AO′|，计算最小值.
【详解】
由于点A与点O在直线l：x﹣y=2的同侧，
设点O关于直线l：x﹣y=2的对称点为O′(x′，y′)，
∵kOO′=﹣1，∴OO′所在直线方程为y=﹣x，
联立，解得，即OO′的中点为(1，﹣1)，
∴O′(2，﹣2)，
则|PA|+|PO|=|PA|+|PO′|≥|AO′|=.
故答案为：.
18．
由题意可得圆心在直线上，则，再由，得，从而可求出的值，进而可得圆的方程
【详解】
解：由于直线平分圆，所以圆的圆心在直线上，即（1）
又，所以有（2）
联立（1）（2），解得
所以
所以圆的方程为
19．（1）；（2）.
（1）点代入圆的方程即可求解；
（2）求出,根据一点圆内一点圆外即可求解.
【详解】
（1）因为点在圆上，
所以，即，
又，所以.
（2）因为，
，
所以，故点在圆外，点在圆内，
所以，
故实数的取值范围是.
20．（1）；（2）.
（1）根据题意求出和的值，即可求出椭圆的方程；
（2）设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出线段的中点和，即可得出所求圆的标准方程.
【详解】
（1）设椭圆的焦距为，则，，
所以，，，所以的方程为；
（2）设点、，联立，消去，得.
由韦达定理得，，
所以，线段的中点坐标为.
，
所以，所求圆的标准方程为.
本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了直线截圆所得弦长的计算以及圆的标准方程的求解，一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法来计算，考查运算求解能力，属于中等题.
21．(1)
(2)
（1）求出的中点以及斜率，利用直接法即可求解.
（2）求出的中垂线方程，再与的中垂线方程联立求出外接圆的圆心，利用两点间的距离公式求出半径最小值，进而写出外接圆方程.
(1)
的顶点坐标为，，，
所以的中点为，
当且时，的斜率为，
所以的中垂线方程为，
整理可得；
当或时，依然成立；
所以边的中垂线所在直线的方程为.
(2)
因为的中点为，的斜率为，
所以的中垂线方程为，即，
联立与，
解得，
所以外接圆的圆心为，，
则半径为，
故当时，半径取得最小值为，此时圆心为，
故半径最小的的外接圆的标准方程为．
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