人教版A版（2019）课标高中数学必修二第六章平面向量及其应用6.4平面向量线性运算的应用 教案

平面向量线性运算的应用
【教学目标】
1．能用平面向量线性运算解决平面几何中的问题.
2．熟悉平面向量的线性运算在物理中的应用.
【教学重难点】
用平面向量线性运算解决平面几何中的问题.
【教学过程】
一、问题导入
如图所示，在细绳l上作用着一个大小为200 N，与水平方向的夹角为45°的力，细绳上挂着一个重物，使细绳的另一端与水平面平行.
问题1 水平方向OA上的拉力多大？
问题2 物重G是多少？
提示1 200×cos 45°＝100(N)，方向向右.
提示2 200×sin 45°＝100(N).
二、新知探究
1．用向量解决平面几何问题
【例1】 如图所示，已知△ABC中，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，AF与CE相交于点O.
（1）求AO∶OF与CO∶OE的值；
（2）证明AF，BD，CE交于一点O.
（1）解 因为＝＋＝＋，
又因为E，F都是中点，所以
＋＝＋＝2＋2＝2.
另外，＝＋，所以＋＝2＋2.
设＝s，＝t，
则有s－t＝2＋2，即
(s－2)＝(t－2).
从而由共线向量基本定理可知s＝t＝2，
因此AO∶OF＝CO∶OE＝2∶1．
（2）证明 要证明AF，BD，CE交于一点O，只需证明B，O，D三点共线即可.
由（1）可知，＝＋，
＝＋＝＋＝－
＝－＝(＋)，
又＝(＋)，∴∥，又与有公共点B，
∴B，O，D三点共线，
故AF，BD，CE交于一点.
规律方法 利用向量线性运算解决几何问题的思路：
（1）把几何元素化为向量；
（2）进行向量的线性运算；
（3）把结果翻译成几何问题.
【训练1】 如图，已知△ABC的面积为14 cm2，D，E分别为AB，BC上的点，且AD∶DB＝BE∶EC＝2∶1，求△APC的面积.
解 设＝a，＝b为一组基底.
则＝a＋b，＝a＋b．
因为点A，P，E和D，P，C分别共线，
所以存在λ和μ使＝λ＝λa＋λb，＝μ＝μa＋μb．
又因为＝＋＝a＋μb，
所以解得
所以S△PAB＝S△ABC＝×14＝8 (cm2)，
S△PBC＝S△ABC＝×14＝2 (cm2)，
故S△APC＝14－8－2＝4 (cm2).
2．用向量坐标解决平面几何问题
【例2】 如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线BD上的一点，PECF是矩形，用向量方法证明PA＝EF.
证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为a，则A(0，a).
设||＝λ(λ>0)，
则F，P，
E.
所以＝，
＝，
因为||2＝＋＝λ2－aλ＋a2，
||2＝＋＝λ2－aλ＋a2，
所以||＝||，即PA＝EF.
规律方法 用坐标表示平面向量可将几何问题转化为代数问题，通过向量的坐标运算使问题得到解决，这是数形结合思想的重要体现.利用向量坐标法选取适当的位置建立坐标系是关键.
【训练2】 证明直角三角形ABC斜边AB上的中线CD等于斜边AB的一半.
证明 建立如图所示的平面直角坐标系.设C(0，0)，A(a，0)，B(0，b).
则AB＝，中点D的坐标为，
即＝，OD＝||＝＝，即CD＝，故CD＝AB．
3．平面向量在物理中的应用
【例3】 如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°.求A和B处所受力的大小.(忽略绳子重量)
解 设A，B处所受力分别为f1，f2，10 N的重力用f表示，则f1＋f2＋f＝0.
以重力作用点C为f1，f2的始点，作平行四边形CFWE，使CW为对角线，则＝－f2，＝－f1，＝f.
∠ECW＝180°－150°＝30°，
∠FCW＝180°－120°＝60°，
∠FCE＝90°，
∴四边形CEWF为矩形.
∴||＝||cos 30°＝5，
||＝||cos 60°＝5．
即A处所受力的大小为5 N，B处所受力的大小为5 N.
规律方法 由于力、位移、速度都是向量，对于解决力、位移、速度的大小、方向问题均可利用向量知识解决.
【训练3】 一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风向为东偏南30°，风速为4 m/s，这时气象台报告实际风速为2 m/s.试求风的实际方向和汽车的速度大小.
解 依据物理知识，有三个相对速度：汽车对地的速度为v车地，风对车的速度为v风车，风对地的速度为v风地，风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度，即：v风地＝v风车＋v车地，如图，根据向量加法的平行四边形法则，可知表示向量v风地的有向线段是 ACDB的对角线.因为||＝4 m，∠ACD＝30°，
||＝2，
所以∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，
||＝||·cos 30°＝2(m/s).
所以风的实际方向是吹向正南方向；汽车速度的大小为2 m/s.
三、课堂小结
1．通过学习平面向量线性运算的应用，培养运算、分析和解决实际问题的能力，提升直观想象、数学运算和逻辑推理素养.
2．对于解决平面几何问题，首先要结合图形的特点，确定能否建立平面直角坐标系是关键.
3．力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加、减运算，运动的叠加也用到向量的合成.
四、课堂检测
1．已知作用在点A的三个力f1＝(3，4)，f2＝(2，－5)，f3＝(3，1)，且A(1，1)，则合力f＝f1＋f2＋f3的终点坐标为( )
A．(9，1) B．(1，9)
C．(9，0) D．(0，9)
解析 f＝f1＋f2＋f3＝(3，4)＋(2，－5)＋(3，1)＝(8，0)，
设合力f的终点为P(x，y)，则
＝＋f＝(1，1)＋(8，0)＝(9，1).
答案 A
2．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且||2＝16，|＋|＝|－|，则||＝( )
A．8 B．4
C．2 D．1
解析 由||2＝16，得||＝4，
|＋|＝|－|＝||＝4，
而|＋|＝2||，故||＝2，故选C．
答案 C
3．若＝(2，2)，＝(－2，3)分别表示力F1，F2，则|F1＋F2|为________.
解析 ∵F1＋F2＝(0，5)，∴|F1＋F2|＝＝5．
答案 5
4．如图，已知点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且＝＝.
求证：点E，O，F在同一直线上.
证明 设＝m，＝n，由＝＝，
知E，F分别是CD，AB的三等分点，
∴＝＋＝＋
＝－m＋(m＋n)＝m＋n，
＝＋＝＋＝(m＋n)－m
＝m＋n.∴＝.
又O为和的公共点，故点E，O，F在同一直线上.
1 / 7